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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A127093号 行读取的三角形:如果k是n的除数,则T(n,k)=k;否则,T(n,k)=0(1<=k<=n)。 61
1, 1, 2, 1, 0, 3, 1, 2, 0, 4, 1, 0, 0, 0, 5, 1, 2, 3, 0, 0, 6, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 7, 1, 2, 0, 4, 0, 0, 0, 8, 1, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 9, 1, 2, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 10, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 11, 1, 2, 3, 4, 0, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 12, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 13, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 7, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 14 (列表桌子图表参考历史文本内部格式)
抵消
1,3
评论
第n行中的项之和=σ(n)(n的除数之和)。
欧拉推导A127093号多项式形式是他对Sigma(n)公式的证明:(设S=Sigma,然后Euler证明了S(n)=S(n-1)+S(n-2)-S(n-5)-S。
【杨,第365-366页】,欧拉开头,s=(1-x)*(1-x^2)*(1-x^3)*…=1-x-x^2+x^5+x^7-x^12。。。;logs=对数(1-x)+对数(1-x^2)+对数。。。;区分然后改变符号,欧拉有t=x/(1-x)+2x^2/(1-x^2)+3x^3/(1-x ^3)+4x^4/(1-x-^4)+5x^5/(1-x2^5)+。。。
最后,欧拉将t的每个项展开为一个几何级数,得到A127093号多项式形式:t=
x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+。。。
+2x^2+2x^4+2x^6+2x^8+。。。
+3x^3+3x^6+。。。
+4x^4+4x^8+。。。
+5x^5+。。。
+6x^6+。。。
+7x^7+。。。
+8x^8+。。。
T(n,k)是单位的所有k次方根的总和,每个k次方根都是n次方-杰弗里·克雷策2016年1月2日
发件人戴维斯·史密斯2019年3月11日:(开始)
对于n>1,A020639号(n) 是此数组第n行中最左边的项,而不是0或1。如公式部分所述,第k列是周期k:重复[k,0,0,…,0],但这也意味着它是k乘以k T(n,1)的倍数的特征函数=A000012号(n) ,T(n,2)=2*A059841号(n) ,T(n,3)=3*A079978号(n) ,T(n,4)=4*A121262号(n) ,T(n,5)=5*A079998号(n) 等等。
第n行中的项(0除外)是n的因子。如果n>1,并且对于每k,1<=k<n,T(n,k)=0或1,则n是素数。(结束)
发件人加里·亚当森2019年8月7日:(开始)
三角形的行项可用于计算A002654号):(1,1,0,1,2,0,0,1,1,2…),和A004018号,在半径为sqrt(n)的圆上的正方形网格中的点数,A004018号:(1,4,4,0,4,8,0,0,4,…)。
对于三角形中的行项,设偶数项的E(n)=0,
E(形式为4*k-1=(-1)的整数,和E(形式是4*k+1=1的整数)。
那么E(n)是三角形行中n个因子的E(n。示例:E(10)=总和:(E(1)+E(2)+EA002654号(10).
得到A004018号,将结果乘以4,得到A004018号(10) = 8.
格点总数=4r^2=E(1)+(E(2))/2+(E。。。。因为E(偶数整数)为零,所以E(形式为(4*k-1)的整数)=(-1),E(形式的整数(4*k+1))=(+1);剩下的是4r^2=1-1/3+1/5-1/7+1/9-。。。,大约等于Pi(r^2)。(结束)
T(n,k)也是将n划分为k个相等部分的部分数-奥马尔·波尔2020年5月5日
参考文献
David Wells,“素数,数学中最神秘的数字”,John Wiley&Sons,2005年,附录。
L.Euler,“关于除数之和的最特殊数字定律的发现”;Robert M.Young第358-367页,“微积分中的旅行,连续与离散的相互作用”,MAA,1992年。见第366页。
链接
莱因哈德·祖姆凯勒(Reinhard Zumkeller),行n=三角形的1..100,展平
格兰特·桑德森,Pi隐藏在素数规律中
利昂哈德·尤勒,Découverte D'une loi吹嘘非凡的无名之辈,他们之间的关系相当融洽1747年,欧拉档案馆,(Eneström索引)E175。
利昂哈德·尤勒,分裂状态观察
埃里克·魏斯坦的数学世界,除数
配方奶粉
第k列由散布有(k-1)个零的“k”组成。
让M=A127093号作为无穷下三角矩阵,V=调和级数作为向量:[1/1,1/2,1/3,…]。则M*V=d(n),A000005美元: [1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, ...]. M^2*伏=A060640型: [1, 5, 7, 17, 11, 35, 15, 49, 34, 55, ...]. -加里·亚当森2007年5月10日
T(n,k)=(n-1)模k)-(n模k)+1(1<=k<=n)-Mats Granvik公司,2007年8月31日
T(n,k)=k*0^(n mod k)-莱因哈德·祖姆凯勒2011年1月15日
G.f.:Sum_{k>=1}k*x^k*y^k/(1-x^k)=Sum_{m>=1}x^m*y/(1-x^m*y)^2-罗伯特·伊斯雷尔2016年8月8日
例子
T(8,4)=4,因为4除以8。
T(9,3)=3,因为3除以9。
三角形的前几行:
1;
1, 2;
1, 0, 3;
1, 2, 0, 4;
1, 0, 0, 0, 5;
1, 2, 3, 0, 0, 6;
1, 0, 0, 0, 0, 0, 7;
1, 2, 0, 4, 0, 0, 0, 8;
1, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 9;
...
MAPLE公司
A127093号:=proc(n,k)如果类型(n/k,integer)=true,则k其他0结束:
对于从1到16的n,执行以下操作(A127093号(n,k),k=1…n)od;#以三角形形式生成序列-Emeric Deutsch公司2007年1月20日
数学
t[n_,k_]:=k*布尔[n,k]];表[t[n,k],{n,1,14},{k,1,n}]//展平(*Jean-François Alcover公司2014年1月17日*)
表[级数系数[k*x^k/(1-x^k),{x,0,n}],{n,1,14},{k,1,n}]//展平(*Jean-François Alcover公司2015年4月14日*)
黄体脂酮素
(Excel)mod(row()-1;column())-mod(row();列())+1-Mats Granvik公司,2007年8月31日
(哈斯克尔)
a127093 n k=a127093_低n!!(k-1)
a127093_row n=zipWith(*)[1..n]$map((0^)。(修改)[1..n]
a127093_tabl=映射a127093行[1..]
--莱因哈德·祖姆凯勒2011年1月15日
(PARI)三角行(n)=对于(x=1,n,对于(k=1,x,如果(x%k==0,print1(k,“,”),打印1(“0,”));打印(“”)
/*打印最初的9行三角形,如下所示:*/
三角形(9)\\费利克斯·弗罗利奇(Felix Fröhlich)2019年3月26日
交叉参考
反转=A127094号
囊性纤维变性。A000005美元,A060640型.
囊性纤维变性。A027750型.
囊性纤维变性。A000012号(第一列),A020639号,A059841号(第二列乘以2),A079978号(第三列乘以2),A079998号(第五列乘以5),A121262号(第四列乘以4)。
囊性纤维变性。A002654号,A004018号.
关键词
非n,容易的,
作者
加里·亚当森2007年1月5日,2007年4月4日
状态
已批准

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