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A001316号 |
| 古尔德序列:a(n)=Sum_{k=0..n}(二项式(n,k)mod 2);帕斯卡三角形第n行的奇数条目数(A007318号); a(n)=2^A000120号(n) ●●●●。 (原名M0297 N0109)
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195
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1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, 8, 16, 16, 32, 16, 32, 32, 64, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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也称为连衣裙序列。
这个序列可能更好地称为格雷舍序列,因为詹姆斯·格雷舍表明奇二项式系数以2计算^A000120号(n) 1899年-埃里克·罗兰2017年3月17日[然而,“古尔德序列”这个名字在文献中根深蒂固-N.J.A.斯隆,2017年3月17日][以美国数学家亨利·沃兹沃斯·古尔德(生于1928年)的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔,2021年6月19日]
所有条款均为2的权力。2^k的第一次出现是在n=2^k-1;例如,16的第一次出现是在n=15-罗伯特·威尔逊v2000年12月6日
中第n行三角形中的1数A070886号. -汉斯·哈弗曼2002年5月26日。等效地,一维细胞自动机第n代中的活细胞数,规则90,从单个活细胞开始-本·布兰曼,2009年2月28日。第18条同上-N.J.A.斯隆2014年8月9日。这也是OddRule 003定义的奇规则元胞自动机(参见Ekhad-Sloane-Zeilberger“方形网格上的奇规则细胞自动机”链接)-N.J.A.斯隆2015年2月25日
数字k的数量,0<=k<=n,例如(k OR n)=n(按位逻辑OR):a(n)=#{k:T(n,k)=n,0<=k<=n},其中T的定义如A080098型. -莱因哈德·祖姆凯勒2003年1月28日
要构造序列,请从1开始并使用规则:如果k>=0和a(0),a(1),。。。,a(2^k-1)是第一个2^k项,然后下一个2^k项是2*a(0),2*1,。。。,2*a(2^k-1)-贝诺伊特·克洛伊特2003年1月30日
此外,分子((2^k)/k!)。-Mohammed Bouayoun(Mohammed.Bouayoun(AT)sanef.com),2004年3月3日
帕斯卡三角形中的奇数项形成了Sierpiánski垫圈(分形)-阿玛纳斯·穆尔西2004年11月20日
态射“1”->“1,2”,“2”->“2,4”,“4”->“4,8”,…,的不动点。。。,“2^k”->“2^k,2^(k+1)”。。。从a(0)=1开始;1 -> 12 -> 1224 -> = 12242448 -> 122424482448488(16) -> ... . -菲利普·德尔汉姆2005年6月18日
a(n)=规则为90的一维细胞自动机第n阶段的1个数Andras Erszegi(Erszegi.Andras(AT)chello.hu),2006年4月1日
对于正n,a(n)等于完全由(1/2)组成的n×n矩阵的永久性分母-约翰·M·坎贝尔2011年5月26日
这是S(n)={1,2,4,8,16,…}(参见。A000079号). 序列{S(n),n>=0}的游程变换定义为由T(n)=Product_i S(i)给出的序列{T(n。所以T(19)=S(1)*S(2)。T(0)=1(空乘积)-N.J.A.斯隆2014年9月5日
序列的生产矩阵是lim_{k->infinity}M^k,即M的左移向量:
1, 0, 0, 0, 0, ...
2, 0, 0, 0, 0, ...
0, 1, 0, 0, 0, ...
0, 2, 0, 0, 0, ...
0, 0, 1, 0, 0, ...
0, 0, 2, 0, 0, ...
0,0,0,1,0。。。
...
结果相当于2003年4月6日的g.f:Product_{k>=0}(1+2*z^(2^k))。(结束)
长度为n的二元回文数,其中第一层(n/2)符号本身是回文(Ji和Wilf 2008)-杰弗里·沙利特2017年6月15日
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参考文献
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Arthur T.Benjamin和Jennifer J.Quinn,《真正重要的证据:组合证明的艺术》,M.A.A.,2003年,第75页及其后。
史蒂文·芬奇,《数学常数》,剑桥,2003年,第145-151页。
James W.L.Glaisher,关于素数模的二项式系数的残差,《纯粹与应用数学季刊》,第30卷(1899年),第150-156页。
H.W.Gould,指数二项式系数系列。技术代表4,数学。1961年9月,西弗吉尼亚州摩根敦市西佛吉尼亚大学系。
Olivier Martin、Andrew M.Odlyzko和Stephen Wolfram,细胞自动机的代数性质,通信数学。《物理学》,第93卷(1984年),第219-258页。转载于《细胞自动机的理论与应用》,S Wolfram,Ed.,World Scientific,1986年,第51-90页,以及《细胞自然主义与复杂性:Stephen Wolfram的论文集》,Addison-Wesley,1994年,第71-113页
Manfred R.Schroeder,《分形、混沌、幂律》,W.H.Freeman,纽约,1991年,第383页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
Andrew Wuensche,《探索离散动力学》,Luniver出版社,2011年。见图2.3。
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个错误:对于n>=2,(13)应为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
Jean-Paul Allouche和Jeffrey Shallit,k-正则序列的环,理论计算机科学。,第98卷(1992年),第163-197页。
Neil J.Calkin、Eunice Y.S.Chan、Robert M.Corless、David J.Jeffrey和Piers W.Lawrence,分形特征向量,arXiv:2104.01116[math.DS],2021。
Shalosh B.Ekhad、N.J.A.Sloane和Doron Zeilberger,方形网格上的奇数规则元胞自动机,arXiv:153.04249[math.CO],2015年。
Kathy Q.Ji和Herbert S.Wilf,极端回文阿默尔。数学。《月刊》,第115卷,第5期(2008年),第447-451页。
托马斯·皮桑斯基和托马斯·塔克,地图重复截断的增长,Atti Sem.Mat.Fis.公司。摩德纳大学,第49卷(2001年),补充,第167-176页。
Lukas Spiegelhofer和Michael Wallner,二项式系数的二次幂整除,arXiv:1710.10884[math.NT],2017年。
斯蒂芬·沃尔夫拉姆,细胞自动机的统计力学,修订版。物理。,第55卷(1983年),第601-644页。
斯蒂芬·沃尔夫拉姆,二项式系数的几何阿默尔。数学。《月刊》,第91卷,第9期(1984年11月),第566-571页。
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配方奶粉
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a(0)=1;对于n>0,写出n=2^i+j,其中0<=j<2^i;则a(n)=2*a(j)。
G.f.:乘积_{k>=0}(1+2*z^(2^k))-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月6日
a(n)=和{i=0..2*n}(二项式(2*n,i)模2)*(-1)^i-贝诺伊特·克洛伊特2003年11月16日
a(n)=2^n-2*和{k=0..n}层(二项式(n,k)/2)-保罗·巴里2004年12月24日
a(n)=乘积{k=0..log_2(n)}2^b(n,k),b(n、k)=n的二元展开式中2^k的系数-保罗·D·汉纳
a(n)=n/2+1/2+(1/2)*和{k=0..n}(-(-1)^二项式(n,k))-斯蒂芬·克劳利2007年3月21日
等于[1,2,0,0,0,1,0,0]充气的无限卷积(A000079号-1)倍,即[1,2,0,0,0,1,0,0,0,00,0]*[1,0,2,0,1,0,0,0]*[1,0,0.0,0,2,0,0-0,0]-Mats Granvik公司,加里·W·亚当森2009年10月2日
a(n)=f(n,1),其中f(x,y)=如果x=0,则y否则为f(地板(x/2),y*(1+xmod 2))-莱因哈德·祖姆凯勒2009年11月21日
a((2*n+1)*2^p-1)=(2^p)*a(n),p>=0-约翰内斯·梅耶尔,2011年6月5日
a(n)=lcm(n!,2^n)/n-丹尼尔·苏图2017年4月28日
a(0)=1,a(2*n)=a(n),a(2*n+1)=2*a(n)-丹妮尔·帕里斯2024年2月15日
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例子
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具有三角形的自然结构:
.1,
.2,
.2,4,
.2,4,4,8,
.2,4,4,8,4,8,8,16,
.2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,8,16,8,16,16,32,
.2,4,4,8,4,8,16,4,8,16,8,16,16,32,4,8,16,8,16,16,32,8,16,16,32,16,32,32,64,
....
此外,三角形开始于:
.1;
.2,2;
.4,2,4,4;
.8,2,4,4,8,4,8,8;
16,2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,8,16,8,16,16;
32,2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,8,16,8,16,16,32,4,8,8,16,8,16,16,32,8,16,16,32,16,32,32;
64,2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,8,16,8,16,16,32,4,8,8,16,8,16,16,32,8,16,16,32,16,32,...
(结束)
G.f.=1+2*x+2*x^2+4*x^3+2*x^4+4*x^5+4*x^6+8*x^7+2*x^8+。。。
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MAPLE公司
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A001316号:=进程(n)局部k;加法(二项式(n,k)mod 2,k=0..n);结束;
S: =[1];S: =[op(S),op(2*S)];#无限重复!
a:=n->2^加(i,i=转换(n,基数,2))#彼得·卢什尼2009年3月11日
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数学
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表[Sum[Mod[二项式[n,k],2],{k,0,n}],{n,0,100}]
嵌套[Join[#,2#]&,{1},7](*罗伯特·威尔逊v2006年1月24日,2014年7月27日修订*)
Map[Function[Apply[Plus,Flatten[#1]]],CellularAutomaton[90,{{1},0},100]](*生成ON单元的计数。N.J.A.斯隆,2009年8月10日*)
ArrayPlot[CellularAutomaton[90,{{1},0},20]](*前20代插图-N.J.A.斯隆2014年8月14日*)
表[2^(实际数字[n-1,2][[1]]//总计),{n,1,100}](*加布里埃尔·C·贝纳米2009年12月8日*)
计数[#,_?OddQ]&/@表[二项式[n,k],{n,0,90},{k,0,n}](*哈维·P·戴尔,2015年9月22日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n<0,0,分子(2^n/n!))};
(哈斯克尔)
导入数据。列表(转置)
a001316_list=1:zs,其中
zs=2:(concat$transporte[zs,map(*2)zs])
(鼠尾草、蟒蛇)
从functools导入缓存
@高速缓存
如果n<=1:返回n+1
(Python)
返回2**bin(n)[2:].count(“1”)#印地瑞尼Ghosh2017年2月6日
(方案)(定义(A001316号n) (let loop((n n)(z 1))(cond((零?n)z)((偶数?n)(loop(/n 2)z)))(else(loop)(/(-n 1)2)(*z 2))));;Antti Karttunen公司2017年5月29日
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交叉参考
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关于为(a,b)的以下值生成函数Product_{k>=0}(1+a*x^(b^k)),请参见:(1,2)A000012号和A000027号, (1,3)A039966号和A005836号, (1,4)A151666号和A000695号, (1,5)A151667号和A033042号, (2,2)A001316号,(2,3)A151668号, (2,4)A151669号, (2,5)A151670号, (3,2)A048883号, (3,3)17940年, (3,4)A151665号, (3,5)A151671号, (4,2)A102376号, (4,3)A151672号, (4,4)A151673号, (4,5)A151674号.
囊性纤维变性。A051638号,A048967号,A007318号,A094959号,A048896号,A117973号,A008977号,A139541号,A048883号,A102376号,A038573号,A159913号,A000079号,A166548号,A006047号,A089898美元,A105321号,A061142号.
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关键字
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非n,容易的,美好的,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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