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| A000041号 |
| a（n）是n的分区数（分区数）。
（原名M0663 N0244）
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3688
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1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604, 6842, 8349, 10143, 12310, 14883, 17977, 21637, 26015, 31185, 37338, 44583, 53174, 63261, 75175, 89134, 105558, 124754, 147273, 173525
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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b+2c+3d+4e+…=的非负解的个数n和2c+3d+4e+…的非负解数n.（名词）-亨利·博托姆利2001年4月17日
a（n）也是对称群S_n中共轭类的数目（以及S_n的不可约表示的数目）。
还有具有n+1个节点和最多2个高度的有根树的数量。
与李代数gl（n）中幂零共轭类的数目序列一致。A006950型,A015128号这个序列一起覆盖了经典李代数A、B、C、D系列中的幂零共轭类Alexander Elashvili，2003年9月8日
n个顶点上不包含P3作为诱导子图的图的数量-华盛顿·邦菲姆2005年5月10日
序列与对称群S_n的Molien级数展开一致，直到x^n.中的项-莫里斯·克雷格（towenaar（AT）optusnet.com.au），2006年10月30日
另外，x_1+x_2+x_3+…+的非负整数解的个数x_n=n，使得n>=x_1>=x_2>=x_3>=…>=x_n>=0，因为通过y_k=x_k-x_（k+1）>=0（其中0<k<n），我们得到y_1+2y_2+3y_3+…+2007年3月14日，（n-1）y_（n-1）+nx_n=n.-Werner Grundlingh（wgrundling（AT）gmail.com）
设P（z）：=Sum_{j>=0}b_jz^j，b_0！=那么1/P（z）=Sum_{j>=0}c_j z^j，其中cj必须从无限三角系b_0c_0=1，b_0c_1+b_1c_0=0计算（系数的柯西积设为零）。第n个分区数是c_n表达式分子中的项数：倒幂级数的系数c_n是一个分母中含有b_0^（n+1）的分数，分子中含有n个系数b_i的（n）乘积。分区可以从b_i的索引中读取。-Peter C.Heinig（算法（AT）gmx.de），2007年4月9日
a（n）是用n个台阶跑上楼梯的不同方式的数量，台阶大小为1、2、3。。。和r（r<=n），其中顺序并不重要，并且对所采取的每个步骤的数量或大小没有限制-穆罕默德·阿扎里安2008年5月21日
正整数序列p=p_1。。。p_k是正整数n的降序分区，如果p_1+…+p_k=n和p_1>=…>=p_k。如果正式需要，p_j=0被附加到p中，表示j>k。让p_n表示n>=1时这些分区的集合。然后a（n）=1+p_n}层中的总和{p（（p_1-1）/（p_2+1））。（参见。A000065号，其中公式减少为总和。）Kelleher和O'Sullivan（2009）的证明。例如a（6）=1+0+0+0+0+1+0+0+1+1+0+1+2+5=11-彼得·卢什尼2010年10月24日
设n=Sum（k_（p_m）p_m）=k_1+2k_2+5k_5+7k_7+。。。，其中pm是第m个广义五边形数(A001318号). 那么a（n）是（-1）^（k_5+k_7+k_22+…）（k_1+k_2+k_5+…）的所有五边形分区的和/（k_1！k_2！k_5！…），其中（-1）的指数是与均匀诱导GPN对应的所有k的总和-杰罗姆·马伦芬特2011年2月14日
a（n）值的矩阵
a（0）
a（1）a（0）
a（2）a（1）a（0）
a（3）a（2）a（1）a（0）
....
a（n）a（n-1）a（n-2）。。。a（0）
是矩阵的逆矩阵
1
-1 1
-1 -1 1
0 -1 -1 1
....
-d_n-d（n-1）-d（n-2）-d_1 1
其中dq=（-1）^（m+1），如果q=m（3m-1）/2=第m个广义五边形数(A001318号)，否则=0。（结束）
设k>0为整数，设i_1，i_2。。。，i_k是不同的整数，因此1<=i_1<i_2<…<i_k。那么，等价地，a（n）等于n=n+i_1+i_2+…+的分区数i_k，其中每个i_j（1<=j<=k）至少作为一个部分出现一次。要看到这一点，请注意这个类中N的分区必须与N的分区一一对应，因为N-i_1-i_2-…-i_k=编号-L.埃德森·杰弗里2011年4月16日
a（n）是具有n+2个节点的所有自由树上的不同度序列数。取整数n的一个分区，每个部分加1，并根据需要加上任意多的1，使总数为2n+2。现在我们有一个具有n+2个节点的树的度序列。示例：分区3+2+1=6对应于具有8个顶点的树的度序列{4，3，2，1，1，1，1}-杰弗里·克雷策2011年4月16日
a（n）也是对数（f（x））的n阶导数展开式中的项数。在Mathematica表示法中：表[Length[Together[f[x]^n*D[Log[f[x]]，{x，n}]]，}n，1，20}]-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年6月21日
猜想：没有a（n）的形式是x^m，m>1和x>1-孙志伟2013年12月2日
a（n）是n组成避免模式[1,2]的正部分的数量-鲍勃·塞尔科2014年7月8日
猜想：对于任意j，存在k使得所有素数p<=A000040型（j） 是一个或多个a（n）<=a（k）的因子。这一覆盖范围的增长缓慢且不规则。k=1067覆盖了前102个素数，因此比A000027号. -理查德·福伯格2014年12月8日
定义分段分区a（n，k，<s（1）。。s（j）>）是具有恰好k个部分的n的分区，其中s（j）个部分t（j）彼此相同并且不同于所有其他部分。注意，n>=k，j<=k，0<=s（j）<=k、s（1）t（1）+…+s（j）t（j）=n和s（1）+…+s（j）=k。然后有最多a（k）个n的分段分区，正好有k个部分-格雷戈里·西蒙2015年11月8日
（结束）
a（n，k，<s（1）。。。，s（j）>）具有阶j-1。
如果n=0 mod k，则a（n，k，<k>）=1，否则=0
a（rn，rk，<r*s（1）。。。，r*s（j）>）=a（n，k，<s（1）。。。，s（j）>）
a（n奇数，k，<所有s（j）偶数>）=0
已建立的结果可以根据分段分区进行重新计算：
对于j（j+1）/2<=n<（j+1”）（j+2）/2，A000009号（n） =a（n，1，<1>）+…+a（n，j，<j 1’s>），j<n
a（n，k，<j 1’s>）=a（n-j（j-1）/2，k）
（结束）
使用NIST Arb包计算a（10^20）。它有11140086260个数字，头和尾部分是18381765…88091448。请参阅Johansson 2015链接-斯坦尼斯拉夫·西科拉2016年2月1日
满足本福德定律[Anderson-Rolen-Stoehr，2011]-N.J.A.斯隆2017年2月8日
配分函数p（n）对于所有n>25的函数都是对数曲线[DeSalvo-Pak，2014]-米歇尔·马库斯2019年4月30日
a（n）也是系数为Z/2的无限实Grassmannian的第n个上同调的维数-卢克·斯特霍沃，2021年6月6日
等价地，从n个元素的集合X到其自身的幂等映射f的数目（即满足f o f=f）直到置换（即f ~ f’：<=>Sym（X）中有一个置换σ，使得f’oσ=σo f）-菲利普·图雷切克2023年4月17日
猜想：每个不同于6的整数n>2都可以写成形式为a（k）+2（k>0）的有限多个数的和，不需要求和除另一个数。对于n<=7140，已对此进行了验证-孙志伟，2023年5月16日
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参考文献
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链接
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配方奶粉
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G.f.：产品{k>0}1/（1-x^k）=和{k>=0}x^k产品{i=1..k}1/。
广义函数：1+Sum_{n>=1}x^n/（乘积_{k>=n}1-x^k）-乔格·阿恩特2011年1月29日
a（n）-a（n-1）-a0，其中和大于n-k，k是广义五边形数(A001318号)<=n，第k项的符号为（-1）^（[（k+1）/2]）。请参见A001318号为了更好地记住这一点！
a（n）=（1/n）*Sum_{k=0..n-1}西格玛（n-k）*a（k），其中西格玛（k）是k的除数之和(A000203号).
a（n）~1/（4*n*sqrt（3））*e^（Pi*sqert（2n/3））作为n->infinity（Hardy和Ramanujan）。请参见A050811号.
哈代和拉马努扬的上述近似值似乎可以细化为
a（n）~1/（4*n*sqrt（3））*e^（Pi*sqert（2n/3+c0+c1/n^（1/2）+c2/n+c3/n^，其中系数c0到c4约为
c0=-0.230420145062453320665537
c1=-0.0178416569128570889793
c2=0.0051329911273
c3=-0.0011129404
c4=0.0009573，
作为n->无穷大。（结束）
c0=-0.23042014065062453320665536704197233…=-1/36-2/Pi^2
c1=-0.017841656912857088979502135349949…=1/（6*sqrt（6）*Pi）-sqrt（3/2）/Pi^3
c2=0.005132991127342167594576391633559…=1/（2*Pi^4）
c3=-0.00112940489559760908236602843497…=3*sqrt（3/2）/（4*Pi^5）-5/（16*sqert（6）*Pi^3）
c4=0.00095734328480697929589686949196…=1/（576*Pi^2）-1/（24*Pi^4）+93/（80*Pi^6）
a（n）~exp（Pi*sqrt（2*n/3））/（4*sqert（3）*n）*（1-（平方（3/2）/Pi+Pi/（24*sqort（6）））/sqrt（n）+（1/16+Pi^2/6912）/n））。
a（n）~exp（Pi*sqrt（2*n/3）-（平方（3/2）/Pi+Pi/（24*sqert（6）））/sqrt（n）+（1/24-3/（4*Pi^2））/n）/（4*平方（3）*n）。
（结束）
a（n）<exp（2/3）^（1/2）Pi sqrt（n））（阿尤布，第197页）。
a（n）=Sum_{i=0..n-1}P（i，n-i），其中P（x，y）是x至多分为y部分的分区数，P（0，y）=1-乔恩·佩里2003年6月16日
G.f.：乘积_｛i>=1｝乘积_｛j>=0｝（1+x^（（2i-1）*2^j））^（j+1）-乔恩·佩里2004年6月6日
a（n）=n X n Toeplitz矩阵的行列式：
1 -1
1 1 -1
0 1 1 -1
0 0 1 1 -1
-1 0 0 1 1 -1
. . .
dn（n-1）d_（n-2）。。。1
其中dq=（-1）^（m+1）如果q=m（3m-1）/2=pm，则第m个广义五边形数(A001318号)，否则d_q=0。请注意，1沿着对角线运行，-1位于超对角线上。（n-1）行（未写入）将以…结尾。。。1 -1. （结束）
经验：设F*（x）=Sum_{n=0.无穷}p（n）*exp（-Pi*x*（n+1）），则F*（2/5）=1/sqrt（5），精度为13位。
F*（4/5）=1/2+3/2/sqrt（5）-sqrt（1/2*（1+3/sqrt）），精度为28位。当a/b从F60到60，Farey分数为60时，只有这些是a/b的值。F*（4/5）的数字是25*x^4-50*x^3-10*x^2-10*x+1的实根之一。注意这里的指数（n+1）与从0开始的n的标准表示法相比-西蒙·普劳夫2011年2月23日
常数（2^（7/8）*GAMMA（3/4））/（exp（Pi/6）*Pi^（1/4））=1.0000034873……当在基exp（4*Pi）中展开时，将给出a（n）的前52项，n>0，所需精度为300位小数-西蒙·普劳夫2011年3月2日
G.f.:A（x）=1+x/（G（0）-x）；G（k）=1+x-x^（k+1）-x*（1-x^；（连续分数欧拉类，1步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年1月25日
G.f.：1+x*（1-G（0））/（1-x），其中G（k）=1-1/（1-x^（k+1））/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月22日
G.f.：Q（0），其中Q（k）=1+x^（4*k+1）/（（x^）（2*k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年2月16日
G.f.：1/（x；x）_{inf}，其中（a；q）_k是q-Pochhammer符号-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月24日
a（n-1）=n}mu（k）所有分区中的k部分之和，其中mu（k）是算术Möbius函数（参见A008683号).
设P（2，n）表示将n划分为部分k>=2的一组分区。那么P（2，n）}μ（k）中所有分区中的a（n-2）=-求和{部分k。
n*（a（n）-a（n-1））=P（2，n）}k中所有分区的和{部分k（参见A138880型).
设P（3，n）表示n分成k>=3部分的划分集。然后
a（n-3）=（1/2）*Sum_{P（3，n）中所有分区中的部分k}phi（k），其中phi（k）是欧拉总函数（见A000010号). 利用这个结果和关于phi函数平均阶的Mertens定理，我们可以找到配分函数的一个近似三项递推：a（n）~a（n-1）+a（n-2）+（Pi^2/（3*n）-1）*a（n-3）。例如，将值a（47）=124754、a（48）=147273和a（49）=173525代入递推公式中，得出近似值a（50）~ 204252.48……，而实际值a（40）=204226。（结束）
偏移量为1的序列的生产矩阵为M，即以下形式的无限n x n矩阵：
a、 1、0、0、0,0。。。
b、 0，1，0，0。。。
c、 0、0、1、0、0。。。
d、 0,0,0,1,0。。。
.
.
……（a，b，c，d，…）是A080995号偏移量为1:（1,1,0,0，-1,0，-1，…）
a（n）是M^n的左上项。
这个运算等价于g.f.（1+x+2x^2+3x^3+5x^4+…）=1/（1-x-x^2+x^5+x^7-x^12-x^15+x^22+…）。（结束）
G.f.:x^（1/24）/eta（对数（x）/（2 Pi i））-托马斯·巴鲁切尔2016年1月9日之后迈克尔·索莫斯（以理查德·德德金（Richard Dedekind）的名字命名）。
a（n）=和{k=-inf.+inf}（-1）^ka（n-k（3k-1）/2），a（0）=1，a（负）=0。该和可以被限制在从k=（1-sqrt（1-24n））/6到（1+sqrt（1-24n））/6的（有限）范围内，因为该范围之外的所有项都是零-乔斯·库特2016年6月1日
G.f.：（猜想）（r（x）*r（x^2）*r其中r（x）是A000009号: (1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, ...). -加里·W·亚当森，2016年9月18日；多伦·齐尔伯格今天观察到，“这是根据欧拉公式1/（1-z）=（1+z）*（1+z^2）*（1+z^4）*（1-z^8）*……”加里·W·亚当森2016年9月20日
a（n）~2*Pi*BesselI（3/2，sqrt（24*n-1）*Pi/6）/（24*n-1）^（3/4）-瓦茨拉夫·科特索维奇2017年1月11日
G.f.：产品{k>=1}（1+x^k）/（1-x^（2*k））-伊利亚·古特科夫斯基2018年1月23日
a（n）=p（1，n），其中p（k，n）=p（k+1，n）+p-洛林·李2020年1月28日
求和{n>=0}a（n）/exp（Pi*n）=2^（3/8）*Gamma（3/4）/（Pi^（1/4）*exp（Pi/24））。
求和{n>=0}a（n）/exp（2*Pi*n）=2^（1/2）*Gamma（3/4）/（Pi^（1/4）*exp（Pi/12））。
[这些是phi（exp（-Pi））的倒数(A259148型)和φ（exp（-2*Pi））(A259149号)，其中phi（q）是Euler模函数。参见B.C.Berndt（RLN，第五卷，第326页），以及I.Mező，2013中的公式（13）和（14）-彼得·卢什尼2021年3月13日]
a（n）~exp（Pi*sqrt（2*n/3））/（4*n*sqort（3））*（1+Sum_{r>=1}w（r）/n^（r/2）），其中w（r（Pi/6）^（r-2*k）[Cormac O'Sullivan，2023年，第2-3页]-瓦茨拉夫·科特索维奇2023年3月15日
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例子
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a（5）=7，因为有7个5的分区，即：{1、1、1和1}、{2、1、1}，{2、2、1}、{3、1、10}、}、2,2}、-鲍勃·塞尔科2014年7月8日
G.f.=1+x+2*x^2+3*x^3+5*x^4+7*x^5+11*x^6+15*x^7+22*x^8+。。。
G.f.=1/q+q^23+2*q^47+3*q^71+5*q^95+7*q^119+11*q^143+15*q^167+。。。
n的分区中最多有a（4）=5个分段分区，正好有4个部分。它们是a（n，4，<4>）、a（n、4，<3,1>）、b（n，4,<2,2>）、c（n，4-，<2,1,1>）、d（n，4.，<1,1,1,1>）。
分区8、8、8和8在a（32,4，<4>）中计数。
分区9,9,9.5在a（32,4，<3,1>）中计数。
分区11,11,5,5在a（32,4，<2,2>）中计数。
分区13,13,5,1在a（32,4，<2,1,1>）中计数。
分区14,9,6,3在a（32,4，<1,1,1,1>）中计数。
a（n奇数，4，<2,2>）=0。
a（12,6，<2,2,2>）=a（6,3，<1,1,1>）=α（6-3,3）=α。孤立分区为3,3,2,2,1,1。
（结束）
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MAPLE公司
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规范：=[B，{B=集合（集合（Z，卡>=1））}，未标记]；
[seq（combstruct[count]（规范，大小=n），n=0..50）]；
with（combstruct）：ZL0:=[S，{S=集合（循环（Z，卡>0））}，未标记]：seq（计数（ZL0，大小=n），n=0..45）#零入侵拉霍斯2007年9月24日
G： ={P=Set（Set（Atom，card>0））}:combstruct[gfsolve]（G，labeled，x）；seq（combstruct[计数]（[P，G，未标记]，大小=i），i=0..45）#泽因瓦利·拉霍斯2007年12月16日
#使用函数EULER from Transforms（请参阅页面底部的链接）。
1，op（欧拉（[seq（1，n=1..49）]）#彼得·卢什尼2020年8月19日
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数学
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表[PartitionsP[n]，{n，0，45}]
a[n_]：=序列系数[q^（1/24）/DedekindEta[Log[q]/（2pi I）]，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*）
a[n_]：=系列系数[1/乘积[1-x^k，{k，n}]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*）
a[0]：=1；a[n]：=a[n]=块[{k=1，s=0，i=n-1}，而[i>=0，s=s-（-1）^k（a[i]+a[i-k]）；k=k+1；i=i-（3 k-2）]；s] ；地图[a，范围[0，49]](*奥利弗·塞佩尔，2024年6月1日，欧拉之后*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）a:=func<n|NumberOfPartitions（n）>；[0..10]]中的[a（n）:n；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（1/eta（x+x*O（x^n）），n））}；
（PARI）/*PARI中的Hardy-Ramanujan-Rademacher精确公式如下（由于它现在内置于numbert命令中，因此不再需要）：*/
Psi（n，q）=局部（a，b，c）；a=平方（2/3）*Pi/q；b=n-1/24；c=平方英尺（b）；（平方（q）/（2*sqrt（2）*b*Pi））*（a*cosh（a*c）-（sinh（a*c）/c））
L（n，q）=如果（q==1，1，sum（h=1，q-1，if（gcd（h，q）>1，0，cos（（g（h，q）-2*h*n）*Pi/q））
g（h，q）=如果（q<3，0，总和（k=1，q-1，k*（压裂（h*k/q）-1/2））
部分（n）=圆形（总和（q=1，最大值（5,0.5*sqrt（n）），L（n，q）*Psi（n，q））
（PARI）{a（n）=数字部分（n）}；
（PARI）｛a（n）=如果（n＜0，0，polcoeff（sum（k=1，sqrtint（n），x^k^2/prod（i=1，k，1-x^i，1+x*O（x^n））^2，1），n）｝；
（PARI）f（n）=我的（v，i，k，s，t）；v=矢量（n，k，0）；v[n]=2；t=0；而（v[1]<n，i=2；而（v[i]==0，i++）；v[i]-；s=总和（k=i，n，k*v[k]）；而（i>1，i--；s+=i*（v[i]=（n-s）\i））；t++）；t吨\\托马斯·巴鲁切尔2005年11月7日
（PARI）a（n）=如果（n<0，0，polceoff（exp（总和（k=1，n，x^k/（1-x^k）/k，x*O（x^n）），n））\\乔格·阿恩特2010年4月16日
（MuPAD）组合：：分区：：count（i）$i=0..54//零入侵拉霍斯2007年4月16日
（弧垂）[范围（46）内n的分区数（n）]#零入侵拉霍斯2009年5月24日
（圣人）
@缓存函数
如果n==0：返回1
S=0；J=n-1；k=2
而0≤J：
S=S+T，如果is_add（k//2），则为S-T
如果is_add（k）else为k//2，则J=k
k+=1
返回S
a=二进制递归序列（1,0）
b=欧拉变换（a）
打印（[b（n）表示范围（50）内的n）]#彼得·卢什尼2020年11月11日
（哈斯克尔）
导入数据。MemoCombinators（memo2，整数）
a000041 n=a000041_list！！n个
a000041_list=映射（p'1）[0..]其中
p'=memo2积分p
p _ 0=1
p k m=如果m<k，则0，否则p’k（m-k）+p’（k+1）m
（最大值）num_partitions（60，列表）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2014年2月24日*/
（GAP）列表（[1..10]，n->大小（OrbitsDomain（SymmetricGroup（IsPermGroup，n），SymmetricGroup（IsPermGroup，n），^））#阿提拉·埃格里·纳吉2014年8月15日
（Perl）使用理论“：all”；my@p=map{partitions（$_）}0..100；说“[@p]”#达娜·雅各布森2015年9月6日
（支架）
#朗球拍
; 总和（k，-inf，+inf）（-1）^k p（n-k（3k-1）/2）
; 对于k超出范围（1-（sqrt（1-24n））/6到（1+sqrt。
; 因此，下面的循环是有限的。散列避免重复相同的计算。
（定义（pn）；n个分区的数量。
（hash-ref h n
(λ ()
（定义r
(+
（让循环（（k1）（n（sub1n））（s0））
（如果（<n 0）s
（环路（增加1k）（-n（*3k）1）（如果（奇数？k）（+s（pn））（-s（pn
（让循环（（k-1）（n（-n2））（s 0））
（如果（<n 0）s
（环路（sub1k）（+n（*3k）-2）（如果（奇数？k）（+s（pn））（-s（pn
（哈希集！h n r）
r） ））
（定义h（make-hash'（（0.1）））
; （for（（k（in-range 0 50）））（printf“~s，”（pk））很快就会运行。
（Python）
从sympy.theory导入分区
打印（[范围（101）中i的分区（i）]）#因德拉尼尔·戈什2017年3月17日
A000041列表（len）=DedekindEta（len，-1）
A000041列表（50）|>打印#彼得·卢什尼2018年3月9日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000009号,A000079号,A000203号,A001318号,A008284年,A026820号,A065446号,A078506型,A113685号,A132311号,A000248号.
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关键词
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核心,容易的,非n,美好的
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作者
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扩展
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Ola Veshta的补充评论（olaveshta（AT）my deja.com），2001年2月28日
Dan Fux（Dan.Fux（AT）OpenGaia.com或danfux（AT）OpenGaia.com）的附加评论，2001年4月7日
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状态
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经核准的
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