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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A006218 a(n)=和{k=1..n}楼层(n/k);也可以是Sum{k=1..n}d(k),其中d=除数(A000005号),还有x*y=z的解的个数,其中1<=x,y,z<=n。
(原M2432)
200
0、1、3、5、8、10、14、16、20、23、27、29、35、37、41、45、50、52、58、60、66、70、74、76、84、87、91、95、101、103、111、113、119、123、127、131、140、142、146、150、158、160、168、170、176、182、186、188、198、201、207、211、217、219、227、231、239、243、247、249 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,3个

评论

“Dirichlet除数问题”是为了找到这个序列的精确渐近估计-见下面的公式行。

n+1是第二项或更高项的递增算术级数的数目。-Mambetov Timur,Takenov Nurdin,Haritonova Oksana(timus(AT)post.kg;oksanka-61(AT)mail.ru),2002年6月13日。E、 a(3)=5,因为有5个这样的算术级数:(1,2,3,4);(2,3,4);(1,4);(2,4);(3,4)。

二项式变换A001659号.

由n的重叠分区覆盖的面积,即n的分区的第k部分最大值之和为k部分。-乔恩·佩里2005年9月8日

等于反Mobius变换A116477号. -加里·W·亚当森2008年8月7日

素数部分和的子序列A000005号开始:a(2)=3,a(3)=5,a(9)=23,a(11)=29,a(13)=37,a(14)=41,a(28)=101,a(29)=103,a(31)=113,a(34)=127,a(35)=131,a(51)=211,a(54)=227,a(56)=239。-乔纳森·沃斯·波斯特2010年2月10日

基本上,请参见《时间》中的“计算”一节中的“计算”一节。-查理四世,2010年10月10日[Sladkey给出了另一个。-查理四世2017年10月2日]

Dirichlet逆运算从(偏移量1)1,-3,-5,1,-10,16,-16,1,2,33,-29,-6,-37,55,55,-1,-52,-5,-60。。。-R、 J.马萨2012年10月17日

逆Mobius变换产生A143356号. -R、 J.马萨2012年10月17日

与Dirichlet相比,一个改进的近似值是:a(n)=log(Gamma(n+1))+2n*Gamma。使用{n=k^2-k到k^2+(k-1)}的样本范围,新的误差项的平均值在<+-0.5到k=150之间,除了k的两个值。对于这样小的样本量,这些范围似乎给出了最接近于零的均值。不清楚样本均值在较大k值下仍<+-0.5,标准差为~(n*log(n))^(1/4)/2,n靠近样本范围中心。-理查德·R·福伯格2015年1月6日

当m>=0时,a(n)为偶数的n的值由4*m^2<=n<=4*m(m+1)给出。例如:对于m=1,n的值是4<=n<=8,其中a(4)到a(8)是偶数。-G、 C.格雷贝尔2015年9月30日

当n>0时,a(n)=计数(x | y),1<=y<=x<=n,即x和y的有序列表中的对数,其中y除x,直至n(包括n)-托拉斯拉什2017年1月31日

a(n)也是所有正整数<=n等分的总数。-奥马尔·E·波尔2017年5月29日

a(n)是杨格中秩n的元素集合的连接的秩,它是由包含它们的Ferrers图排序的所有整数分区的格。-杰弗里·克里特2018年7月11日

参考文献

K、 钱德拉塞卡兰,解析数论导论。斯普林格·韦拉格,1968年,第六章。

K、 钱德拉塞克哈兰,算术函数。斯普林格·韦拉格,1970年,第八章,第194-228页。斯普林格·维拉格,柏林。

P、 G.L.Dirichlet,沃克,第二卷,第49-66页。

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H、 蒙哥马利,解析数论与调和分析的接口十讲。数学。1996年,第56页。

N、 J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

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链接

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D、 安德里卡和E.J.Ionascu,关于[n]中系数多项式的个数,安。圣奥维迪乌斯-康斯坦塔大学(St.Univ.Ovidius Constanta),2013年出版。

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M、 N.赫胥黎,指数和与格点III,过程。伦敦数学。第87卷(2003年),第591-609页。

瓦茨拉夫·科特索维奇,图-渐近比率(1000000项)

理查德·斯莱德基,求除数和函数的逐次逼近算法,arXiv:1206.3369[math.NT],2012年。

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公式

a(n)=n*(对数(n)+2*伽马-1)+O(sqrt(n)),其中gamma是欧拉-马斯切罗尼数~0.57721。。。(参见A001620型),狄利克雷特,1849年。同样,a(n)=n*(对数(n)+2*伽马-1)+O(对数(n)*n^(1/3))。误差项的精确大小的确定是一个尚未解决的问题(所谓的Dirichlet除数问题)——见参考文献,特别是Huxley(2003)。

从Chandrasekharan得到了显式的界n log(n)+(2 gamma-1)n-4 sqrt(n)-1<=a(n)<=n log(n)+(2 gamma-1)n+4 sqrt(n)。-大卫·阿普盖特2008年10月14日

a(n)=2*(和{i=1..楼层(sqrt(n))}楼层(n/i))-楼层(sqrt(n))^2。-贝诺伊特·克罗伊特2002年5月12日

G、 f.:(1/(1-x))*和{k>=1}x^k/(1-x^k)。-贝诺伊特·克罗伊特2003年4月23日

对于n>0:A027750型(a(n-1)+k)=n的k除数,=k<=A000005号(n) 一。-莱因哈德·祖姆凯勒2006年5月10日

(不适用)=邮编:A161886(n) -n+1个=邮编:A161886(一)-A049820型(n) +2个=邮编:A161886(n-1)+A000005号(n) -n+2个=A006590号(n)+A000005号(n) -不=A006590号(n+1)-n-1=A006590号(n)+A000005号(n) -n表示n>=2。a(n)=a(n-1)+A000005号(n) 对于n>=1。-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年11月14日

D(n)=和{m>=2,r>=1}(r/m^(r+1))*和{j=1..m-1}*和{k=0。。m^(r+1)-1}exp{2*k*pii(p^n+(m-j)m^r)/m^(r+1)},其中p是某个固定素数。-A、 内维斯2010年10月4日

设E(n)=a(n)-n(对数n+2γ-1)。然后Berkane Bordell|s-Ramaré表明| E(n)|<=0.961 sqrt(n),| E(n)|<=0.397 sqrt(n),当x>9994时| E(n)|<=0.764n^(1/3)logn。-查理四世2012年7月2日

a(n)=和{k=1..floor(sqrt(n))}A005408号(楼层((n/k)-(k-1)))。-格雷戈里·R·布莱恩特2013年4月20日

s>2的Dirichlet g.f.:Sum{n>=1}a(n)/n^s=Sum{k>=1}(Zeta(s-1)-Sum{n=1..k-1}(HurwitzZeta(s,n/k)*n/k^s))/k-马茨格兰维克2017年9月24日

例子

a(3)=5,因为3+楼层(3/2)+1=3+1+1=5。或τ(1)+τ(2)+τ(3)=1+2+2=5。

a(4)=8,因为4+楼层(4/2)+楼层(4/3)+1=4+2+1+1=8。或者

τ(1)+τ(2)+τ(3)+τ(4)=1+2+2+3=8。

a(5)=10,因为5+楼层(5/2)+楼层(5/3)+楼层(5/4)+1=5+2+1+1+1=10。或τ(1)+τ(2)+τ(3)+τ(4)+τ(5)=1+2+2+3+2=10。

枫木

(含):A006218:=n->加(sigma[0](i),i=1..n);

数学

表[Sum[除数sigma[0,k],{k,n}],{n,70}]

FoldList[Plus,0,Table[DivisorSigma[0,x],{x,61}]]//Rest(*快多了*)

加入[{0},累加[除数sigma[0,范围[60]]](*哈维·P·戴尔,2016年1月6日*)

黄体脂酮素

(PARI)a(n)=和(k=1,n,n\k)

(PARI)a(n)=和(k=1,sqrtint(n),n\k)*2-sqrtint(n)^2\\查理四世2010年10月10日

(哈斯克尔)

a006218 n=总和$map(div n)[1..n]

--莱因哈德·祖姆凯勒2011年1月29日

(岩浆)[0]类别[&+[底板(n/k):k in[1..n]]:n in[1..60]]//马吕斯·A·伯提亚2019年8月25日

交叉引用

右边缘A056535号. 囊性纤维变性。A000005号,A001659号,A052511号,A143236号.

三角形行和A003988号,A010766号邮编:A143724.

A061017型是相反的。

看来部分和给出了A078567号. -N、 斯隆2008年11月24日

囊性纤维变性。A116477号,A051731号,A161700型,A004125号,A212120号.

上下文顺序:A051611号 A258028号 A005004号*A062839号 A253081号 A088940号

相邻序列:A006215 A006216号 A006217*A006219号 A006220型 A006221号

关键字

不,不,容易的,美好的

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年9月20日05:58。包含337264个序列。(运行在oeis4上。)