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来自问候语整数序列在线百科全书!)
A000122号 雅可比θ函数θ3(x)=和{m=-inf..inf}x^(m^2)(k^2=n的整数解的个数)的展开式。 1489
1、2、2、0、0、0、2、0、0、0、0、0、0、2、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0 0,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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评论

Ramanujanθ函数:f(q)(参见邮编:A121373),φ(q)(当前序列),psi(q)(A010054型),池(q)(A000700美元).

一维晶格Z的θ级数。

同样,本质上与一维格子A_1,A*Ώ1,D*\u 1的θ级数相同。

把n写成正方形的方法有很多种。

密切相关:θ4(x)=和{m=-inf..inf}(-x)^(m^2)。

14个原始eta乘积中的6个是D。Zagier在第30页“模块形式的1-2-3”-迈克尔·索莫斯2016年5月4日

参考文献

汤姆M。《数论中的模函数与狄里克莱级数》,第二版,斯普林格,1990,练习1,p。91

J。M。波文和P。B。鲍文,Pi和年度股东大会,威利,1987年,p。64

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J。H。康威和N。J。A。斯隆,“球面填料,格子和群”,斯普林格·韦拉格,p。102

N。J。精细,基本超几何级数和应用,阿默尔。数学。社会科学院,1988年;p。93,式(34.1);p。78,式(32.22)。

G。H。哈代和E。M。赖特,定理352,p。282

J。制革厂和J。伊利诺伊州莫尔克é门第é埃利普提克斯基金会,第2卷,高蒂埃别墅,巴黎,1902年;切尔西,纽约,1972年,见。27

E。T。惠塔克和G。N。《现代分析》,剑桥大学第4版,华生出版社,1963年。464

链接

T。D。不,n=0..10000时的n,a(n)表

史蒂文R。芬奇,数学常数II《数学百科全书及其应用》,剑桥大学出版社,剑桥,2018年。

M。D。赫施霍恩,J。A。卖方,划分为四个不同的非倍数的同余模3,第14.9.6条,《整数序列杂志》,第17卷(2014年)。

K。小野,S。罗宾斯和P。T。哇,关于整数作为三角数和的表示,Aequationes mathematicae,1995年8月,第50卷,第1-2期,第73-94页。

迈克尔·索莫斯,Ramanujan theta函数简介

埃里克·韦斯坦的数学世界,Ramanujanθ函数

埃里克·韦斯坦的数学世界,雅可比θ函数

公式

eta(q^2)^5/(eta(q)*eta(q^4))^2的展开式。

周期4序列的欧拉变换[2,-3,2,-1,…]。

G、 f.A(x)满足0=f(A(x),A(x^2),A(x^4)),其中f(u,v,w)=u^2-v^2+2*w*(w-u)-迈克尔·索莫斯2004年7月20日

G、 f.A(x)满足0=f(A(x),A(x^3),A(x^9)),其中f(u,v,w)=w^4-v^4+w*(u-w)^3-迈克尔·索莫斯2019年5月11日

G、 f.:和{m=-inf..inf}x^(m^2);

a(0)=1;对于n>0,a(n)=0,除非当a(n)=2时n是平方。

G、 f.:乘积{k>0}(1-x^(2*k))*(1+x^(2*k-1))^2。

G、 f.:s(2)^5/(s(1)^2*s(4)^2),其中s(k):=subs(q=q^k,eta(q)),其中eta(q)是Dedekind函数,cf。A010815型. [好吧]

Jacobi三元组产品标识指出,对于| x |<1,z!=0,乘积{n>0}{(1-x^(2n))(1+x^(2n-1)z)(1+x^(2n-1)/z)}=Sum{n=-inf..inf}x^(n^2)*z^n。设置z=1以得到θ3(x)。

对于n>0,a(n)=2*(楼层(sqrt(n))-楼层(sqrt(n-1)))-米凯尔·阿尔托宁2015年1月17日

G、 f.是满足f(-1/(4t))=2^(1/2)(t/i)^(1/2)f(t)的周期1傅里叶级数,其中q=exp(2pi-it)-迈克尔·索莫斯2016年5月5日

a(n)=A000132号(n) (模式4)-约翰M。坎贝尔2016年7月7日

a(n)=(2/n)*和{k=1..n}邮编:A186690(k) *a(n-k),a(0)=1-真山真一2017年5月27日

a(n)=2*A010052型(n) 如果n>0.a(3*n+1)=2*A089801号(n) 一。a(3*n+2)=0。a(4*n)=a(n)。a(4*n+2)=a(4*n+3)=0。a(8*n+1)=2*A010054型(n) 一-迈克尔·索莫斯2019年5月11日

迪里克莱特g.f.:2*zeta(2s)-1-弗朗索瓦·奥格2019年10月26日

例子

G、 f.=1+2*q+2*q^4+2*q^9+2*q^16+2*q^25+2*q^36+2*q^49+2*q^64+2*q^81+。。。

枫木

加(x^(m^2),m=-10..10):序列(系数(%,x,n),n=0..100);

#替代方案

A000122号:=过程(n)

    如果n=0,则

        1个;

    elif issqr(n)那么

        二;

    其他的

        0;

    结束if;

结束过程:

顺序(A000122号(n) ,n=0..100)#R。J。马萨2021年2月22日

数学

a[n_u]:=系列系数[EllipticTheta[3,0,q],{q,0,n}](*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*)

系数表[Sum[x^(m^2),{m,-(n=10),n}],x]

平方sr[1,范围[0,104]](*罗伯特G。威尔逊五世2014年7月16日*)

QP=QPochhammer;s=QP[q^2]^5/(QP[q]*QP[q^4])^2+O[q]^105;系数表(*让·弗兰ç奥伊斯·阿尔科弗2015年11月24日*)

(4 QPochhammer[q^2]/QPochhammer[-1,-q]^2+O[q]^101)[3]](*弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2016年9月16日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=我的(a);如果(n<0,0,A=x*O(x^n);波尔科夫(eta(x^2+A)^5/(eta(x+A)*eta(x^4+A))^2,n))}/*迈克尔·索莫斯2011年3月14日*/

(PARI){a(n)=平方(n)*2-(n==0)}/*迈克尔·索莫斯1999年6月17日*/

(岩浆)基(模数(γ0(4),1/2),100)[1]/*迈克尔·索莫斯2014年6月10日*/

(圣人)

Q=对角线正方形(ZZ,[1])

Q、 表示-编号-列表(105)#彼得·卢什尼2014年6月20日

(岩浆)L:=晶格(“A”,1);A<q>:=级数(L,20);A/*迈克尔·索莫斯2014年11月13日*/

(朱莉娅)

使用Nemo

函数JacobiTheta3(len,r)

    R、 x=多项式环(ZZ,“x”)

    e=θu qexp(r,len,x)

    [0:len-1]结束时j的fmpz(coeff(e,j))

A000122列表(长度)=雅可比表3(长度,1)

A000122列表(105)|>打印#彼得·卢什尼2018年3月12日

交叉引用

第1列邮编:A286815. -真山真一2017年5月27日

第d行=第1行A122141.

囊性纤维变性。A002448号(θ4)。部分和给出A001650型.

囊性纤维变性。A010052型,A010054型,A089801号.

囊性纤维变性。A000007号,A004015型,A004016号,A008444号,A008445号,A008446号,A008447号,A008448号,A008449号(θ系列格A_0,A_3,A_2,A_4,…)。

上下文顺序:A093492号 邮编:A139380 邮编:A128771*A002448号 A033759号 A033755号

相邻序列:  A000119号 A000120型 A000121号*A000123号 A000124号 A000125号

关键字

,容易的,美好的

作者

N。J。A。斯隆

状态

经核准的

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上次修改日期:2021年6月22日04:06。包含345367个序列(在oeis4上运行。)