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(问候来自整数序列在线百科全书!)
甲268411 n的二进制表示中1的运行次数的奇偶性。 15
1、1、1、1、1、1、1、0、1、1、1、1、1、0、0、0、0、1、0、0、0、0、1、1、1、1、0、0、0、0、1、0、1、0、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、1、0、1、1、1、1、0、0、0、1、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0 1,0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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设A_k表示前2^k项;然后A_1={0,1},对于k>=1,A{k+1}=A_kbаk,其中B_k是通过对前2^(k-1)0和1进行补足而获得的,其余项不变。例如,A_2=0111,B_2=1011,A_3=A_2B_2=0111011。

n的“平衡二进制”表示是从n的二进制表示中获得的,方法是将每2^j替换为2^(j+1)-2^j并附加一个词尾“-1”。

例如,3=2+1=(4-2)+(2-1)=4-1={1,0,-1}}b,所以1,0,-1是平衡数系统中的数字。

同样7=4+2+1=(8-4)+(4-2)+(2-1)=8-1=(1,0,0,-1)b。

“平衡二进制”系统的性质:

a) 第一位数字是1;

b) 数字和总是0;

c) 删除0,得到每n个1,-1的交替序列;

d) 每n>=0的表示是唯一的;

e) 1的数量(或相同数量的(-1)”等于二进制中1的块数。

这个序列列出了n的平衡二进制表示中1个数的奇偶校验。

弗拉基米谢韦列夫2017年5月18日(开始)

定理。序列是无五次的,即不包含格式为XXXXX的子序列。

有关证明,请参见[Shevelev]link,第8节。

等项重复分布定理。

1) 从16*k+1,k>=0的每个位置开始连续的4个相等项(最大数)。

2) 从16*k+9或满足a(2*k+1)=a(2*k+2)的形式8*k+6的每个位置开始,正好有3个连续的相等项。

3) 从满足条件a(2*k+1)=1-a(2*k+2)的形式8*k+6的每个位置开始,正好有2个连续的相等项。

4) 如果k+8+2+k的形式为1*2,则为奇数(如果k+2+8的形式为1*2)。

证据。我们使用下面在[Shevelev]链接中证明的公式。

1) 设n=2*m,m偶数。则a(4*n+1)=1-a(n)=1-a(m);a(4*n+2)=a(2*n+1)=a(4*m+1)=1-a(m);a(4*n+3)=a(2*n+1)=1-a(m);a(4*n+4)=a(n+1)=1-a(m)。而a(4*n)=a(n)=a(m)和a(4*n+5)=1-a(n+1)=1-a(2*m+1)=a(m)。因此在这个例子中,我们有4个连续的相等项。

在这种情况下,m=2*k,n=4*k和4*n+1=16*k+1。

2a)设n=2*m,m奇数。则a(4*n+1)=1-a(n)=1-a(m);a(4*n+2)=a(2*n+1)=a(4*m+1)=1-a(m);a(4*n+3)=a(2*n+1)=1-a(m),而a(4*n+4)=a(n+1)=a(2*m+1)=a(m),a(4*n)=a(n)=a(m)。在这个例子中,我们有三个连续的相等项。

这里m=2*k+1,n=4*k+2和4*n+1=16*k+9。

2b)设n为奇数,a(n)=a(n+1)。则a(4*n+2)=a(2*n+1)=a(n);a(4*n+3)=a(2*n+1)=a(n);a(4*n+4)=a(n+1)=a(n)。但是a(4*n+5)=1-a(n+1)=1-a(n)和a(4*n+1)=1-a(n)。这里我们有三个连续的相等项。

这里n=2*k+1,4*n+2=8*k+6,使得a(2*k+1)=a(2*k+2)。

3) 设n为奇数,但a(n)=1-a(n+1)。则a(4*n+2)=a(2*n+1)=a(n);a(4*n+3)=a(2*n+1)=a(n);而a(4*n+4)=a(n+1)=1-a(n)。这里有两个连续的相等项。

这里n=2*k+1,所以4*n+2=8*k+6,这样a(2*k+1)=1-a(2*k+2)。

(注意,如果n如2b所示),则a(4*n+3)=a(2*n+1)=a(n)=a(4*n+2),则情况简化为2b)。类似地,如果n如3)中所示,则a(4*n+3)=a(4*n+2),则情况减少为3)

4a)设n为奇数。则a(4*n+1)=1-a(n);a(4*n+2)=a(2*n+1)=a(n)和a(4*n)=a(n)。这里有一个孤立的0或1在4*n+1的位置。这里n=2*k+1,然后4*n+1=8*k+5。

4b)设n为偶数,a(n)=a(n+1)。则a(4*n+4)=a(n+1),而a(4*n+5)=1-a(n+1)和a(4*n+3)=a(2*n+1)=1-a(n+1)。这里有一个孤立的0或1在4*n+4的位置。

这里n=2*k和4*n+4=8*k+4,使得a(2*k)=a(2*k+1),当且仅当k为奇数时成立。

(设n为偶数,a(n)与a(n+1)不同。则a(4*n+4)=a(n+1),而a(4*n+5)=1-a(n+1),但a(4*n+3)=a(2*n+1)=1-a(n)=a(n+1),a(4n+2)=a(n+1),a(4*n+1)=1-a(n)=a(n+1),即情况减少到1b)。

4c)设n为奇数,a(n)=1-a(n+1)。则a(4*n+4)=a(n+1)=1-a(n),而a(4*n+5)=1-a(n+1)=a(n)和a(4*n+3)=a(2*n+1)=a(n)。在这个例子中,我们有一个孤立的位置。

这里n=2*k+1,然后4*n+4=8*k+8,这样a(2*k+1)=1-a(2*k+2)

QED(结束)

考虑常数R=0.011101110…_2,它是由连接项{a(n)}获得的,并解释为二进制实数R.定理。R是超越数。可以在[shevelev]link第9节找到证据。-弗拉基米尔·谢韦列夫2017年5月24日

链接

Peter J.C.Moses(术语0..999)和Antti Karttunen,n=0..1024的n,a(n)表

弗拉基米尔·谢韦列夫,Thue-Morse序列的两个类似物,arXiv:1603.04434[math.NT],2016年。

与n的二进制展开有关的序列的索引项

特征函数的索引项

公式

a(0)=0,a(2*n)=a(n);对于奇数n,a(2*n+1)=a(n);对于偶数n,a(2*n+1)=1-a(n)或a(4*n)=a(n),a(4*n+1)=1-a(n),a(4*n+2)=a(4*n+3)=a(2*n+1);

对于0<=n<=2^(k-1)-1,a(n+2^k)=1-a(n);

a(n+2^k)=a(n)表示2^(k-1)<=n<=2^k-1。

a(n)=A000035号(A069010号(n) )。-安蒂·卡尔图宁2016年2月5日,在作者给出另一种解释后。

a(n)=A092248(A005940号(1+n))。-安蒂·卡尔图宁2017年5月30日

例子

在二元平衡系统中,我们有如下表示:

1={1,-1}

2={1,-1,0}

3={1,0,-1}

{1,0}

5={1,-1,1,-1}

6={1,0,-1,0}

7={1,0,0,-1}

8={1,-1,0,0,0}

9={1,-1,0,1,-1}

10={1,-1,1,-1,0}

数学

平衡二进制:=Join[#,{0}]-Join[{0},#]&[IntegerDigits[#,2]]&;

Map[Mod[Count[balancedBinary[#],1],2]&,范围[0,100]]

(*或使用公式*)

a[0]=0;

a[n_x]:=a[n]=如果[EvenQ[n],a[n/2],如果[OddQ[(n-1)/2],a[(n-1)/2],1-a[(n-1)/2]];

地图[a,范围[0,100]](*彼得·J·C·摩西2016年2月4日*)

黄体脂酮素

(方案)(定义(甲268411n)(A000035号(A069010号n) );;安蒂·卡尔图宁2016年2月5日

(PARI)a(n)=((1+(hammingweight(bitxor(n,n>>1)))>>1)%2\\查尔斯R格雷特豪斯四世2016年5月9日

蟒蛇

从sympy导入prime,primefactors,log,floor

def a092248(n):如果n==1,则返回0;否则返回1*(len(primefactors(n))%2==1)

def A(n):返回n-2**int(floor(log(n,2)))

(n+2)返回(n.n+2)

def a(n):返回a092248(b(n))#印度教2017年6月1日

蟒蛇

def a(n):返回sum(1 for d in bin(n)[2:].split('0')if len(d))%2#印度教2017年6月1日,之后柴华武

交叉引用

囊性纤维变性。A000035号,A010060型,A069010号,A092248.

囊性纤维变性。邮编:A268382(部分金额)。

囊性纤维变性。甲268412(零的位置),A268415(指一个)。

上下文顺序:A324828 A053867型 A189727号*A069513号 A092248 A106743号

相邻序列:甲268408 A268409号 A268410号*甲268412 甲268413 甲268414

关键字

,基础

作者

弗拉基米尔·谢韦列夫2016年2月4日

扩展

更多条款来自彼得·J·C·摩西2016年2月4日

编辑N、 斯隆2016年2月7日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年7月13日22:21。包含571336个序列。(运行在oeis4上。)