关于函数离散傅里叶变换的一个问题

Question

让$\sigma（n）=\sum_｛d|n｝d$和$\tau（n）=$的除数n美元$.

对于每个$k，0\le k\le n-1$我们可以看到数字的离散傅里叶变换美元\西格玛（\gcd（n，k））$给出人：

$$\hat{\sigma}（k）=\sum_{l=0}^{n-1}\sigma（\gcd（n，l））\exp\left（\frac{-2\piikl}{n}\right）$$

我在SAGEMATH中实现了这一点，我突然想到：

猜想:$$\hat{\sigma}（k）=n\tau（\gcd（n，k））$$

有什么办法证明这一点吗？

以下是一些实现此功能的sage代码：

定义τ（n）：返回len（除数（n））定义FTS（n，k）：#傅里叶变换von sigma（gcd（n，k））返回和（[sigma（gcd（n，l））*exp（-2*pi*I/n*k*l）for l in range（n）]）N=8个对于范围（N）中的k：打印k，abs（FTS（N，k））。N（），N*τ（gcd（N，k））

它给出了：

0 32.0000000000000 321 8.00000000000000 82 16.0000000000000 163 8.00000000000000 84 24.0000000000000 245亿8千万6 16.0000000000000 167 8.00000000000000 8

编辑:从上面的推测可以看出，通过设置$k=0$:$$\tau（n）=\frac{1}{n}\sum_{l=0}^{n-1}\sigma（\gcd（n，l））$$我有证据。通过进行傅里叶逆变换，并再次设置$k=0$我们得到：$$\sigma（n）=\sum_{l=0}^{n-1}\tau（\gcd（n，l））$$

Answer 1

$$\hat{\sigma}（k）=\sum{l=1}^n\sigma（gcd（l，n））e^{-2i\pi-lk/n}=\sum_{d|n}\sum{1=1，gcd（1，n）=d}^n\sigma（d）e^_2i\pi-lk/n}$$ $$=sum_{d|n}\σ（d）\sum_{m=1，gcd（m，n）=1}^{n/d}e^{-2i\pi-mk/（n/d$$这是一个Dirichlet卷积$4$算术函数和$1$和$\亩$取消对方获得

$$=\sum_{r|n}r\sum_{m=1}^{n/r}e^{-2i\pi-mk/（n/r）}=\sum_{r|n}r\压裂{n}{r}1_{\压裂{n{r}k}=n\tau（gcd（n，k））$$