显示找到的49个结果中的1-10个。
1, 2, 7, 4, 21, 6, 43, 8, 73, 10, 111, 12, 157, 14, 211, 16, 273, 18, 343, 20, 421, 22, 507, 24, 601, 26, 703, 28, 813, 30, 931, 32, 1057, 34, 1191, 36, 1333, 38, 1483, 40, 1641, 42, 1807, 44, 1981, 46, 2163, 48, 2353, 50, 2551, 52, 2757, 54, 2971, 56, 3193
评论
等于Connell序列的Row2三角形和A001614号作为三角形。Row2(n)三角形和由Row2(n)=和((-1)^(n+k)*T(n,k),k=1..n)定义,请参见A180662号.
配方奶粉
a(2*n)=2*n和a(2*1)=4*n^2-6*n+3
G.f.:x*(1+2*x+4*x^2-2*x^3+3*x^4)/(1-x^2)^3
MAPLE公司
A190716号:=n->系数(级数(x*(1+2*x+4*x^2-2*x^3+3*x^4)/(1-x^2)^3,x,n+1),x,n):序列(A190716号(n) ,n=1..49);
长椭圆形(或短圆形、短圆形或短圆形)数字:a(n)=n*(n+1)。 (原名M1581 N0616)
+10 785
0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 702, 756, 812, 870, 930, 992, 1056, 1122, 1190, 1260, 1332, 1406, 1482, 1560, 1640, 1722, 1806, 1892, 1980, 2070, 2162, 2256, 2352, 2450, 2550
评论
根据韦伯斯特第二版,正确的单词是“promic”-R.K.盖伊
a(n)是根晶格a_n中的最小向量数(见Conway和Sloane,第109页)。
设M_n表示n×n矩阵M_n(i,j)=(i+j);那么M_n的特征多项式是x^(n-2)*(x^2-a(n)*x-A002415号(n) )-贝诺伊特·克洛伊特2002年11月9日
对于j<k<=n,对于n>1,所有对(j,k)的最大LCM-罗伯特·威尔逊v2004年6月19日
第一个差异是a(n+1)-a(n)=2*n+2=2,4,6。。。(而平方的第一个差是(n+1)^2-n^2=2*n+1=1,3,5,…)-亚历山大·瓦恩伯格2005年12月29日
快速(心理)乘法/因式分解技术——Lekraj Beedassy评论的推广:对于所有基b>=2和正整数n,c,d,k,c+d=b^k,我们有(n*b^k+c)*(n*b ^k+d)=A(n)*b^(2*k)+c*d。因此乘积的最后2*k个基-b数字正好是c*d的数字,包括前导0(s)根据需要--前面的以b为基数的数字与a(n)的数字相同。示例:十进制中,113*117=13221(n=11,b=10=3+7,k=1,3*7=21,a(11)=132);在八进制中,61×67=5207(52是八进制中的a(6))。特别是,对于偶数b=2*m(m>0)和c=d=m,这样的乘积就是这种类型的平方。小数因式分解:5609立即被视为71*79。同样,120099=301*399(此处k=2)和99990000001996=9999002*999999 8(k=3)-里克·L·谢泼德2021年7月24日
迭代平方根sqrt序列(N+sqrt(N+…))对于N=1,2。。。限制(1+sqrt(1+4*N))/2。对于N=a(N),该极限为N+1,N=1,2。。。。对于所有其他数字N,N>=1,此极限不是自然数。示例:n=1,a(1)=2:sqrt(2+sqrt…))=1+1=2;n=2,a(2)=6:sqrt(6+sqrt,6+…))=1+2=3-沃尔夫迪特·朗2006年5月5日
可被上限(sqrt(m))整除的非方形整数m,m=0除外-马克斯·阿列克塞耶夫2006年11月27日
(n+1)X(n+1”)矩阵的非对角元素数-阿图尔·贾辛斯基2007年1月11日
a(n)等于函数f:{1,2}->{1,2,…,n+1}的个数,因此对于{1,2]中的固定x和{1,2中,…,n+1}中的一个固定y,我们有f(x)<>y.-Aleksandar M.Janjic和米兰Janjic2007年3月13日
数字m>=0,使fract(sqrt(m+1))>1/2,fract(mqrt(m))<1/2,其中fract(x)是分数部分(fract(x)=x-floor(x),x>=0)-Hieronymus Fischer公司2007年8月6日
方程4*X^3+X^2=Y^2的解的X值。要查找Y值:b(n)=n(n+1)(2n+1)-穆罕默德·布哈米达2007年11月6日
如果Y是n个集合X的2个子集,那么对于n>=2,a(n-2)是X的2个子集和3个子集的数量,它们正好有一个元素与Y相同-米兰Janjic2007年12月28日
a(n)与Redheffer矩阵中均匀宽度抛物线的顶点重合,指向零。整数p是素数当且仅当对于所有整数k,当y=p时,抛物线y=kx-x^2不具有1<x<k的整数解;a(n)对应奇数k-莱库·库隆2008年11月30日
超几何函数3F2的某些值的第三个差值导致长方形数的平方,即3F2([1,n+1,n+1],[n+2,n+2],z=1)-3*3F2([1,n+2,n+2],[n+3,n+3],z=1)+3*3F2([1,n+3,n+3],[n+4,n+4],z=1)-3F2([1,n+4,n+4],[n+5,n+5],z=1)=(对于n=-1,1/(((n+2)*(n+3))^2, 0, 1, 2, ... . 另请参见A162990型. -约翰内斯·梅耶尔2009年7月21日
对于n>1,a(n)是函数f:{1,2}->{1,…,n+2}的个数,其中f(1)>1,f(2)>2。注意,f(1)有n+1个可能值,f(2)有n个可能值。例如,a(3)=12,因为有12个函数f从{1,2}到{1,2,3,4,5},其中f(1)>1和f(2)>2-丹尼斯·沃尔什2011年12月24日
a(n)给出了包含两个1的对称(0,1)-矩阵(n+1)X(n+1)的个数(参见[Cameron])-L.埃德森·杰弗里2012年2月18日
a(n)是[n+2]x[n+2]中带有|x-y|>1的有序对(x,y)的数量-丹尼斯·沃尔什2012年11月27日
a(n)是从{1,2}到{1,2,…,n+1}的内射函数数-丹尼斯·沃尔什2012年11月27日
a(n)是2n+2的分区部分的正差之和,正好分成两部分(参见示例)-韦斯利·伊万·赫特2013年6月2日
a(n)/a(n-1)对e^(2/n)是渐近的-理查德·福伯格2013年6月22日
D_{n+1}型根系中的正根数(对于n>2)-汤姆·埃德加2013年11月5日
A_n型根系统中的根数(对于n>0)-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于m>=1,a(m)是唯一的正整数值t,对于该正整数值,b(0)=0且b(1)=1的递归b(n)=b(n-1)+t*b(n-2)的Binet-de-Moivre公式具有平方根。证明(根据建议沃尔夫迪特·朗(2014年3月26日):如果4t+1=(2m+1)^2,即t=a(m),m>=1,则出现在特征方程的零点r1和r2中的sqrt(1+4t)是正整数t的(正)整数。因此,特征根是整数:r1=m+1和r2=-m。
设m>1是一个整数。如果b(n)=b(n-1)+a(m)*b(n-2),n>=2,b(0)=0,b(1)=1,那么lim_{n->oo}b(n+1)/b(n)=m+1。(结束)
囊性纤维变性。A130534型对于与着色森林的关系,旗杆上旗帜的配置,以及完整图(这里简称K_2)顶点的着色(色多项式)-汤姆·科普兰2014年4月5日
整数k的集合,其中k+sqrt(k+sqrt(k+sqrt(k+sqrt(k+…))。。。是一个整数-莱斯利·科勒2014年4月11日
a(n-1)是最大的数字k,使得(n*k)/(n+k)是整数-德里克·奥尔2014年5月22日
将domino和singleton放置在长度为n-2的条带上的方法的数量-拉尔夫·斯蒂芬2014年6月9日
对于n>1,n值a(1)到a(n)的调和平均值为n+1。累加调和平均数为整数的递增正整数的最小无限序列-伊恩·达夫2015年2月1日
a(n)是在(n+2)X(n+2)棋盘上,一种颜色的皇后可以共存而不攻击对手颜色的一个皇后的最大数量。单独的皇后可以放在木板周边的任何位置-鲍勃·塞尔科2015年2月7日
当a(0)=1时,a(n-1)是序列中最小的正数,使得和{i=1..n}1/a(i-1)的分母等于n-德里克·奥尔2015年6月17日
这个序列的正成员是所谓的1-幸福夫妇产品的适当子序列A007969号参见W.Lang链接,等式(4),Y_0=1,末尾有一个表格-沃尔夫迪特·朗2015年9月19日
对于n>0,a(n)是区间[0,1]中x的上边界为y=x^(n-1),下边界为y=x^n的面积的倒数。对所有这些面积求和直观地演示了下面的公式,即求和{n>=1}1/a(n)=1-里克·L·谢泼德2015年10月26日
看起来,除了a(0)=0之外,这是一组正整数n,因此x*floor(x)=n没有解。(例如,要得到3,取x=-3/2。)-梅尔文·佩拉尔塔2016年4月14日
如果两个独立的实随机变量x和y按照相同的指数分布进行分布:pdf(x)=lambda*exp(-lambda*x),lambda>0,则n-1<=x/y<n的概率由1/a(n)给出-安德烈斯·西库廷2016年12月3日
a(n)等于n对不同的连续奇数之间所有可能的差异之和(参见示例)-米奎尔·塞尔达2016年12月4日
a(n+1)是平面上多项式系数高达n阶的向量场空间的维数-马丁·利希特2016年12月4日
此外,(n+3)-三角形蜂窝状锐角骑士图中的3个圈数-埃里克·W·韦斯坦2017年7月27日
由偶数组成的弗洛伊德三角形的左边缘:0;2, 4; 6, 8, 10; 12, 14, 16, 18; 20, 22, 24, 26, 28; ... 给出0、2、6、12、20。。。右边缘生成A028552号. -Waldemar Puszkarz公司2018年2月2日
a(n+1)是偏序集上的行运动顺序,通过将唯一的最小(或最大)元素与至少两个n个元素链的不相交并邻接而获得-尼克·迈尔斯,2018年6月1日
对于n>0,1/a(n)=n/(n+1)-(n-1)/n。
例如,1/6=2/3-1/2;1/12 = 3/4 - 2/3.
由此推论:
服用1/2粒。
第二天,服用1/6粒。1/2+1/6=2/3,所以你的日平均值是1/3。
第二天,服用1/12粒。2/3+1/12=3/4,所以你的日平均值是1/4。
依此类推。(结束)
对于一个长方形数m>=6,存在一个欧几里德除法m=d*q+r,其中q<r<d按此顺序以公共整数比b进行几何级数。对于b>=2和q>=1,欧几里得除法为m=qb*(qb+1)=qb^2*q+qb,其中(q,qb,qb^2)是几何级数。
具有不同比率和商的一些示例:
6 | 4 30 | 25 42 | 18
----- ----- -----
2 | 1 , 5 | 1 , 6 | 2 ,
以及:
42 | 12 420 | 100
----- -----
6 | 3 , 20 | 4 .
一些长圆形数也满足欧几里得除法m=d*q+r,q<r<d,它们按几何级数排列,但具有共同的非整数比b>1(参见A335064型). (结束)
对于n>=1,sqrt(a(n))的连续分数展开为[n;{2,2n}]。对于n=1,它折叠为[1;{2}]-朱棣文(Magus K.Chu),2022年9月9日
a(n-2)是所有n个顶点树的最大不规则度。极值图是恒星。(图形的不规则性是图形所有边上度数差的总和。)-艾伦·比克2023年5月29日
a(n-1)是具有n个顶点的所有树的最大萨格勒布指数。极值图是恒星。(图的萨格勒布指数是图的所有顶点上的度的平方和。)-艾伦·比克2024年4月11日
对于n>=1,a(n)是2*n+1顶点上循环图距离矩阵的行列式(如果循环长度是偶数,则行列式为零)-米克尔·A·菲尔2024年8月20日
参考文献
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链接
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R.Tijdeman,丢番图逼近的一些应用《数论调查》(Urbana,2000年5月21日)第261-284页,M.A.Bennett等人编辑,Peters,2003年。
Wolfram研究公司,超几何函数3F2,Wolfram Functions网站。
配方奶粉
总尺寸:2*x/(1-x)^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。
a(n)=a(n-1)+2*n,a(0)=0。
和{n>=1}a(n)=n*(n+1)*(n+2)/3(比较。A007290号,部分总和)。
和{n>=1}1/a(n)=1。(参考蒂德曼)
和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=log(4)-1=A016627号-1[乔利方程(235)]。
1=1/2+和{n>=1}1/(2*a(n))=1/2+1/4+1/12+1/24+1/40+1/60+。。。部分和:1/2、3/4、5/6、7/8、9/10、11/12、13/14-加里·亚当森2003年6月16日
a(n)*a(n+1)=a(n*(n+2));例如,a(3)*a(4)=12*20=240=a(3*5)-查理·马里恩,2003年12月29日
和{k=1..n}1/a(k)=n/(n+1)-罗伯特·威尔逊v2005年2月4日
对数2=和{n>=0}1/a(2n+1)=1/2+1/12+1/30+1/56+1/90+…=(1 - 1/2) + (1/3 - 1/4) + (1/5 - 1/6) + (1/7 - 1/8) + ... = 和{n>=0}(-1)^n/(n+1)=A002162号. -加里·亚当森2003年6月22日
(2,6,12,20,30,…)=(2,4,2)的二项式变换-加里·亚当森2007年11月28日
a(n-1)=楼层(n^5/(n^3+n^2+1))-加里·德特利夫斯2010年2月11日
对于n>0,a(n)=1/(积分{x=0..Pi/2}2*(sin(x))^(2*n-1)*(cos(x),^3)-弗朗西斯科·达迪2011年8月2日
求和{n>=1}1/(a(n))^(2s)=求和{t=1..2*s}二项式(4*s-t-1,2*s-1)*((1+(-1)^t)*zeta(t)-1)。参见Arxiv:1301.6293-R.J.马塔尔2013年2月3日
当n>0时,a(n)^2+a(n+1)^2=2*a(n+1^2)-伊万·伊纳基耶夫2013年4月8日
a(n)=楼层(n^2*e^(1/n))和a(n-1)=楼层-理查德·福伯格2013年6月22日
[0,2,2,0,0,0,…]的二项式变换-阿洛伊斯·海因茨2015年3月10日
对于n>0,a(n)=1/(Integral_{x=0..1}(x^(n-1)-x^n)dx)-里克·L·谢泼德2015年10月26日
对于n>0,a(n)=lim_{m->oo}(1/m)*1/(Sum_{i=m*n..m*(n+1)}1/i^2),误差为~1/m-理查德·福伯格,2016年7月27日
Dirichlet g.f.:zeta(s-2)+zeta(s-1)。
和{n>=0}a(n)/n!=3*经验(1)。(结束)
a(n)*a(n+2k-1)+(n+k)^2=((2n+1)*k+n^2)^2。
a(n)*a(n+2k)+k^2=((2n+1)*k+a(n))^2。(结束)
产品{n>=1}(1+1/a(n))=cosh(sqrt(3)*Pi/2)/Pi-阿米拉姆·埃尔达尔2021年1月20日
2003年12月29日公式A(n)*A(n+1)=A(n*(n+2))的推广如下。a(n)*a(n+k)=a(n*(n+k+1))+(k-1)*n*(n+k+1)-查理·马里恩2023年1月2日
例子
a(3)=12,因为2(3)+2=8有4个分区,正好有两部分:(7,1),(6,2),(5,3),(4,4)。将每个分区中各部分的正差异相加,得到:6+4+2+0=12-韦斯利·伊万·赫特2013年6月2日
G.f.=2*x+6*x^2+12*x^3+20*x^4+30*x^5+42*x^6+56*x^7+-迈克尔·索莫斯2014年5月22日
a(1)=2,因为45-43=2;
a(2)=6,因为47-45=2和47-43=4,那么2+4=6;
a(3)=12,因为49-47=2,49-45=4,49-43=6,然后2+4+6=12。(结束)
数学
表[n(n+1),{n,0,50}](*罗伯特·威尔逊v2004年6月19日*)
长方形Q[n_]:=整数Q@Sqrt[4 n+1];选择[范围[0,2600],长方形Q](*罗伯特·威尔逊v2011年9月29日*)
2累计[范围[0,50]](*哈维·P·戴尔2011年11月11日*)
线性递归[{3,-3,1},{2,6,12},{0,20}](*埃里克·W·韦斯坦2017年7月27日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=n*(n+1)};
(PARI)concat(0,Vec(2*x/(1-x)^3+O(x^100))\\阿尔图·阿尔坎2015年10月26日
(PARI)是(n)=我的(m=平方(n));m*(m+1)==n\\查尔斯·格里特豪斯四世2018年11月1日
(哈斯克尔)
a002378 n=n*(n+1)
a002378_list=zipWith(*)[0..][1..]
(岩浆)[0..100]]中的[n*(n+1):n//韦斯利·伊万·赫特2015年10月26日
(标量)(2到100乘2).scanLeft(0)(_+_)//阿隆索·德尔·阿特2019年9月12日
(Python)
定义a(n):返回n*(n+1)
打印([a(n)代表范围(51)中的n])#迈克尔·布拉尼基2022年1月13日
交叉参考
囊性纤维变性。A035106型,A087811号,119462年,127235英镑,A049598号,A124080型,A033996号,A028896号,A046092号,A000217号,A005563号,A046092号,A001082号,A059300型,A059297号,A059298美元,A166373号,A002943号(二等分),A002939号(二等分),A078358号(补充)。
中心多边形数:a(n)=n^2-n+1。 (原名M2638 N1049)
+10 348
1, 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73, 91, 111, 133, 157, 183, 211, 241, 273, 307, 343, 381, 421, 463, 507, 553, 601, 651, 703, 757, 813, 871, 931, 993, 1057, 1123, 1191, 1261, 1333, 1407, 1483, 1561, 1641, 1723, 1807, 1893, 1981, 2071, 2163, 2257, 2353, 2451, 2551, 2653
评论
这些是霍格本的中心多边形数字,由符号表示
...2....
。。。
…2.无。。
(P带有三个附件)。
同时也是n×n可逆{0,1}矩阵可以具有的最大1个数。(见哈尔莫斯的证明)-费利克斯·戈德伯格(felixg(AT)tx.technion.ac.il),2001年7月7日
当n>=1时,由n个相交圆形成的内部区域的最大数量-阿玛纳斯·穆尔西2001年7月7日
这些项是n个连续奇数中最小的一个,其和为n^3:1,3+5=8=2^3,7+9+11=27=3^3等-阿玛纳斯·穆尔西2001年5月19日
(n*a(n+1)+1)/(n^2+1)是形式(n*k+1)/-贝诺伊特·克洛伊特,2002年5月2日
对于n>=3,a(n)也是n阶车轮图W(n)中的循环数-Sharon Sela(sharonsela(AT)hotmail.com),2002年5月17日
设b(k)定义如下:b(1)=1,b(k+1)>b(k;则对于n>0,b(n)=a(n)-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月23日
删除前三个术语。那么n*a(n)+1=(n+1)^3。例如,7*1+1=8=2^3,13*2+1=27=3^3,21*3+1=64=4^3,等等-阿玛纳斯·穆尔西2002年10月20日
第一项为1,公差为n的算术级数的第n项:a(1)=1->1,2,3,4,5。。。;a(2)=3->1,3。。。;a(3)=7->1、4、7。。。;a(4)=13->1,5,9,13-阿玛纳斯·穆尔西2004年3月25日
完全图K_{n+1}(n>=1)的任意两个不同顶点之间长度为3的游动次数。示例:a(2)=3,因为在完整的图ABC中,在a和B之间有以下长度为3的游程:ABAB、ACAB和ABCB-Emeric Deutsch公司2004年4月1日
[1,2,0,0,…]=[1,3,7,13,21,…]的Narayana变换。设M=的无限下三角矩阵A001263号并且设V=向量[1,2,0,0,0,…]。然后A002061号启动(1、3、7…)=M*V-加里·亚当森2006年4月25日
序列3、7、13、21、31、43、57、73、91、111。。。是重复应用映射n->n+2*n的平方余时3的轨迹,cf。A094765号.
也是n^3 mod(n^2+1)-扎克·塞多夫2006年8月31日
忽略第一个,这些是具有整数尺寸的矩形平行六面体,具有整数内部对角线。使用毕达哥拉斯:sqrt(a^2+b^2+c^2)=d,一个整数;那么这个序列:sqrt(n^2+(n+1)^2+(n(n+1))^2)=2T_n+1是第一个也是最简单的例子。问题:是否存在不满足以下一般公式的整数对角线?sqrt((k*n)^2+(k*(n+(2*m+1))^2+(k*(n*(n+(2*m+1))+4*T_m))^2)=k*d,其中m>=0,k>=1,T是一个三角形数-马可·马托西奇2006年11月10日
a(n)为素数的数字n列在A055494号质数a(n)列在A002383号。所有术语都是奇数。a(n)的基本因子列于A007645号.3除a(3*k-1),7除a(7*k-4)和a),13^2除以a(13^2*k+23)和a(13|2*k-22),13|3除以a(13 ^3*k+1037)和a(13^3*k-1036)-亚历山大·阿达姆楚克,2007年1月25日
2n X 2n螺旋的主对角线上的数字(已排序)。例如,当n=2时:
.
7---8---9--10
| |
6 1---2 11
| | |
5---4---3 12
|
16--15--14--13
.
a(n)=AlexanderPolynomial[n]定义为Det[Transpose[S]-n S],其中S是Seifert矩阵{{-1,1},{0,-1}}-阿图尔·贾辛斯基2008年3月31日
起始(1,3,7,13,21,…)=[1,2,2,0,0,0]的二项式变换;例如:a(4)=13=(1,3,3,1)点(1,2,2,0)=(1+6+6+0)-加里·亚当森2008年5月10日
a(n)也是扇形图F(n)的维纳指数。扇形图F(n)被定义为通过将n节点路径图的每个节点与附加节点连接而获得的图。连通图的维纳指数是图中所有无序顶点对之间距离的总和。图F(n)的维纳多项式是(1/2)t[(n-1)(n-2)t+2(2n-1)]。示例:a(2)=3,因为相应的扇形图是3个节点(三角形)上的循环,距离为1、1和1。
(结束)
对于序列的所有元素k=n^2-n+1,sqrt(4*(k-1)+1)是一个整数,因为4*(k-1)+1=(2*n-1)^2是一个完美的正方形。构建此序列与A000225号,k还可以是k=2^x-1的形式,这只适用于k=1、3、7、31和8191。[证明:仍然4*(k-1)+1=2^(x+2)-7必须是一个完美的正方形,它具有由A060728号:x=1、2、3、5或13。]换句话说,序列A038198美元定义此序列中形式2^x-1的所有元素。例如k=31=6*6-6+1;平方((31-1)*4+1)=平方(121)=11=A038198号(4). -Alzhekeyev阿斯卡尔M2011年6月1日
Sum_{n>0}arccot(a(n))=π/2-弗兰兹·弗拉贝克2012年12月2日
如果你画一个三角形,它的一边是单位长度,一边是长度n,中间有Pi/3弧度的角,那么三角形第三条边的长度就是a(n)的平方根-Elliott线2013年1月24日
设p(x)n-1次插值多项式通过n个点(n,n)和(1,1),(2,1)。。。,(n-1,1)。则p(n+1)=a(n)-乔瓦尼·雷斯塔2014年2月9日
对于n>1:a(n)是[n+1]X[n+1]棋盘上可以共存而不相互攻击的最大皇后总数。具体来说,这将是一个单独的单色女王,放置在棋盘周边的任何位置,面对对手的a(n)-1大小的“军队”==A002378号(n-1)-鲍勃·塞尔科2015年2月7日
对于n>=1,a(n+1)是n阶有限射影平面的点数和线数(参见Hughes和Piper,1973年,定理3.5,第79-80页)。对于n=3,a(4)=13,请参阅维基百科链接第2.3节中的“有限示例”,了解点线矩阵-沃尔夫迪特·朗2015年11月20日
Feynman三角形问题推广解的分母。如果三角形的每个顶点都沿对边与点(1/p)相连(例如顺时针测量),则由这些直线形成的内部三角形的面积等于(p-2)^2/(p^2-p+1)乘以原始三角形的面积,p>2。例如,当p=3时,面积比为1/7。面积比的分子由下式给出A000290型偏移量为2。【库克和伍德,2004年。】-乔·马拉斯科2017年2月20日
n^2边长为1 X 1 X 1的等边三角形瓷砖可以放在一起形成n X n X n三角形。对于n>=2,a(n-1)是包含的不同2 X 2 X 2三角形的数量-海因里希·路德维希2017年3月13日
对于n>=0,连分式[n,n+1,n+2]=(n^3+3n^2+4n+2)/(n^2+3n+3)=A034262号(n+1)/a(n+2)=n+(n+2)/a(n+2);例如,[2,3,4]=A034262号(3) /a(4)=30/13=2+4/13-里克·L·谢泼德2017年4月6日
从b(1)=1开始,不允许数字0,设b(n)=序列中尚未出现的最小非负整数,使得b(n-1)的最后一个数字加上b(n。。。,9.这定义了9个有限序列,每个序列的长度等于a(k),k=1。。。,9.(参见A289283型-A289287号对于k=5..9)对于k=10,序列是无限的(A289288型). 例如,对于k=4,b(n)=1,3,11,31,32,2,21,33,12,22,23,13,14。这些术语可以按以下大小k*(k-1)+1的数组排序:
1 2 3
21 22 23
31 32 33
11 12 13 14
.
序列以术语1k结束,该术语位于矩形数组外,并给出术语+1(参见链接)-恩里克·纳瓦雷特2017年7月2日
当您将自然数写入奇数大小为2*n+1的组(以大小为1的组{2}开始)时,中心多边形数是分隔符(在下面的括号中):(1)2(3)4,5,6(7)8,9,10,11,12(13)14,15,16,17,18,19,20(21)22,23,24,25,26,27,28,29,30(31)32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42(43)-恩里克·纳瓦雷特2017年7月11日
由于(n+1)^2-(n+1”)+1=n^2+n+1,那么从7开始,这些数字也正是在所有基数中用111表示的数字:111(2)=7,111(3)=13-罗恩·诺特2017年11月14日
二进制2X(n-1)矩阵的数量,使得每行和每列最多有一个1-德米特里·卡梅内茨基2018年1月20日
观察到主教访问的广场在螺旋编号的木板上移动,从第二任期开始,每走一步都会移动到最低的未访问广场(参见。A316667型). 应该注意的是,主教只会沿着螺旋线的第一条对角线走到正方形-本杰明·奈特2019年1月30日
C(7,3,2),{1,2,4}
C(13,4,2),{0,1,3,9}
C(21,5,2),{3,6,7,12,14}
C(31,6,2),{1,5,11,24,25,27}
C(43,7,2),存在未解决
C(57,8,2),{0,1,6,15,22,26,45,55}
接下来的未解决案例是C(111,11,2)和C(157,13,2)。(结束)
“在我们仔细研究的范围内,仅当n的形式为n=k(k+1)+1,k=3,4,5,6,7,即n=13,21,31,43和57时,最优填料基本上是不规则的。”(引自Lubachevsky,Graham link,Introduction)-雷纳尔·罗森塔尔,2020年5月27日
对于n>=1,a(n)是方程x^2-[x^2]=(x-[x])^2的区间1<=x<=n中的解数x,其中[x]=楼层(x)。对于n=3,区间[1,3]中的a(3)=7解是1,3/2,2,9/4,5/2,11/4和3。
这个序列是1984年第20届英国数学奥林匹克运动会上提出的第四个问题的答案(见链接B.M.O 1984)。和Gardiner参考)。(结束)
以英国动物学家、统计学家和作家兰斯洛特·托马斯·霍格本(1895-1975)的名字命名为“霍格本数字”-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月24日
具有n+1个顶点(n>0)的2-退化图的最小维纳指数。通过在两个现有顶点附近迭代添加一个新的2叶(2次顶点),可以从一个2团构造一个最大的2退化图。极值图是直径最大为2的最大2-退化图-艾伦·比克2022年10月14日
a(n)是避免模式123、213和312的大小为n的停车功能的数量-劳拉·普德威尔2023年4月10日
以k=2开始的a(k)的重复迭代产生Sylvester序列,即。,A000058号(n) =a^n(2),其中a^n是a(k)的第n次迭代-柯蒂斯·贝克特尔2024年4月4日
参考文献
《阿基米德问题驱动》,尤里卡,22(1959),15。
Steve Dinh,《奥林匹克数学难题及其解决方案》,作者之家,2011年,2007年英国数学奥林匹克第一题,第160页。
安东尼·加德纳(Anthony Gardiner),《数学奥林匹克手册:问题解决导论》,牛津大学出版社,1997年,2011年再版,第4题,第64和173页(1984年)。
Paul R.Halmos,《线性代数问题书》,MAA,1995年,第75-6、242-4页。
Ross Honsberger,《数学创新》,兰登书屋,1970年,第87页。
丹尼尔·休斯(Daniel R.Hughes)和弗雷德里克·查尔斯·派珀(Frederick Charles Piper),《投影平面》(Projective Planes),施普林格出版社,1973年。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
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链接
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克拉克·金伯利(Clark Kimberling)和约翰·布朗(John E.Brown),部分补体和转座色散,J.整数序列。,第7卷(2004年),第04.1.6条。
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Boris D.Lubachevsky和Ronald L.Graham,包围全等非重叠圆的最小周长矩形《离散数学》,第309卷,第8期(2009年4月28日),第1947-1962页。
西蒙·普劳夫,盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》,1992年;arXiv:0911.4975[math.NT],2009年。
Bruce E.Sagan、Yeong-Nan Yeh和Ping Zhang,图的维纳多项式,国际。量子化学杂志。,第60卷(1996年),第959-969页。
史蒂文·温特劳布(Steven H.Weintraub),一个有趣的递归阿默尔。数学。《月刊》,第111卷,第6期(2004年),第528-530页。
配方奶粉
通用名称:(1-2*x+3*x^2)/(1-x)^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a(n)=-(n-5)*a(n-1)+(n-2)*a。
a(n)=Phi_6(n)=Phi_3(n-1),其中Phi_k是第k个分圆多项式。
x*(1+x^2)/(1-x)^3是0、1、3、7、13…的g.f。。。
a(n)=2*C(n,2)+C(n-1,0)。
例如:(1+x^2)*exp(x)。(结束)
a(n)=天花板(n-1/2)^2)-贝诺伊特·克洛伊特,2003年4月16日。[因此,术语大约位于连续正方形的中间,因此(除了1)不是正方形-N.J.A.斯隆2005年11月1日]
a(n)=1+和{j=0..n-1}(2*j).-Xavier Acloque,2003年10月8日
a(n)=M^(n-1)*[1 1 1]中最左边的项,其中M=3X3矩阵[1 1 1/0 1 2/0 0 1]。例如,由于M^5*[1 1 1]=[31 11 1],a(6)=31-加里·亚当森2004年11月11日
a(n+1)=n^2+n+1。a(n+1)*a(n)=(n^6-1)/(n^2-1)=n^4+n^2+1=a(n^2+1)(此序列中两个连续数字的乘积属于此序列)。(a(n+1)+a(n))/2=n^2+1。(a(n+1)-a(n))/2=n.a((a(n+1)+a(n-亚历山大·阿达姆楚克,2006年4月13日
a(n+1)是((n+1)!+的分子(n-1)!)/不-阿图尔·贾辛斯基2007年1月9日
a(n)=Det[Transpose[{{-1,1},{0,-1}}]-n{-1,10},},0,1}}]-阿图尔·贾辛斯基2008年3月31日
a(n)=3*a(n-1)-3*a(n-2)+a(n-3),n>=3-杰姆·奥利弗·拉丰2008年12月2日
a(n)=(n-1)^2+(n-1-杰森·金伯利,2011年10月18日
G.f.:1/(1-x/(1-2*x/(1+x/(1-2*x/))))-迈克尔·索莫斯2014年4月3日
求和{n>=0}1/a(n)=1+Pi*tanh(Pi*sqrt(3)/2)/sqrt(三)=2.79814728056269018-瓦茨拉夫·科特索维奇,2016年4月10日
和{n=1..M}反正切(1/a(n))=反正切(M)-李·纽伯格,2024年5月8日
产品{n>=1}(1+1/a(n))=cosh(sqrt(7)*Pi/2)*sech(sqrt(3)*Pi/2。
产品{n>=2}(1-1/a(n))=Pi*sech(sqrt(3)*Pi/2)。(结束)
对于n>1,sqrt(a(n)+sqrtn.(名词)-迭戈·拉塔吉2021年4月17日
a(n)=(1+(n-1)^4+n^4)/(1+-伯纳德·肖特2021年12月27日
例子
G.f.=1+x+3*x^2+7*x^3+13*x^4+21*x^5+31*x ^6+43*x^7+。。。
数学
文件夹列表[#1+#2&,1,2范围[0,50]](*罗伯特·威尔逊v2011年2月2日*)
线性递归[{3,-3,1},{1,1,3},60](*哈维·P·戴尔,2011年5月25日*)
系数列表[级数[(1-2x+3x^2)/(1-x)^3,{x,0,52}],x](*罗伯特·威尔逊v2018年2月18日*)
分圆[6,范围[0,100]](*保罗·沙萨2024年2月9日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=n^2-n+1
(Maxima)标记列表(n^2-n+1,n,0,55)/*马丁·埃特尔2012年10月16日*/
(哈斯克尔)
(岩浆)[0..50]]中的[n^2-n+1:n//韦斯利·伊万·赫特2014年6月12日
(GAP)列表([0..50],n->n^2-*n+1)#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年5月27日
交叉参考
囊性纤维变性。A000037号,A000124号,A000217号,A001263号,A001844号,A002383号,A004273号,A005408号,A005563号,A007645号,A014206号,A051890号,A055494号,A091776号,A132014号,A132382号,A135668型,A137928号,A139250型,A256188型,A028387号.
奇数平方:a(n)=(2n+1)^2。同样居中的八角数字。
+10 293
1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, 625, 729, 841, 961, 1089, 1225, 1369, 1521, 1681, 1849, 2025, 2209, 2401, 2601, 2809, 3025, 3249, 3481, 3721, 3969, 4225, 4489, 4761, 5041, 5329, 5625, 5929, 6241, 6561, 6889, 7225, 7569, 7921, 8281, 8649, 9025
评论
褐鼠繁殖很快。从三个月大的时候开始,它可以一年生7次其他老鼠。幼崽的平均数量是8只。现在的序列给出了老鼠的总数,时间间隔为一年中的12/7,幼鼠在一年中24/7开始生育后代-汉斯·伊斯达尔2008年1月26日
如果Y是(2n+1)-集X的固定2-子集,则a(n-1)是与Y相交的X的3-子集的数目-米兰Janjic2007年10月21日
[1,8,8,0,0,0,…]的二项式变换;Narayana变换(A001263号)共[1,8,0,0,0,…]个-加里·亚当森2007年12月29日
顺序是从1开始,在方向1、25。。。以及从9开始的直线,在9、49、……方向。。。,在顶点为正方形的正方形螺旋中A000290型. -奥马尔·波尔2008年5月24日
在Pi-3的非简单连续分数展开中作为分子出现:Pi-3=K_{K>=1}(1-2*K)^2/6=1/(6+9/(6+25/(6+49/(6+…))),另请参阅中的注释A007509号. -亚历山大·波沃洛茨基2011年10月12日
所有术语都以1、5或9结尾。模100,所有项都在{1、9、21、25、29、41、49、61、69、81、89}之间-M.F.哈斯勒2012年3月19日
对于n>1,a(n)是由点((n-2)*(n-1),(n-1-J.M.贝戈2014年5月27日
Z^2的对数(x,y),即max(abs(x),abs(y))<=n-米歇尔·马库斯2014年11月28日
除a(1)=4外,基于5细胞von Neumann邻域,“规则737”定义的二维细胞自动机第n个生长阶段的活动(ON,黑色)细胞数-罗伯特·普莱斯2016年5月23日
a(n)是2n+1个连续数字的和,其中第一个数字是n+1-伊万·伊纳基耶夫,2016年12月21日
a(n)是所有元素都在{0..n}中且行列式=2*永久的2X2矩阵的数目-因德拉尼尔·戈什2016年12月25日
a(n)是最小奇数k=x+y,其中0<x<y,因此存在n个不同的对(x,y),其中x*y/k是整数;例如,a(2)=25,对应的两对是(5,20)和(10,15)。与“偶数”类似的序列是A016742美元(见2018年1月26日的评论)-伯纳德·肖特2023年2月24日
参考文献
L.Lorentzen和H.Waadeland,《续分数及其应用》,北荷兰,1992年,第586页。
链接
杰里米亚·巴茨、布鲁斯·迪尔登和乔尔·利亚姆斯,间隙平衡数的类别,arXiv:1810.07895[math.NT],2018年。
配方奶粉
外径:(1+6*x+x^2)/(1-x)^3-R.J.马塔尔2008年1月11日
a(n)=4*n*(n+1)+1=4*n^2+4*n+1-阿图尔·贾辛斯基2008年3月27日
a(n)=a(n-1)+8*n,n>0,a(0)=1-文森佐·利班迪2010年8月1日
a(n+1)=a(n)+4+4*sqrt(a(n))。
a(n-1)=a(n)+4-4平方米。
a(n+1)=2*a(n)-a(n-1)+8。
a(n+1)=3*a(n)-3*a(n-1)+a(n-2)。
(a(n+1)-a(n-1))/8=sqrt(a(n))。
a(n+1)*a(n-1)=(a(n)-4)^2。
极限{n->oo}a(n)/a(n-1)=1。(结束)
a(n)=二项(2*n+2,2)+二项(2*n+1,2)-约翰·莫洛卡赫,2013年7月12日
和{n>=0}a(n)/n!=13*e。
和{n>=0}(-1)^(n+1)*a(n)/n!=3/e.(结束)
产品{n>=0}(1+1/a(n))=cosh(Pi/2)。
求和{k=1..n+1}1/(k*a(k)*a(k-1))=1/(9-3/(17-60/(33-315/(57-…-n^2*(4*n^2-1)/((2*n+1)^2+2*2^2))))。
3/2-2*log(2)=和{k>=1}1/(k*a(k)*a(k-1))=1/(9-3/(17-60/(33-315/(57-…-n^2*(4*n^2-1)/((2*n+1)^2+2*2^2-…))))。
8*a(n)=(2*n+1)*(a(n+1)-a(n-1))。
求和{n>=0}(-1)^n/(a(n)*a(n+1))=1/2-Pi/8=1/(9+(1*3)/(8+(3*5)/(8+…+(4*n^2-1)/(8%…))))。对于连续分数,使用Lorentzen和Waadeland,第586页,方程4.7.9,n=1。囊性纤维变性。A057813号.(结束)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a016754 n=a016754_列表!!n个
a016754_list=扫描(+)1$tail a008590_list
(岩浆)[1..100 x 2]中的n^2:n//文森佐·利班迪2017年1月3日
(Python)
交叉参考
囊性纤维变性。A000290型,A000384号,A001263号,A001539号,A001844号,A003881号,A005408号,A006752号,A014105号,A016742美元,A016802型,A016814号,A016826号,A016838号,A033996号,A046092号,A060300型,A138393号,A167661号,A167700个.
0, 4, 16, 36, 64, 100, 144, 196, 256, 324, 400, 484, 576, 676, 784, 900, 1024, 1156, 1296, 1444, 1600, 1764, 1936, 2116, 2304, 2500, 2704, 2916, 3136, 3364, 3600, 3844, 4096, 4356, 4624, 4900, 5184, 5476, 5776, 6084, 6400, 6724, 7056, 7396, 7744, 8100, 8464
评论
平方的4倍。
假设(我认为)n阶正则Hadamard矩阵存在,前提是n是偶数平方(参见Seberry和Yamada,Th.10.11)。如果每行中的条目之和相同,则哈达玛矩阵是正则的-N.J.A.斯隆2008年11月13日
顺序是从0开始,沿0、16……方向读取直线。。。和从4开始的直线,在方向4,36。。。在顶点为正方形的正方形螺旋中A000290型. -奥马尔·波尔2008年5月24日
从(1)开始的项可以解释为(2,2),(8,8),(18,18),(32,32)等的对和,它们是由元素周期表中的次壳层轨道的重新排列引起的。例如,8成为(2s,2p)或(3s,3p)轨道中的最大电子数,18成为(4s,3d,4p)或-朱利奥·安东尼奥·古铁雷斯·萨马内斯2008年7月20日
序列的前两项(n=1,2)仅使用n种原子轨道给出了化学元素的数量,即有a(1)=4个元素(H,He,Li,Be),其中电子仅位于s轨道上,有a(2)=16个元素(B,C,n,O,F,Ne,Na,Mg,Al,Si,P,s,Cl,Ar,K,Ca),而电子仅位于s-和P-轨道上。然而,在这之后,有37个元素(比a(3)=36多一个)(从Sc、Scandium原子序数21到La、La,原子序数57),其中电子只存在于s-、p-和d-轨道上。这是因为镧(具有电子组态[Xe]5d^16s^2)是Aufbau原理的例外,Aufbao原理预测其电子组态为[Xe]4f^16s~2-安蒂·卡图恩2008年8月14日。
与(n+1)X(n+1”)棋盘相关的国王图中长度为3的圈数安东·沃罗帕耶夫(Anton.n.Voropaev(AT)gmail.com),2009年2月1日
a(n)是两个连续奇数2*n^2-1和2*n*2+1的和,以及两个正方形(n^2+1)^2-(n^2-1)^2的差-皮埃尔·卡米2012年1月2日
对于n>3,a(n)是由点((n-4)*(n-3)/2,(n-3-J.M.贝戈2014年5月27日
小于10^k的术语数量:1、2、5、16、50、159、500、1582、5000、15812、50000、158114、500000-穆尼鲁·A·阿西鲁2018年1月28日
二项式系数恒等式和{k=0..2*n}(-1)^(k+1)*二项式(2*n,k)*二项式(2xn+k,k)x(2*n-k)=a(n)的右端-彼得·巴拉2022年1月12日
参考文献
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik,《具体数学》。Addison-Wesley,Reading,MA,第二版,1994年,第99页。
Seberry、Jennifer和Yamada、Mieko;Hadamard矩阵、序列和块设计,Dinitz和Stinson编辑,当代设计理论,第431-560页,Wiley Intersci。序列号。离散数学。最佳。,威利,纽约,1992年。
W.D.Wallis、Anne Penfold Street和Jennifer Seberry Wallis,《组合数学:房间平方、无和集、哈达玛矩阵》,《数学讲义》,第292卷,Springer Verlag,柏林-纽约,1972年。iv+508页。
配方奶粉
外径:4*x*(1+x)/(1-x)^3-R.J.马塔尔2008年7月28日
和{n>=1}1/a(n)=(1/4)*Pi^2/6=Pi^2/24-蚂蚁王2009年11月4日
a(n)=a(n-1)+8*n-4(a(0)=0)-文森佐·利班迪2010年11月19日
a(n)=3*a(n-1)-3*a(n-2)+a(n-3),a(0)=0,a(1)=4,a(2)=16-菲利普·德尔汉姆2013年3月26日
Pi=2*Product_{n>=1}(1+1/(a(n)-1))-阿德里亚诺·卡罗利2013年8月4日
Pi=Sum_{n>=0}8/(a(2n+1)-1)-阿德里亚诺·卡罗利2013年8月6日
例如:exp(x)*(4x^2+4x)-杰弗里·克雷策2013年10月7日
产品{n>=1}(1+1/a(n))=sinh(Pi/2)/(Pi/2)(A308716).
乘积{n>=1}(1-1/a(n))=sin(Pi/2)/(Pi/2)=2/Pi(A060294号). (结束)
黄体脂酮素
(岩浆)[(2*n)^2:n in[0..50]]//文森佐·利班迪2011年4月26日
(Maxima)标记列表((2*n)^2,n,0,20)/*马丁·埃特尔2013年1月22日*/
(哈斯克尔)
a016742=(*4)。(^ 2)
a016742_list=0:映射(减去4)(zipWith(+)a016752_list[8,16..])
(GAP)列表([0..100],n->(2*n)^2)#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年1月28日
交叉参考
囊性纤维变性。A000290型,A001105号,A001539号,A016754号,A016802型,A016814号,A016826美元,A016838号,A007742号,A033991号,A245058型.
扩展
来自Sabir Abdus-Samee(sabdulsamee(AT)prepaidlegal.com)的更多条款,2006年3月13日
10次方(或十次方)数:a(n)=n*(4*n-3)。 (原M4690)
+10 131
0, 1, 10, 27, 52, 85, 126, 175, 232, 297, 370, 451, 540, 637, 742, 855, 976, 1105, 1242, 1387, 1540, 1701, 1870, 2047, 2232, 2425, 2626, 2835, 3052, 3277, 3510, 3751, 4000, 4257, 4522, 4795, 5076, 5365, 5662, 5967, 6280, 6601, 6930, 7267, 7612, 7965, 8326
评论
写入0、1、2。。。在一个正方形螺旋中,原点为0,其正下方为1;序列给出负y轴上的数字(参见示例部分)。
n>0时,48^(n-1)的除数-J.洛厄尔2008年8月30日
a(n)是通过一条边连接两个完整图K_n副本获得的图的维纳指数(对于n=3,近似值为:|>-<|)。连通图的维纳指数是图中所有无序顶点对之间距离的总和-Emeric Deutsch公司2010年9月20日
从0开始,沿0、10……方向读取行,找到序列。。。和从1开始的平行线,在方向1,27。。。,在顶点为广义十角数的正方形螺旋中A074377号. -奥马尔·波尔2012年7月18日
在0之后,a(n)是从n-1开始的2*n个连续整数的和-布鲁诺·贝塞利,2018年1月16日
参考文献
Albert H.Beiler,《数字理论中的娱乐》,纽约州多佛,1964年,第189页。
布鲁斯·伯恩特(Bruce C.Berndt),《拉马努扬的笔记本,第二部分,施普林格》(Ramanujan’s Notebooks,Part II,Springer);见第23页。
E.Deza和M.M.Deza,数字,世界科学出版社(2012),第6页。
S.M.Ellerstein,《方形螺旋线》,《娱乐数学杂志》29(#31998)188;30 (#4, 1999-2000), 246-250.
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik,《具体数学》。Addison-Wesley,Reading,MA,第二版,1994年,第99页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
Soren Laing Aletheia Zomlefer、Lenny Fukshansky和Stephan Ramon Garcia,Bateman-Horn猜想:启发式、历史和应用,arXiv:1807.08899[math.NT],2018-2019。见6.6.3第33页。
西蒙·普劳夫,盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》,1992年;arXiv:0911.4975[math.NT],2009年。
配方奶粉
通用格式:x*(1+7*x)/(1-x)^3。
奇数1模8的部分和,即1,1+9,1+9+17-乔恩·佩里2004年12月18日
1^3+3^3*(n-1)/(n+1)+5^3*n*(4*n-3)[拉马努扬].-Neven Juric,2008年4月15日
从(1,10,27,52,…)开始,这是[1,9,8,0,0,…]的二项式变换-加里·亚当森,2008年4月30日
对于n>2,a(0)=0,a(1)=1,a(2)=10-杰姆·奥利弗·拉丰2008年12月2日
当n>0时,a(n)=8*n+a(n-1)-7,a(0)=0-文森佐·利班迪2010年7月10日
a(n)=8+2*a(n-1)-a(n-2)-蚂蚁王2011年9月4日
a(8*a(n)+29*n+1)=a(8*1(n)+29*n)+a(8*n+1)-弗拉基米尔·舍维列夫2014年1月24日
例如:x*(1+4*x)*exp(x)。
求和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=(sqrt(2)*Pi-2*log(2)+2*sqrt
例子
在正方形晶格上,将非负整数放置在形成螺旋的晶格点上,如下所示:将“0”放置在原点;然后向下移动一步(即在负y方向),并将“1”放置在到达的晶格点处;然后向任一方向旋转90度,并在下一个晶格点处放置一个“2”;然后沿同一方向再转动90度,并在点阵点处放置一个“3”;等。序列项将沿着负y轴,如下例所示:
99 64--65--66--67--68--69--70--71--72
| | |
98 63 36--37--38--39--40--41--42 73
| | | | |
97 62 35 16--17--18--19--20 43 74
| | | | | | |
96 61 34 15 4---5---6 21 44 75
| | | | | | | | |
95 60 33 14 3 *0* 7 22 45 76
| | | | | | | | | |
94 59 32 13 2--*1* 8 23 46 77
| | | | | | | |
93 58 31 12--11-*10*--9 24 47 78
| | | | | |
92 57 30--29--28-*27*-26--25 48 79
| | | |
91 56--55--54--53-*52*-51--50--49 80
| |
90--89--88--87--86-*85*-84--83--82--81
数学
线性递归〔{3,-3,1},{0,1,10},60〕(*哈维·P·戴尔2012年5月8日*)
表[PolygonalNumber[RegularPolygon[10],n],{n,0,46}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2016年8月27日*)
线性递归[{3,-3,1},{1,10,27},{0,20}](*埃里克·W·韦斯坦2017年9月7日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=4*n^2-3*n
(岩浆)[0..50]]中的[4*n^2-3*n:n//韦斯利·伊万·赫特2014年6月5日
(Python)a=lambda n:4*n**2-3*n#因德拉尼尔·戈什2017年1月1日
def aList():#用于计算序列的初始段,而不是孤立项。
x、 y=1,1
产量0
为True时:
产量x
x、 y=x+y+8,y+8
交叉参考
螺旋的序列:A001107号(本),A002939号,A007742号,A033951号,A033952号,A033953号,A033954号,A033989号,A033990型,A033991号,A002943号,A033996号,A033988号.
0, 2, 12, 30, 56, 90, 132, 182, 240, 306, 380, 462, 552, 650, 756, 870, 992, 1122, 1260, 1406, 1560, 1722, 1892, 2070, 2256, 2450, 2652, 2862, 3080, 3306, 3540, 3782, 4032, 4290, 4556, 4830, 5112, 5402, 5700, 6006, 6320, 6642, 6972, 7310, 7656, 8010, 8372
评论
写入0,1,2,。。。呈螺旋状;序列在四条对角线中的一条上给出数字(参见示例部分)。
对于n>2,这些项表示斜边(H)比最长边(L)长一个单位的原始勾股三元组的和,或者H=L+1-理查德·福伯格2015年6月9日
对于n>1,a(n)是具有奇数支2*n-1的毕达哥拉斯三角形的周长-阿戈拉·基西拉·奥德罗2016年4月26日
A338109飞机(n) /a(n+1)是n个顶点上两个完全图与n+1个顶点上的空图的不相交并的Kirchhoff指数。
等价地,该图可以描述为3*n+1顶点上的图,标签为0..3*n,且i和j相邻iff iff i+j>0 mod 3。
A338588型(n) /a(n+1)是n个和n+1个顶点上的两个完全图与n+1个点上的空图的不相交并的Kirchhoff指数。
等价地,图可以被描述为3*n+2个顶点上的图,标签为0..3*n+1,并且i和j相邻,当i+j>0 mod 3时。
这些图是有向图。(结束)
a(n),n>=1,是从原点到Z^n中尺寸为2的十字多面体的最小长度(长度=2)的路径数(第2列A371064型). -谢尔·卡潘2024年3月9日
参考文献
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik,《具体数学》。Addison-Wesley,Reading,MA,第二版,1994年,第99页。
链接
H-Y.Ching、R.Florez和A.Mukherjee,三角阵列中的积分余图族,arXiv:2009.02770[math.CO],2020年。
R.Tijdeman,丢番图逼近的一些应用《数论调查》(Urbana,2000年5月21日)第261-284页,M.A.Bennett等人编辑,Peters,2003年。
配方奶粉
求和{n>=1}1/a(n)=log(2)(参见Tijdeman)。
对数(2)=和{n>=1}((1-1/2)+(1/3-1/4)+(1/5-1/6)+(1.7-1/8)+…)=和{n>=0}(-1)^n/(n+1)。Log(2)=积分_{x=0..1}1/(1+x)dx-加里·亚当森2003年6月22日
a(n)=3*a(n-1)-3*a(n-2)+a(n-3)。
总尺寸:2*x*(1+3*x)/(1-x)^3。(结束)
a(n)=a(n-1)+8*n-6(a(0)=0)-文森佐·利班迪,2010年11月12日
对于Z中的所有n,0=12+a(n)*(-8+a(n)-2*a(n+1))+a(n+1)*(-8+a(n+1))-迈克尔·索莫斯2017年1月28日
和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=Pi/4-log(2)/2-阿米拉姆·埃尔达尔2020年7月31日
例子
G.f.=2*x+12*x^2+30*x^3+56*x^4+90*x^5+132*x^6+182*x^7+240*x^8+。。。
在正方形晶格上,将非负整数放置在形成螺旋的晶格点上,如下所示:将“0”放置在原点;然后向四个基本方向中的任何一个方向移动一步,并将“1”放置在到达的晶格点处;然后向任一方向旋转90度,并在下一个晶格点处放置一个“2”;然后沿同一方向再转动90度,并在点阵点处放置一个“3”;等。序列中的项将沿着其中一条对角线,如下例所示:
.
99 64--65--66--67--68--69--70--71--72
| | |
98 63 36--37--38--39--40--41--42 73
| | | | |
97 62 35 16--17--18--19--20 43 74
| | | | | | |
96 61 34 15 4---5---6 21 44 75
| | | | | | | | |
95 60 33 14 3 *0* 7 22 45 76
| | | | | | | | | |
94 59 32 13 *2*--1 8 23 46 77
| | | | | | | |
93 58 31 *12*-11--10---9 24 47 78
| | | | | |
92 57 *30*-29--28--27--26--25 48 79
| | | |
91 *56*-55--54--53--52--51--50--49 80
| |
*90*-89--88--87--86--85--84--83--82--81
.
数学
2#(2#-1)和/@范围[0,50](*哈维·P·戴尔2011年3月6日*)
黄体脂酮素
(岩浆)[2*n*(2*n-1):[0.50]]中的n//文森佐·利班迪2011年7月26日
(哈斯克尔)
a002939 n=(*2)。a000384号
a002939_list=扫描1(+)a017089_list
(Python)a=lambda n:2*n*(2*n-1)#因德拉尼尔·戈什2017年1月1日
0, 8, 24, 48, 80, 120, 168, 224, 288, 360, 440, 528, 624, 728, 840, 960, 1088, 1224, 1368, 1520, 1680, 1848, 2024, 2208, 2400, 2600, 2808, 3024, 3248, 3480, 3720, 3968, 4224, 4488, 4760, 5040, 5328, 5624, 5928, 6240, 6560, 6888, 7224, 7568, 7920, 8280
评论
写入0、1、2。。。顺时针螺旋;序列给出了四条对角线中的一条上的数字。
还有通过从0开始沿0、8、…方向读取行而找到的序列。。。和从0开始的同一条直线,在0,24,…,方向上。。。,在顶点为广义十角数的正方形螺旋中A074377号.轴垂直于A195146号在同一螺旋中-奥马尔·波尔2011年9月18日
(n+1)X(n+1”)方格中长度为sqrt(5)的对角线数。每个1 X 2矩形有两条这样的对角线上-韦斯利·伊万·赫特2015年3月25日
想象一块由正方形组成的板(如棋盘),其中一个正方形被相邻正方形构成的方形层完全包围。a(n)是第一层到第n层中的正方形总数。a(1)=8,因为单位正方形有8个邻居;将它们相加得到一个3×3的正方形。a(2)=24=8+16,因为我们需要在下一层中再增加16个方块才能得到5 X 5方块:a(n)=(2*n+1)^2-1计算(2n+1)X(2n+1)方块减去中心方块-R.J.卡诺2015年9月26日
单位边长为n维的三个柏拉图实体(单纯形、超立方体和交叉多面体)都具有有理体积当且仅当n出现在这个序列中0之后-布莱恩·特库恩斯2016年2月26日
基于5细胞von Neumann邻域,“规则645”定义的二维细胞自动机第n个生长阶段的活动(ON,黑色)细胞数-罗伯特·普莱斯2016年5月19日
a(n)的平方根,n>0,具有连分式[2n;{1,4n}],其中整数部分为2n,周期部分为{1,4n}-罗恩·诺特2017年5月11日
数字k,使k+1是一个正方形,k是4的倍数-布鲁诺·贝塞利2017年9月28日
a(n)是排列成正方形阵列的连接n X n八边形中的顶点数,也称为截断正方形平铺-东威公园2020年12月20日
a(n-2)是在n X n tic-tac-toe网格上以对角线、水平或垂直行放置3个相邻标记的方式数-马特杰·维塞洛瓦茨2021年5月28日
参考文献
Stuart M.Ellerstein,J.娱乐数学。29 (3) 188, 1998.
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik,《具体数学》。Addison-Wesley,Reading,MA,第二版,1994年,第99页。
Stephen Wolfram,《一种新的科学》,Wolfram Media,2002年;第170页。
链接
M.K.Siddiqui、M.Naeem、N.A.Rahman和M.Imran,计算某些网络的拓扑指数《光电子与先进材料杂志》,第18期,第9-10期,2016年,第884-892页。
配方奶粉
a(n)=4*n^2+4*n=(2*n+1)^2-1。
总尺寸:8*x/(1-x)^3。
a(n)=a(n-1)+8*n(a(0)=0)-文森佐·利班迪2010年11月17日
a(n)=3*a(n-1)-3*a(n-2)+a(n-3)-韦斯利·伊万·赫特2015年3月25日
例如:4*x*(2+x)*exp(x)。
Sum_{n>=1}1/a(n)=1/4。(结束)
和{n>=1}(-1)^n/a(n)=1/4-log(2)/2-瓦茨拉夫·科特索维奇2020年12月21日
产品{n>=1}(1-1/a(n))=-(4/Pi)*cos(Pi/sqrt(2))。
乘积_{n>=1}(1+1/a(n))=4/Pi(A088538号). (结束)
例子
带0、8、24、48…的螺旋。。。沿右下对角线:
.
36--37--38--39--40--41--42
| |
35 16--17--18--19--20 43
| | | |
34 15 4---5---6 21 44
| | | | | |
33 14 3 0 7 22 45
| | | | \ | | |
32 13 2---1 8 23 46
| | | \ | |
31 12--11--10---9 24 47
| | \ |
30--29--28--27--26--25 48
\
MAPLE公司
seq(8*二项式(n+1,2),n=0..46)#零入侵拉霍斯,2006年11月24日
[序列((2*n+1)^2-1,n=0..46)];
黄体脂酮素
(PARI)nsqm1(n)={对于步骤(x=1,n,2,y=x*x-1;打印1(y,“,”))}
(岩浆)[4*n*(n+1):[0..50]]中的n//韦斯利·伊万·赫特2014年6月9日
交叉参考
囊性纤维变性。A000217号,A016754号,A002378号,A024966号,A027468号,A028895号,A028896号,A045943号,A046092号,A049598号,A088538号,A124080型,A008590型(第一个差异),A130809号(部分金额)。
螺旋的序列:A001107号,A002939号,A002943号,A007742号,A033951号,A033952号,A033953号,A033954号,A033988号,A033989号,A033990型,A033991号,A033996号. -奥马尔·波尔2008年12月12日
0, 6, 20, 42, 72, 110, 156, 210, 272, 342, 420, 506, 600, 702, 812, 930, 1056, 1190, 1332, 1482, 1640, 1806, 1980, 2162, 2352, 2550, 2756, 2970, 3192, 3422, 3660, 3906, 4160, 4422, 4692, 4970, 5256, 5550, 5852, 6162, 6480, 6806, 7140, 7482, 7832, 8190, 8556, 8930
评论
a(n)是填充了所有水平、垂直和对角线线段的(n+1)X(n+1”)方格中的边数-阿谢尔·奥尔2000年1月12日
写入0,1,2,。。。顺时针螺旋;序列给出了四条对角线中的一条上的数字。(参见示例部分。)
恒等式(4*n+1)^2-(4*n ^2+2*n)*(2)^2=1可以写成A016813号(n) ^2-a(n)*2^2=1-文森佐·利班迪2010年7月20日至2012年11月25日
从“6”开始=[6,14,8,0,0,0,…]的二项式变换-加里·亚当森2010年8月27日
冠图G(n)的超维纳指数(n>=3)。冠图G(n)是顶点集{x(1),x(2),…,x(n),y(1)、y(2)、…,y(n)}和边集{(x(i),y。G(n)的Hosoya-Wiener多项式是n(n-1)(t+t^2)+nt^3-Emeric Deutsch公司2013年8月29日
参考文献
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik,《具体数学》。Addison-Wesley,Reading,MA,第二版,1994年,第99页。
配方奶粉
a(n)=4*n^2+2*n。
a(n)=8*n+a(n-1)-2,a(0)=0-文森佐·利班迪2010年7月20日
a(n)=3*a(n-1)-3*a(n-2)+a(n-3)-哈维·P·戴尔2011年8月11日
总尺寸:2*x*(3+x)/(1-x)^3-科林·巴克2012年1月14日
和{n>=1}1/a(n)=1-log(2)。
和{n>=1}1/a(n)^2=2*log(2)+Pi^2/6-3。(结束)
和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=Pi/4+log(2)/2-1-阿米拉姆·埃尔达尔2022年2月22日
例子
64--65--66--67--68--69--70--71--72
|
63 36--37--38--39--40--41--42
| | |
62 35 16--17--18--19--20 43
| | | | |
61 34 15 4---5---6 21 44
| | | | | | |
60 33 14 3 0 7 22 45
| | | | | | | |
59 32 13 2---1 8 23 46
| | | | | |
58 31 12--11--10---9 24 47
| | | |
57 30--29--28--27--26--25 48
| |
56--55--54--53--52--51--50--49
数学
线性递归[{3,-3,1},{0,6,20},40](*哈维·P·戴尔2011年8月11日*)
表[2n(2n+1),{n,0,40}](*哈维·P·戴尔2011年8月11日*)
黄体脂酮素
(岩浆)[0..50]]中的[4*n^2+2*n:n//文森佐·利班迪2012年11月25日
(哈斯克尔)
交叉参考
囊性纤维变性。A001477号,A007395号,A007494号,A007742号,A014105号,A016813号,A033954号,A045896号,A046092号,A054000型,A118729号,173511英镑.
螺旋的序列:A001107号,A002939号,A007742号,A033951号,A033952号,A033953号,A033954号,A033989号,A033990型,A033991号,这个序列,A033996号,A033988号.
0, 5, 18, 39, 68, 105, 150, 203, 264, 333, 410, 495, 588, 689, 798, 915, 1040, 1173, 1314, 1463, 1620, 1785, 1958, 2139, 2328, 2525, 2730, 2943, 3164, 3393, 3630, 3875, 4128, 4389, 4658, 4935, 5220, 5513, 5814, 6123, 6440, 6765, 7098, 7439, 7788, 8145
评论
写入0,1,2,。。。顺时针螺旋;sequence给出了落在正y轴上的数字。(参见示例部分。)
对于n>=1,sqrt(a(n))的连分式展开式是[2n;{4,4n}]。对于n=1,它折叠为[2,{4}]-朱棣文(Magus K.Chu)2022年9月15日
参考文献
S.M.Ellerstein,《方形螺旋线》,《娱乐数学杂志》29(#31998)188;30 (#4, 1999-2000), 246-250.
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik,《具体数学》。Addison-Wesley,Reading,MA,第二版,1994年,第99页。
配方奶粉
通用格式:x*(5+3*x)/(1-x)^3-迈克尔·索莫斯2003年3月3日
a(n)=8*n+a(n-1)-3-文森佐·利班迪2010年11月21日
和{n>=1}1/a(n)=和{k>=0}(-1)^k*zeta(2+k)/4^(k+1)=0.349762131-R.J.马塔尔2012年7月10日
对于n>2,a(0)=0,a(1)=5,a(2)=18-菲利普·德尔汉姆2013年3月26日
例如:(4*x^2+5*x)*exp(x)-G.C.格鲁贝尔2017年7月17日
Sum_{n>=1}1/a(n)=4-Pi/2-3*log(2)。
求和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=Pi/sqrt(2)+log(2)+sqrt(1)*log(1+sqert(2))-4。(结束)
例子
螺旋的一部分:
.
64--65--66--67--68
|
63 36--37--38--39--40--41--42
| | |
62 35 16--17--18--19--20 43
| | | | |
61 34 15 4---5---6 21 44
| | | | | | |
60 33 14 3 0 7 22 45
| | | | | | | |
59 32 13 2---1 8 23 46
| | | | | |
58 31 12--11--10---9 24 47
| | | |
57 30--29--28--27--26--25 48
| |
56--55--54--53--52--51--50--49
数学
线性递归[{3,-3,1},{0,5,18},50](*文森佐·利班迪2012年1月29日*)
表[n(4n+1),{n,0,50}](*哈维·P·戴尔2017年8月10日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=4*n^2+n
(岩浆)I:=[0,5,18];[n le 3选择I[n]else 3*自我(n-1)-3*自我(n-2)+1*自我(n-3):[1..50]]中的n//文森佐·利班迪2012年1月29日
交叉参考
螺旋的序列:A001107号,A002939号,A007742号,A033951号,A033952号,A033953号,A033954号,A033989号,A033990型,A033991号,A002943号,A033996号,A033988号.
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