搜索： a054569-编号：a054559
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1, 2, 7, 4, 21, 6, 43, 8, 73, 10, 111, 12, 157, 14, 211, 16, 273, 18, 343, 20, 421, 22, 507, 24, 601, 26, 703, 28, 813, 30, 931, 32, 1057, 34, 1191, 36, 1333, 38, 1483, 40, 1641, 42, 1807, 44, 1981, 46, 2163, 48, 2353, 50, 2551, 52, 2757, 54, 2971, 56, 3193
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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等于Connell序列的Row2三角形和A001614号作为三角形。第2（n）行的三角形和由第2（n）行=和（（-1）^（n+k）*T（n，k），k=1..n）定义，请参见A180662号.
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链接
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配方奶粉
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a（2*n）=2*n和a（2*1）=4*n^2-6*n+3
G.f.:x*（1+2*x+4*x^2-2*x^3+3*x^4）/（1-x^2）^3
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MAPLE公司
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A190716号：=n->系数（级数（x*（1+2*x+4*x^2-2*x^3+3*x^4）/（1-x^2）^3，x，n+1），x，n）：序列(A190716号（n） ，n=1..49）；
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A002378号
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| 长椭圆形（或短圆形、短圆形或短圆形）数字：a（n）=n*（n+1）。
（原名M1581 N0616）
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+10
771
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0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 702, 756, 812, 870, 930, 992, 1056, 1122, 1190, 1260, 1332, 1406, 1482, 1560, 1640, 1722, 1806, 1892, 1980, 2070, 2162, 2256, 2352, 2450, 2550
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.2个
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评论
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根据韦伯斯特第二版，正确的单词是“promic”-R.K.盖伊
a（n）是根晶格a_n中的最小向量数（见Conway和Sloane，第109页）。
设M_n表示n×n矩阵M_n（i，j）=（i+j）；那么M_n的特征多项式是x^（n-2）*（x^2-a（n）*x-A002415号（n） ）-贝诺伊特·克洛伊特2002年11月9日
对于j<k<=n，对于n>1，所有对（j，k）的最大LCM-罗伯特·威尔逊v2004年6月19日
第一个差异是a（n+1）-a（n）=2*n+2=2，4，6。。。（而平方的第一个差是（n+1）^2-n^2=2*n+1=1，3，5，…）-亚历山大·瓦恩伯格2005年12月29日
快速（心理）乘法/因式分解技术——Lekraj Beedassy评论的推广：对于所有基b>=2和正整数n，c，d，k，c+d=b^k，我们有（n*b^k+c）*（n*b ^k+d）=A（n）*b^（2*k）+c*d。因此乘积的最后2*k个基-b数字正好是c*d的数字，包括前导0（s）根据需要--前面的以b为基数的数字与a（n）的数字相同。示例：十进制中，113*117=13221（n=11，b=10=3+7，k=1，3*7=21，a（11）=132）；在八进制中，61×67=5207（52是八进制中的a（6））。特别是，对于偶数b=2*m（m>0）和c=d=m，这样的乘积就是这种类型的平方。小数因式分解：5609立即被视为71*79。同样，120099=301*399（此处k=2）和99990000001996=9999002*9999998（k=3）-里克·L·谢泼德2021年7月24日
迭代平方根sqrt序列（N+sqrt（N+…））对于N=1,2。。。限制（1+sqrt（1+4*N））/2。对于N=a（N），该极限为N+1，N=1，2。。。。对于所有其他数字N，N>=1，此极限不是自然数。示例：n=1，a（1）=2:sqrt（2+sqrt（2+…））=1+1=2；n＝2，a（2）＝6:sqrt（6+sqrt（6+…））＝1+2＝3-沃尔夫迪特·朗2006年5月5日
可被上限（sqrt（m））整除的非方形整数m，m=0除外-马克斯·阿列克塞耶夫2006年11月27日
（n+1）X（n+1”）矩阵的非对角元素数-阿图尔·贾辛斯基2007年1月11日
a（n）等于函数f:{1，2}->{1，2，…，n+1}的个数，因此对于{1，2]中的固定x和{1，2中，…，n+1}中的一个固定y，我们有f（x）<>y.-Aleksandar M.Janjic和米兰Janjic2007年3月13日
数字m>=0，使fract（sqrt（m+1））>1/2，fract（mqrt（m））<1/2，其中fract（x）是分数部分（fract（x）=x-floor（x），x>=0）-Hieronymus Fischer公司2007年8月6日
方程4*X^3+X^2=Y^2的解的X值。要查找Y值：b（n）=n（n+1）（2n+1）-穆罕默德·布哈米达2007年11月6日
如果Y是n个集合X的2个子集，那么对于n>=2，a（n-2）是X的2个子集和3个子集的数量，它们正好有一个元素与Y相同-米兰Janjic2007年12月28日
a（n）与Redheffer矩阵中均匀宽度抛物线的顶点重合，指向零。整数p是素数当且仅当对于所有整数k，抛物线y=kx-x^2在y=p时没有1<x<k的整数解；a（n）对应奇数k-莱库·库隆2008年11月30日
超几何函数3F2某些值的第三个差导致长圆数的平方，即3F2（[1，n+1，n+1），[n+2，n+2]，z=1）-3*3F2 1/（（n+2）*（n+3））^2表示n=-1， 0, 1, 2, ... . 另请参见A162990型. -约翰内斯·梅耶尔2009年7月21日
对于n>1，a（n）是函数f:{1，2}->{1，…，n+2}的数目，其中f（1）>1和f（2）>2。注意，f（1）有n+1个可能的值，f（2）有n个可能的值。例如，a（3）=12，因为有12个函数f从{1,2}到{1,2,3,4,5}，其中f（1）>1和f（2）>2-丹尼斯·P·沃尔什2011年12月24日
a（n）给出了包含两个1的对称（0，1）-矩阵（n+1）X（n+1）的个数（参见[Cameron]）-L.埃德森·杰弗里2012年2月18日
a（n）是[n+2]x[n+2]中具有x-y>1的有序对（x，y）的数量-丹尼斯·P·沃尔什2012年11月27日
a（n）是从{1，2}到{1，2，…，n+1}的内射函数数-丹尼斯·P·沃尔什2012年11月27日
a（n）是2n+2的分区部分的正差之和，正好分成两部分（参见示例）-韦斯利·伊万·赫特2013年6月2日
a（n）/a（n-1）对e^（2/n）是渐近的-理查德·福伯格2013年6月22日
D_{n+1}型根系中的正根数（对于n>2）-汤姆·埃德加2013年11月5日
A_n型根系统中的根数（对于n>0）-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于m>=1，a（m）是唯一的正整数值t，对于该正整数值，b（0）=0且b（1）=1的递归b（n）=b（n-1）+t*b（n-2）的Binet-de-Moivre公式具有平方根。证明（如建议沃尔夫迪特·朗，2014年3月26日）：如果4t+1=（2m+1）^2，即t=a（m），m>=1，则特征方程的零r1和r2中出现的sqrt（1+4t）是正整数t的（正）整数。因此，特征根是整数：r1=m+1和r2=-m。
设m>1为整数。如果b（n）=b（n-1）+a（m）*b（n-2），n>=2，b（0）=0，b（1）=1，那么当n接近无穷大时，lim b（n+1）/b（n）=m+1。（结束）
囊性纤维变性。130534英镑对于与着色森林的关系，旗杆上旗帜的配置，以及完整图（这里简称K_2）顶点的着色（色多项式）-汤姆·科普兰2014年4月5日
整数n的集合，其中n+sqrt（n+squart（n+sqrt）（n+sqlt（n+…）。。。是一个整数-莱斯利·科勒2014年4月11日
a（n-1）是最大的数字k，使得（n*k）/（n+k）是整数-德里克·奥尔2014年5月22日
将domino和singleton放置在长度为n-2的条带上的方法的数量-拉尔夫·斯蒂芬2014年6月9日
对于n>1，n值a（1）到a（n）的调和平均值为n+1。累加调和平均数为整数的递增正整数的最小无限序列-伊恩·达夫2015年2月1日
a（n）是在[n+2]X[n+2]棋盘上，一种颜色的皇后可以共存而不攻击对手颜色的皇后的最大数量。唯一的王后可以放置在棋盘周边的任何位置-鲍勃·塞尔科2015年2月7日
当a（0）=1时，a（n-1）是序列中最小的正数，使得和{i=1..n}1/a（i-1）的分母等于n-德里克·奥尔2015年6月17日
这个序列的正成员是所谓的1-幸福夫妇乘积的适当子序列A007969号参见W.Lang链接，等式（4），Y_0=1，末尾有一个表格-沃尔夫迪特·朗2015年9月19日
对于n>0，a（n）是区间[0，1]中x的上边界为y=x^（n-1），下边界为y=x^n的面积的倒数。对所有这些面积求和直观地演示了下面的公式，即求和{n>=1}1/a（n）=1-里克·L·谢泼德2015年10月26日
看起来，除了a（0）=0之外，这是一组正整数n，因此x*floor（x）=n没有解。（例如，要得到3，取x=-3/2。）-梅尔文·佩拉尔塔2016年4月14日
如果两个独立的实随机变量x和y按照相同的指数分布进行分布：pdf（x）=lambda*exp（-lambda*x），lambda>0，则n-1<=x/y<n的概率由1/a（n）给出-安德烈斯·西卡廷2016年12月3日
a（n）等于n对不同的连续奇数之间所有可能的差异之和（参见示例）-米奎尔·塞尔达2016年12月4日
a（n+1）是平面上多项式系数高达n阶的向量场空间的维数-马丁·利希特2016年12月4日
此外，（n+3）-三角形蜂窝状锐角骑士图中的3个圈数-埃里克·韦斯特因2017年7月27日
由偶数组成的弗洛伊德三角形的左边缘：0；2, 4; 6, 8, 10; 12, 14, 16, 18; 20, 22, 24, 26, 28; ... 给出0、2、6、12、20。。。右边缘生成A028552号. -Waldemar Puszkarz公司2018年2月2日
a（n+1）是偏序集上的行运动顺序，通过将唯一的最小（或最大）元素与至少两个n个元素链的不相交并邻接而获得-尼克·迈尔斯，2018年6月1日
对于n>0，1/a（n）=n/（n+1）-（n-1）/n。
例如，1/6=2/3-1/2；1/12 = 3/4 - 2/3.
由此推论：
服用1/2粒。
第二天，服用1/6粒。1/2+1/6=2/3，所以你的日平均值是1/3。
第二天，服用1/12粒。2/3+1/12=3/4，所以你的日平均值是1/4。
依此类推。（结束）
对于一个长方形数m>=6，存在一个欧几里德除法m=d*q+r，其中q<r<d按此顺序以公共整数比b进行几何级数。对于b>=2和q>=1，欧几里得除法为m=qb*（qb+1）=qb^2*q+qb，其中（q，qb，qb^2）是几何级数。
具有不同比率和商的一些示例：
6 | 4 30 | 25 42 | 18
----- ----- -----
2 | 1 , 5 | 1 , 6 | 2 ,
以及：
42 | 12 420 | 100
----------
6|3、20|4。
一些长方形数也满足欧几里德除法m=d*q+r，其中q<r<d按此顺序进行几何级数，但具有共同的非整数比b>1（参见A335064型). （结束）
a（n-2）是所有n个顶点树的最大不规则度。极值图是恒星。（图形的不规则性是图形所有边上度数差的总和。）-艾伦·比克2023年5月29日
a（n-1）是具有n个顶点的所有树的最大萨格勒布指数。极值图是恒星。（图的萨格勒布指数是图的所有顶点上度数的平方和。）-艾伦·比克2024年4月11日
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参考文献
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W·W·伯曼和D·E·史密斯，《数学简史》，1910年，公开法庭，第67页。
J.H.Conway和R.K.Guy，《数字之书》，1996年，第34页。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag。
L.E.Dickson，《数论史》，第1卷：可除性和原始性。纽约：切尔西，第357页，1952年。
L.E.Dickson，《数字理论史》，第2卷：丢番图分析。纽约：切尔西，第6、232-233、350和407页，1952年。
H.Eves，《数学史导论》，修订版，霍尔特、莱茵哈特和温斯顿，1964年，第72页。
杰拉萨的尼科马科斯，《算术导论》，马丁·路德·多吉译，安娜堡，密歇根大学出版社，1938年，第254页。
Granino A.Korn和Theresa M.Korn，《科学家和工程师数学手册》，McGraw-Hill图书公司，纽约（1968年），第980-981页。
C.S.Ogilvy和J.T.Anderson，《数字理论的旅行》，牛津大学出版社，1966年，第61-62页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
F.J.Swetz，《从五指到无限》，公开法庭，1994年，第219页。
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链接
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D.Applegate、M.LeBrun和N.J.A.Sloane，忧郁的算术，J.国际顺序。14 (2011) # 11.9.8.
Alin Bostan、Frédéric Chyzak和Vincent Pilaud，Tamari区间的精细乘积公式，arXiv:2303.10986[数学.CO]，2023年。
P.Cameron、T.Prellberg和D.Stark，关联矩阵类的渐近性，电子。J.Combin.13（2006），#R85，第11页。
L.B.W.Jolley，级数求和1961年，多佛
Refik Keskin和Olcay Karaatli，平衡数和方三角数的一些新性质《整数序列杂志》，第15卷（2012年），第12.1.4条。
Enrique Navarrete和Daniel Orellana，寻找素数作为序列的不动点，arXiv:1907.10023[math.NT]，2019年。
Lee Melvin Peralta，方程[x]x=n的解《数学教师》，第111卷，第2期（2017年10月），第150-154页。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO]，2014-2015。
J.Striker和N.Williams，晋升和赛艇运动，arXiv预印本arXiv:1108.1172[math.CO]，2011-2012。
D.Suprijanto和Rusliansyah，关于四除整数幂和的观察《应用数学科学》，第8卷，2014年，第45期，2219-2226页。
R.Tijdeman，丢番图逼近的一些应用《数论调查》（Urbana，2000年5月21日）第261-284页，M.A.Bennett等人编辑，Peters，2003年。
Wolfram研究公司，超几何函数3F2，Wolfram Functions网站。
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配方奶粉
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总尺寸：2*x/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。
a（n）=a（n-1）+2*n，a（0）=0。
和{n>=1}a（n）=n*（n+1）*（n+2）/3（比较。A007290号，部分和）。
和{n>=1}1/a（n）=1。（参考蒂德曼）
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=log（4）-1=A016627号-1[乔利方程（235）]。
1=1/2+和{n>=1}1/[2*a（n）]=1/2+1/4+1/12+1/24+1/40+1/60+。。。部分和：1/2、3/4、5/6、7/8、9/10、11/12、13/14-加里·亚当森2003年6月16日
a（n）*a（n+1）=a（n*（n+2））；例如，a（3）*a（4）=12*20=240=a（3*5）-查理·马里恩2003年12月29日
和{k=1..n}1/a（k）=n/（n+1）-罗伯特·威尔逊v2005年2月4日
对数2=和{n>=0}1/a（2n+1）=1/2+1/12+1/30+1/56+1/90+…=(1 - 1/2) + (1/3 - 1/4) + (1/5 - 1/6) + (1/7 - 1/8) + ... = 和{n>=0}（-1）^n/（n+1）=A002162. -加里·亚当森2003年6月22日
（2，6，12，20，30，…）=（2，4，2）的二项式变换-加里·亚当森2007年11月28日
例如：（（-x+1）*log（-x+1）+x）/x^2也是积分_{x=0..1}（（-x+1）*log（-x+1）+x）/x^2=ζ（2）-1-斯蒂芬·克劳利2009年7月11日
a（n-1）=楼层（n^5/（n^3+n^2+1））-加里·德特利夫斯2010年2月11日
对于n>0，a（n）=1/（积分{x=0..Pi/2}2*（sin（x））^（2*n-1）*（cos（x），^3）-弗朗西斯科·达迪2011年8月2日
求和{n>=1}1/（a（n））^（2s）=求和{t=1..2*s}二项式（4*s-t-1，2*s-1）*（（1+（-1）^t）*zeta（t）-1）。参见Arxiv:1301.6293-R.J.马塔尔2013年2月3日
当n>0时，a（n）^2+a（n+1）^2=2*a（n+1^2）-伊凡·伊纳基耶夫2013年4月8日
a（n）=楼层（n^2*e^（1/n））和a（n-1）=楼层-理查德·福伯格2013年6月22日
[0,2,2,0,0,0，…]的二项式变换-阿洛伊斯·海因茨2015年3月10日
对于n>0，a（n）=1/（积分_{x=0..1}（x^（n-1）-x^n）dx）-里克·L·谢泼德2015年10月26日
对于n>0，a（n）=Lim_{m->infinity}（1/m）*1/（Sum_{i，m*n..m*（n+1）}1/i^2），误差约为1/m-理查德·福伯格2016年7月27日
Dirichlet g.f.：zeta（s-2）+zeta（s-1）。
和{n>=0}a（n）/n！=3*经验（1）。（结束）
a（n）*a（n+2k-1）+（n+k）^2=（（2n+1）*k+n^2）^2。
a（n）*a（n+2k）+k^2=（（2n+1）*k+a（n））^2。（结束）
产品{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（3）*Pi/2）/Pi-阿米拉姆·埃尔达尔2021年1月20日
2003年12月29日公式A（n）*A（n+1）=A（n*（n+2））的推广如下。a（n）*a（n+k）=a（n*（n+k+1））+（k-1）*n*（n+k+1）-查理·马里恩2023年1月2日
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例子
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a（3）=12，因为2（3）+2=8有4个分区，正好有两个部分：（7,1），（6,2），（5,3），（4,4）。将每个分区中各部分的正差异相加，得到：6+4+2+0=12-韦斯利·伊万·赫特2013年6月2日
G.f.=2*x+6*x^2+12*x^3+20*x^4+30*x^5+42*x^6+56*x^7+。。。
a（1）=2，因为45-43=2
a（2）=6，因为47-45=2和47-43=4，那么2+4=6
a（3）=12，因为49-47=2，49-45=4，49-43=6，然后2+4+6=12-米奎尔·塞尔达2016年12月4日
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MAPLE公司
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n*（n+1）；
结束进程：
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数学
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表[n（n+1），{n，0，50}](*罗伯特·威尔逊v2004年6月19日*）
长方形Q[n_]：=整数Q@Sqrt[4 n+1]；选择[范围[02600]，oblongQ](*罗伯特·威尔逊v2011年9月29日*）
2累加[范围[0，50]](*哈维·P·戴尔2011年11月11日*）
线性递归[{3，-3，1}，{2，6，12}，｛0，20}](*埃里克·韦斯特因2017年7月27日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=n*（n+1）}；
（PARI）concat（0，Vec（2*x/（1-x）^3+O（x^100））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月26日
（哈斯克尔）
a002378 n=n*（n+1）
a002378_list=zipWith（*）[0..][1..]
（岩浆）[0..100]]中的[n*（n+1）:n//韦斯利·伊万·赫特2015年10月26日
（标量）（2到100乘2）.scanLeft（0）（_+_）//阿隆索·德尔·阿特2019年9月12日
（Python）
定义a（n）：返回n*（n+1）
打印（[a（n）代表范围（51）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年1月13日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A035106型,A087811号,A119462年,A127235号,A049598号,A124080型,A033996号,A028896号,A046092号,A000217号,A005563号,A046092号,A001082号,A059300型,A059297美元,A059298号,A166373号,A002943号（二等分），A002939号（二等分），A078358号（补语）。
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关键词
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非n,容易的,核心,美好的
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作者
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经核准的
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A002061号
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| 中心多边形数：a（n）=n^2-n+1。
（原名M2638 N1049）
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+10
347
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1, 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73, 91, 111, 133, 157, 183, 211, 241, 273, 307, 343, 381, 421, 463, 507, 553, 601, 651, 703, 757, 813, 871, 931, 993, 1057, 1123, 1191, 1261, 1333, 1407, 1483, 1561, 1641, 1723, 1807, 1893, 1981, 2071, 2163, 2257, 2353, 2451, 2551, 2653
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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这些是霍格本的中心多边形数字，由符号表示
...2....
。。。
…2.无。。
（P带有三个附件）。
同时也是n×n可逆{0,1}矩阵可以具有的最大1个数。（见哈尔莫斯的证明）-费利克斯·戈德伯格（felixg（AT）tx.technion.ac.il），2001年7月7日
当n>=1时，由n个相交圆形成的内部区域的最大数量-阿玛纳斯·穆尔西2001年7月7日
这些项是n个连续奇数中最小的一个，其和为n^3:1，3+5=8=2^3，7+9+11=27=3^3，依此类推-阿玛纳斯·穆尔西2001年5月19日
（n*a（n+1）+1）/（n^2+1）是形式为（n*k+1）/（n^2+1）的最小整数-贝诺伊特·克洛伊特，2002年5月2日
对于n>=3，a（n）也是n阶车轮图W（n）中的循环数-Sharon Sela（sharonsela（AT）hotmail.com），2002年5月17日
设b（k）定义如下：b（1）=1，b（k+1）>b（k；则对于n>0，b（n）=a（n）-贝诺伊特·克洛伊特，2002年8月23日
删除前三个术语。那么n*a（n）+1=（n+1）^3。例如，7*1+1=8=2^3，13*2+1=27=3^3，21*3+1=64=4^3，等等-阿玛纳斯·穆尔西2002年10月20日
第一项为1，公差为n的算术级数的第n项：a（1）=1->1，2，3，4，5。。。；a（2）=3->1，3。。。；a（3）=7->1、4、7。。。；a（4）=13->1、5、9、13-阿玛纳斯·穆尔西2004年3月25日
完全图K_{n+1}（n>=1）的任意两个不同顶点之间长度为3的游动次数。示例：a（2）=3，因为在完整的图ABC中，在a和B之间有以下长度为3的游程：ABAB、ACAB和ABCB-Emeric Deutsch公司2004年4月1日
[1，2，0，0，…]=[1，3，7，13，21，…]的Narayana变换。设M=的无限下三角矩阵A001263号设V=向量[1，2，0，0，…]。然后A002061号启动（1、3、7…）=M*V-加里·亚当森，2006年4月25日
序列3、7、13、21、31、43、57、73、91、111。。。是重复应用映射n->n+2*n的平方余时3的轨迹，cf。A094765号.
也是n^3 mod（n^2+1）-扎克·塞多夫2006年8月31日
忽略第一个，这些是具有整数尺寸的矩形平行六面体，具有整数内部对角线。使用毕达哥拉斯：sqrt（a^2+b^2+c^2）=d，一个整数；那么这个序列：sqrt（n^2+（n+1）^2+（n（n+1））^2）=2T_n+1是第一个也是最简单的例子。问题：是否存在不满足以下一般公式的整数对角线？sqrt（（k*n）^2+（k*（n+（2*m+1）））^2+-马可·马托西奇2006年11月10日
使a（n）为素数的数n列在A055494号质数a（n）列在A002383号。所有术语都是奇数。a（n）的基本因子列于A007645号.3除a（3*k-1），7除a（7*k-4）和a），13^2除以a（13^2*k+23）和a（13|2*k-22），13|3除以a（13 ^3*k+1037）和a（13^3*k-1036）-亚历山大·阿达姆楚克2007年1月25日
2n X 2n螺旋的主对角线上的数字（已排序）。例如，当n=2时：
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7---8---9--10
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6 1--2 11
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5---4---3 12
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16--15--14--13
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a（n）=AlexanderPolynomial[n]定义为Det[Transpose[S]-n S]，其中S是Seifert矩阵{{-1，1}，{0，-1}}-阿图尔·贾辛斯基2008年3月31日
起始（1，3，7，13，21，…）=[1，2，2，0，0，0]的二项式变换；例如：a（4）=13=（1，3，3，1）点（1，2，2，0）=（1+6+6+0）-加里·亚当森2008年5月10日
a（n）也是扇形图F（n）的维纳指数。扇形图F（n）定义为通过将n节点路径图的每个节点与一个附加节点连接而获得的图。连通图的维纳指数是图中所有无序顶点对之间距离的总和。图F（n）的维纳多项式是（1/2）t[（n-1）（n-2）t+2（2n-1）]。示例：a（2）=3，因为相应的扇形图是3个节点（三角形）上的循环，距离为1、1和1。
（结束）
对于序列的所有元素k=n^2-n+1，sqrt（4*（k-1）+1）是一个整数，因为4*（k-1）+1=（2*n-1）^2是一个完美的正方形。构建此序列的交点A000225号，k还可以是k=2^x-1的形式，这只适用于k=1、3、7、31和8191。[证明：仍然4*（k-1）+1=2^（x+2）-7必须是一个完美的正方形，它具有由A060728号：x=1、2、3、5或13。]换句话说，序列A038198号定义此序列中形式2^x-1的所有元素。例如k=31=6*6-6+1；平方（（31-1）*4+1）=平方（121）=11=A038198号(4). -阿尔茨海耶夫·阿斯卡尔M型2011年6月1日
如果你画一个三角形，它的一边是单位长度，一边是长度n，中间有Pi/3弧度的角，那么三角形第三条边的长度就是a（n）的平方根-Elliott线，2013年1月24日
设p（x）n-1次插值多项式通过n个点（n，n）和（1,1），（2,1）。。。，（n-1，1）。则p（n+1）=a（n）-乔瓦尼·雷斯塔2014年2月9日
对于n>1:a（n）是[n+1]X[n+1]棋盘上可以共存而不相互攻击的最大皇后总数。具体来说，这将是一个单独的单色女王，放置在棋盘周边的任何位置，面对对手的a（n）-1大小的“军队”==A002378美元（n-1）-鲍勃·塞尔科2015年2月7日
对于n>=1，a（n+1）是n阶有限射影平面的点数和线数（参见Hughes和Piper，1973年，定理3.5，第79-80页）。对于n=3，a（4）=13，请参阅维基百科链接第2.3节中的“有限示例”，了解点线矩阵-沃尔夫迪特·朗2015年11月20日
泛化费曼三角问题解的分母。如果三角形的每个顶点都沿对边与点（1/p）相连（例如顺时针测量），则由这些直线形成的内部三角形的面积等于（p-2）^2/（p^2-p+1）乘以原始三角形的面积，p>2。例如，当p=3时，面积比为1/7。面积比的分子由下式给出A000290型偏移量为2。[库克与伍德，2004年。]-乔·马拉斯科2017年2月20日
n^2边长为1 X 1 X 1的等边三角形瓷砖可以放在一起形成n X n X n三角形。对于n>=2，a（n-1）是包含的不同2 X 2 X 2三角形的数量-海因里希·路德维希2017年3月13日
对于n>=0，连分式[n，n+1，n+2]=（n^3+3n^2+4n+2）/（n^2+3n+3）=A034262号（n+1）/a（n+2）=n+（n+2）/a（n+2）；例如[2，3，4]=A034262号（3） /a（4）=30/13=2+4/13-里克·L·谢泼德2017年4月6日
从b（1）=1开始，不允许数字0，设b（n）=序列中尚未出现的最小非负整数，使得b（n-1）的最后一个数字加上b（n。。。，9.这定义了9个有限序列，每个序列的长度等于a（k），k=1。。。，9.（参见A289283型-A289287号对于k=5..9）对于k=10，序列是无限的(A289288型). 例如，对于k=4，b（n）=1,3,11,31,32,2,21,33,12,22,23,13,14。这些术语可以按以下大小k*（k-1）+1的数组排序：
1 2 3
21 22 23
31 32 33
11 12 13 14
.
序列以术语1k结束，该术语位于矩形数组外，并给出术语+1（参见链接）-恩里克·纳瓦雷特2017年7月2日
当您将自然数写入奇数大小为2*n+1的组（以大小为1的组{2}开始）时，中心多边形数是分隔符（在下面的括号中）：（1）2（3）4,5,6（7）8,9,10,11,12（13）14,15,16,17,18,19,20（21）22,23,24,25,26,27,28,29,30（31）32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42（43）-恩里克·纳瓦雷特2017年7月11日
由于（n+1）^2-（n+1”）+1=n^2+n+1，那么从7开始，这些数字也正是在所有基数中用111表示的数字：111（2）=7，111（3）=13-罗恩·诺特2017年11月14日
二进制2X（n-1）矩阵的数量，使得每行和每列最多有一个1-德米特里·卡梅涅茨基2018年1月20日
观察到bishop访问的方块在螺旋编号板上移动，并从第二任期开始，在每一步移动到可用的最低未访问方块（参见。A316667型). 应该注意的是，主教只会沿着螺旋线的第一条对角线走到正方形-本杰明·奈特2019年1月30日
C（7,3,2}，{1,2,4}
C（13,4,2}，{0,1,3,9}
C（21,5,2}，{3,6,7,12,14}
C（31,6,2}，{1,5,11,24,25,27}
C（43,7,2}，存在未解决
C（57,8,2}，{0,1,6,15,22,26,45,55}
接下来的未解决案例是C（111,11,2）和C（157,13,2）。（结束）
“在我们仔细研究的范围内，仅当n的形式为n=k（k+1）+1，k=3，4，5，6，7，即n=13，21，31，43和57时，最优填料基本上是不规则的。”（引自Lubachevsky，Graham link，Introduction）-雷纳尔·罗森塔尔2020年5月27日
对于n>=1，a（n）是方程x^2-[x^2]=（x-[x]）^2的区间1<=x<=n中的解数x，其中[x]=楼层（x）。对于n=3，区间[1，3]中的a（3）=7解是1，3/2，2，9/4，5/2，11/4和3。
这个序列是1984年第20届英国数学奥林匹克运动会上提出的第四个问题的答案（见链接B.M.O 1984）。和Gardiner参考）。（结束）
以英国动物学家、统计学家和作家兰斯洛特·托马斯·霍格本（1895-1975）的名字命名为“霍格本数字”-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月24日
具有n+1个顶点（n>0）的2-退化图的最小维纳指数。通过在两个现有顶点附近迭代添加一个新的2叶（2次顶点），可以从一个2团构造一个最大的2退化图。极值图是直径最大为2的最大2-退化图-艾伦·比克2022年10月14日
a（n）是避免模式123、213和312的大小为n的停车功能的数量-劳拉·普德威尔2023年4月10日
以k=2开始的a（k）的重复迭代产生Sylvester序列，即。，A000058元（n） =a^n（2），其中a^n是a（k）的第n次迭代-柯蒂斯·贝克特尔2024年4月4日
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参考文献
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《阿基米德问题驱动》，尤里卡，22（1959），15。
Steve Dinh，《奥林匹克数学难题及其解决方案》，作者之家，2011年，2007年英国数学奥林匹克第一题，第160页。
安东尼·加德纳（Anthony Gardiner），《数学奥林匹克手册：问题解决导论》，牛津大学出版社，1997年，2011年再版，第4题，第64和173页（1984年）。
Paul R.Halmos，《线性代数问题书》，MAA，1995年，第75-6、242-4页。
Ross Honsberger，《数学创新》，兰登书屋，1970年，第87页。
丹尼尔·休斯（Daniel R.Hughes）和弗雷德里克·查尔斯·派珀（Frederick Charles Piper），《投影平面》（Projective Planes），施普林格出版社，1973年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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克拉克·金伯利（Clark Kimberling）和约翰·布朗（John E.Brown），部分补体和转座色散，J.整数序列。，第7卷（2004年），第04.1.6条。
Boris D.Lubachevsky和Ronald L.Graham，包围全等非重叠圆的最小周长矩形，arXiv:math/0412443[math.MG]，2004-2008。
Boris D.Lubachevsky和Ronald L.Graham，包围全等非重叠圆的最小周长矩形《离散数学》，第309卷，第8期，（2009年4月28日），第1947-1962页。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
Bruce E.Sagan、Yeong-Nan Yeh和Ping Zhang，图的维纳多项式，内部。量子化学杂志。，第60卷（1996年），第959-969页。
史蒂文·温特劳布（Steven H.Weintraub），一个有趣的递归阿默尔。数学。《月刊》，第111卷，第6期（2004年），第528-530页。
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配方奶粉
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G.f.：（1-2*x+3*x^2）/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=-（n-5）*a（n-1）+（n-2）*a（n-2）。
a（n）=Phi_6（n）=Phi_3（n-1），其中Phi_k是第k个分圆多项式。
x*（1+x^2）/（1-x）^3是0、1、3、7、13…的g.f。。。
a（n）=2*C（n，2）+C（n-1，0）。
例如：（1+x^2）*exp（x）。（结束）
a（n）=天花板（n-1/2）^2）-贝诺伊特·克洛伊特2003年4月16日。[因此，术语大约位于连续正方形的中间，因此（除了1）不是正方形-N.J.A.斯隆，2005年11月1日]
a（n）=1+和{j=0..n-1}（2*j）.-Xavier Acloque，2003年10月8日
a（n）=M^（n-1）*[1 1 1]中最左边的项，其中M=3X3矩阵[1 1 1/0 1 2/0 0 1]。例如，由于M^5*[1 1 1]=[31 11 1]，a（6）=31-加里·亚当森2004年11月11日
a（n+1）=n^2+n+1。a（n+1）*a（n）=（n^6-1）/（n^2-1）=n^4+n^2+1=a（n^2+1）（此序列中两个连续数字的乘积属于此序列）。（a（n+1）+a（n））/2=n^2+1。（a（n+1）-a（n））/2=n.a（（a（n+1）+a（n-亚历山大·阿达姆楚克2006年4月13日
a（n+3）是（（n+1）！+的分子（n-1）！）/不-阿图尔·贾辛斯基2007年1月9日
a（n）=Det[转座[｛｛-1，1｝，｛0，-1｝｝]-n｛-1，1｝，｛0，-1｝｝]-阿图尔·贾辛斯基2008年3月31日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3），n>=3-杰姆·奥利弗·拉丰2008年12月2日
a（n）=（n-1）^2+（n-1-杰森·金伯利2011年10月18日
G.f.：1/（1-x/（1-2*x/（1+x/（1-2*x/））））-迈克尔·索莫斯2014年4月3日
求和{n>=0}1/a（n）=1+Pi*tanh（Pi*sqrt（3）/2）/sqrt（三）=2.79814728056269018-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年4月10日
和{n=1..M}反正切（1/a（n））=反正切（M）-李·纽伯格2024年5月8日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（7）*Pi/2）*sech（sqrt（3）*Pi/2。
产品{n>=2}（1-1/a（n））=Pi*sech（sqrt（3）*Pi/2）。（结束）
对于n>1，sqrt（a（n）+sqrtn.（名词）-迭戈·拉塔吉，2021年4月17日
a（n）=（1+（n-1）^4+n^4）/（1+（n-1）^2+n^2）[参见链接B.M.O.2007和Steve Dinh参考文献]-伯纳德·肖特2021年12月27日
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例子
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G.f.=1+x+3*x^2+7*x^3+13*x^4+21*x^5+31*x ^6+43*x^7+。。。
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MAPLE公司
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数量理论[分圆]（6，n）；
结束进程：
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数学
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文件夹列表[#1+#2&，1，2范围[0，50]](*罗伯特·威尔逊v2011年2月2日*）
线性递归[{3，-3，1}，{1，1，3}，60](*哈维·P·戴尔2011年5月25日*）
系数列表[级数[（1-2x+3x^2）/（1-x）^3，{x，0，52}]，x](*罗伯特·威尔逊v2018年2月18日*）
分圆[6，范围[0，100]](*保罗·沙萨2024年2月9日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=n^2-n+1
（Maxima）标记列表（n^2-n+1，n，0，55）/*马丁·埃特尔2012年10月16日*/
（哈斯克尔）
（岩浆）[0..50]]中的[n^2-n+1:n//韦斯利·伊万·赫特2014年6月12日
（GAP）列表（[0..50]，n->n^2-*n+1）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年5月27日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000037号,A000124号,A000217号,A001263号,A001844号,A002383号,A004273号,A005408号,A005563号,A007645号,A014206号,A051890号,A055494号,A091776号,A132014号,A132382号,A135668型,A137928号,A139250型,A256188型,A028387号.
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关键词
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非n,容易的,美好的,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A016754号
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| 奇数平方：a（n）=（2n+1）^2。同样居中的八角数字。 |
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+10
292
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1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, 625, 729, 841, 961, 1089, 1225, 1369, 1521, 1681, 1849, 2025, 2209, 2401, 2601, 2809, 3025, 3249, 3481, 3721, 3969, 4225, 4489, 4761, 5041, 5329, 5625, 5929, 6241, 6561, 6889, 7225, 7569
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.2个
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评论
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褐鼠繁殖很快。从三个月大的时候开始，它可以一年生7次其他老鼠。幼崽的平均数量是8只。现在的序列给出了老鼠的总数，时间间隔为一年中的12/7，幼鼠在一年中24/7开始生育后代-汉斯·伊斯达尔，2008年1月26日
如果Y是（2n+1）-集X的固定2-子集，则a（n-1）是与Y相交的X的3-子集的数目-米兰Janjic2007年10月21日
[1,8,8,0,0,0，…]的二项式变换；Narayana变换(A001263号)共[1,8,0,0,0，…]个-加里·亚当森2007年12月29日
从1开始沿1、25、…方向读取行时产生序列。。。和从9开始的线，在方向9，49。。。，在顶点为正方形的正方形螺旋中A000290型. -奥马尔·波尔2008年5月24日
作为分子出现在Pi-3的非简单连分式展开式中：Pi-3=K_{K>=1}（1-2*K）^2/6=1/（6+9/（6+25/（6+49/（6+…））），另请参阅A007509号. -亚历山大·波沃洛茨基2011年10月12日
所有术语都以1、5或9结尾。模100，所有项都在{1、9、21、25、29、41、49、61、69、81、89}之间-M.F.哈斯勒2012年3月19日
对于n>1，a（n）是由点（（n-2）*（n-1），（n-1-J.M.贝戈2014年5月27日
Z^2的对数（x，y），即max（abs（x），abs（y））<=n-米歇尔·马库斯2014年11月28日
除a（1）=4外，基于5细胞von Neumann邻域，“规则737”定义的二维细胞自动机第n个生长阶段的活动（ON，黑色）细胞数-罗伯特·普莱斯2016年5月23日
a（n）是2n+1个连续数字的和，其中第一个数字是n+1-伊凡·伊纳基耶夫2016年12月21日
a（n）是具有{0..n}中所有元素的2X2矩阵的数目，行列式为2*永久-印地瑞尼Ghosh2016年12月25日
a（n）是最小奇数k=x+y，其中0<x<y，因此存在n个不同的对（x，y），其中x*y/k是整数；例如，a（2）=25，对应的两对是（5,20）和（10,15）。与“偶数”类似的序列是A016742号（见2018年1月26日的评论）-伯纳德·肖特2023年2月24日
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参考文献
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L.Lorentzen和H.Waadeland，《续分数及其应用》，北荷兰，1992年，第586页。
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链接
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杰里米亚·巴茨、布鲁斯·迪尔登和乔尔·利亚姆斯，间隙平衡数的类别，arXiv:1810.07895[math.NT]，2018年。
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配方奶粉
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外径：（1+6*x+x^2）/（1-x）^3-R.J.马塔尔，2008年1月11日
a（n）=4*n*（n+1）+1=4*n^2+4*n+1-阿图尔·贾辛斯基2008年3月27日
a（n）=a（n-1）+8*n，n>0，a（0）=1-文森佐·利班迪2010年8月1日
a（n+1）=a（n）+4+4*sqrt（a（n））。
a（n-1）=a（n）+4-4平方米。
a（n+1）=2*a（n）-a（n-1）+8。
a（n+1）=3*a（n）-3*a（n-1）+a（n-2）。
（a（n+1）-a（n-1））/8=sqrt（a（n））。
a（n+1）*a（n-1）=（a（n）-4）^2。
极限{n->oo}a（n）/a（n-1）=1。（结束）
a（n）=二项（2*n+2,2）+二项（2*n+1,2）-约翰·莫洛卡赫，2013年7月12日
和{n>=0}a（n）/n！=13*e。
和{n>=0}（-1）^（n+1）*a（n）/n！=3/e.（结束）
乘积_｛n>=0｝（1+1/a（n））=cosh（Pi/2）。
乘积_{n>=1}（1-1/a（n））=Pi/4(A003881号). （结束）
求和{k=1..n+1}1/（k*a（k）*a（k-1））=1/（9-3/（17-60/（33-315/（57-…-n^2*（4*n^2-1）/（（2*n+1）^2+2*2^2））））。
3/2-2*log（2）=和{k>=1}1/（k*a（k）*a（k-1））=1/（9-3/（17-60/（33-315/（57-…-n^2*（4*n^2-1）/（（2*n+1）^2+2*2^2-…））））。
8*a（n）=（2*n+1）*（a（n+1）-a（n-1））。
求和{n>=0}（-1）^n/（a（n）*a（n+1））=1/2-Pi/8=1/（9+（1*3）/（8+（3*5）/（8+…+（4*n^2-1）/（8%…））））。对于连续分数，使用Lorentzen和Waadeland，第586页，方程4.7.9，n=1。囊性纤维变性。A057813号.（结束）
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数学
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a016754 n=a016754_列表！！n个
a016754_list=扫描（+）1$tail a008590_list
（岩浆）[1..100 x 2]中的n^2:n//文森佐·利班迪2017年1月3日
（Python）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000290型,A000384号,A001263号,A001539号,A001844号,A003881号,A005408号,A006752号,A014105号,A016742号,A016802型,2016年6月14日,A016826号,A016838号,A033996号,A046092号,A060300元,A138393号,A167661号,A167700个.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 4, 16, 36, 64, 100, 144, 196, 256, 324, 400, 484, 576, 676, 784, 900, 1024, 1156, 1296, 1444, 1600, 1764, 1936, 2116, 2304, 2500, 2704, 2916, 3136, 3364, 3600, 3844, 4096, 4356, 4624, 4900, 5184, 5476, 5776, 6084, 6400, 6724, 7056, 7396, 7744, 8100, 8464
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.2个
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评论
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平方的4倍。
假设（我认为）n阶正则Hadamard矩阵存在，前提是n是偶数平方（参见Seberry和Yamada，Th.10.11）。如果每一行中的条目之和相同，则哈达玛矩阵是正则的-N.J.A.斯隆2008年11月13日
顺序是从0开始，沿0、16……方向读取直线。。。和从4开始的直线，在方向4，36。。。在顶点为正方形的正方形螺旋中A000290型. -奥马尔·波尔2008年5月24日
从（1）开始的项可以解释为（2，2），（8，8），（18，18），（32，32）等的对和，它们是由元素周期表中的次壳层轨道的重新排列引起的。例如，8成为（2s，2p）或（3s，3p）轨道中的最大电子数，18成为（4s，3d，4p）或-朱利奥·安东尼奥·古铁雷斯·萨马内斯，2008年7月20日
序列的前两项（n=1，2）给出了仅使用n种类型的原子轨道的化学元素的数量，即有a（1）=4个元素（H，He，Li，Be），其中电子仅位于s轨道上，有a（2）=16个元素（B，C，n，O，F，Ne，Na，Mg，Al，Si，P，s，Cl，Ar，K，Ca），其中电子仅位于s轨道和P轨道上。然而，在这之后，有37个元素（比a（3）=36多一个）（从Sc、Scandium原子序数21到La、La，原子序数57），其中电子只存在于s-、p-和d-轨道上。这是因为镧（具有电子组态[Xe]5d^16s^2）是Aufbau原理的例外，Aufbao原理预测其电子组态为[Xe]4f^16s~2-安蒂·卡图恩2008年8月14日。
与（n+1）X（n+1”）棋盘相关的国王图中长度为3的圈数安东·沃罗帕耶夫（Anton.n.Voropaev（AT）gmail.com），2009年2月1日
a（n）是两个连续奇数2*n^2-1和2*n*2+1的和，以及两个正方形（n^2+1）^2-（n^2-1）^2的差-皮埃尔·卡米2012年1月2日
对于n>3，a（n）是由点（（n-4）*（n-3）/2，（n-3-J.M.贝戈2014年5月27日
小于10^k的术语数量：1、2、5、16、50、159、500、1582、5000、15812、50000、158114、500000-穆尼鲁·A·阿西鲁2018年1月28日
二项式系数恒等式和{k=0..2*n}（-1）^（k+1）*二项式（2*n，k）*二项式（2xn+k，k）x（2*n-k）=a（n）的右端-彼得·巴拉2022年1月12日
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，Reading，MA，第二版，1994年，第99页。
Seberry、Jennifer和Yamada、Mieko；《哈达玛矩阵、序列和块设计》（Hadamard matrix，sequences and block designs），迪尼茨（Dinitz）和斯廷森（Stinson）主编，《当代设计理论》（Contemporary design theory），第431-560页，威利国际出版社。序列号。离散数学。最佳。，威利，纽约，1992年。
W.D.Wallis、Anne Penfold Street和Jennifer Seberry Wallis，《组合数学：房间正方形、无和集、Hadamard矩阵、数学课堂笔记》，第292卷，Springer-Verlag，纽约柏林，1972年。iv+508页。
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链接
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配方奶粉
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外径：4*x*（1+x）/（1-x）^3-R.J.马塔尔2008年7月28日
和{n>=1}1/a（n）=（1/4）*Pi^2/6=Pi^2/24-蚂蚁王2009年11月4日
a（n）=a（n-1）+8*n-4（a（0）=0）-文森佐·利班迪2010年11月19日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3），其中a（0）=0，a（1）=4，a（2）=16-菲利普·德尔汉姆2013年3月26日
Pi=2*Product_{n>=1}（1+1/（a（n）-1））-阿德里亚诺·卡罗丽2013年8月4日
Pi=Sum_{n>=0}8/（a（2n+1）-1）-阿德里亚诺·卡罗丽2013年8月6日
例如：exp（x）*（4x^2+4x）-杰弗里·克雷策2013年10月7日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=sinh（Pi/2）/（Pi/2）(A308716型).
乘积{n>=1}（1-1/a（n））=sin（Pi/2）/（Pi/2）=2/Pi(A060294号). （结束）
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MAPLE公司
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数学
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（2*n）^2:n in[0..50]]//文森佐·利班迪2011年4月26日
（Maxima）标记列表（（2*n）^2，n，0，20）/*马丁·埃特尔2013年1月22日*/
（哈斯克尔）
a016742=（*4）。(^ 2)
a016742_list=0：映射（减去4）（zipWith（+）a016752_list[8，16..]）
（GAP）列表（[0..100]，n->（2*n）^2）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年1月28日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000290型,A001105号,A001539号,A016754号,A016802型,2016年6月14日,A016826号,A016838号,A007742号,A033991号,A245058型.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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来自Sabir Abdus-Samee（sabdulsamee（AT）prepaidlegal.com）的更多条款，2006年3月13日
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状态
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经核准的
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A001107号
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| 10次方（或十次方）数：a（n）=n*（4*n-3）。
（原名M4690）
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+10
129
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0, 1, 10, 27, 52, 85, 126, 175, 232, 297, 370, 451, 540, 637, 742, 855, 976, 1105, 1242, 1387, 1540, 1701, 1870, 2047, 2232, 2425, 2626, 2835, 3052, 3277, 3510, 3751, 4000, 4257, 4522, 4795, 5076, 5365, 5662, 5967, 6280, 6601, 6930, 7267, 7612, 7965, 8326
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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写入0、1、2。。。在一个正方形螺旋中，原点为0，其正下方为1；序列在负y轴上给出数字（参见示例部分）。
当n＞0时，除数为48^（n-1）-J.洛厄尔2008年8月30日
a（n）是通过一条边连接两个完整图K_n副本获得的图的维纳指数（对于n=3，近似值为：|>-<|）。连通图的维纳指数是图中所有无序顶点对之间距离的总和-Emeric Deutsch公司2010年9月20日
从0开始，沿0、10……方向读取行，找到序列。。。和从1开始的平行线，在方向1，27。。。，在顶点为广义十角数的正方形螺旋中A074377号. -奥马尔·波尔2012年7月18日
在0之后，a（n）是从n-1开始的2*n个连续整数的和-布鲁诺·贝塞利2018年1月16日
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参考文献
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Albert H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，纽约州多佛，1964年，第189页。
Bruce C.Berndt，《拉马努詹的笔记》，第二部分，施普林格出版社；见第23页。
E.Deza和M.M.Deza，数字，世界科学出版社（2012），第6页。
S.M.Ellerstein，《方形螺旋线》，《娱乐数学杂志》29（#31998）188；30 (#4, 1999-2000), 246-250.
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，Reading，MA，第二版，1994年，第99页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Soren Laing Aletheia Zomlefer、Lenny Fukshansky和Stephan Ramon Garcia，Bateman-Horn猜想：启发式、历史和应用，arXiv:1807.08899[math.NT]，2018-2019。见第33页6.6.3。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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配方奶粉
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通用格式：x*（1+7*x）/（1-x）^3。
奇数1模8的部分和，即1，1+9，1+9+17-乔恩·佩里2004年12月18日
1^3+3^3*（n-1）/（n+1）+5^3*n*（4*n-3）[拉马努扬].-Neven Juric，2008年4月15日
从（1，10，27，52，…）开始，这是[1，9，8，0，0，…]的二项式变换-加里·亚当森2008年4月30日
对于n>2，a（0）=0，a（1）=1，a（2）=10-杰姆·奥利弗·拉丰2008年12月2日
当n>0时，a（n）=8*n+a（n-1）-7，a（0）=0-文森佐·利班迪2010年7月10日
a（n）=8+2*a（n-1）-a（n-2）-蚂蚁王2011年9月4日
a（8*a（n）+29*n+1）=a（8*1（n）+29*n）+a（8*n+1）-弗拉基米尔·舍维列夫2014年1月24日
例如：x*（1+4*x）*exp（x）。
求和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=（sqrt（2）*Pi-2*log（2）+2*sqrt
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例子
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在正方形晶格上，将非负整数放置在形成螺旋的晶格点上，如下所示：将“0”放置在原点；然后向下移动一步（即在负y方向），并将“1”放置在到达的晶格点处；然后向任一方向旋转90度，并在下一个晶格点处放置一个“2”；然后沿同一方向再转动90度，并在点阵点处放置一个“3”；等。序列项将沿着负y轴，如下例所示：
99 64--65--66--67--68--69--70--71--72
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98 63 36--37--38--39--40--41--42 73
| | | | |
97 62 35 16--17--18--19--20 43 74
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96 61 34 15 4---5---6 21 44 75
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95 60 33 14 3 *0* 7 22 45 76
| | | | | | | | | |
94 59 32 13 2--*1* 8 23 46 77
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93 58 31 12--11-*10*--9 24 47 78
|||||
92 57 30-29-28-*27*-26-25 48 79
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91 56--55--54--53-*52*-51--50--49 80
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90--89--88--87--86-*85*-84--83--82--81
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MAPLE公司
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数学
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线性递归[{3，-3，1}，{0，1，10}，60](*哈维·P·戴尔2012年5月8日*）
表[PolygonalNumber[RegularPolygon[10]，n]，{n，0，46}](*阿卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2016年8月27日*）
线性递归[{3，-3，1}，{1，10，27}，｛0，20}](*埃里克·韦斯特因2017年9月7日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=4*n^2-3*n
（岩浆）[4*n^2-3*n:n在[0..50]]中//韦斯利·伊万·赫特2014年6月5日
（Python）a=lambda n:4*n**2-3*n#印地瑞尼Ghosh2017年1月1日
def aList（）：#用于计算序列的初始段，而不是孤立项。
x、 y=1，1
产量0
为True时：
收益率x
x、 y=x+y+8，y+8
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交叉参考
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螺旋的序列：A001107号（本），A002939号,A007742号,A033951号,A033952号,A033953号,A033954号,A033989号,A033990型,A033991号,A002943号,A033996号,A033988美元.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 2, 12, 30, 56, 90, 132, 182, 240, 306, 380, 462, 552, 650, 756, 870, 992, 1122, 1260, 1406, 1560, 1722, 1892, 2070, 2256, 2450, 2652, 2862, 3080, 3306, 3540, 3782, 4032, 4290, 4556, 4830, 5112, 5402, 5700, 6006, 6320, 6642, 6972, 7310, 7656, 8010, 8372
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.2个
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评论
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写入0,1,2，。。。呈螺旋状；序列在四条对角线中的一条上给出数字（参见示例部分）。
对于n>2，这些项表示斜边（H）比最长边（L）长一个单位的原始勾股三元组的和，或者H=L+1-理查德·福伯格2015年6月9日
对于n>1，a（n）是具有奇数支2*n-1的毕达哥拉斯三角形的周长-阿戈拉·基西拉·奥德罗2016年4月26日
A338109飞机（n） /a（n+1）是n个顶点上两个完全图与n+1个顶点上的空图的不相交并的Kirchhoff指数。
等价地，该图可以描述为3*n+1顶点上的图，标签为0..3*n，且i和j相邻iff iff i+j>0 mod 3。
A338588型（n） /a（n+1）是n个和n+1个顶点上的两个完全图与n+1个点上的空图的不相交并的Kirchhoff指数。
等价地，该图可以描述为3*n+2个顶点上的图，标签为0..3*n+1，且i和j相邻，当i+j>0 mod 3。
这些图是有向图。（结束）
a（n），n>=1，是从原点到Z^n中尺寸为2的十字多面体的最小长度（长度=2）的路径数（第2列A371064型). -谢尔·卡潘2024年3月9日
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，Reading，MA，第二版，1994年，第99页。
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链接
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H-Y.Ching、R.Florez和A.Mukherjee，三角形阵列中的积分图族，arXiv:2009.02770[math.CO]，2020年。
R.Tijdeman，丢番图逼近的一些应用《数论调查》（Urbana，2000年5月21日）第261-284页，M.A.Bennett等人编辑，Peters，2003年。
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配方奶粉
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求和{n>=1}1/a（n）=log（2）（参见Tijdeman）。
对数（2）=和{n>=1}（（1-1/2）+（1/3-1/4）+（1/5-1/6）+（1.7-1/8）+…）=和{n>=0}（-1）^n/（n+1）。对数（2）=Integral_{x=0..1}1/（1+x）dx-加里·亚当森2003年6月22日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）。
总尺寸：2*x*（1+3*x）/（1-x）^3。（结束）
a（n）=a（n-1）+8*n-6（a（0）=0）-文森佐·利班迪，2010年11月12日
对于Z中的所有n，0=12+a（n）*（-8+a（n）-2*a（n+1））+a（n+1）*（-8+a（n+1））-迈克尔·索莫斯2017年1月28日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=Pi/4-log（2）/2-阿米拉姆·埃尔达尔2020年7月31日
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例子
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G.f.=2*x+12*x^2+30*x^3+56*x^4+90*x^5+132*x^6+182*x^7+240*x^8+。。。
在正方形格上，将非负整数放在形成螺旋的格点上，如下所示：将“0”放在原点；然后在四个基本方向中的任何一个方向上移动一步，并在到达的格点处放置“1”；然后向任一方向旋转90度，并在下一个晶格点处放置一个“2”；然后沿同一方向再转动90度，并在点阵点处放置一个“3”；等。序列中的项将沿着其中一条对角线，如下例所示：
.
99 64--65--66--67--68--69--70--71--72
| | |
98 63 36--37--38--39--40--41--42 73
| | | | |
97 62 35 16--17--18--19--20 43 74
| | | | | | |
96 61 34 15 4---5---6 21 44 75
| | | | | | | | |
95 60 33 14 3 *0* 7 22 45 76
| | | | | | | | | |
94 59 32 13 *2*--1 8 23 46 77
| | | | | | | |
93 58 31 *12*-11--10---9 24 47 78
| | | | | |
92 57 *30*-29--28--27--26--25 48 79
| | | |
91*56*-55-54-53-52-51-50-49 80
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*90*-89--88--87--86--85--84--83--82--81
.
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MAPLE公司
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数学
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2#（2#-1）和/@范围[0，50](*哈维·P·戴尔2011年3月6日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[2*n*（2*n-1）：[0.50]]中的n//文森佐·利班迪2011年7月26日
（哈斯克尔）
a002939 n=（*2）。a000384号
a002939_list=扫描1（+）a017089_list
（Python）a=lambda n:2*n*（2*n-1）#印地瑞尼Ghosh，2017年1月1日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 8, 24, 48, 80, 120, 168, 224, 288, 360, 440, 528, 624, 728, 840, 960, 1088, 1224, 1368, 1520, 1680, 1848, 2024, 2208, 2400, 2600, 2808, 3024, 3248, 3480, 3720, 3968, 4224, 4488, 4760, 5040, 5328, 5624, 5928, 6240, 6560, 6888, 7224, 7568, 7920, 8280
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.2个
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评论
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写入0、1、2。。。顺时针螺旋；序列给出了四条对角线中的一条上的数字。
也可以通过从0开始，在0，8，…方向上读取直线来找到序列。。。和从0开始的同一条直线，在0，24，…，方向上。。。，在顶点为广义十角数的正方形螺旋中A074377号.垂直于A195146号在同一螺旋中-奥马尔·波尔2011年9月18日
（n+1）X（n+1”）方格中长度为sqrt（5）的对角线数。每个1 X 2矩形有两条这样的对角线上-韦斯利·伊万·赫特2015年3月25日
想象一块由正方形组成的板（如棋盘），其中一个正方形被相邻正方形构成的方形层完全包围。a（n）是第一层到第n层中的正方形总数。a（1）=8，因为单位正方形有8个邻居；将它们相加得到一个3×3的正方形。a（2）=24=8+16，因为我们需要在下一层中再增加16个方块才能得到5 X 5方块：a（n）=（2*n+1）^2-1计算（2n+1）X（2n+1）方块减去中心方块-R.J.卡诺2015年9月26日
单位边长为n维的三个柏拉图实体（单纯形、超立方体和交叉多面体）都具有有理体积当且仅当n出现在这个序列中0之后-布莱恩·特库恩斯2016年2月26日
基于5细胞von Neumann邻域，“规则645”定义的二维细胞自动机第n个生长阶段的活动（ON，黑色）细胞数-罗伯特·普莱斯2016年5月19日
a（n）的平方根，n>0，具有连续分数[2n；{1,4n}]，具有整数部分2n和周期部分{1,4n}-罗恩·诺特2017年5月11日
数字k，使得k+1是一个正方形，k是4的倍数-布鲁诺·贝塞利2017年9月28日
a（n）是排列成正方形阵列的连接n X n八边形中的顶点数，也称为截断正方形平铺-东威公园2020年12月20日
a（n-2）是在n X n tic-tac-toe网格上以对角线、水平或垂直行放置3个相邻标记的方式数-马特杰·维塞洛瓦茨2021年5月28日
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参考文献
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Stuart M.Ellerstein，J.娱乐数学。29 (3) 188, 1998.
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，Reading，MA，第二版，1994年，第99页。
Stephen Wolfram，《一种新的科学》，Wolfram Media，2002年；第170页。
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链接
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M.K.Siddiqui、M.Naeem、N.A.Rahman和M.Imran，计算某些网络的拓扑指数《光电子与先进材料杂志》，第18期，第9-10期，2016年，第884-892页。
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配方奶粉
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a（n）=4*n^2+4*n=（2*n+1）^2-1。
总尺寸：8*x/（1-x）^3。
a（n）=a（n-1）+8*n（a（0）=0）-文森佐·利班迪2010年11月17日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）-韦斯利·伊万·赫特2015年3月25日
例如：4*x*（2+x）*exp（x）。
和{n>=1}1/a（n）=1/4。（结束）
Sum_{n>=1}（-1）^n/a（n）=1/4-log（2）/2-瓦茨拉夫·科特索维奇2020年12月21日
产品{n>=1}（1-1/a（n））=-（4/Pi）*cos（Pi/sqrt（2））。
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例子
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带0、8、24、48…的螺旋。。。沿右下对角线：
.
36--37--38--39--40--41--42
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35 16--17--18--19--20 43
| | | |
34 15 4---5---6 21 44
| | | | | |
33 14 3 0 7 22 45
| | | | \ | | |
32 13 2---1 8 23 46
| | | \ | |
31 12--11--10---9 24 47
| | \ |
30--29--28--27--26--25 48
\
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MAPLE公司
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seq（8*二项式（n+1，2），n=0..46）#零入侵拉霍斯2006年11月24日
[序列（（2*n+1）^2-1，n=0..46）]；
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）nsqm1（n）={对于步骤（x=1，n，2，y=x*x-1；打印1（y，“，”））}
（岩浆）[4*n*（n+1）：[0..50]]中的n//韦斯利·伊万·赫特2014年6月9日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000217号,A016754号,A002378美元,A024966号,A027468号,A028895号,A028896号,A045943号,A046092号,A049598号,A088538号,A124080型,A008590型（第一差异），A130809号（部分金额）。
螺旋的序列：A001107号,A002939号,A002943号,A007742号,A033951号,A033952号,A033953号,A033954号,A033988号,A033989号,A033990型,A033991号,A033996号. -奥马尔·波尔2008年12月12日
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 6, 20, 42, 72, 110, 156, 210, 272, 342, 420, 506, 600, 702, 812, 930, 1056, 1190, 1332, 1482, 1640, 1806, 1980, 2162, 2352, 2550, 2756, 2970, 3192, 3422, 3660, 3906, 4160, 4422, 4692, 4970, 5256, 5550, 5852, 6162, 6480, 6806, 7140, 7482, 7832, 8190, 8556, 8930
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.2个
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评论
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a（n）是填充了所有水平、垂直和对角线线段的（n+1）X（n+1”）方格中的边数-阿谢尔·奥尔2000年1月12日
换句话说，（n+1）X（n+1”）主图的边数-埃里克·韦斯特因2017年6月20日
写入0,1,2，。。。顺时针螺旋；序列给出了四条对角线中的一条上的数字。（参见示例部分。）
恒等式（4*n+1）^2-（4*n ^2+2*n）*（2）^2=1可以写成2016年（n） ^2-a（n）*2^2=1-文森佐·利班迪2010年7月20日至2012年11月25日
从“6”开始=[6,14,8,0,0,0，…]的二项式变换-加里·亚当森2010年8月27日
冠图G（n）的超维纳指数（n>=3）。冠图G（n）是顶点集{x（1），x（2），…，x（n），y（1）、y（2）、…，y（n）}和边集{（x（i），y。G（n）的Hosoya-Wiener多项式是n（n-1）（t+t^2）+nt^3-Emeric Deutsch公司2013年8月29日
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，Reading，MA，第二版，1994年，第99页。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=4*n^2+2*n。
a（n）=8*n+a（n-1）-2，a（0）=0-文森佐·利班迪2010年7月20日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）-哈维·P·戴尔2011年8月11日
总尺寸：2*x*（3+x）/（1-x）^3-科林·巴克2012年1月14日
和{n>=1}1/a（n）=1-log（2）。
和{n>=1}1/a（n）^2=2*log（2）+Pi^2/6-3。（结束）
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=Pi/4+log（2）/2-1-阿米拉姆·埃尔达尔2022年2月22日
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例子
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64--65--66--67--68--69--70--71--72
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63 36--37--38--39--40--41--42
| | |
62 35 16--17--18--19--20 43
| | | | |
61 34 15 4---5---6 21 44
| | | | | | |
60 33 14 3 0 7 22 45
| | | | | | | |
59 32 13 2---1 8 23 46
| | | | | |
58 31 12--11--10---9 24 47
| | | |
57 30--29--28--27--26--25 48
| |
56--55--54--53--52--51--50--49
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MAPLE公司
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2*n*（2*n+1）；
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数学
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线性递归[{3，-3，1}，{0，6，20}，40](*哈维·P·戴尔2011年8月11日*）
表[2n（2n+1），{n，0，40}](*哈维·P·戴尔2011年8月11日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0..50]]中的[4*n^2+2*n:n//文森佐·利班迪2012年11月25日
（哈斯克尔）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A001477号,A007395号,A007494号,A007742号,A014105号,2016年,A033954号,A045896美元,A046092号,A054000型,A118729号,A173511号.
螺旋的序列：A001107号,A002939号,A007742号,A033951号,A033952号,A033953号,A033954号,A033989号,A033990型,A033991号，这个序列，A033996号,A033988美元.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 5, 18, 39, 68, 105, 150, 203, 264, 333, 410, 495, 588, 689, 798, 915, 1040, 1173, 1314, 1463, 1620, 1785, 1958, 2139, 2328, 2525, 2730, 2943, 3164, 3393, 3630, 3875, 4128, 4389, 4658, 4935, 5220, 5513, 5814, 6123, 6440, 6765, 7098, 7439, 7788, 8145
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.2个
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评论
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写入0,1,2，。。。顺时针螺旋；sequence给出了落在正y轴上的数字。（参见示例部分。）
对于n>=1，sqrt（a（n））的连分式展开式是[2n；{4,4n}]。对于n=1，它折叠为[2，{4}]-朱棣文（Magus K.Chu）2022年9月15日
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参考文献
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S.M.Ellerstein，《方形螺旋线》，《娱乐数学杂志》29（#31998）188；30 (#4, 1999-2000), 246-250.
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，Reading，MA，第二版，1994年，第99页。
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链接
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配方奶粉
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通用格式：x*（5+3*x）/（1-x）^3-迈克尔·索莫斯2003年3月3日
a（n）=8*n+a（n-1）-3-文森佐·利班迪，2010年11月21日
和{n>=1}1/a（n）=和{k>=0}（-1）^k*zeta（2+k）/4^（k+1）=0.349762131-R.J.马塔尔2012年7月10日
当n＞2时，a（n）＝3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3），a（0）＝0，a（1）＝5，a（2）＝18-菲利普·德尔汉姆2013年3月26日
例如：（4*x^2+5*x）*exp（x）-G.C.格鲁贝尔2017年7月17日
和{n>=1}1/a（n）=4-Pi/2-3*log（2）。
求和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=Pi/sqrt（2）+log（2）+sqrt（1）*log（1+sqert（2））-4。（结束）
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例子
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螺旋的一部分：
.
64--65--66--67--68
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63 36--37--38--39--40--41--42
|||
62 35 16-17-18-19-20 43
| | | | |
61 34 15 4---5---6 21 44
| | | | | | |
60 33 14 3 0 7 22 45
| | | | | | | |
59 32 13 2---1 8 23 46
| | | | | |
58 31 12--11--10---9 24 47
| | | |
57 30--29--28--27--26--25 48
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56--55--54--53--52--51--50--49
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数学
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线性递归[{3，-3，1}，{0，5，18}，50](*文森佐·利班迪2012年1月29日*）
表[n（4n+1），{n，0，50}](*哈维·P·戴尔2017年8月10日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=4*n^2+n
（岩浆）I:=[0,5,18]；[n le 3选择I[n]else 3*自我（n-1）-3*自我（n-2）+1*自我（n-3）：[1..50]]中的n//文森佐·利班迪2012年1月29日
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交叉参考
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螺旋的序列：A001107号,A002939号,A007742号,A033951号,A033952号,A033953号,A033954号,A033989号,A033990型,A033991号,A002943号,A033996号,A033988号.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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