搜索： a073003-编号：a073003
|
| |
|
|
A000110号
|
| 贝尔数或指数数：划分一组n个标记元素的方法。
（原名M1484 N0585）
|
|
+10
1320
|
|
|
|
1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, 678570, 4213597, 27644437, 190899322, 1382958545, 10480142147, 82864869804, 682076806159, 5832742205057, 51724158235372, 474869816156751, 4506715738447323, 44152005855084346, 445958869294805289, 4638590332229999353, 49631246523618756274
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
其差分表的前对角线是移位的序列，参见Bernstein和Sloane（1995）-N.J.A.斯隆2015年7月4日
还可以定义在一组n个元素上的等价关系的数量Federico Arboleda（Federico.Arboleda（AT）gmail.com），2005年3月9日
a（n）=由n+1个相邻区域组成的映射的非同构着色数。相邻区域不能具有相同的颜色-大卫·W·威尔逊2005年2月22日
如果一个整数是无平方的，并且有n个不同的素因子，那么a（n）就是将它写成除数乘积的方法-阿玛纳斯·穆尔西2001年4月23日
考虑树根高度最多为2。让每棵树“生长”到下一代n意味着我们为每个节点生成一棵新树，它要么是根，要么是高度1，这就给出了贝尔数-乔恩·佩里2003年7月23日
从[1,1]开始，遵循[1，k]->[1，k+1]和[1，k]k倍的规则，例如，[1,3]被转换为[1,4]，[1,3+，[1.3]。则a（n）为所有分量之和：[1,1]=2；[1,2], [1,1] = 5; [1,3], [1,2], [1,2], [1,2], [1,1] = 15; 等-乔恩·佩里2004年3月5日
n行诗的不同押韵模式的数量：押韵模式是一系列字母（例如“abba”），因此最左边的字母总是“a”，任何字母都不能比左边最大的字母多出一个。因此，“aac”无效，因为“c”大于“a”。例如，a（3）=5，因为有5个押韵方案：aaa、aab、aba、abb、abc；另见Neven Juric的例子-比尔·布莱维特2004年3月23日
{1，…，n+1}划分为不连续整数子集的分区数，包括分区1|2||n+1。例如，a（3）=5：{1,2,3,4}有5个划分为非连续整数子集，即13|24、13|2|4、14|2|3、1|24|3、1 |2|3|4-奥古斯汀·穆纳吉2005年3月20日
产生术语的三角形（加法）方案，源自重现，摘自Oscar Arevalo（loarevalo（AT）sbcglobal.net），2005年5月11日：
1
1 2
2 3 5
5 7 10 15
15 20 27 37 52
其中P（n）=n的整数分区数，P（i）=n第i个分区的部分数，d（i）=n第i分区的不同部分数，Pp（i，j）！））*（1/（产品{j=1..d（i）}m（i，j）！））-托马斯·维德2005年5月18日
a（n+1）是一个n元集上既对称又可传递的二元关系数Justin Witt（justinmwitt（AT）gmail.com），2005年7月12日
如果使用Jon Perry（2004年3月5日）的规则，则a（n-1）=[用于形成a（n）的组件数量]/2.-Daniel Kuan（dkcm（AT）yahoo.com），2006年2月19日
a（n）是函数f从{1，…，n}到{1，..，n，n+1}的个数，这些函数满足域中所有x的以下两个条件：（1）f（x）>x；（2） f（x）=n+1或f（f（x。例如，a（3）=5，因为正好有五个函数满足这两个条件：f1={（1,4），（2,4），，（3,4）}，f2={-丹尼斯·沃尔什2006年2月20日
长度为n的异步站点交换模式的数量，这些模式没有零throws（即不包含0），并且其轨道数量（在Allen Knutson给出的意义上）等于球的数量。例如，当n=4时，以下15个站点交换满足条件：4444、4413、4242、4134、4112、3441、2424、1344、2411、1313、1241、2222、3131、1124、1111。还有从恒等式和循环置换中选择n个置换的方法（1 2），（1 2 3）。。。，（1 2 3…n），以使其组成一致。对于n=3，我们得到了以下五个参数：id o id o id，id o（12）o（12。（要查看双射，请查看Ehrenborg和Readdy论文。）-Antti Karttunen公司2006年5月1日
a（n）是[n]上的排列数，其中3-2-1（分散）图案仅作为3-2-4-1图案的一部分出现。示例：a（3）=5计算[3]上除321以外的所有排列。参见“成分特征序列”参考a（n）=大小为n的排列表数量(A000142号)其第一行不包含0。例如：a（3）=5计算{{}、{}，{}}、}、、{{1}、-大卫·卡伦2006年10月7日
该序列也是（下三角）帕斯卡矩阵矩阵指数中的第一列，按exp（-1）缩放：PE=exp（P）/exp（1）=
1
1 1
2 2 1
5 6 3 1
15 20 12 4 1
52 75 50 20 5 1
203 312 225 100 30 6 1
877 1421 1092 525 175 42 7 1
1
1 1
2 1 1
5 2 1 1
15 5 2 1（X）P
52 15 5 2 1 1
203 52 15 5 2 1 1
877 203 52 15 5 2 1 1
（完）
这些项也可以用有限步和精确的整数运算来计算。代替exp（P）/exp（1），可以计算A=exp（P-I），其中I是适当维数的恒等矩阵，因为（P-I。那么a（n）=a[n，1]，其中n是从1开始的行index-戈特弗里德·赫尔姆斯2007年4月10日
当n是素数时，a（n）==2（mod n），但反过来并不总是正确的。定义Bell伪素数为复合数n，使得a（n）==2（mod n）。W.F.Lunnon最近发现了Bell伪素数21361=41*521和C46=3*23*162186468930901345905353905290526854205539989357，并推测Bell伪素极其稀少。因此，在不久的将来，第二个贝尔伪素数不太可能被确定。我确认21361是第一个-大卫·W·威尔逊，2007年8月4日和2007年9月24日
a（n）也是（n链的）幂等阶递减全变换的个数。
a（n）也是（n链的）幂零部分一阶递减变换的个数。
a（n+1）也是（n链的）部分一阶递减变换的数目。（完）
Bell（n）是n模式序列的数量[Cooper&Kennedy]。n模式序列是整数（a_1，…，a_n）的序列，使得对于一些j<i，a_i＝i或a_i＝a_j。例如，Bell（3）＝5，因为3模式序列是（1,1,1）、（1,1,3）、（1,2,1）、（1,2,2）和（1,2,3）。
Bell（n）是长度为n的正整数（n_1，…，n_n）的序列数，其中n_1=1和n_（i+1）<=1+max{j=1..i}n_j表示i>=1（参见B.Blewett的评论）。有趣的是，如果我们将后一个条件加强到N_（i+1）<=1+N_i，我们会得到加泰罗尼亚数字A000108号而不是贝尔号码。
（完）
二项式系数b（i，j）的无穷低三角矩阵的指数中的项f（i，j）是f（i、j）=b（i、j）e a（i-j）-大卫·帕西诺2008年12月4日
当每个结果以“1”开头时，（[1,0,0,0，…]的二项式变换）的重复迭代将收敛于（1，2，5，15，52，…）；这样最终结果就是固定极限：（[1,1,2,5,15，…]的二项式变换）=（1,2,5,15,52，…）-加里·亚当森，2009年1月14日
Bell数B（n）和1/Gamma（1+x）的n阶导数之间的关系，在x=1时计算：
a） 通过seq（subs（x=1，simplify（（d^n/dx^n）GAMMA（1+x）^（-1））），n=1..5）产生许多这样的导数；
b） 让它们以digamma（Psi（k））和polygamma（Psi（k，n））函数表示，并且不进行评估；
对于n=1..5，此类表达式的示例如下：
n=1:-Psi（1），
n=2:-（-Psi（1）^2+Psi（1,1）），
n=3:-磅/平方英寸（1）^3+3*磅/平方英尺（1）*磅/立方英寸（1,1）-磅/立方英尺（2,1），
n=4:（-Psi（1）^4+6*Psi（1，
n=5:-磅/平方英寸（1）^5+10*磅/平方毫米；
c） 对于给定的n，读出涉及digamma或polygamma函数的每个项的系数绝对值之和。
这个总和等于B（n）。示例：B（1）=1，B（2）=1+1=2，B（3）=1+3+1=5，B（4）=1+6+3+4+1=15，B（5）=1+10+15+10+5+1=52；
d） 观察到贝尔数B（n）的这种分解显然没有明确涉及第二类斯特林数。
（完）
渐近展开（0！+1！+2！+…+（n-1）！）/（n-1）！=a（0）+a（1）/n+a（2）/n^2+。。。和（0！+1！+2！+…+n！）/n！=1+a（0）/n+a（1）/n^2+a（2）/n^3+-迈克尔·索莫斯2009年6月28日
a（n）=E（X^n），即关于具有（速率）参数泊松分布的随机变量X原点的第n个矩，λ=1-杰弗里·克雷策2009年11月30日
Bell数是任何给定的有限泛代数中不同同态图像数的上限。每个代数同态都由其核决定，其核必须是同余关系。由于关于有限泛代数的可能同余关系的数目必须是其可能等价类（由贝尔数给出）的子集，因此它自然而然地遵循-最大窗台数2010年6月1日
设B（x）=（1+x+2x^2+5x^3+…）。则B（x）满足于A（x）/A（x^2），其中A（xA173110型：（1+x+3x^2+6x^3+20x^4+60x^5+…）=B（x）*B（x^2）*B（x^4）*B（x^8）*-加里·亚当森2010年7月8日
有故障位的二进制计数器从值0开始，并尝试在每一步增加1。每个应该切换的位可能会切换，也可能不会切换。a（n）是计数器在n个步骤后可以使值为0的方式数。例如，当n=3时，5条轨迹为0,0,0.0；0,1,0,0; 0,1,1,0; 0,0,1,0; 0,1,3,0. -大卫·斯卡布勒2011年1月24日
没有贝尔数可以被8整除，也没有贝尔数与模8的6同余；见Lunnon、Pleasants和Stephens中的定理6.4和表1.7-乔恩·佩里，2011年2月7日，澄清人埃里克·罗兰2014年3月26日
a（n+1）是（对称）半正定n×n 0-1矩阵的个数。这些对应于{1，…，n+1}上的等价关系，其中矩阵元素M[i，j]=1当且仅当i和j彼此等价但不等价于n+1-罗伯特·伊斯雷尔2011年3月16日
a（n）是n个顶点上有根树高度小于2的单调标记森林的数量。我们注意到，如果任何父顶点的标签大于任何子顶点的标签，则标记的根树是单调标记的。请参阅链接“使用斯特林和贝尔数字计算森林数量”-丹尼斯·沃尔什2011年11月11日
B（n）计算长度n+1韵律方案，不重复。例如，对于n=2，有5个长度为3的押韵方案（aaa、aab、aba、abb、abc），没有重复的2个押韵方案是aba、abc。这基本上是O.Munagi的结果，即Bell数将分区计算为非连续整数的子集（见2005年3月20日的评论）埃里克·巴赫，2012年1月13日
映射数f:[n]->[n]，其中f（x）<=x，f（f（x-约尔格·阿恩特2013年1月4日
在等价类（i）1-23、3-21、12-3、32-1和（ii）1-32、3-12、21-3、23-1中，[n]的置换避免了8个虚线模式中的任何给定一个。（参见Claesson 2001参考。）-大卫·卡伦2013年10月3日
猜想：没有a（n）的形式是x^m，m>1和x>1-孙志伟2013年12月2日
Sum_{j=0..n}二项式（n，j）*a（j）=（1/e）*Sum_{k>=0｝（k+1）^n/k！=（1/e）总和_｛k=1.oo｝k^（n+1）/k！=a（n+1），n>=0，使用Dobinski公式。查看评论加里·亚当森2008年12月4日，关于帕斯卡特征序列-沃尔夫迪特·朗2015年2月2日
实际上，它并不是帕斯卡矩阵的特征序列；相反，帕斯卡矩阵对序列的作用是一种移位。它是矩阵的本征序列（具有本征值1的唯一本征序列），通过在顶部添加行[1，0，0，0…]从Pascal矩阵导出。二项式和公式可以从分区的定义中导出：标记N个元素的S集合中的任何元素X，并且让X（k）是包含X的S的子集的数目，其中包含k个元素。由于每个子集都有一个唯一陪集，S的分区p（N）的个数由p（N）=Sum_{k=1..N}（X（k）p（N-k））给出；通常X（k）=N-1选择k-1-梅森·博格2015年3月20日
a（n）是嵌套n个matryoshkas（俄罗斯嵌套玩偶）的方法数量：我们可以将{1，2，…，n}标识为大小递增的玩偶，将集合分区的集合标识为一堆玩偶-卡洛·桑纳2015年10月17日
[n]的排列数，其中递增元素连续运行的初始元素按降序排列。a（4）=15:`1234，`2`134，`23`14，`234`1，`24`13，`3`124，`3` 2`14，` 3`24`1，` 34`12，`34`2`1，'4`123，`4`2`13，` 4`23`1，´4`3`12，` 4` 3`2`1`-阿洛伊斯·海因茨2016年4月27日
用交替符号表示，贝尔数是渐近展开式（Ramanujan）中的系数：（-1）^n*(A000166号（n） -n/经验（1））~1/n-2/n^2+5/n^3-15/n^4+52/n^5-203/n^6+O（1/n^7）-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年11月10日
虽然Hürlimann（2009）的结果并没有明确说明这一点，但这可能满足本福德定律-N.J.A.斯隆2017年2月9日
a（n）=总和（形状m的标准完美表格的#，m是n的组成部分），其中该总和是n>0的所有整数组成部分m的总和。用{1，2，…，n}的集合分区来识别大小为n的标准完美表，很容易看出这个公式是成立的。例如，如果我们按字典顺序对4个整数组合求和，我们会看到1+1+2+1+3+3+15=A000110号(4). -约翰·M·坎贝尔2017年7月17日
a（n）也是（n-1）-三角蜂窝bishop图中独立顶点集（和顶点覆盖）的个数-埃里克·韦斯特因2017年8月10日
均匀数条目表示具有可区分的母系和父系等位基因的n个二倍体个体中基因等位基因同一和非同一配置的数量-诺亚·A·罗森博格，2019年1月28日
具有n个元素（偏移量=1）的集合上的部分等价关系（PER）的数量，即对称传递（不一定是自反）关系的数量。这个想法是在集合中添加一个伪元素D，然后对结果取等价关系；然后，对于部分等价关系，删除与D等价的任何内容-大卫·斯皮瓦克2019年2月6日
未标记字母时，长度为n+1且没有重复字母的单词数-托马斯·安东2019年3月14日
由贝克尔和里奥丹（1948）以苏格兰裔美国数学家和作家埃里克·坦普尔·贝尔（1883-1960）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2020年12月4日
还有最多有一个n+1单元素的{1,2，…，n+1}的分区数。例如，a（3）=5:{13|24，12|34，123|4，14|23，1234}-宇春记2020年12月21日
a（n）是在n个元素的集合上西格玛代数的数量。注意，每个sigma代数都是由集合的一个分区生成的。例如，由分区{{1}、{2}、}3,4}}生成的sigma代数是{{}、[1}、[2]、{1,2}，{3,4]、{1,3,4{、{2,3,4neneneep、{1,2,4}-宋嘉宁2021年4月1日
a（n）是n个标记节点上的无P_3图的数量-埃伦·凯西姆2021年6月4日
a（n）是函数X:（[n]选择2）->{+，-}的数目，因此对于任何有序的三元组abc，我们有X（ab）X（ac）X（bc）不在{+-+，++-，-++}中-罗伯特·劳夫2022年12月9日
|
|
|
参考文献
|
Stefano Aguzzoli，Brunella Gerla和Corrado Manara，Goedel和幂零最小逻辑的Poset表示，用符号和定量方法进行不确定性推理，计算机科学讲义，第3571/2005卷，Springer-Verlag。[由添加N.J.A.斯隆2009年7月8日]
S.Ainley，问题19，QARCH，第四期，1980年11月3日。
J.-P.Allouche和J.Shallit，《自动序列》，剑桥大学出版社，2003年，第205页。
W.Asakly，A.Blecher，C.Brennan，A.Knopfmacher，T.Mansour，S.Wagner，《集分割渐近性与古尔德和夸因茨猜想》，《数学分析与应用杂志》，第416卷，第2期，2014年8月15日，第672-682页。
J.Balogh，B.Bollobas和D.Weinreich，跳转到遗传图属性的Bell数，J.Combin。B 95（2005），第1期，29-48。
R.E.Beard，《关于exp（exp（t））和exp（-exp（t。
H.W.Becker，两篇有关贝尔数的论文摘要，公牛。阿默尔。数学。《社会学杂志》，52（1946），第415页。
E.T.Bell，《迭代指数》，《数学年鉴》。，39 (1938), 539-557.
C.M.Bender、D.C.Brody和B.K.Meister，《量子场分区理论》，J.Math。物理。，40,7 (1999), 3239-45.
E.A.Bender和J.R.Goldman，生成函数的枚举用法，印第安纳大学数学系。J.，20（1971），753-765。
G.Birkhoff，晶格理论，Amer。数学。Soc.，修订版，1961年，第108页，示例1。
M.T.L.Bizley，《关于exp（lambda exp（T））展开系数》，《精算师协会杂志》，77（1952），第122页。
J.M.Borwein、D.H.Bailey和R.Girgensohn，《数学实验》，A K Peters有限公司，马萨诸塞州纳蒂克，2004年。x+357页，见第41页。
雅克·卡里尔；科琳·卢塞特；一种网络可靠性评估的分解算法。在1992年第一届图与优化国际学术讨论会上（Grimentz）。离散应用程序。数学。65 (1996), 141-156.
Anders Claesson，广义模式避免，欧洲组合数学杂志，22（2001）961-971。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第210页。
J.H.Conway等人，《事物的对称性》，彼得斯，2008年，第207页。
Colin Defant，高度排序排列和贝尔数，ECA 1:1（2021）文章S2R6。
De Angelis、Valerio和Dominic Marcello。《威尔夫猜想》，《美国数学月刊》123.6（2016）：557-573。
N.G.de Bruijn，《分析中的渐近方法》，多佛，1981年，第3.3节。案例b和6.1-6.3。
J.-M.De Konink，《法定法西斯》，条目52，第19页，《椭圆》，巴黎，2008年。
G.Dobinski，Summierung der Reihe Sum（n ^m/n！）für m=1，2，3，4，5。。。，Grunert Archiv（数学与物理建筑学），61（1877）333-336。
L.F.Epstein，与exp（exp（z））级数相关的函数，J.Math。和物理。，18 (1939), 153-173.
G.Everest、A.van der Poorten、I.Shparlinski和T.Ward，《递归序列》，美国。数学。Soc.，2003年；特别见第255页。
Flajolet，Philippe和Schott，Rene，《非重叠分区，连分式，贝塞尔函数和发散级数》，《欧洲组合杂志》11（1990），第5期，421-432。
马丁·加德纳（Martin Gardner），《分形音乐、Hypercards和更多》（Freeman，1992），第2章。
H.W.Gould，《两种特殊数字序列的研究书目》，Mathematica Monongaliae，第12卷，1971年。
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，混凝土数学，Addison-Wesley，第二版，第493页。
Silvia Heubach和Toufik Mansour，《成分和单词组合学》，CRC出版社，2010年。
M.Kauers和P.Paule，《混凝土四面体》，施普林格出版社2011年，第26页。
D.E.Knuth，《计算机编程的艺术》，第4A卷，组合算法，第7.2.1.5节（第418页）。
克里斯蒂安·克拉姆（Christian Kramp），《莱比锡波利尼奥米歇·勒萨茨》（Der polynomische Lehrsatz）（莱比锡：1796），第113页。
Lehmer，D.H.一些递归序列。《马尼托巴省数值数学会议记录》（曼尼托巴大学，温尼伯，1971年），第15-30页。部门计算。科学。，曼尼托巴大学（Univ.Manitoba，Winnipeg，Man.），1971年。MR0335426（49#208）
J.Levine和R.E.Dalton，一阶贝尔指数整数模p的最小周期，数学。公司。，16 (1962), 416-423.
莱文森，H。；Silverman，R.有限集上的拓扑。二、。《第十届东南组合数学、图论和计算会议论文集》（佛罗里达大西洋大学，佛罗里达州博卡拉顿，1979年），第699-712页，国会。数字。，XXIII-XIV，实用数学。，温尼伯，曼彻斯特，1979年。MR0561090（81c:54006）
S.Linusson，《M序列和f向量的数量》，《组合数学》，19（1999），255-266。
L.Lovasz，《组合问题与练习》，北荷兰，1993年，第14-15页。
M.Meier，关于给定集合的分区数，Amer。数学。《月刊》，114（2007），第450页。
梅里斯、罗素和斯蒂芬·皮尔斯。“贝尔数和r重及物性”，《组合理论杂志》，A辑12.1（1972）：155-157。
莫瑟、利奥和马克斯·怀曼。贝尔数的渐近公式。事务处理。加拿大皇家学会，49（1955），49-53。
A.O.Munagi，非负整数的k-补子集，《国际数学与数学科学杂志》，2005:2，（2005），215-224。
A.Murthy，配分函数的推广，引入Smarandache因子配分，Smarandache概念期刊，第11卷，第1-2-3期，2000年春。
阿玛纳斯·穆尔西（Amarnath Murthy）和查尔斯·阿什巴赫（Charles Ashbacher），广义分割与数论和Smarandache序列的一些新思想，海克斯（Hexis），凤凰（Phoenix）；美国2005年。见第1.4、1.8节。
P.Peart，通过Stieltjes矩阵的Hankel行列式。《第三十一届东南组合数学、图论和计算国际会议论文集》（佛罗里达州博卡拉顿，2000年）。恭喜。数字。144 (2000), 153-159.
A.M.Robert，p-adic分析课程，施普林格出版社，2000年；第212页。
G.-C.罗塔，有限算子微积分。
Frank Ruskey、Jennifer Woodcock和Yuji Yamauchi，计算集合分区对的随机距离和块距离，《离散算法杂志》，第16卷，2012年10月，第236-248页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
R.P.Stanley，枚举组合数学，剑桥；参见第1.4节和示例5.2.4。
Abdullahi Umar，关于降阶有限全变换的半群，Proc。罗伊。《爱丁堡社会》120A（1992），129-142。
Abdullahi Umar，关于部分一对一阶递减有限变换的半群，Proc。罗伊。Soc.Edinburgh 123A（1993），355-363。
|
|
|
链接
|
M.Aigner，贝尔数的一个特征，离散。数学。，205 (1999), 207-210.
M.Aigner，通过选票编号枚举，离散数学。，308 (2008), 2544-2563.
S.Ainley，问题19，QARCH，第四号，1980年11月3日。[带注释的扫描副本]
R.Aldrovandi和L.P.Freitas，动态映射的连续迭代，arXiv:物理学/9712026[math-ph]，1997年。
E.Baake、M.Baake和M.Salamat，连续时间中的一般复合方程及其解，arXiv预印本arXiv:1409.1378[math.CA]，2014-2015。
C.Banderier、M.Bousquet-Mélou、A.Denise、P.Flajolet、D.Gardy和D.Gouyou-Beauchamps，生成树的生成函数《离散数学》246（1-3），2002年3月，第29-55页。
J.-L.Baril、T.Mansour和A.Petrossian，置换模例外的等价类, 2014.
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov和Vincent Vajnovszki，树丛中的图案，arXiv:161107793[cs.DM]，2016年。
H.W.Becker，Rooks和押韵，数学。Mag.，22（1948/49），23-26。
H.W.Becker，Rooks和押韵，数学。Mag.，22（1948/49），23-26。[带注释的扫描副本]
H.W.Becker和D.H.Browne，问题E461和解决方案《美国数学月刊》，第48卷（1941年），第701-703页。
H.W.Becker和John Riordan，贝尔数和斯特林数的算法《美国数学杂志》，第70卷，第2期（1948年），第385-394页。
E.T.Bell，指数阿默尔。数学。月刊，41（1934），411-419。
E.T.Bell，指数多项式、安数学、。，35 (1934), 258-277.
E.A.Bender和J.R.Goldman，生成函数的枚举用法印第安纳大学数学系。J.，20（1971），753-765。[带注释的扫描副本]
M.Bernstein和N.J.A.Sloane，整数的一些正则序列，arXiv:math/0205301[math.CO]，2002；线性算法。应用，226-228（1995），57-72；勘误表320（2000），210。[链接到arXiv版本]
M.Bernstein和N.J.A.Sloane，整数的一些正则序列，线性算法。应用，226-228（1995），57-72；勘误表320（2000），210。[链接到Lin.Alg.Applic.version以及省略的数字]
Daniel Birmajer、Juan B.Gil和Michael D.Weiner，Bell变换族，arXiv:1803.07727[math.CO]，2018年。
P.Blasiak、K.A.Penson和A.I.Solomon，玻色子正规序问题与广义贝尔数，arXiv:定量ph/0212072002。
P.Blasiak、K.A.Penson和A.I.Solomon，一般玻色子正规序问题，arXiv:quant-ph/04020272004年。
托比亚斯·博格（Tobias Boege）和托马斯·卡勒（Thomas Kahle），Gaussoids的施工方法，arXiv:1902.11260[math.CO]，2019年。
托马索·博洛涅西和文森佐·西安西亚，探索名义细胞自动机《程序设计中的逻辑和代数方法杂志》，第93卷（2017年），见第26页。
D.Borwein、S.Rankin、S.和L.Renner，内射部分变换的枚举，离散数学。(1989), 73: 291-296.
Alexander Burstein和I.Lankham，耐心排序堆的组合数学，arXiv:math/0506358[math.CO]，2005-2006年。
Alexander Burstein和Louis W.Shapiro，Riordan群中的伪进化，arXiv:2112.11595[math.CO]，2021。
David Callan和Emeric Deutsch，跑步转换，arXiv预印本arXiv:1112.3639[math.CO]，2011。
M.E.Cesaro，附加差异条件《新数学年鉴》。（3） 《汤姆四世》（1885），第36-40页。
S.D.Chatterji，n个点上的拓扑数，肯特州立大学，NASA技术报告，1966年[带注释的扫描副本]
阿里·乔里亚（Ali Chouria）、弗拉德·弗洛林（Vlad-Florin）·奥盖医生（Drgoi）和珍妮·加布里埃尔·卢克（Jean-Gabriel Luque），递归定义的组合类和标记树，arXiv:2004.04203[math.CO]，2020年。
马丁·科恩（Martin Cohn）、西蒙·埃文（Shimon Even）、卡尔·门格尔（Karl Menger，Jr.）和菲利普·霍珀（Philip K.Hooper），关于一组n个不同对象的分区数阿默尔。数学。《月刊》第69期（1962年），第8期，第782--785页。MR1531841。
马丁·科恩（Martin Cohn）、西蒙·埃文（Shimon Even）、卡尔·门格尔（Karl Menger，Jr.）和菲利普·霍珀（Philip K.Hooper），关于一组n个不同对象的分区数阿默尔。数学。《月刊》第69期（1962年）第8期，782--785MR1531841。[带注释的扫描副本]
C.焦化装置，一类特征序列，离散数学。282 (2004), 249-250.
Laura Colmenarejo、Rosa Orellana、Franco Saliola、Anne Schilling和Mike Zabrocki，多集划分上的插入算法及其在图代数中的应用，arXiv:1905.02071[math.CO]，2019年。
科林·德芬特，高排序排列和贝尔数，arXiv:2012.03869【math.CO】，2020年。
托米斯拉夫·多什利奇和达科·维尔扬，一些组合序列的对数行为，离散数学。308（2008），第11期，2182-2212。MR2404544（2009j:05019）-N.J.A.斯隆2012年5月1日
罗伯特·道赫特·布利斯，高斯珀算法与贝尔数，arXiv:2210.13520[cs.SC]，2022年。
Branko Dragovich，Andrei Yu。Khrennikov和Natasa Z.Misic，整数点上p-Adic函数级数的求和，arXiv:1508.05079[math.NT]，2015年。
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 参见第109、110页
路易斯·亨利·加拉多，贝尔数模p《应用数学电子笔记》，23（2023），40-48。
A.Gertsch和A.M.Robert，关于Bell数的几个同余，公牛。贝尔格。数学。Soc.3（1996），467-475。
杰库泰尔·金斯堡，迭代指数，脚本数学。，11 (1945), 340-353. [带注释的扫描副本]
W.S.Gray和M.Thitsa，系统互连与组合整数序列，in：系统理论（SSST），2013年第45届东南研讨会，会议日期：2013年3月11日至11日。
A.Horzela、P.Blasiak、G.E.H.Duchamp、K.A.Penson和A.I.Solomon，乘积公式与组合场论，arXiv:quant ph/0409152，2004年。
Giovanni Cerulli Irelli、Xin Fang、Evgeny Feigin、Ghislain Fourier和Markus Reineke，标记变体的线性退化：部分标记、定义方程和组操作，arXiv:1901.11020[math.AG]，2019年。
M.Klazar，计算奇偶分区阿默尔。数学。月刊，110（2003年第6期），527-532。
T.Mansour、A.Munagi和M.Shattuck，递归关系与二维集划分，J.国际顺序。14 (2011) # 11.4.1.
T.Mansour和M.Shattuck，集合划分中的峰谷计数，J.国际顺序。13 (2010), 10.6.8.
Toufik Mansour和Mark Shattuck，与贝尔数有关的一个递归，INTEGERS 11（2011），#A67。
M.D.Moffitt，拓扑网络优化的搜索策略《AAAI人工智能会议论文集》，36（9）（2022），10299-10308。
N.Moreira和R.Reis，有限集划分语言的密度《整数序列杂志》，第8卷（2005年），第05.2.8条。
利奥·莫瑟和马克斯·怀曼，Bell数的一个渐近公式，事务处理。加拿大皇家学会，49（1955），49-53。[带注释的扫描副本]
T.S.Motzkin，气缸和其他分类号的分类号，《组合数学》。交响乐团。纯数学。19，AMS，1971年，第167-176页。[带注释的扫描副本]
A.O.Munagi，非负整数的k-互补子集，《国际数学与数学科学杂志》，2005:2（2005），215-224。
伊曼纽尔·穆纳里尼q-偏差标识，J.国际顺序。，第23卷（2020年），第20.3.8条。
A.M.Odlyzko，《渐近枚举法》，R.L.Graham等人编辑，第1063-1229页，《组合数学手册》，1995年；参见示例5.4和12.2。(pdf格式,秒)
G.Pfeiffer，计算传递关系《整数序列杂志》，第7卷（2004年），第04.3.2条。
冯琦，Bell数的几个不等式，程序。印度科学院。科学。数学。科学。127:4（2017），第551-564页。
M.Rayburn，关于有限集的Borel域，程序。阿默尔。数学。。《社会学杂志》，19（1968），885-889。[带注释的扫描副本]
A.Ross，PlanetMath.org，潜水钟编号
G.-C.罗塔，一个集合的分区数阿默尔。数学。月刊71 1964 498-504。
埃里克·罗兰，模8钟形数，收录于《弦论的组合数学和算法》，2014年，第42页
沙塔克先生，广义r-Lah数，arXiv预印本arXiv:1412.8721[math.CO]，2014。
A.I.Solomon、P.Blasiak、G.Duchamp、A.Horzela和K.A.Penson，组合物理、正规序和模型费曼图，arXiv:quant-ph/03101742003年。
A.I.Solomon、P.Blasiak、G.Duchamp、A.Horzela和K.A.Penson，配分函数和图：一种组合方法，arXiv:quant-ph/04090822004年。
Z.-W.孙，涉及算术序列的猜想《数论：香格里拉的算术》（编辑：S.Kanemitsu、H.Z.Li和J.Y.Liu），Proc。第六届中日Sem.数论（上海，2011年8月15日至17日），世界科学。，新加坡，2013年，第244-258页发件人N.J.A.斯隆2012年12月28日
斯齐拉德·萨莱，多体量子关联的分类，arXiv:1806.04392[quant-ph]，2018年。
J.Touchard，指数与贝努利指数、加拿大。数学杂志。，8 (1956), 305-320.
F.V.Weinstein，关于斐波那契分区的注记，arXiv:math/0307150[math.NT]，2003-2015（见第16页）。
H.S.Wilf，生成函数学，第2版。，纽约学术出版社，1994年，第21页及其后。
罗曼·维图拉（Roman Witula）、达米安·斯洛塔（Damian Slota）和埃德塔·赫特马尼科（Edyta Hetmanik），不同已知整数序列之间的桥《Annales Mathematicae et Informaticae》，41（2013），第255-263页。
吴德凯、K.Addanki和M.Saers，将嘻哈挑战回应歌词建模为机器翻译，Simaan，K.，Forcada，M.L.，Grasmick，D.，Depraetere，H.，Way，A.（编辑）《第十四届机器翻译峰会论文集》（尼斯，2013年9月2-6日），第109-116页。
严春燕、林志聪，避免模式对的反转序列，arXiv:1912.03674[math.CO]，2019年。
温斯顿·杨，钟形数和k树，光盘。数学。156 (1996) 247-252. MR1405023（97c:05004）
阿卜杜勒穆内·泽基里、法里德·本切里夫和拉希德·布马赫迪，阿波斯托恒等式的推广，J.国际顺序。，第21卷（2018年），第18.5.1条。
|
|
|
配方奶粉
|
例如：exp（exp（x）-1）。
递归：a（n+1）=Sum_{k=0..n}a（k）*二项式（n，k）。
a（n）=总和{k=0..n}箍筋2（n，k）。
a（n）=和{j=0..n-1}（1/（n-1）！）*A000166号（j） *二项式（n-1，j）*（n-j）^（n-1）-安德烈·拉博西埃2004年12月1日
通用公式：（和{k>=0}1/（（1-k*x）*k！）/exp（1）=超地理学（[-1/x]，[（x-1）/x]超几何（[-mu]，[nu+1]，z）是拉盖尔函数，拉盖尔多项式的解析推广，对于mu不等于非负整数。这个生成函数在x=0附近有无穷多个极点-卡罗尔·彭森2002年3月25日
a（n）=经验（-1）*和{k>=0}k^n/k！[Dobinski]-贝诺伊特·克洛伊特2002年5月19日
a（n）对n是渐近的*（2 Pi r^2 exp（r））^（-1/2）exp（exp（r）-1）/r^n，其中r是r exp（r）=n的正根。例如，参见Odlyzko参考。
a（n）渐近于b^n*exp（b-n-1/2）*sqrt（b/（b+n）），其中b满足b*log（b）=n-1/2（参见Graham，Knuth和Patashnik，《混凝土数学》，第二版，第493页）-贝诺伊特·克洛伊特，2002年10月23日，更正人瓦茨拉夫·科特索维奇2013年1月6日
Lovasz（组合问题和练习，North-Holland，1993，第1.14节，问题9）给出了另一个渐近公式，由Mezo和Baricz引用-N.J.A.斯隆2015年3月26日
G.f.：求和{k>=0}x^k/（乘积{j=1..k}（1-j*x））（参见Klazar的证明）-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月18日
a（n+1）=经验（-1）*和{k>=0}（k+1）^（n）/k-杰拉尔德·麦卡维2004年6月3日
a（n）=和{k=1..n}（1/k！）*（和{i=1..k}（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*i^n+0^n）-保罗·巴里2005年4月18日
a（n）=（2*n！/（Pi*e））*Im（Integral_{x=0..Pi}e^（e^）（i^（ix）））sin（nx）dx），其中Im表示虚部[Cesaro]-大卫·卡伦2005年9月3日
O.g.f.：1/（1-x-x^2/（1-2*x-2*x^2/（1-3*x-3*x^2/（…/（1-n*x-n*x^ 2/（…））））（因弗拉霍雷博士的缘故，继续分数）-保罗·D·汉纳2006年1月17日
贝尔数B（n）的表示，n=1,2，。。。，作为（n-1）F（n-1）型超几何函数的特殊值，在Maple符号中：B（n）=exp（-1）*超几何（[2,2，…，2]，[1,1，…，1]，1），n=1,2，。。。，即，分子中n-1个参数全部等于2，分母中n-1参数全部等于1，参数值等于1。
示例：
B（1）=exp（-1）*hypergeom（[]，[]，1）=1
B（2）=exp（-1）*hypergeom（[2]，[1]，1）=2
B（3）=exp（-1）*高地层（[2,2]，[1,1]，1）=5
B（4）=exp（-1）*高地层（[2,2,2]，[1,1,1]，1）=15
B（5）=exp（-1）*超深层（[2,2,2,2]，[1,1,1]，1）=52
（警告：此公式是正确的，但计算机应用此公式可能无法产生准确的结果，尤其是使用大量参数时。）
（完）
a（n+1）=1+求和{k=0..n-1}求和{i=0..k}二项式（k，i）*（2^（k-i））*a（i）-亚尔钦·阿克塔尔2007年2月27日
a（n）=[1,0,0，…，0]T^（n-1）[1,1,1，…，1]'，其中T是n×n矩阵，主对角线{1,2,3，…，n}，1位于对角线正上方，0位于其他位置。[梅耶]
a（n）=（（2*n！）/（Pi*e））*意象部分（积分[从0到Pi]（e^e^e~（i*theta））*sin（n*theta，数据eta）-乔纳森·沃斯邮报2007年8月27日
a（n）=T（n，1）=Sum_{j=0..n}S2（n，j）=Summ_{j=0..n}E（n，j）*Lag（n，-1，j-n）=Sum _{j=0..n}[E（n、j）/n！]*[n！*Lag；S2（n，j），第二类斯特林数；E（n，j），欧拉数；和Lag（n，x，m），相关的m阶Laguerre多项式。注意E（n，j）/n！=E（n，j）/（和{k=0..n}E（n、k））。
欧拉数计算排列上升，表达式[n！*Lag（n，-1，j-n）]为A086885号用座位安排的简单组合解释，对n*a（n）=Sum_{j=0.n}E（n，j）*[n！*Lag（n，-1，j-n）]。
（完）
定义f_1（x）、f_2（x）。。。f_1（x）=e^x，n=2,3，。。。f{n+1}（x）=（d/dx）（x*fn（x））。那么对于贝尔数B_n，我们得到B_n=1/e*f_n（1）-米兰Janjic2008年5月30日
a（n）=（n-1）！求和{k=1..n}a（n-k）/（n-k！（k-1）！）其中a（0）＝1-托马斯·维德2008年9月9日
a（n+k）=和{m=0..n}斯特林2（n，m）和{r=0..k}二项式（k，r）m^ra（k-r）.-大卫·帕西诺（davepasino（AT）yahoo.com），2009年1月25日。（通常，这可以写成a（n+k）=Sum_{m=0..n}斯特林2（n，m）（a+m）^k-N.J.A.斯隆2009年2月7日）
a（n）=和{k_1=0..n+1}和{k_2=0..n}。。。和{k_i=0..n-i}。。。总和｛k_n=0..1｝
δ（k_1，k_2，…，k_i，…，kN）
其中，如果k_i>k_（i+1）且k_（i+1）<>0，则δ（k_1，k_2，…，k_i，…，kN）=0
否则，δ（k_1，k_2，…，k_i，…，kN）=1。
（完）
设A是n阶上Hessenberg矩阵，定义为：A[i，i-1]=-1，A[i、j]：=二项式（j-1，i-1），（i<=j），否则A[i和j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=det（a）-米兰Janjic2010年7月8日
G.f.：1/（1-x/（1-1*x/（1-x/（1-2*x/…））））-迈克尔·索莫斯2012年5月12日
a（n+1）=总和{m=0..n}箍筋2（n，m）*（m+1），n>=0。与上述a（n）的第三个公式进行比较。这里Stirling2=A048993号. -沃尔夫迪特·朗2015年2月3日
G.f.：（-1）^（1/x）*（（-1/x）/e+（！（-1-1/x））/x）其中z！还有！z是阶乘和子阶乘，推广到复杂参数-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月24日
例如：exp（exp（x）-1）=1+x/（g（0）-x）；G（k）=（k+1）*贝尔（k）+x*贝尔（k+1。
通用公式：W（x）=（1-1/（G（0）+1））/exp（1）；G（k）=x*k^2+（3*x-1）*k-2+x-（k+1）*（x*k+x-1）^2/G（k+1；（连续分数欧拉类，1步）。
G.f.：W（x）=（1+G（0）/（x^2-3*x+2））/exp（1）；G（k）=1-（x*k+x-1）/（（k+1）！）-（（（k+1）！）^2） *（1-x-k*x+（k+1）！）/（（（k+1）！）*（1-x-k*x+（k+1）！）-（x*k+2*x-1）*（1-2*x-k*x+（k+2）！）/G（k+1））；（续分数）。
G.f.:A（x）=1/（1-x/（1-x/（1+x/G（0）））；G（k）=x-1+x*k+x*（x1+x*k）/G（k+1）；（连分数，1步）。
G.f.：-1/U（0），其中U（k）=x*k-1+x-x ^2*（k+1）/U（k+1）；（连分数，1步）。
G.f.：1+x/U（0），其中U（k）=1-x*（k+2）-x^2*（k+1）/U（k+1；（连分数，1步）。
通用系数：1+1/（U（0）-x），其中U（k）=1+x-x*（k+1）/（1-x/U（k+1；（连分数，2步）。
G.f.：1+x/（U（0）-x），其中U（k）=1-x*（k+1）/（1-x/U（k+1；（连分数，2步）。
G.f.：1/G（0），其中G（k）=1-x/（1-x*（2*k+1）/（1-x/（1-x*（2*k+2）/G（k+1）））；（续分数）。
G.f.:G（0）/（1+x），其中G（k）=1-2*x*（k+1）/；（续分数）。
通用公式：-（1+2*x）*Sum_{k>=0}x^（2*k）*（4*x*k^2-2*k-2*x-1）/（（2*k+1）*（2*x*k-1））*A（k）/B（k）其中A（k。
G.f.：（G（0）-1）/（x-1），其中G（k）=1-1/（1-k*x）/（1-x/（x-1/G（k+1））；（续分数）。
G.f.：1+x*（S-1），其中S=Sum_{k>=0}（1+（1-x）/（1-x-x*k））*（x/（1-x。
G.f.：（G（0）-2）/（2*x-1），其中G（k）=2-1/（1-k*x）/（1-x/（x-1/G（k+1）））；（续分数）。
G.f.:-G（0），其中G（k）=1-（x*k-2）/（x*k-1-x*（x*k-1）/（x+（x*km-2）/G（k+1））；（续分数）。
G.f.:G（0），其中G（k）=2-（2*x*k-1）/（x*k-1-x*（x*k-1）/；（续分数）。
G.f.：（G（0）-1）/（1+x），其中G（k）=1+1/（1-k*x）/（1-x/（x+1/G（k+1）））；（续分数）。
G.f.：1/（x*（1-x）*G（0））-1/x，其中G（k）=1-x/（x-1/（1+1/（x*k-1）/G（k+1））；（续分数）。
G.f.：1+x/（Q（0）-x），其中Q（k）=1+x/（x*k-1）/Q（k+1）；（续分数）。
G.f.：1+x/Q（0），其中Q（k）=1-x-x/（1-x*（k+1）/Q（k+1；（续分数）。
G.f.：1/（1-x*Q（0）），其中Q（k）=1+x/（1-x+x*（k+1）/（x-1/Q（k+1；（续分数）。
G.f.：Q（0）/（1-x），其中Q（k）=1-x^2*（k+1）/；（续分数）。
（完）
a（n）~exp（exp（W（n））-n-1）*n^n/W（n）^（n+1/2），其中W（x）是Lambert W函数-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年11月1日
a（n）~n^n*exp（n/LambertW（n）-1-n）/（sqrt（1+LambertW（n-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年11月13日
a（n）是-exp（-1）*（-1）^x*x*Gamma（-x，0，-1）的渐近展开式中的系数，其中Garma（a，z0，z1）是广义不完全Gamma函数-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年11月12日
a（n）=1+楼层（exp（-1）*Sum_{k=1..2*n}k^n/k！）-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年11月13日
a（n）=和{k=0..n}超几何（[1，-k]，[]，1）*Stirling2（n+1，k+1）=和182386年（k） *箍筋2（n+1，k+1）-梅利卡·特布尼2022年7月2日
|
|
|
例子
|
G.f.=1+x+2*x^2+5*x^3+15*x^4+52*x^5+203*x^6+877*x^7+4140*x^8+。。。
来自Neven Juric，2009年10月19日：（开始）
n=4的a（4）=15韵律方案为
aaaa，aaab，aaba，aabb，aabc，abaa，abab，abac，abba，abbc
n=5的a（5）=52韵律方案为
aaaaa、aaaab、aaaba、aaabb、aaabc、aabaa、aabab、aabac、aabba、aabbb、aabbc、aabca、aabcb、aabcc、aaabcd、abaaa、ababab、abaac、ababba、ababb、ababbc、abaca、abac、ababacb、abacb、abcca、abccb、abccc、abccd、abcda、abcdb、abcdc、，abcdd，abcde
（完）
限制增长字符串（RGS）：
对于n=0，有一个空字符串；
对于n=1，有一个字符串[0]；
对于n=2，有2个字符串[00]、[01]；
对于n=3，有（3）=5个字符串[000]、[001]、[010]、[011]和[012]；
对于n=4，有a（4）=15个字符串
1: [0000], 2: [0001], 3: [0010], 4: [0011], 5: [0012], 6: [0100], 7: [0101], 8: [0102], 9: [0110], 10: [0111], 11: [0112], 12: [0120], 13: [0121], 14: [0122], 15: [0123].
这些是与押韵方案的一对一（识别a=0、b=1、c=2等）。
（完）
考虑集合S={1,2,3,4}。a（4）=1+3+6+4+1=15分区是：P1={{1}，{2}，}3}，[4]}；第21页。。P23={a，4}，S\{a，4]}，a=1，2，3；第24页。。P29={{a}，{b}，S\{a，b}}，其中1<=a<b<=4；第31页。。P34={S\{a}，{a}}，a=1。。4; P4={S}。有关图形说明，请参阅Bottomley链接-M.F.哈斯勒2017年10月26日
|
|
|
MAPLE公司
|
A000110号：=proc（n）选项记忆；如果n<=1，则另加1（二项式（n-1，i）*A000110号（n-1-i），i=0..n-1）；fi；end:#版本1
A:=系列（exp（x）-1），x，60）：A000110号：=n->n*系数（A，x，n）：#版本2
规范：=[S，{S=集（U，卡>=1），U=集（Z，卡>=1）}，标记]：G:={P=集（集（原子，卡>0））}:combstruct[gfsolve]（G，未标记，x）：seq（combstrut[count]（[P，G，标记]，大小=i），i=0..22）；#版本5，零入侵拉霍斯2007年12月16日
BellList:=proc（m）局部A，P，n；答：=[1，1]；P:=[1]；对于从1到m的n-2 do
P:=列表工具：-部分和（[A[-1]，op（P）]）；A:=[op（A），P[-1]]od；A结束：BellList（29）#彼得·卢什尼2022年3月24日
|
|
|
数学
|
f[n_]：=总和[StirlingS2[n，k]，{k，0，n}]；表[f[n]，{n，0，40}](*罗伯特·威尔逊v*)
表[BellB[n]，｛n，0，40｝](*哈维·P·戴尔2011年3月1日*）
B[0]=1；B[n_]：=1/E和[k^（n-1）/（k-1）！，{k，1，无穷}](*迪米特里·帕帕佐普洛斯，2015年3月10日，编辑M.F.哈斯勒2018年11月30日*）
b[1]=1；k=1；扁平[{1，表[Do[j=k；k+=b[m]；b[m]=j；，{m，1，n-1}]；b[n]=k，{n，1，40}]}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2019年9月7日*）
表[j！系数[Series[Exp[Exp[x]-1]，{x，0，20}]，x，j]，{j，0，20}](*尼古拉·潘泰利迪斯2023年2月1日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=my（m）；如果（n<0，0，m=contfracpnqn（矩阵（2，n\2，i，k，如果（i==1，-k*x^2，1-（k+1）*x））；polcoeff（1/（1-x+m[2，1]/m[1，1]）+x*O（x^n），n））}/*迈克尔·索莫斯*/
（PARI）{a（n）=polcoeff（和（k=0，n，prod（i=1，k，x/（1-i*x）），x^n*O（x））（n）}/*迈克尔·索莫斯2004年8月22日*/
（PARI）a（n）=圆形（exp（-1）*suminf（k=0，1.0*k^n/k！）\\戈特弗里德·赫尔姆斯，2007年3月30日-警告！仅供说明：如果n=42，则给出错误的结果，如果n>42，则返回错误，标准精度为38位-M.F.哈斯勒2018年11月30日
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n！*polcoeff（exp（x+x*O（x ^n））-1），n））}/*迈克尔·索莫斯2009年6月28日*/
（PARI）Vec（塞拉普拉斯（exp（'x+O（'x^66））-1））\\约尔格·阿恩特2012年5月26日
（Sage）来自Sage.combinat.expnums import expnums2；扩展2（30，1）#零入侵拉霍斯2008年6月26日
（鼠尾草）[（0..40）中n的bell_number（n）]#G.C.格鲁贝尔2019年6月13日
（Python）#此实现的目标是提高效率。
#m->[a（0），a（1），…，a（m）]对于m>0。
A=[范围（m）内的i为0]
A[0]=1
R=[1，1]
对于范围（1，m）内的n：
A[n]=A[0]
对于范围（n，0，-1）中的k：
A[k-1]+=A[k]
R.append（A[0]）（右附加）
返回R
（Python）
#需要python 3.2或更高版本。否则，请在python文档中使用累积的定义。
从itertools导入累加
对于范围（20）内的_：
整体叶盘=列表（累加（[b]+整体叶盘））
b=blist[-1]
（Python）
来自sympy import bell
打印（[范围（27）中n的贝尔（n）]）#迈克尔·布拉尼基2021年12月15日
（Python）
从functools导入缓存
@高速缓存
定义a（n，k=0）：返回int（n<1）或k*a（n-1，k）+a（n-l，k+1）
打印（[a（n）代表范围（27）中的n]）#彼得·卢什尼2022年6月14日
（岩浆）[贝尔（n）：n in[0..40]]//文森佐·利班迪2011年2月7日
（Maxima）标记列表（beln（n），n，0，40）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年7月4日*/
（哈斯克尔）
类型N=整数
n_partitioned_k:：n->n->n
1`n_partitioned_k`1=1
1`n_partitioned_k`_=0
n`n_partitioned_k`k=k*（pred n`n_partitioned_k`k）+（pred n`n_partitioned_k`pred k）
n_分区：：n->n
n分区0=1
n_partitioned n=总和$map（\k->n`n_partioned_k`k）$[1..n]
（哈斯克尔）
（朱莉娅）
函数a（n）
t=[零点（BigInt，n+1）对于_ in 1:n+1]
t[1][1]=1
对于2:n+1中的i
t[i][1]=t[i-1][i-1]
对于2:i中的j
t[i][j]=t[i-1][j-1]+t[i][j-1]
结束
结束
对于1:n+1中的i，返回[t[i][1]
结束
（Perl）
使用bignum；子a{my（$n）=@_；我的@t=映射{[（0）x（$n+1）]}0..$n$t[0][0]=1；对于我的$i（1..$n）{$t[$i][0]=$t[$1-1][$i-1]；对于我的$j（1..$1）{$t[$i][$j]=$t[$1][$j-1]+$t[$i][$j-1]}}}返回映射{$t[$_][0]}0..$n-1}打印连接（“，”，a（28）），“\n”#保罗·穆尔贾迪2024年5月8日
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A000045号,A000108号,A000166号,A000204号,A000255号,A000311号,A000296号,A003422号,A024716号,A029761号,A049020号,A058692号,A060719号,A084423号,A087650号,A094262号,A103293号,A165194号,A165196号,A173110型,A227840型,182386年.
|
|
|
关键词
|
核心,非n,容易的,美好的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A000522号
|
| n个元素集中不同元素的有序k元组（k=0..n）总数：a（n）=Sum_{k=0..n}n/k！。
（原名M1497 N0589）
|
|
+10
285
|
|
|
|
1, 2, 5, 16, 65, 326, 1957, 13700, 109601, 986410, 9864101, 108505112, 1302061345, 16926797486, 236975164805, 3554627472076, 56874039553217, 966858672404690, 17403456103284421, 330665665962404000, 6613313319248080001, 138879579704209680022, 3055350753492612960485, 70273067330330098091156
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
n集合的所有子集的排列总数。
也指可以由n个不同对象形成的一对一序列的数量。
旧名称“n个元素的集合的排列总数”，或与单词“排列”相同，两者听起来太像了A000142号.
a（n）也是n+2个顶点上的完整图中从一个顶点v1开始到另一个v2结束的路径数（没有循环）。示例：当n=2时，完整图中有5条路径，其中4个顶点从顶点1开始，到顶点2结束：（12），（132），（142），，（1342），（1432），因此a（2）=5Avi Peretz（njk（AT）netvision.net.il），2001年2月23日；Jonathan Coxhead于2003年3月21日更正的评论
也包括表中的行总和A008279号，它可以由x^k的导数生成。例如，对于y=1*x^3，y'=3x^2，y“=6x，y''=6，因此a（4）=1+3+6+6=16-阿尔福德·阿诺德，1999年12月15日
a（n）是n×n矩阵的永久值，对角线上有2s，其他地方有1s尤瓦尔·德克尔，2003年11月1日
斯特林变换A006252美元（n-1）=[1,1,1,2,4,14,38，…]是一个（n-1）=[1,2,5,16,65，…]-迈克尔·索莫斯2004年3月4日
超八面体群中避免符号置换的{12,12*，21*}-和{12,12_，2*1}-的数目。
a（n）=b，这样积分{x=0..1}x^n*exp（-x）dx=a-b*exp-塞巴斯蒂安·杜莫尔蒂尔2005年3月5日
a（n）是[n+1]上的排列数，其从左到右的记录低点都出现在开始处。例如：a（2）统计[3]上除231之外的所有排列（最后一个条目是历史最低值，但它的前一个条目不是）-大卫·卡伦2005年7月20日
a（n）是[n+1]上避免（分散）模式1-2-3的排列数。竖线表示“3”必须出现在排列的末尾。例如，21354不按（4）计算：234是一个冒犯性的子置换-大卫·卡伦2005年11月2日
高度n+1的装饰多边形的数量，沿着下轮廓没有凹角（即没有垂直台阶，后面跟着水平台阶）。换句话说，a（n）=A121579号（n+1,0）。装饰多面体是一种定向柱-凸多面体，其中沿对角线测量的高度仅在最后一列中获得。例如：a（1）=2，因为只有垂直和水平多米诺骨牌才是高度为2的装饰性多面体，它们的下半身没有凹角-Emeric Deutsch公司2006年8月16日
e的泰勒级数部分和的未约化分子-乔纳森·桑多2006年8月18日
a（n）是[n+1]上的排列数（以单行记数法书写），其中从1开始的子序列正在增加。例如：a（2）=5计数123、213、231、312、321-大卫·卡伦2006年10月6日
a（n）是集合[n+k]上的置换数（用单行符号表示），k>=1，其中子序列从1,2开始，。。。，k在增加。例如：n=2，k=2。a（2）=5计数1234、3124、3412、4123、4312-彼得·巴拉2014年7月29日
a（n）和（1，-2,3，-4,5，-6,7，…）在表分区转换和中描述的相关操作下形成倒易对A133314号. -汤姆·科普兰2007年11月1日
考虑由前n个整数组成的集合{1,2,3，…，n}的子集。例如，对于n=3，我们有{}、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}。让变量sbst表示子集。对于每个子集sbst，我们确定其部件数，即nprt（sbst）。所有可能子集的总和都写为sum_{sbst=subsets}。那么a（n）=Sum_{sbst=subsets}nprt（sbst）！。例如，对于n=3，我们有1+1!+1!+1!+2!+2!+2!+3!=16. -托马斯·维德，2006年6月17日
对于正n，等于1/BarnesG（n+1）乘以n×n矩阵的行列式，该矩阵的（i，j）-系数是第（i+j）个Bell数-约翰·M·坎贝尔2011年10月3日
a（n）是n X n个二进制矩阵的数目，其中i）每行和每列最多有一个1，ii）包含1的行子集也必须是包含1的列。囊性纤维变性。A002720型其中删除了限制ii-杰弗里·克雷策2011年12月20日
限制增长字符串（RGS）的数量[d（1），d（2），…，d（n）]，使得d（k）<=k和d（k。非零数字的位置决定子集，其值（减少1）是置换的（左）反转表（上升阶乘数），见示例-约尔格·阿恩特2012年12月9日
限制增长字符串（RGS）的数量[d（0），d（1），d（2），…，d（n）]，其中d（k）>=0，d（k）<=1+chg。将函数chg（.）替换为函数asc（.），该函数计算前缀中的升序A022493号（上升序列）-约尔格·阿恩特2013年5月10日
卢卡·什帕林斯基（Luca&Shparlinski）的摘要中提到了序列t（n）=i的数量<=n，使得楼层（ei！）是一个正方形。对于0≤n≤2，值为t（n）=0；对于至少3≤n≤300，值为t（n）=1-R.J.马塔尔2014年1月16日
a（n）是当一个或多个人选择不排队时，最多n个人可以在（慢）售票处排队的方式。注意，有C（n，k）组k个人，他们quene up和k！排队的方式。由于k可以从0到n运行，a（n）=Sum_｛k=0..n｝n/（n-k）！=求和{k=0..n}n/k！。例如，如果n=3，人是A（dam）、B（eth）和C（arl），那么A（3）=16，因为有16个可能的队列：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA、AB、BA、AC、CA、BC、CB、A、B、C和空队列-丹尼斯·沃尔什2015年10月2日
作为的行总和A008279号，Motzkin对a（n）使用缩写符号$n_<^\Sigma$。
分段多项式函数f由f（x）=a（n）*x^n/n！在每个区间[1-1/a（n），1-1/a（n+1））在[0,1）上是连续的，并且lim_{x->1}f（x）=e-卢克·卢梭2019年10月15日
a（n）是3<=n<=2015的复合，但a（2016）是质数（或至少是强伪质数）：见Johansson链接-罗伯特·伊斯雷尔2020年7月27日
一般来说，形式为a（0）=a，a（n）=n*a（n-1）+k，n>0的序列将具有n*a+楼层（n！*（e-1））*k-加里·德特利夫斯2020年10月26日
a（2*n）是奇数，a（2xn+1）是偶数。更一般地说，对于所有n和k，a（n+k）==a（n）（mod k）。由此可知，对于每个正整数k，通过减少a（n；例如，a（5*n+2）==a（5*n+4）==0（mod 5），a（25*n+7）==a（25*n+19）==0。（完）
在具有n个候选人的典型排名选择投票中可能的排名选项数（允许低于票数）-P.克里斯托弗·斯塔克2024年5月5日
|
|
|
参考文献
|
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第75页，问题9。
J.-M.De Konink，《法定法西斯》，条目65，第23页，《椭圆》，巴黎，2008年。
J.M.甘地，关于对数，数学。学生，31岁（1963年），73-83岁。
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第16页。
D.Singh，数字L（m，n）及其与预备伯努利数和欧拉数的关系，数学。学生，20（1952），66-70。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
|
|
|
链接
|
F.Ardila、F.Rincón和L.Williams，正电子束和非交叉分区，arXiv预印本arXiv:1308.2698[math.CO]，2013。
F.Ardila、F.Rincón和L.Williams，正电子束、非交叉分区和正向拟阵，FPSAC 2014，美国芝加哥；离散数学与理论计算机科学（DMTCS）学报，2014年，555-666。
M.Bahrami-Taghanaki、A.R.Moghaddamfar、Nima Salehy和Navid Salehy，矩阵分解中涉及Stirling数的几个恒等式，J.国际顺序。（2024）第24卷第5期，第24.5.3条。见第9页。
C.Banderier、M.Bousquet-Mélou、A.Denise、P.Flajolet、D.Gardy和D.Gouyou-Beauchamps，生成生成树的函数《离散数学》246（1-3），2002年3月，第29-55页。
路易斯·比莱拉（Louis J.Billera）、萨拉·比雷（Sara C.Billey）和瓦苏·特瓦里（Vasu Tewari），布尔积多项式与Schur正性，arXiv:1806.02943[math.CO]，2018年。
奥利维尔·博迪尼（Olivier Bodini）、安托万·杰尼特里尼（Antoine Genitrini）和梅迪·奈玛（Mehdi Naima），等级Schröder树，arXiv:1808.08376[cs.DS]，2018年。
J.Brzozowski和M.Szykula，大型非周期半群，arXiv预印本arXiv:1401.0157[cs.FL]，2013。
Jean Cardinal、Arturo Merino和Torsten Mütze，通过置换语言的组合生成。四、 消除树，arXiv:2106.16204[cs.DM]，2021。
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 见第114页。
Stefan Forcey、Aaron Lauve和Frank Sottile，余代数的Cofree成分《组合数学年鉴》17（1）第105-130页，2013年3月。
Bernd Gaertner、Walter D.Jr.Morris和Leo Ruest，网格的独特下沉方向《算法》，第51卷，第2期/2008年6月。
J.M.甘地，关于对数，数学。学生，31岁（1963年），73-83岁。[带注释的扫描副本]
Xing Gao和William F.Keigher，赫尔维茨级数的交错《代数通信》，45:5（2017），2163-2185，DOI:10.1080/00927872.2016.126885。参见示例2.16。
Lorenz Halbeisen和Norbert Hungerbuehler，组合函数的数论方面，《数论和离散数学笔记》5（1999）138-150。(秒,pdf格式)
Lorenz Halbeisen和Saharon Shelah，算术对集合论的影响《符号逻辑杂志》，第59卷（1994年），第30-40页。
哈萨尼先生，通过e进行计数和计算，arXiv:math/0606613[math.CO]，2006年。
迈克尔·乔斯维格（Michael Joswig）、马克斯·科利姆（Max Klimm）和西尔万·斯皮茨（Sylvain Spitz），广义置换和最优拍卖，arXiv:2108.00979[math.MG]，2021。
T.Manneville和V.Pilaud，图形嵌套复合体的兼容性风扇，arXiv预印本arXiv:1501.07152[math.CO]，2015。
T.Mansour和J.West，避免双字母签名模式，arXiv:math/0207204[math.CO]，2002年。
T.S.Motzkin，气缸和其他分类号的分类号，《组合数学》。交响乐团。纯数学。19，AMS，1971年，第167-176页。[带注释的扫描副本]
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=n*a（n-1）+1，a（0）=1。
a（n）=n！*和{k=0..n}1/k！=n！*号（e-求和{k>=n+1}1/k！）-迈克尔·索莫斯1999年3月26日
a（0）=1；对于n>0，a（n）=楼层（e*n！）。
例如：exp（x）/（1-x）。
积分表示为非负函数在正半轴上的第n个矩：a（n）=e*积分{x=0.无穷}（x^n*e^（-x）*Heaviside（x-1）-卡罗尔·彭森2001年10月1日
公式，用数学符号表示：拉盖尔多项式的特殊值，a（n）=（-1）^n*n*拉盖尔L[n，-1-n，1]，n=1，2。Maple无法检查此关系，因为Maple似乎没有包含第二个索引等于负整数的拉盖尔多项式。它确实与Mathematica相符-卡罗尔·彭森和Pawel Blasiak（Blasiak（AT）lptl.jussieu.fr），2004年2月13日
总频率：Sum_｛k>=0｝k*x^k/（1-x）^（k+1）。a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*k^（n-k）*（k+1）^k-弗拉德塔·乔沃维奇2002年8月18日
a（n）=e*Gamma（n+1,1），其中Gamma（z，t）=Integral_{x>=t}e^（-x）*x^（z-1）dx是不完备的伽玛函数-迈克尔·索莫斯2004年7月1日
a（n）=和{k=0..n}P（n，k）-罗斯·拉海耶2005年8月28日
a（n）=1+n+n*（n-1）+n*不-乔纳森·桑多2006年8月18日
a（n）=Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*k！；解释：对于所有k个子集（sum），选择一个子集（二项式（n，k））和子集置换（k！）-约尔格·阿恩特2012年12月9日
a（n）=积分{x>=0}（x+1）^n*e^（-x）dx-杰拉尔德·麦卡维2006年10月19日
发件人汤姆·科普兰，2007年11月1日，2007年12月10日：（开始）
用1/（1-xDx）=Sum_{j>=0}（xDx*x^j*L（j，-：xD:，0）其中Lag（n，x，0）是0阶Laguerre多项式，D是导数w.r.t.x和（：xD：）^j=x^j*D^j.在j=n项截断算子级数，得到a（0）到a（n）的o.g.f.，与Jovovic的一致。
这些结果与Penson和Blasiak、Arnold、Bottomley和Deleham的结果相关A094587号（与…相反A008279号)，它是n的本影等价物*滞后[n，（.）！*滞后[.，x，-1]，0]=（1-D）^（-1）x^n=（-1）^n*n！滞后（n，x，-1-n）=和{j=0..n}二项式（n，j）*j*x^（n-j）=Sum_{j=0..n}（n！/j！）*x^j.用b（.）替换x，然后让b（n）=1替换所有n，将结果联系起来。请参见A132013号（的倒数A094587号)用于这些操作与1/（1-xDx）之间的连接。
（完）
a（n）=n*e-1/（n+1/（n+1+2/（n+2+3/（n+3+…））））。
渐近结果（Ramanujan）：n*e-a（n）~1/n-1/n^3+1/n^4+2/n^5-9/n^6+。。。，其中序列[1,0，-1,1,2，-9，…]=[（-1）^k*A000587号（k） ]，对于k>=1。
a（n）是一个差可分序列，也就是说，对于所有n和m，差a（n）-a（m）都可以被n-m整除（前提是n不等于m）。对于固定k，定义派生序列a_k（n）=（a（n+k）-a（k））/n，n=1,2,3。那么a_k（n）也是一个差分可除序列。
例如，派生序列a_0（n）就是a（n-1）。满足差分可除性的整数序列集构成一个具有加法和乘法逐项运算的环。
递归关系：当n>=1时，a（0）=1，a（n）=（n-1）*（a（n-1）+a（n-2））+2。a（0）=1，a（1）=2，D-有限递归：a（n）=（n+1）*a（n-1）-（n-1。序列b（n）：=n！满足后一个递推条件，初始条件b（0）=1，b（1）=1。这导致有限连分式展开a（n）/n！=1/（1-1/（2-1/（3-2/（4-…-（n-1）/（n+1））），n>=2。
极限{n->infinity}a（n）/n！=e=1/（1-1/（2-1/（3-2/（4-…-n/（（n+2）-…））））。这是一般结果m的特殊情况m=0/e-d_m=（-1）^（m+1）*（1/（m+2-1/（m+3-2/（m+4-3/（m+5-…）））），其中d_m表示第m个错位数A000166号（m） ●●●●。
（完）
G.f.满足：A（x）=1/（1-x）^2+x^2*A'（x）/（1-x）-保罗·D·汉纳，2008年9月3日
通用公式：1/（1-2*x-x^2/（1-4*x-4*x^2/（1-6*x-9*x^2/（1-8*x-16*x^ 2/（1-10*x-25*x^3/（1-……（连分数））；
通用公式：1/（1-x-x/（1-x/（1-x-2*x/（1-2*x/。
（完）
O.g.f.：和{n>=0}（n+2）^n*x^n/（1+（n+1）*x）^（n+1-保罗·D·汉纳2011年9月19日
G.f.：1/U（0），其中U（k）=1-x-x*（k+1）/（1-x*（k+1）/U（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年10月14日
例如：1/U（0），其中U（k）=1-x/（1-1/（1+（k+1）/U（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2012年11月16日
G.f.：1/（1-x）/Q（0），其中Q（k）=1-x/（1-x；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月19日
G.f.：2/（1-x）/G（0），其中G（k）=1+1/（1-x*（2*k+2）/（x*（2%k+3）-1+x*（2.k+2，/G（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月31日
G.f.：（B（x）+1）/（2-2*x）=Q（0）/（2-2*x），其中B（x。A006183号，Q（k）=1+1/（1-x*（k+1）/（x*（k+1）+（1-x）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月8日
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-2*x*（k+1）-x^2*（k+1）^2/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年9月30日
例如：E^x/（1-x）=（1-12*x/（Q（0）+6*x-3*x^2））/（1-x），其中Q（k）=2*（4*k+1）*（32*k^2+16*k+x^2-6）-x^4*（4*1）*（4xk+7）/Q（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月18日
G.f.：猜想：T（0）/（1-2*x），其中T（k）=1-x^2*（k+1）^2/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月18日
0=a（n）*（+a（n+1）-3*a（n+2）+a（n+3））+a-迈克尔·索莫斯2014年7月4日
a（n）=F（n），其中函数F（x）：=Integral_{0..无穷}e^（-u）*（1+u）^xdu将此序列平滑插值为x的所有实值。注意，F（-1）=G，对于n=2,3，。。。我们有F（-n）=（-1）^n/（n-1）*(A058006型（n-2）-G），其中G=0.5963473623…表示Gompertz常数-见A073003型.
a（n）=n*e-e*（和{k>=0}（-1）^k/（（n+k+1）*k！））。
（完）
a（n）=超几何_U（1，n+2，1）-彼得·卢什尼2014年11月26日
a（n）=圆形（exp（1）*n！），n>1-西蒙·普劳夫2020年7月28日
a（n）=KummerU（-n，-n，1）-彼得·卢什尼2022年5月10日
a（n）=（e/（2*Pi））*Integral_{x=-oo..oo}（n+1+i*x）/（1+i*x）dx-大卫·乌尔吉尼斯2023年4月18日
和{i=0..n}（-1）^（n-i）*二项式（n，i）*a（i）=n-维尔纳·舒尔特2024年4月3日
|
|
|
例子
|
G.f.=1+2*x+5*x^2+16*x^3+65*x^4+326*x^5+1957*x^6+13700*x^7+。。。
对于两个对象，我们可以形成5个序列：（），（a），（b），（a，b），（b，a），所以a（2）=5。
3组的16个排列及其RGS（点表示零）如下
[#]RGS许可。子集的
[ 1] [ . . . ] [ ]
[ 2] [ . . 1 ] [ 3 ]
[ 3] [ . 1 . ] [ 2 ]
[ 4] [ . 1 1 ] [ 2 3 ]
[ 5] [ . 1 2 ] [ 3 2 ]
[ 6] [ 1 . . ] [ 1 ]
[ 7] [ 1 . 1 ] [ 1 3 ]
[ 8] [ 1 . 2 ] [ 3 1 ]
[ 9] [ 1 1 . ] [ 1 2 ]
[10] [ 1 1 1 ] [ 1 2 3 ]
[11] [ 1 1 2 ] [ 1 3 2 ]
[12] [ 1 1 3 ] [ 2 3 1 ]
[13] [ 1 2 . ] [ 2 1 ]
[14] [ 1 2 1 ] [ 2 1 3 ]
[15] [ 1 2 2 ] [ 3 1 2 ]
[16] [ 1 2 3 ] [ 3 2 1 ]
（完）
|
|
|
MAPLE公司
|
a（n）：=exp（1）*int（x^n*exp（-x）*Heaviside（x-1），x=0..无穷大）#卡罗尔·彭森2001年10月1日
G（x）：=exp（x）/（1-x）：f[0]：=G（x；
G： =exp（z）/（1-z）：Gser:=系列（G，z=0，21）：
对于从0到20的n，执行a（n）：=n*系数（Gser，z，n）：结束do
k:=1；级数（hypergeom（[1，k]，[]，x/（1-x））/（1-x），x=0，20）#马克·范·霍伊2011年11月7日
#还有一个Maple程序：
a： =proc（n）选项记忆；
`如果`（n<0，0，1+n*a（n-1））
结束时间：
seq（简化（KummerU（-n，-n，1）），n=0..23）#彼得·卢什尼2022年5月10日
|
|
|
数学
|
表[FunctionExpand[Gamma[n+1，1]*E]，{n，0，24}]
nn=20；累加[表[1/k！，{k，0，nn}]]范围[0，nn]！(*简·曼加尔丹2013年4月21日*）
文件夹列表[#1*#2+#2&，0，范围@23]+1（*或*）
f[n_]：=楼层[E*n！]；f[0]=1；数组[f，20，0](*罗伯特·威尔逊v2015年2月13日*）
递归表[{a[n+1]==（n+1）a[n]+1，a[0]==1}，a，{n，0，12}](*伊曼纽尔·穆纳里尼2017年4月27日*）
nxt[{n，a}]：={n+1，a（n+1）+1}；嵌套列表[nxt，{0，1}，30][[全部，2]](*哈维·P·戴尔2023年1月29日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，a=向量（n+1）；a[1]=1；对于（k=1，n，a[k+1]=k*a[k]+1）；a[n+1]）}/*迈克尔·索莫斯2004年7月1日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n！*polceoff（exp（x+x*O（x^n））/（1-x），n））}/*迈克尔·索莫斯2004年3月6日*/
（PARI）a（n）=局部（a=1+x+x*O（x^n））；对于（i=1，n，A=1/（1-x）^2+x^2*deriv（A）/（1-x））；波尔科夫（A，n）\\保罗·D·汉纳，2008年9月3日
（PARI）{a（n）=局部（X=X+X*O（X^n））/*保罗·D·汉纳*/
（PARI）a（n）=和（k=0，n，二项式（n，k）*k！）\\约尔格·阿恩特2014年12月14日
（哈斯克尔）
导入数据。列表（子序列、排列）
a000522=长度。选择。enumFromTo 1，其中
choices=连接。映射排列。子序列
（鼠尾草）
@缓存函数
定义b（n，i，t）：
如果n<=1：
返回1
范围（t+2）内j的返回和（b（n-1，j，t+（j==i））
定义a（n）：
返回b（n，0，0）
v000522=[范围（33）中的n的a（n）]
打印（v000522）
（Magma）[1]cat[n eq 1 select（n+1）else n*Self（n-1）+1:n in[1..25]]//文森佐·利班迪2015年2月15日
（极大值）a（n）：=如果n=0，则1其他n*a（n-1）+1；名单（a（n），n，0，12）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2017年4月27日*/
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A000166号,A002627号,A006231号,A064383号,A064384号,A008290号,A010844号,A010845型,A014508号,A038159号,A054091号,A058006型,A072453号,A072456号,A073591号,A082030型,A095000型,A095177号,A108625号,A121579号,124479英镑,A142992号,A143007号,A158359号,A158821号,A195254号,A222637号-222639英镑,A038155号,A000217号.
|
|
|
关键词
|
非n,容易的,美好的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A002720型
|
| n-集的部分置换数；n X n个二进制矩阵的数量，每行和每列最多一个1。
（原名M1795 N0708）
|
|
+10
156
|
|
|
|
1, 2, 7, 34, 209, 1546, 13327, 130922, 1441729, 17572114, 234662231, 3405357682, 53334454417, 896324308634, 16083557845279, 306827170866106, 6199668952527617, 132240988644215842, 2968971263911288999, 69974827707903049154, 1727194482044146637521, 44552237162692939114282
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
a（n）也是[1..n]的所有置换的递增子序列的总数（参见Lifschitz和Pittel）-N.J.A.斯隆2012年5月6日
a（n）也是完全二部图K（n，n）中的匹配数沙伦·塞拉（sharonsela（AT）hotmail.com），2002年5月19日
a（n）也是B_n中避免有符号置换的12个数（参见Simion ref）。
a（n）也是对称逆半群（幺半群）I_n.-a.Umar的阶，2008年9月9日
设B_{n}（x）=Sum_{j>=0}exp（j！/（j-n）*x-1）/j！；那么a（n）=2！[x^2]Taylor（B_{n}（x）），其中[x^2]表示B_{n}（x）的Taylor级数中x^2的系数。
a（n）是完全二部图K{n，n}的Hosoya指数-埃里克·韦斯特因，2011年7月9日
a（n）也是n×n板上k个车的非进攻位置的数量，在所有k上求和>=0-瓦茨拉夫·科特索维奇，2012年8月28日
另外，n X n rook图中的顶点覆盖数和独立顶点集数-埃里克·韦斯特因2013年1月4日
a（n）是[n]到[n]的子集中的内射函数数，其中[n]={1,2，…，n}。对于大小为k的子集D，有n/（n-k）！从D到[n]的内射函数。对所有子集求和，得到a（n）=Sum_{k=0..n}C（n，k）*n/（n-k）！=求和{k=0..n}k*C（n，k）^2-丹尼斯·沃尔什2015年11月16日
a（n）/n！是乌拉姆“历史相关随机序列”第n项的期望值。见Kac（1989），等式（2）-N.J.A.斯隆2019年11月16日
对于所有n，a（2*n）是奇数，a（2*n+1）是偶数。更一般地说，对于每个正整数k，a（n+k）==a（n）（mod k）对于所有n。因此，对于每个正向整数k，通过减少a（n==0（mod 7），a（11*n+4）==0-彼得·巴拉2022年11月7日
猜想：a（n）*k是所有整数分区中最大部分的和，这些整数分区包含它们与n+1部分和最小部分k的第一个差异-约翰·泰勒·拉斯科2024年2月28日
|
|
|
参考文献
|
霍伊，《半群理论基础》。牛津：克拉伦登出版社（1995）。【摘自A.Umar，2008年9月9日】
J.Ser，Les Calculs Formels des Séries de Factorielles出版社。高瑟·维拉斯（Gauthier-Villars），巴黎，1933年，第78页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
H.S.Wall，连分式分析理论，切尔西1973年，第356页。
|
|
|
链接
|
弗朗西丝卡·艾卡迪（Francesca Aicardi）、迭戈·阿西斯（Diego Arcis）和杰苏斯·朱尤马亚（Jesús Juyumaya），分枝逆与平面幺半群，arXiv:2210.17461[math.RT]，2022年。
T.Banica，量子部分等距的代数结构，arXiv:11411.0577[数学.OA]，2014-2015年。
C.Banderier、M.Bousquet-Mélou、A.Denise、P.Flajolet、D.Gardy和D.Gouyou-Beauchamps，生成树的生成函数《离散数学》246（1-3），2002年3月，第29-55页。
D.Borwein、S.Rankin、S.和L.Renner，内射部分变换的枚举，离散数学。(1989), 73: 291-296. 【摘自A.Umar，2008年9月9日】
Aria Chen、Tyler Cummins、Rishi De Francesco、Jate Greene、Tanya Khovanova、Alexander Meng、Tanish Parida、Anirudh Pulugurtha、Anand Swaroop和Samuel Tsui，卡片技巧和信息，arXiv:2405.21007[math.HO]，2024。见第14页。
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 见第598页。
瓦茨拉夫·科特索维奇，非攻击性棋子2013年第6版，第219页。
V.Lifschitz和P.Pittel，随机排列的递增子序列的数量J.组合理论系列。A 31（1981），第1、1-20号。MR0626437（84e:05012）
W.D.Munn，对称逆半群的特征，程序。剑桥菲洛斯。《社会分类》第53卷（1957年），第13-18页。【摘自A.Umar，2008年9月9日】
J.Ser，工厂会计1933年，巴黎，戈瑟·维拉斯[当地副本]。
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=和{k=0..n}k*C（n，k）^2。
例如：（1/（1-x））*exp（x/（1-x））-高德纳1995年7月
带递归的D-有限：a（n）=2*n*a（n-1）-（n-1）^2*a（n-2）。
a（n）=和{k=0..n}C（n，k）n/k-保罗·巴里2004年5月7日
a（n）=和{k=0..n}P（n，k）*C（n，k）；a（n）=和{k=0..n}n^2/（k！*（n-k）^2). -罗斯·拉海耶2004年9月20日
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*Stirling1（n，k）*Bell（k+1）-弗拉德塔·乔沃维奇2005年3月18日
通过b（0）=1，b（n）=b（n-1）+（1/n）*Sum_{k=0..n-1}定义b（k）。则b（n）=a（n）/n-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2005年9月5日
渐近地，a（n）/n！~（1/2）*Pi^（-1/2）*exp（-1/2+2*n^（1/2））/n^（1/4），所以a（n）~C*BesselI（0，2*sqrt（n））*n！C=exp（-1/2）=0.6065306597126334236…-Alec Mihailovs，2005年9月6日，建立了一个猜想富兰克林·T·亚当斯-沃特斯
a（n）=（n！/e）*和{k>=0}二项式（n+k，n）/k-戈特弗里德·赫尔姆斯2006年11月25日
积分表示为正函数在正半轴上的第n个矩（Stieltjes矩问题的解），用Maple符号表示：a（n）=int（x^n*BesselI（0,2*sqrt（x））*exp（-x）/exp（1），x=0..无穷大），n=0,1-卡罗尔·彭森和G.H.E.Duchamp（gduchamp2（AT）free.fr），2007年1月9日
a（n）=n！*拉盖尔L[n，-1]。
例如：exp（x）*Sum_{n>=0}x^n/n^2=Sum_{n>=0}a（n）*x^n/n^2. -保罗·D·汉纳2011年11月18日
Stieltjes连分式收敛序列中的分母A073003型，Euler-Compertz常数G:=Integral_{x=0..oo}1/（1+x）*exp（-x）dx：
G=1/（2-1^2/（4-2^2/。参见[墙，第18章，（92.7），a=1]。收敛到连分式的序列开始于[1/2，4/7，20/34，124/209，…]。分子在A002793号.（结束）
G.f.：1=Sum_｛n>=0｝a（n）*x^n*（1-（n+1）*x）^2-保罗·D·汉纳2012年11月27日
例如：exp（x/（1-x））/（1-x）=g（0）/（1-x），其中g（k）=1+x/（（2*k+1）*（1-x；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月28日
a（n）=和{k=0..n}L（n，k）*（k+1）；L（n，k）无符号Lah数-彼得·卢什尼2014年10月18日
0=a（n）*（-24*a（n+2）+99*a n+3））-迈克尔·索莫斯2018年7月31日
|
|
|
例子
|
G.f.=1+2*x+7*x^2+34*x^3+209*x^4+1546*x^5+13327*x^6+130922*x^7+-迈克尔·索莫斯2018年7月31日
|
|
|
MAPLE公司
|
A002720型：=进程（n）导出（-x）*n*hypergeom（[n+1]，[1]，x）；simplify（subs（x=1，%））结束：seq(A002720型（n） ，n=0..25）#彼得·卢什尼2011年3月30日
选项记忆；
如果n<=1，则
n+1；
其他的
2*n*进程名（n-1）-（n-1；
结束条件：；
|
|
|
数学
|
表[n！LaguerreL[n，-1]，{n，0，25}]
递归表[{（n+1）^2 a[n]-2（n+2）a[n+1]+a[n+2]==0，a[1]==2，a[2]==7}，a，{n，25}](*埃里克·韦斯特因2017年9月27日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=和（k=0，n，k！*二项式（n，k）^2）；
（PARI）a（n）=suminf（k=0，二项式（n+k，n）/k！）/（经验（1）/n！）/*戈特弗里德·赫尔姆斯2006年11月25日*/
（PARI）{a（n）=n！^2*polcoeff（exp（x+x*O（x^n））*sum（m=0，n，x^m/m！^2），n）}/*保罗·D·汉纳，2011年11月18日*/
（PARI）{a（n）=如果（n==0，1，polceoff（1-和（m=0，n-1，a（m）*x^m*（1-（m+1）*x+x*O（x^n））^2），n））}/*保罗·D·汉纳，2012年11月27日*/
（PARI）我的（x='x+O（'x^22））；Vec（塞拉普拉斯（（1/（1-x））*exp（x/（1-x，）））\\约尔格·阿恩特2022年8月11日
（岩浆）[因子（n）*求值（拉盖尔多项式（n），-1）：[0.25]]中的n//G.C.格鲁贝尔2022年8月11日
（SageMath）[（0..25）中n的阶乘（n）*laguerre（n，-1）]#G.C.格鲁贝尔2022年8月11日
（Python）
从数学导入阶乘，梳
定义A002720型（n） ：返回和（阶乘（k）*梳（n，k）**范围（n+1）中k的2）#柴华武2023年8月31日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的,美好的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 1, 3, 9, 31, 121, 523, 2469, 12611, 69161, 404663, 2512769, 16485691, 113842301, 824723643, 6249805129, 49416246911, 406754704841, 3478340425563, 30845565317189, 283187362333331, 2687568043654521, 26329932233283223, 265946395403810289, 2766211109503317451
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
最初定义为二项式递推系数数组的主对角线（参见Gould和Quaintance）。也是三角形右对角线的第二个A121207号.
将Bell数的o.g.f.与o.g.f B（x）进行比较，其中B（x）=1+x*B（x/（1-x））/（1-x）-保罗·D·汉纳2012年3月23日
a（n）是{1,2，…，n+1}的集合分区数，其中最后一个块是单元素：这些块按其最小元素的顺序排列。下面给出了一个示例-彼得·巴拉2014年12月17日
|
|
|
链接
|
Walaa Asakly、Aubrey Blecher、Charlotte Brennan、Arnold Knowfmacher、Toufik Mansour和Stephan Wagner，集分割渐近性与Gould和Quaintance猜想《数学分析与应用杂志》，第416卷，第2期，2014年8月15日，第672-682页。
罗伯特·道赫特·布利斯，高斯珀算法与贝尔数，arXiv:2210.13520[cs.SC]，2022年。
Branko Dragovich，Andrei Yu。Khrennikov和Natasa Z.Misic，整数点上p-Adic函数级数的求和，arXiv:1508.05079[math.NT]，2015年。
谢尔盖·基塔耶夫和图菲克·曼苏尔，同时避免广义模式，arXiv:math/0205182[math.CO]，2002年。
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=b（n-2），n>1，b（n）=和{k=1..n}二项式（n，k-1）*b（n-k），b（0）=1-弗拉德塔·乔沃维奇2001年4月28日
偏移量为0，例如f.：x+exp（exp（x））*Integral_{t=0..x}t*exp（-exp（t）+t）dt（适合n=215的递归）-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月25日
递归：a（1）=1，a（2）=1；对于n>2，a（n）=n-1+Sum_{j=2..n-1}二项式（n-1，j）*a（j））[给出a（n+1）]-乔恩·佩里2005年4月26日
O.g.f.满足：A（x）=1+x*A（x/（1-x））/（1-x）^2-保罗·D·汉纳2012年3月23日
发件人彼得·巴拉，2014年12月17日：（开始）
从A（x）=1+O（x）（大Oh符号）开始，我们可以通过重复应用Hanna的上述函数方程，得到O.g.f.的级数展开式：A（x1+x/（1-x）^2+x^2/（（1-x。。。。
a（n）=总和{k=0..n}（总和{j=k..n}斯特林2（j，k）*k^（n-j））。
|
|
|
例子
|
a（3）=9：按照{1,2,3,4}的15个集合分区的块的最小元素的顺序排列，我们找到了9个最后一个块是单元素的集合分区，即123|4、124|3、134|2、1|24|3、1|23|4、12|3|4、13|2|4、14|2|3和1|2|3|4-彼得·巴拉2014年12月17日
|
|
|
MAPLE公司
|
选项记忆；
如果n=0，则
1;
其他的
加法（二项式（n，k-1）*procname（n-k），k=1..n）；
结束条件：；
|
|
|
数学
|
Rest[CoefficientList[假设[Element[x，Reals]，Series[E^E^x*（ExpIntegralEi[-E^x]-ExpIntegralEi[-1]），{x，0，20}]]，x]*Range[0，20]！](*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年2月28日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=局部（a=1+x）；对于（i=1，n，a=1+x*子集（a，x，x/（1-x+x*O（x^n））/（1-x）^2）；polceoff（a，n）}/*保罗·D·汉纳2012年3月23日*/
（哈斯克尔）
a040027 n=头$a046936低（n+1）--莱因哈德·祖姆凯勒2014年1月1日
（Python）
A040027号_list=lambda大小：Gould_diag（2，size）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
容易的,非n,美好的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A099285号
|
| -Ei（-1）的十进制展开式，-1处的负指数积分。 |
|
+10
44
|
|
|
|
2, 1, 9, 3, 8, 3, 9, 3, 4, 3, 9, 5, 5, 2, 0, 2, 7, 3, 6, 7, 7, 1, 6, 3, 7, 7, 5, 4, 6, 0, 1, 2, 1, 6, 4, 9, 0, 3, 1, 0, 4, 7, 2, 9, 3, 4, 0, 6, 9, 0, 8, 2, 0, 7, 5, 7, 7, 9, 7, 8, 6, 1, 3, 0, 7, 3, 5, 6, 8, 6, 9, 8, 5, 5, 9, 1, 4, 1, 5, 4, 4, 7, 2, 2, 2, 1, 0, 2, 5, 1, 0, 3, 5, 1, 3, 7, 2, 4, 9, 9, 5, 4, 7, 5, 8
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,1
|
|
|
评论
|
发散级数g（x=1，m）=1^m*1！-2^m*2！+3^m*3！-4^m*4！+。。。，m=>-1，与-Ei（-1）的值密切相关。我们发现g（x=1，m）=（-1）^m*(A040027号（米）-A000110号（m+1）*Ei（1,1）*exp（1）），参见A163940型我们观察到Ei（1,1）=E（1,1,1）=-Ei（-1）是上述给定的常数，Ei（1.1）*exp（1）=A073003型是Gompertz常数-约翰内斯·梅耶尔2009年10月16日
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
-Ei（-n）=积分_{a=n..无穷大}（积分_{b=1..无穷大}1/e^（a*b）db）da，n>0（根据Mathematica）-Mats Granvik公司2013年5月25日
等于Integral_{x=1..oo}log（x）/exp（x）dx。
等于Integral_{x=0..oo}exp（-exp（x））dx。
等于Integral_{x=0..oo}x*exp（x-exp（x））dx。（完）
|
|
|
例子
|
0.219383934395520273677163775460121649031047293406908207577978613...
|
|
|
MAPLE公司
|
数字：=105:evalf（-Ei（-1））；evalf（Ei（1,1））#约翰内斯·梅耶尔2009年10月16日
|
|
|
数学
|
实际数字[ExpIntegralE[1,1]，10,105][[1]
|
|
|
黄体脂酮素
|
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, -1, 2, -6, 24, -120, 720, -5040, 40320, -362880, 3628800, -39916800, 479001600, -6227020800, 87178291200, -1307674368000, 20922789888000, -355687428096000, 6402373705728000, -121645100408832000, 2432902008176640000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
这个序列的项构成了阶乘级数，欧拉称之为发散级数。
欧拉将这个系列总结为0.596347(A073003型=Gompertz常数）。
A002104年（n+1）=p（-1），其中p（x）是唯一的n次多项式，使得p（k）=a（k）对于k=0，1。。。，-迈克尔·索莫斯2012年4月30日
log（1+x）=和{n>=1}a（n-1）/n*x ^n个-詹姆斯·布登哈根2015年5月24日
似乎a（n）是n+1 X n+1矩阵的行列式，其元素为m（i，j）=商（i/j）+余数（i/j）-安德烈斯·西卡廷2018年2月11日
|
|
|
参考文献
|
A.N.科万斯基。连分式及其推广在逼近理论问题中的应用。格罗宁根：荷兰诺德霍夫，1963年。见第141页（10.19）
R.Roy，《数学发展的来源》，剑桥大学出版社，2011年。见第186页。
|
|
|
链接
|
V.S.Varadarajan，欧拉及其无穷级数著作，公牛。阿默尔。数学。Soc.，44（2007年第4期），515-539。（见第527和530页。）
|
|
|
配方奶粉
|
求和{i=0..n}（-1）^i*i^n*二项式（n，i）=（-1）*n*n！.-Yong Kong（ykong（AT）curagen.com），2000年12月26日
a（n）=[1，-1，2，-6，24，…]的斯特灵变换是A000007号（n） =[1,0,0,0，0，…]。
a（n）=-n*a（n-1），除非n=0。a（n）=（-1）^n*A000142号（n） ●●●●。
例如：1/（1+x）。
G.f.：积分（t=1/x，无穷大，（e^-t）/t）e^（1/x）/x=1/（1+x/。
G.f.：1-x/（G（0）+x），其中G（k）=1+（k+1）*x/（1+x*（k+2）/G（k+1a*（a+1）*b*（b+1）*x^2/2！-…+a*（a+1）**（a+n-1）*b*（b+1）**（b+n-1）*x^n/n！+。。。；见[A.N.Khovanskii，p.141（10.19）]；（连续分数，2步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年8月14日
G.f.：1/U（0），其中U（k）=1+x*（k+1）/（1+xx*（k/1）/U（k+1；（连续分数，2步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年10月15日
a（n）=（-1）^n*det（S（i+1，j）|，1<=i，j<=n），其中S（n，k）是第二类斯特林数-米尔恰·梅卡2013年4月6日
G.f.：2/G（0），其中G（k）=1+1/（1-2*x*（k+1）/（2*x*k+1）+1+2*x*；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月30日
例如：1/（1+x）=g（0），其中g（k）=1-x*（k+1）*（k+2）/（1+（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2014年1月29日
对于n>=1，a（n）=圆（zeta^（n）（2）），其中zeta^（n）是黎曼zeta函数的n阶导数-伊恩·福克斯2017年11月13日
a（n）=（n+1）^（n+1）*Integral_{x=0..1}（x*log（x））^n dx-彼得·詹姆斯·福尔曼2018年10月27日
|
|
|
例子
|
G.f.=1-x+2*x^2-6*x^3+24*x^4-120*x^5+720*x^6-5040*x^7+。。。
|
|
|
MAPLE公司
|
seq（（-1）^n*阶乘（n），n=0..20）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月27日
|
|
|
数学
|
nn=20；系数列表[Series[1/（1+x），{x，0，nn}]，x]Range[0，nn]！（*或*）
递归表[{a[0]==1，a[n]==-n*a[n-1]}，a[n]，{n，20}]](*哈维·P·戴尔，2011年5月10日，略有修改罗伯特·威尔逊v2018年2月12日*）
a[n]：=（-1）^n*n！；数组[a，22，0](*罗伯特·威尔逊v2018年2月11日*）
次数@@@分区[Riffle[Range[0,30]！，{1, -1}], 2] (*哈维·P·戴尔2019年12月30日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）｛a（n）=如果（n＜0，0，（-1）^n*n！）｝；
（岩浆）[（-1）^n*阶乘（n）:n in[0..25]]//文森佐·利班迪2011年5月12日
（哈斯克尔）
a133942 n=a133942_list！！n个
a133942_list=zipWith（*）a000142_list$cycle[1，-1]
（Python）
导入数学
对于范围（0，25）中的n：print（（-1）**n*math.factorial（n），end='，'）#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年10月27日
（GAP）列表（[0..20]，n->（-1）^n*阶乘（n））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月27日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
签名
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
0, 1, 1, 2, 7, 36, 245, 2076, 21059, 248836, 3356609, 50896380, 856958911, 15864014388, 320245960333, 7001257954796, 164792092647355, 4154906594518116, 111719929072986521, 3191216673497748444
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,4
|
|
|
评论
|
大小为n的标记树是由集合{1，…，n}中的不同整数标记的n个节点上的有根树。递增树是一个标记树，这样沿着从根开始的任何分支的标签序列都会递增。
a（n）统计具有周期性有序树枝的增加树木。
a（n+1）统计n个节点上的非平面增加树（其中来自节点的子树不在它们之间排序），其中大于度k的节点为k+1颜色。下面给出了一个示例。由三阶阶乘数给出n个节点上的平面增树的个数，其中超次k的节点为k+1颜色A008544号. -彼得·巴拉2011年8月30日
|
|
|
参考文献
|
F.Bergeron、G.Labele和P.Leroux，组合物种和树状结构，坎布。1998年，第392页。
|
|
|
链接
|
F.Bergeron、Ph.Flajolet和B.Salvy，增加树木的种类《计算机科学讲义》第581卷，J.-C.Raoult编辑，施普林格1992年，第24-48页。
谢尔盖·福明和格里戈里·米哈尔金，平面曲线的标签楼层图，arXiv:0906.3828[数学股份有限公司]，2009-2010年。
|
|
|
配方奶粉
|
Bergeron等人给出了几个公式。在“CIJ”（项链，模糊，标记）变换下向左移动。
例如：A（x）=
x+（1/2）*x^2+（1/3）*x|3+（7/24）*x*4+（3/10）*x_5+（49/144）*x_26+（173/420）*x~7+（21059/40320）*x~28+（8887/12960）*x~ 9+。。。
并满足微分方程A'（x）=log（1/（1-A（x）））+1-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年1月22日
例如，A（x）满足：A''（x）=A'（x）*exp（A'（x）-1）-保罗·D·汉纳2015年4月17日
例如，A（x）满足E*（Ei（1，A'（x））-Ei（1,1））=积分（s=1..A'（x），exp（1-s）/s-ds）=-x。
a（n）=e^（1-n）*极限（w->1，（d^（n-2）/dw^（n-2））（（（w-1）/（Ei（1,1）-Ei（1，w）））），对于n>=2。（完）
a（n）=总和（i=1..n-2，二项式（n-2，i）*a（i）*a（n-i））+a（n-1），a（0）=0，a（1）=1-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年1月24日
以下注释将此序列解释为计数递增树，其中超出度k的节点为k+1颜色。因此我们使用生成函数B（x）=A'（x）-1=x+2*x^2/2+7*x^3/3+36*x^4/4！+。。。。这种树的度函数phi（x）（参见[Bergeron等人]的定义）是phi（x）=1+2*x+3*x^2/2+4*x^3/3+5*x^4/4！+…=（1+x）*exp（x）。母函数B（x）满足初始条件B（0）=0的自治微分方程B’=phi（B（x））。因此，反函数B（x）^（-1）可以表示为积分B（x）^（-1）=int｛t=0..x｝1/phi（t）dt=int｛t=0..x｝exp（-t）/（1+t）dt。应用[Dominici，定理4.1]来反演积分，得到结果B（x）=和{n>=1}D^（n-1）[（1+x）*exp（x）]（0）*x^n/n！，其中函数f（x）的嵌套导数D^n[f]（x）递归定义为D^0[f]，（x）=1和D^（n+1）[f]。因此a（n+1）=D^（n-1）[（1+x）*exp（x）]（0）-彼得·巴拉2011年8月30日
|
|
|
例子
|
a（4）=7:D^2[（1+x）*exp（x）]=exp（2*x）*（2*x^2+8*x+7）。在x=0时计算得出a（4）=7。用字母a、b、c、…表示节点的颜色，。。。。在3个节点上的7个可能的树，其中阶数为k的节点以k+1种颜色出现：
........................................................
…1a。。。。1b。。。。1a。。。。1b。。。。。。。。1a。。。。。。。1b。。。。。。。。1c。。。。
...|.....|.....|.....|......../.\....../..\....../..\...
…2a。。。。2b。。。。2b。。。。2a。。。。。。2...3....2....3....2....3..
...|.....|.....|.....|..................................
...3.....3.....3.....3..................................
G.f.=x+x ^2+2*x ^3+7*x ^4+36*x ^5+245*x ^6+2076*x ^7+21059*x ^8+。。。
|
|
|
MAPLE公司
|
S： =rhs（解（{diff（a（x），x）=log（1/（1-a（x
seq（系数（S，x，j）*j！，j=0..100）#罗伯特·伊斯雷尔2015年4月17日
|
|
|
数学
|
多项式1[list_]：=应用[Plus，list]/应用[次数，（#1！&）/@list]；a[1]=1；a[n]/；n> =2:=a[n]=Sum[Map[Multinomal1[#]乘积[Map[a，#]]/Length[#]&，Compositions[n-1]]；表[a[n]，{n，8}](*大卫·卡伦2007年11月29日*）
nmax=20；b=常数阵列[0，nmax]；b[[1]]=0；b[[2]]=1；Do[b[[n+1]]=b[[n]]+和[二项式[n-2，i]*b[[i+1]]*b[[n-i+1]]，{i，1，n-2}]，{n，2，nmax-1}]；b(*瓦茨拉夫·科特索维奇之后弗拉基米尔·克鲁奇宁2014年3月11日*）
条款=20；A[x_]：=x；Do[A[x_]=积分[（1+A[x]）*Exp[A[x]+O[x]^j]，x]+O[x]^j//正常//简化，{j，1，项-1}]；联接[{0，1}，系数列表[A[x]，x]*范围[0，术语-2]！//休息](*Jean-François Alcover公司2014年5月22日，于2018年1月12日更新（在PARI脚本之后，由迈克尔·索莫斯) *)
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=my（a=x+O（x^2））；如果（n<2，n==1，n---；对于（k=1，n-1，a=int形式（（1+a）*exp（a）））；n！*polcoff（a，n））}/*迈克尔·索莫斯2015年4月17日*/
对于（n=1,30，打印1（a（n），“，”）
（PARI）
序列（N）={
my（a=向量（N））；a[1]=1；
对于（n=2，n，a[n]=a[n-1]+和（k=1，n-2，二项式（n-2，k）*a[k]*a[n-k]）；
concat（0，a）；
};
序列（19）
\\试验：N=200；y=卷积（Ser（seq（N），'x），exp（'x+O（'x^N）））；y’==y’’*（1-y）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的,本征的,美好的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A163940型
|
| 与发散级数1^m*1相关的三角形！-2^m*2！+3^m*3！-4^m*4！+。。。对于m>=-1。 |
|
+10
13
|
|
|
|
1, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 5, 3, 0, 1, 9, 17, 4, 0, 1, 14, 52, 49, 5, 0, 1, 20, 121, 246, 129, 6, 0, 1, 27, 240, 834, 1039, 321, 7, 0, 1, 35, 428, 2250, 5037, 4083, 769, 8, 0, 1, 44, 707, 5214, 18201, 27918, 15274, 1793, 9, 0, 1, 54, 1102, 10829, 54111, 133530, 145777, 55152, 4097, 10, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,5
|
|
|
评论
|
发散级数g（x，m）=Sum_{k>=1}（-1）^（k+1）*k^m*k*x^k，m>=-1与高阶指数积分E（x，m，n=1）有关，请参见A163931号.
哈代，见下面的链接，描述了欧拉是如何得出这样一个令人惊讶的结论：g（x，-1）=exp（1/x）*Ei（1,1/x），其中Ei（1，x）=E（x，m=1，n=1）。从这个结果可以得出g（x，0）=1-g（x、-1）。按照欧拉的足迹，我们发现g（x，m）=（-1）^（m）*（m（x，m）*x-ST（x，米）*Ei（1,1/x）*exp（1/x））/x^（m+1），m=>-1。
M（x，M）=Sum_{k=0..M}a（M，k）*x^k的多项式系数，对于M>=0，导致上述三角形。我们指出M（x，M=-1）=0。
ST（x，m）=Sum_{k=0..m+1}S2（m+1，k）*x^k，m>=-1的多项式系数导致第二类斯特林数，参见A106800标准.
右侧列具有简单的生成函数，请参见公式。我们在第一个Maple程序中使用它们来生成三角形系数（n>=0和0<=k<=n）。第二个Maple程序在x=1时计算m>=-1时的g（x，m）值。
|
|
|
链接
|
G.H.哈代，分歧者系列牛津大学出版社，1949年。第26-29页和第7-8页。
莫里斯·德戈松、布兰科·德拉戈维奇和安德烈·赫伦尼科夫，一些p-adic微分方程，（见第5节），arxiv:math-ph/00100232000年10月。
|
|
|
配方奶粉
|
右边列的生成函数是Gf（p，x）=1/（（1-（p-1）*x）^2*Product_{k=1..p-2}（1-k*x））；Gf（1，x）=1。右第一列p=1，第二列p=2，依此类推。。
推测显式公式：T（n，k）=Stirling2（n，n-k）+（n-k）*Sum_{j=0..k-1}（-1）^j*Stirling（n，n+1+j-k）*j！对于0<=k<=n。
第n行多项式R（n，x）似乎满足递归方程R（n、x）=n*x^（n-1）+和{k=1..n-1}二项式（n，k+1）*x^（n-k-1）*R（k，x）。行多项式似乎只有实数零。（完）
|
|
|
例子
|
前几行三角形为：
[1]
[1, 0]
[1, 2, 0]
[1, 5, 3, 0]
[1, 9, 17, 4, 0]
[1, 14, 52, 49, 5, 0]
前几个M（x，M）是：
M（x，M=0）=1
M（x，M=1）=1+0*x
M（x，M=2）=1+2*x+0*x^2
M（x，M=3）=1+5*x+3*x^2+0*x^3
前几个ST（x，m）是：
ST（x，m=-1）=1
ST（x，m=0）=1+0*x
ST（x，m=1）=1+1*x+0*x^2
ST（x，m=2）=1+3*x+x^2+0*x^3
ST（x，m=3）=1+6*x+7*x^2+x^3+0*x^4
前几个g（x，m）是：
g（x，-1）=（-1）*（-（1）*Ei（1,1/x）*exp（1/x））/x^0
g（x，0）=（1）*（1）*x-（1）*1i（1,1/x）*exp（1/x））/x^1
g（x，1）=（-1）*（1）*x-（1+x）*Ei（1,1/x）*exp（1/x））/x^2
g（x，2）=（1）*（（1+2*x）*x-（1+3*x+x^2）*Ei（1,1/x）*exp（1/x））/x^3
g（x，3）=（-1）*（（1+5*x+3*x^2）*x-（1+6*x+7*x^2+x^3）*Ei（1,1/x）*exp（1/x））/x^4
|
|
|
MAPLE公司
|
nmax:=10；对于p从1到nmax do Gf（p）：=转换（级数（1/（（1-（p-1）*x）^2*乘积（（1-k1*x），k1=1..p-2）），x，nmax+1-p），多项式）；对于从0到nmax-p的q，做a（p+q-1，q）：=系数（Gf（p），x，q）od:od:seq（seq（a（n，k），k=0..n），n=0..nmax-1）；
#结束程序1
#结束程序2
|
|
|
数学
|
nmax=11；
对于[p=1，p<=nmax，p++，gf=1/（（1-（p-1）*x）^2*乘积[（1-k1*x），{k1，1，p-2}]）+O[x]^（nmax-p+1）//正态；对于[q=0，q<=nmax-p，q++，a[p+q-1，q]=系数[gf，x，q]]]；
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 3, 1, 11, 5, 1, 50, 26, 7, 1, 274, 154, 47, 9, 1, 1764, 1044, 342, 74, 11, 1, 13068, 8028, 2754, 638, 107, 13, 1, 109584, 69264, 24552, 5944, 1066, 146, 15, 1, 1026576, 663696, 241128, 60216, 11274, 1650, 191, 17, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
高阶指数积分E（x，m，n）定义于A163931号E（x，m=2，n）~（exp（-x）/x^2）*（1-（1+2*n）/x+（2+6*n+3*n^2）/x^2-（6+22*n+18*n^2+4*n^3）/x*3+…）的渐近展开在中进行了讨论A028421号.渐近展开式导致n=1，2，3。。，到上面给出的三角形的左侧列。
这个三角形的行和导致A093344号令人惊讶的是，鉴于e（x，m=1，n=1）=Ei（n=1，x），行和Egf（x）=（exp（1）*Ei（1,1-x）-exp（1。我们指出exp（1）*Ei（1,1）=A073003型.
Maple程序生成上述三角形的系数。第一个利用了三角形系数之间的关系，见公式，第二个利用了E（x，m=2，n）的渐近展开式。
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
a（n，m）=（n-m+1）*a（n-1，m）+a（n-1，m-1），对于2<=m<=n-1，a（n，n）=1和a（n，1）=n*a（n-1，1）+（n-1）！。
a（n，m）=乘积（i，i=m.n）*和（1/i，i=m.n）。
|
|
|
MAPLE公司
|
nmax:=9；对于n从1到nmax，做a（n，n）：=1od：对于n从2到nmmax，做a（n，1）：=n*a（n-1，1）+（n-1）！od：对于从3到nmax的n，do对于从2到n-1的m，do a（n，m）：=（n-m+1）*a（n-1，m）+a（n-l，m-1）od:od:seq（seq（a（n、m），m=1..n），n=1..nmax）；
#结束程序1
nmax:=nmax+1:m:=2；使用（组合）：EA:=proc（x，m，n）局部E，i；E： =0：对于从m-1到nmax+2的i，E：=E+总和（（-1）^（m+k1+1）*二项式（k1，m-1）*n^（k1-m+1）*stirling1（i，k1），k1=m-1..i）/x^（i-m+1）od:E:=exp（-x）/xqu（m）*E:return（E）；结束：对于从1到nmax的n1，do f（n1-1）：=简化（exp（x）*x^（nmax+3）*EA（x，m，n1））；对于从0到nmax+2的m1，做b（n1-1，m1）：=系数（f（n 1-1），x，nmax+2-m1）od:od：对于从0至nmax-1的n1，做m1从0至n1-m+1的do a（n1-m+2，m1+1）：=abs（b（m 1，n1-m1））od:od:seq（seq（a（n，m），m=1..n），n=1..nmax-1）；
#结束程序2
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A153229号
|
| a（0）=0，a（1）=1，对于n>=2，a（n）=（n-1）*a（n-2）+（n-2。 |
|
+10
10
|
|
|
|
0, 1, 0, 2, 4, 20, 100, 620, 4420, 35900, 326980, 3301820, 36614980, 442386620, 5784634180, 81393657020, 1226280710980, 19696509177020, 335990918918980, 6066382786809020, 115578717622022980, 2317323290554617020, 48773618881154822980, 1075227108896452857020
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,4
|
|
|
评论
|
以前的名字是：加权斐波那契数。
序列出现在积分I（n）的求值中：=int{u=0..inf}exp（-u）*u^n/（1+u）du。结果是I（n）=A153229号（n） +（-1）^n*I（0），其中I（0）=int｛0..inf｝exp（-u）/（1+u）du=0.5963473623…被称为Gompertz常数。请参见A073003型。还要注意I（n）=n*整数{u=0..inf}exp（-u）/（1+u）^（n+1）du。（完）
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
a（0）=0，a（1）=1，对于n>=2，a（n）=（n-1）*a（n-2）+（n-2。
G.f.:G（0）*x/（1+x）/2，其中G（k）=1+1/（1-x*（k+1）/（x*（k+1）+1/G（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月24日
G.f.：2*x/（1+x）/G（0），其中G（k）=1+1/（1-1/（1-1/（2*x*（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月29日
G.f.:W（0）*x/（1+sqrt（x））/（1+x），其中W（k）=1+sqrt；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月17日
a（n）~（n-1）！*（1-1/n+1/n^3+1/n^4-2/n^5-9/n^6-9/n^7+50/n^8+267/n^9+413/n^10），其中分子是Rao Uppuluri-Carpenter数，请参见A000587号. -瓦茨拉夫·科特索维奇2015年3月16日
例如：exp（1）/exp（x）*（Ei（1,1-x）-Ei（1,1））-阿洛伊斯·海因茨2018年7月5日
|
|
|
例子
|
a（20）=19*a（18）+18*a（19）=19*335990918918980+18*6066382786809020=6383827459460620+109194890162562360=11557817622022980
|
|
|
MAPLE公司
|
t1:=总和（n！*x^n，n=0..100）：F:=系列（t1/（1+x），x，100）：对于从0到40的i，打印F（`%d，`，i！-系数（F，x，i））od：#零入侵拉霍斯2009年3月22日
#第二个Maple项目：
a： =程序（n）a（n）：=`if`（n<2，n，（n-1）*a（n-2）+（n-2
|
|
|
数学
|
递归表[{a[0]==0，a[1]==1，a[n]==（n-1）a[n-2]+（n-2）a[n-1]}，a，{n，30}](*哈维·P·戴尔2020年5月1日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（C） 无符号long a（unsigned int n）{
如果（n＝＝0）返回0；
如果（n==1），则返回1；
返回（n-1）*a（n-2）+（n-2
（PARI）a（n）=如果（n，我的（t=（-1）^n）-t和（i=1，n-1，t*=-i），0）\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年6月28日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
应少君（dolphinysj（AT）gmail.com），2008年12月21日
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
搜索在0.043秒内完成
|
