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| A000311号 |
| 施罗德的第四个问题；还有一系列具有n个标记叶子的倒根树；n的总分区数。
（原名M3613 N1465）
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105
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0, 1, 1, 4, 26, 236, 2752, 39208, 660032, 12818912, 282137824, 6939897856, 188666182784, 5617349020544, 181790703209728, 6353726042486272, 238513970965257728, 9571020586419012608, 408837905660444010496, 18522305410364986906624
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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a（n）是具有n片叶子的标记系列衍生根树的数量（根的阶数为0或>=2）；a（n-1）=具有n片叶子的标记系列减少树的数量。还有带有n个标记边的串联平行网络的数量，除以2。
n的总分区本质上就是前一行的第一部分的意思：取数字12…n，并将它们划分为至少两个块。用至少2个元素将每个块划分为至少两个块。重复此操作，直到只剩下大小为1的块。（见斯坦利参考文献，第2卷。）-N.J.A.斯隆2016年8月3日
此外，还包括带有n个标签的单基因衍生系统发育树的数量。系统发育树是一种系列衍生的根树，其叶子是（通常是不相交的）非空集。如果没有非叶节点只覆盖单例分支，则它是单例减少的。例如，a（4）=26棵树是：
{1,2,3,4} {{1},{2},{3,4}} {{1},{2,3,4}}
{{1},{2,3},{4}} {{1,2},{3,4}}
{{1,2},{3},{4}} {{1,2,3},{4}}
{{1},{2,4},{3}} {{1,2,4},{3}}
{{1,3},{2},{4}} {{1,3},{2,4}}
{{1,4},{2},{3}} {{1,3,4},{2}}
{{1,4},{2,3}}
{{{1},{2,3}},{4}}
{{{1,2},{3}},{4}}
{{1},{{2},{3,4}}}
{{1},{{2,3},{4}}}
{{{1},{2,4}},{3}}
{{{1,2},{4}},{3}}
{{1},{{2,4},{3}}}
｛｛1，3｝，｛2｝｝，｛4｝｝
{{{1},{3,4}},{2}}
{{{1,3},{4}},{2}}
{{{1,4},{2}},{3}}
{{{1,4},{3}},{2}}
（结束）
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参考文献
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L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第224页。
J.Felsenstein，《类推植物发生学》，西诺尔协会，2004年；见第25页及其后。
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
R.P.Stanley，《枚举组合数学》，剑桥，第2卷，1999年；参见“总分区”，示例5.2.5，等式（5.27），以及第14页的图5-3。另请参阅第66页的注释。
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链接
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弗雷德·里克·巴西诺（Frédérique Bassino）、马蒂尔德·布维尔（Mathilde Bouvel）、瓦伦丁·弗雷（Valentin Féray）、卢卡斯·杰林（Lucas Gerin）、米卡埃尔·马佐恩（Mickaél Maazoun）和阿德琳·皮，随机有向图：布朗图极限和渐近度分布，arXiv:1907.08517[math.CO]，2019年。
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约翰·恩格斯（John Engbers）、大卫·加尔文（David Galvin）和克利夫德·史密斯（Clifford Smyth），限制Stirling数和Lah数及其逆，arXiv:1610.05803[math.CO]，2016年。
J.Felsenstein，进化树的数量《系统动物学》，27（1978），27-33。（带注释的扫描副本）
J.Felsenstein，进化树的数量《系统生物学》，27（1978），第27-33页，1978年。
S.R.Finch，串并联网络，2003年7月7日。[经作者许可，缓存副本]
史蒂文·芬奇，数学常数II《数学及其应用百科全书》，剑桥大学出版社，剑桥，2018年。
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 参见第129页
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E.Schröder，维耶组合问题，Z.f.数学。物理。，15 (1870), 361-376. [带注释的扫描副本]
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配方奶粉
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例如，A（x）满足exp A（x。
a（0）=0，a（1）=a（2）=1；对于n>=2，a（n+1）=（n+2）*a（n）+2*Sum_{k=2..n-1}二项式（n，k）*a（k）*a（n-k+1）。
a（1）=1；对于n>1，a（n）=-（n-1）*a（n-1-迈克尔·索莫斯2012年6月4日
从中的阴影操作符LA135494号作用于x^n的是（a（.）+x）^n=（n*x^（n-1）/2）-（x^n/2）+和{j>=1}j^（j-1）*（2^（-j）/j！）*exp（-j/2）*（x+j/2）^n给出a（n）=2^（-n）*Sum_{j>=1}j^（n-1）*（（j/2）*exp（-1/2））^j/j！对于n>1-汤姆·科普兰2008年2月11日
设h（x）=1/（2-exp（x）），例如fA000670号，然后是的第n项A000311号由（h（x）*d/dx）^n）x在x=0时计算得出，即A（x）=exp（x*A（.））=xp（x*h（u）*d/du）u在u=0时进行计算。此外，dA（x）/dx=h（A（x））-汤姆·科普兰，2011年9月5日（自主微分方程见Jones第59页-汤姆·科普兰2019年12月16日）
a（n）=Sum_{k=1..n-1}（n+k-1）*求和{j=1..k}（1/（k-j）！）*求和{i=0..j}2^i*（-1）^i*箍筋2（n+j-i-1，j-i）/（（n+j-i-1）*i！），n> 1，a（0）=0，a（1）=1-弗拉基米尔·克鲁奇宁2012年1月28日
利用L.Comtet恒等式和D.Wasserman关于第二类相关Stirling数的显式公式(A008299号)得到：a（n）=和{m=1..n-1}和{i=0..m}（-1）^i*二项式（n+m-1，i）*和{j=0..m-i}（-1）^j*（（m-i-j）^（n+m-1-i））/（j！*（m-i-j）！）-彼得·雷格纳2012年10月8日
G.f.:x/Q（0），其中Q（k）=1-k*x-x*（k+1）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月1日
G.f.:x*Q（0），其中Q（k）=1-x*（k+1）/（x*（k+1）-（1-k*x）*（1-x-k*x；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月11日
a（n）~n^（n-1）/（sqrt（2）*exp（n）*（2*log（2）-1）^（n-1/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年1月5日
例如，A（x）满足d/dx A（x-迈克尔·索莫斯2014年10月25日
O.g.f.：求和{n>=0}x/Product_{k=0..n}（2-k*x）-保罗·D·汉纳2014年10月27日
a（0）＝0，a（1）＝1；a（n）=n！*[x^n]exp（和{k=1..n-1}a（k）*x^k/k！）-伊利亚·古特科夫斯基2017年10月17日
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例子
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例如：A（x）=x+x^2/2！+4*x^3/3！+26*x^4/4！+236*x^5/5！+2752*x^6/6！+。。。
其中exp（A（x））=1-x+2*A（x），因此
系列_反转（A（x））=x-x^2/2！-x^3/3！-x^4/4！-x^5/5！-x^6/6！+。。。
外径：g（x）=x+x^2+4*x^3+26*x^4+236*x^5+2752*x^6+39208*x^7+。。。
哪里
G（x）=x/2+x/（2*（2-x））+x/。。。
如果一棵有根的树没有一元分支，那么它是连续减少的，因此每个非叶节点至少覆盖另外两个节点。以下是a（4）=26系列衍生的有4个标记叶子的有根树。每个括号（…）对应于一个非叶节点。
(1234) ((12)34) ((123)4)
(1(23)4) (1(234))
(12(34)) ((124)3)
（1（24）3）（（134）2）
((13)24) (((12)3)4)
((14)23) ((1(23))4)
((12)(34))
(1((23)4))
(1(2(34)))
(((12)4)3)
((1(24))3)
(1((24)3))
(((13)2)4)
((13)(24))
(((13)4)2)
((1(34))2)
(((14)2)3)
((14)(23))
(((14)3)2)
（结束）
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MAPLE公司
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M： =499；a： =数组（0..500）；a[0]：=0；a[1]：=1；a[2]：=1；对于从0到2的n，进行lprint（n，a[n]）；od：对于从2到M的n，做a[n+1]：=（n+2）*a[n]+2*加（二项式（n，k）*a[k]*a[n-k+1]，k=2..n-1）；l打印（n+1，a[n+1]）；日期：
顺序：=50；t1:=求解（级数（（exp（A）-2*A-1），A）=-x，A）；A000311号：=n->n*系数（t1，x，n）；
#第二个Maple项目：
b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，1，`如果`（i<1，0，
加法（组合[多项式]（n，n-i*j，i$j）/j*
a（i）^j*b（n-i*j，i-1），j=0..n/i））
结束时间：
a： =n->`如果`（n<2，n，b（n，n-1））：
#更快的程序：
b： =proc（n，i）选项记忆；
`如果`（i=0且n=0，1，`如果`（i<=0或i>n，0，
i*b（n-1，i）+（n+i-1）*b（n-1，i-1））端：
a： =n->`如果`（n<2，n，加（b（n-1，i），i=0..n-1））：
seq（a（n），n=0..40）#彼得·卢什尼2021年2月15日
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数学
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a[n_]：=如果[n<1，0，n！SeriesCoefficient[Inverse Series[Series[1+2 x-Exp[x]，{x，0，n}]]，n]]；(*迈克尔·索莫斯2012年6月4日*）
a[n_]：=（如果[n<2，n，（column=ConstantArray[0，n-1]；column[[1]]=1；对于[j=3，j<=n，j++，column=column*Flatten[{Range[j-2]，ConstantArray[0，（n-j）+1]}]+Drop[Prepend[column，0]，-1]*Flatting[{Range[j-1，2*j-3]，Cons坦塔数组[0，n-j]}]；]；）；总和[列[[i]]，{i，n-1}]）；表[a[n]，{n，0，20}](*彼得·雷格纳2012年10月5日，根据Felsenstein（1978）的公式*）
多项式[n_，k_List]：=n/次数@@（k！）；b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n==0，1，如果[i<1，0，和[多项式[n，连接[{n-i*j}，数组[i&，j]]/j*a[i]^j*b[n-i*j，i-1]，{j，0，n/i}]]；a[n_]：=如果[n<2，n，b[n，n-1]]；表[a[n]，{n，0，40}](*Jean-François Alcover公司2016年2月7日之后阿洛伊斯·海因茨*)
sps[{}]：={{}}；sps[set:{i_，___}]：=联接@@函数[s，前缀[#，s]和/@sps[Complement[set，s]]/@Cases[子集[set]，{i，___}]；
mtot[m_]：=前缀[Join@@Table[Tuples[mtot/@p]，{p，选择[sps[m]，1<长度[#]<长度[m]&]}]，m]；
表[Length[mtot[Range[n]]]，{n，0，6}](*古斯·怀斯曼2019年12月28日*）
（*长度长但容易理解*）
铅[_，n/；n<3]：=0
铅[h，n_]：=模块[{p，i}，
p=位置[h，{___}]；
求和[MapAt[{#，n}&，h，p[[i]]]，{i，长度[p]}]
]
follow[h，n_]：=模块[{r，i}，
r=替换[位置[h，{___}]，{a__}->{a，-1}，1]；
求和[插入[h，n，r[[i]]]，{i，长度[r]}]
]
结婚[_，n/；n<3]：=0
mary[h，n_]：=模块[{p，i}，
p=位置[h，_Integer]；
求和[MapAt[{#，n}&，h，p[[i]]]，{i，长度[p]}]
]
extend[a+b，n]：=扩展[a，n]+扩展[b，n]
扩展[a，n]：=引导[a，n]+跟随[a，n-]+结婚[a，n]
层次结构[1]：=层次结构[1]=扩展[hier[｛｝]，1]
hierarchies[n]：=层次结构[n]=扩展[层次结构[n-1]，n](*丹尼尔·盖斯勒2022年8月22日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，对于（i=1，n，a=Pol（exp（a+x*O（x^i））-a+x-1））；n！*polcoff（a，n））}/*迈克尔·索莫斯2004年1月15日*/
（PARI）{a（n）=my（a）；如果（n<0，0，a=O（x）；对于（i=1，n，a=int形式（1/（1+x-2*a））；n！*polcoeff（a，n））}/*迈克尔·索莫斯，2014年10月25日*/
（PARI）{a（n）=n！*polceoff（serreverse（1+2*x-exp（x+x^2*O（x^n））），n）}
对于（n=0，30，打印1（a（n），“，”）\\保罗·D·汉纳2014年10月27日
（PARI）\p100\\设置精度
{A=Vec（总和（n=0，600，1.*x/prod（k=0，n，2-k*x+O（x^31）））}
对于（n=0，25，打印1（如果（n<1，0，圆形（A[n]）），“，”）\\保罗·D·汉纳2014年10月27日
（极大值）a（n）：=如果n=1，则1其他和（（n+k-1）*总和（1/（k-j）*总和（（2^i*（-1）^i）*stirling2（n+j-i-1，j-i））/（（n+j-i-1）*i！），i、 0，j），j，1，k），k，1，n-1）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2012年1月28日*/
（Python）
从functools导入lru_cache
从数学导入梳
@lru_cache（最大大小=无）
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交叉参考
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关键字
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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