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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A008279号 三角形T(n,k)=n/(n-k)!(0<=k<=n)按行读取,一次给出n个事物k的排列数。 113
1、1、1、2、2、1、3、6、6、1、4、12、24、24、1、5、20、60、120、1、6、30、120、360、720、720、1、7、42、210、840、2520、5040、5040、1、8、56、336、1680、6720、20160、40320、40320、1、9、72、504、3024、15120、60480、181440、362880、362880 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,5个

评论

置换系数也叫置换系数。

也是下降阶乘三角形A068424号a列(n,0)=1,行a(0,1)=1,否则,添加a(0,k)=0-狼牙2003年11月7日

高阶指数积分E(x,m,n)的定义如下:邮编:A163931; 关于E(x,m=1,n)的渐近展开的信息,请参见邮编:A130534.n=1,2,3,4。。。,引向上面给出的三角形的右栏-约翰内斯W.梅杰2009年10月16日

从一组k大小到一组n大小的内射函数的数目-丹尼斯·P·沃尔什2011年2月10日

从{1,2,…,k}到{1,2,…,n}的函数f的个数,满足{1,2,…,k}中所有x的f(x)>=x-丹尼斯·P·沃尔什2011年4月20日

T(n,k)=邮编:A181511(n,k)对于k=1。。n-1-莱因哈德·祖姆凯勒2012年11月18日

例举了置换体/置换面体的面,Perm(s,t;x)=[e^(sx)-1]/[s-t(e^(sx)-1)],(参见。A090582号A019538年)星面体/钨面体,St(s,t;x)=[s e^((s+t)x)]/[s-t(e^(sx)-1)],(参见。邮编:A248727)给定复曲面拓扑满足exp[u*d/dt]St(s,t;x)=St(s,u+t;x)=[e^(ux)/(1-u*Perm(s,t;x))]*St(s,t;x),其中e^(ux)/(1-uy)是该条目的行多项式的二元e.g.fA094587号等效地,d/dt St=(x+Perm)*St和d/dt Perm=Perm^2,或d/dt log(St)=x+Perm,d/dt log(Perm)=Perm-汤姆·科普兰2016年11月14日

T(n,k)/n!是第n个指数泰勒多项式的系数,或截断指数,它被Schur证明是不可约的。见科尔曼链接-米歇尔·马库斯2020年2月24日

参考文献

CRC标准数学表格和公式,第30版,1996年,第176页;第31版,第1.215页,第3节。

Maple V参考手册,第490页,Numberm(n,k)。

链接

T、 D.不,行n=0。。100个三角形,扁平

J、 费尔南多·巴贝罗G.,耶苏·萨拉斯,爱德华多·J·s·维拉塞诺,一类线性递归的二元母函数。一、 总体结构,arXiv:1307.2010[math.CO],2013-2014年。

五、 Buchstaber和T.Panov复曲面拓扑,arXiv:1210.2368v3[math.AT],2014年。

R、 科尔曼,关于指数泰勒多项式的Galois群,L'Enseignement matique 33,183-189,(1987年)。

J、 高盛,J.哈格伦德,广义rook多项式,J.科布林。理论A91(2000),509-530,1xn板上k车的2-rook系数,所有高度1。

R、 L.Graham,D.E.Knuth和O.Patashnik,具体数学:计算机科学基础,第2版。雷丁,MA:Addison-Wesley,1994年。

Germain Kreweras,我们的产品是组合的《数学与科学》3(1963)31-41。

W、 朗,关于Stirling数三角形的推广,J.整数序列。,2000年第3卷。

T、 莫兹金,气缸的分类号和其他分类号在组合数学中,Proc。辛普森。纯数学。19,AMS,1971年,第167-176页。[注释,扫描副本]

OEIS维基,排序编号

尤里·沙布利亚,德米特里·克鲁奇宁,Euler-Catalan数三角形及其应用,《Micropam论文集》(2018年地中海纯粹与应用数学及相关领域国际会议),212-215。

丹尼斯·沃尔什,关于不少于函数的注记

埃里克·韦斯坦的数学世界,下降阶乘

“核心”序列的索引项

公式

E、 g.f.:总和T(n,k)x^n/n!y^k=经验(x)/(1-x*y)-弗拉德塔·乔沃维奇2002年8月19日

等于A007318型*A136572号. -加里·W·亚当森2008年1月7日

T(n,k)=n*T(n-1,k-1)=k*T(n-1,k-1)+T(n-1,k)=n*T(n-1,k)/(n-k)=(n-k+1)*T(n,k-1)-亨利·巴特利2001年3月29日

T(n,k)=n/(n-k)!如果n>=k>=0,则为0。

G、 f.第k列为k*x^k/(1-x)^(k+1),k>=0。

E、 第n行(1+x)的g.f.^n,n>=0。

和T(n,k)x^k=n x n矩阵a_ij的永久性(如果i=j,则x+1,否则为x)-迈克尔·索莫斯2004年3月5日

在n+1处求值的Ramanujan psi_1(k,x)多项式-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月16日

E、 g.f.:总和T(n,k)x^n/n!y^k/k!=e^{x+xy}-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2006年2月7日

三角形是无限矩阵(1,1,2,6,24,…)的二项式变换在主对角线和其余的零-加里·W·亚当森2006年11月20日

G、 f.:1/(1-x-xy/(1-x-2xy/(1-x-2xy/(1-x-3xy/(1-x-4xy/(1-x-4xy/(1-4xy/(1-…(续分数))-保罗·巴里2009年2月11日

T(n,k)=和{j=0..k}二项式(k,j)*T(x,j)*T(y,k-j),对于x+y=n-丹尼斯·P·沃尔什2011年2月10日

E、 g.f(k固定):x^k*exp(x)-丹尼斯·P·沃尔什2011年4月20日

G、 f.(k固定):k*x^k/(1-x)^(k+1)-丹尼斯·P·沃尔什2011年4月20日

对于n>=2和m>=2,Sum{k=0..m-2}S2(n,k+2)*T(m-2,k)=Sum{p=0..n-2}m^p。S2(n,k)是第二类Stirling数A008277号. -托尼·福斯特三世2019年7月23日

例子

三角形开始:

1

1,1

1,2,2

1、3、6、6

1,4,12,24,24

1,5,20,60,120,120

1、6、30、120、360、720、720

1、7、42、210、840、2520、5040、5040

1、8、56、336、1680、6720、20160、40320、40320

1、9、72、504、3024、15120、60480、181440、362880、362880

1、10、90、720、5040、30240、151200、604800、1814400、3628800、3628800

例如,T(4,2)=12,因为有12个内射函数f:{1,2}->{1,2,3,4}。f(1)有4个选择,然后,由于f是内射的,f(2)还有3个选择,给了我们12种构造内射函数的方法-丹尼斯·P·沃尔什2011年2月10日

例如,T(5,3)=60,因为有60个函数f:{1,2,3}->{1,2,3,4,5},其中f(1)有5个选择,f(2)有4个选择,f(3)有3个选择,给了我们60种构造这样一个函数的方法-丹尼斯·P·沃尔什2011年4月30日

枫木

with(combstruct):对于从0到10的n,do seq(count(置换(n),size=m),m=0。。n) 外径#泽伦瓦拉乔斯2007年12月16日

(顺序)!,k=0。。n) ,n=0。。10) #丹尼斯·P·沃尔什2011年4月20日

顺序(打印(顺序(pochhammer(n-k+1,k),k=0。。n) ),n=0。。6) #彼得·卢什尼2015年3月26日

数学

Table[CoefficientList[Series[(1+x)^m,{x,0,20}],x]*Table[n!,{n,0,m}],{m,0,10}]//网格-杰弗里·克里特2010年3月16日

Table[Pochhammer[n-k+1,k],{n,0,9},{k,0,n}]//展平(*或*)

Table[FactorialPower[n,k],{n,0,9},{k,0,n}]//展平(*让·弗朗索瓦·阿尔科弗,2013年7月18日,2016年1月28日更新*)

黄体脂酮素

(PARI){T(n,k)=如果(k<0 | | k>n,0,n!/(n-k)!)}/*迈克尔·索莫斯2002年11月14日*/

(PARI){T(n,k)=my(A,p);如果(k<0 | | k>n,0,if(n==0,1,A=矩阵(n,n,i,j,x+(i==j));polcoeff(sum(i=1,n!,if(p=numOperm(n,i),prod(j=1,n,A[j,p[j]]),k))}/*迈克尔·索莫斯2004年3月5日*/

(哈斯克尔)

a008279 n k=a008279表格!!n!!k

a008279行n=a008279表!!n

a008279_tabl=迭代f[1]其中

f xs=zipWith(+)([0]++zipWith(*)xs[1..])(xs++[0])

--莱因哈德·祖姆凯勒2013年12月15日,2012年11月18日

(圣人)

对于范围(8)中的n:[下降因子(n,k)对于k in(0..n)]#彼得·卢什尼2015年3月26日

(岩浆)/As triangle/[[阶乘(n)/阶乘(n-k):k in[0..n]]:n in[0..15]]//文琴佐·利班迪2015年10月11日

交叉引用

行总和给出A000522号.

囊性纤维变性。A001497号,A001498号,A136572号.

T(n,0)=A000012号,T(n,1)=A000027号,T(n+1,2)=A002378号,T(n,3)=A007531号,T(n,4)=A052762型,和T(n,n)=A000142号.

囊性纤维变性。A019538年,A090582号,A094587号,邮编:A248727.

上下文顺序:A082037型 邮编:A163649 邮编:A110858*甲239572 A056043号 A187005号

相邻序列:A008276号 A008277号 A008278号*A008280型 A008281号 A008282号

关键字

,,美好的,容易的,核心

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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