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第条

新的Bell-Sheffer多项式集

1
意大利罗马市拉戈圣莱昂纳多·穆里亚尔多市罗马特雷大学Matematica e Fisica二年级
2
Sezione di Matematica,国际电信大学UniNettuno,Corso Vittorio Emanuele II,39,00186 Roma,Italy
*
信件应寄给的作者。
收到的提交文件:2018年7月20日/接受日期:2018年10月2日/发布日期:2018年10月8日
(本文属于特刊数学分析与应用)

摘要

:
在最近的论文中,研究了基于高阶Bell数的Sheffer和Brenke多项式的新集合以及与之相关的几个整数序列。在以前的文章中,甚至在现在的文章中使用的方法可以追溯到Dattoli和Ben Cheikh关于单项式原理的前面的结果,显示了从Sheffer多项式族的生成函数的基本元素开始显式推导其主要属性的可能性。迭代指数函数和对数函数的引入允许构造新的Bell–Sheffer多项式集,这些多项式显示了所获得的移位算子和微分方程的迭代特性。在这种情况下,对于每个整数第页定义更高类型的多项式,这些多项式与前面论文中介绍的高阶贝尔指数和对数相关联。还提到了与组合分析中出现的整数序列的联系。当然,所考虑的技术也可以用于类似的框架中,其中会出现指数函数和对数函数的迭代。

1.简介

在最近的文章中[1,2],新款Sheffer[]和Brenke[4]基于高阶Bell数的多项式[2,5,6,7],已经过研究。此外,几个整数序列关联[8]利用所考虑的多项式集[9,10]引入了对数型[1].
值得注意的是,最近在多维情况下研究了指数多项式和对数多项式[11,12,13].
本文考虑了新的Bell–Sheffer多项式集,并分析了一些特殊情况。
值得注意的是,Sheffer A型0多项式集也已经用线性代数的初等方法进行了探讨(参见,例如[14,15,16]以及其中的参考)。
最近强调了与本影演算的联系(参见,例如[17,18]以及其中的参考)。

2.谢弗多项式

谢弗多项式 { n个 ( x个 ) } 介绍了[]利用指数母函数[19]类型:
一个 ( ) 经验 ( x个 H(H) ( ) ) = n个 = 0 n个 ( x个 ) n个 n个 ! ,
哪里
一个 ( ) = n个 = 0 n个 n个 n个 ! , ( 0 0 ) , H(H) ( ) = n个 = 0 小时 n个 n个 n个 ! , ( 小时 0 = 0 ) .
根据不同的特征(参见[20],p.18),相同的多项式序列可以通过对来定义 ( ( ) , (f) ( ) ) ,其中 ( ) 是可逆级数 (f) ( ) 为三角洲系列:
( ) = n个 = 0 n个 n个 n个 ! , ( 0 0 ) , (f) ( ) = n个 = 0 (f) n个 n个 n个 ! , ( (f) 0 = 0 , (f) 1 0 ) .
表示方式 (f) 1 ( ) 的成分逆 (f) ( ) (即: (f) (f) 1 ( ) = (f) 1 (f) ( ) = ),序列的指数生成函数 { n个 ( x个 ) } 由提供
1 [ (f) 1 ( ) ] 经验 x个 (f) 1 ( ) = n个 = 0 n个 ( x个 ) n个 n个 ! ,
以便
一个 ( ) = 1 [ (f) 1 ( ) ] , H(H) ( ) = (f) 1 ( ) .
什么时候? ( ) 1 ,Sheffer序列对应于该对 ( 1 , (f) ( ) ) 称为相关Sheffer序列 { σ n个 ( x个 ) } 对于 (f) ( ) ,其指数生成函数由下式给出
经验 x个 (f) 1 ( ) = n个 = 0 σ n个 ( x个 ) n个 n个 ! .
已知Sheffer多项式序列及其相关序列的列表可以在中找到[21].

3.新Bell–Sheffer多项式集

为了简洁起见,我们引入了以下紧凑的表示法。
定义为:
E类 0 ( ) : = 经验 ( ) 1 , E类 1 ( ) : = E类 0 ( E类 0 ( ) ) = 经验 ( 经验 ( ) 1 ) 1 E类 第页 ( ) : = E类 0 ( E类 第页 1 ( ) ) = 经验 ( 经验 ( 经验 ( ) 1 ) 1 ) 1 [ ( 第页 + 1 ) 经验 ] ,
以类似的方式:
0 ( ) : = 日志 ( + 1 ) 1 ( ) : = 0 ( 0 ( ) ) = 日志 ( 日志 ( + 1 ) + 1 ) 第页 ( ) : = 0 ( 第页 1 ( ) ) = 日志 日志 ( 日志 ( + 1 ) + 1 ) + 1 , [ ( 第页 + 1 ) 日志 ] .
备注 1
注意,对于所有整数 第页 , k个 , 小时 ,
E类 第页 ( 第页 ( ) ) = , 第页 ( E类 第页 ( ) ) = , ( 如果 k个 > 小时 ) E类 k个 ( 小时 ( ) ) = E类 k个 小时 1 ( ) , E类 小时 ( k个 ( ) ) = k个 小时 1 ( ) , ( 如果 k个 > 小时 ) k个 ( E类 小时 ( ) ) = k个 小时 1 ( ) , 小时 ( E类 k个 ( ) ) = E类 k个 小时 1 ( ) , e(电子) E类 第页 ( ) = E类 第页 + 1 ( ) + 1 , e(电子) 第页 ( ) = 第页 1 ( ) + 1 .
备注 2
注意泰勒展开式的系数 E类 1 ( ) 由贝尔数给出 b条 n个 = b条 n个 [ 1 ]
E类 1 ( ) = n个 = 1 b条 n个 [ 1 ] n个 n个 ! ,
一般来说,泰勒展开式的系数 E类 第页 ( ) 由高阶贝尔数给出 b条 n个 [ 第页 ]
E类 第页 ( ) = n个 = 1 b条 n个 [ 第页 ] n个 n个 ! .
高阶贝尔数,也称为高阶指数数,在[5,7,22],并用于[2]在布伦克多项式和谢弗多项式的框架内。
备注 三。
注意泰勒展开式的系数 0 ( ) 由对数给出 n个 [ 1 ] = ( 1 ) n个 1 ( n个 1 ) !
0 ( ) = n个 = 1 n个 [ 1 ] n个 n个 ! = n个 = 1 ( 1 ) n个 1 ( n个 1 ) ! n个 n个 ! ,
一般来说,泰勒展开式的系数 第页 1 ( ) 由高阶对数给出 n个 [ 第页 ]
第页 1 ( ) = n个 = 1 n个 [ 第页 ] n个 n个 ! .
高阶对数是高阶贝尔(指数)数的对应物,在[1],并在新Sheffer多项式集的框架中使用。

3.1. 多项式 E类 k个 ( 1 ) ( x个 )

因此,我们考虑通过生成函数定义的Sheffer多项式,通过
一个 ( ) = E类 1 ( ) + 1 = e(电子) E类 0 ( ) , H(H) ( ) = E类 0 ( ) , G公司 ( , x个 ) = 经验 ( 1 + x个 ) E类 0 ( x个 ) = k个 = 0 E类 k个 ( 1 ) ( x个 ) k个 k个 ! .

3.2. 的递归关系 E类 k个 ( 1 ) ( x个 )

定理 1
对于任何 k个 0 ,多项式 E类 k个 ( 1 ) ( x个 ) 满足以下递推关系:
E类 k个 + 1 ( 1 ) ( x个 ) = 小时 = 0 k个 k个 小时 ( 1 + x个 ) E类 小时 ( 1 ) ( x个 ) .
证明。 
差异化 G公司 ( , x个 ) 关于 ,我们有
G公司 ( , x个 ) = G公司 ( , x个 ) e(电子) ( 1 + x个 ) ,
因此
k个 = 0 ( 1 + x个 ) E类 k个 ( 1 ) ( x个 ) k个 k个 ! k个 = 0 k个 k个 ! = k个 = 0 E类 k个 + 1 ( 1 ) ( x个 ) k个 k个 ! ,
即。,
k个 = 0 小时 = 0 k个 k个 小时 ( 1 + x个 ) E类 小时 ( 1 ) ( x个 ) k个 k个 ! = k个 = 0 E类 k个 + 1 ( 1 ) ( x个 ) k个 k个 !
所以递归关系(8)如下所示。 ☐

3.3、。生成函数的PDE

定理 2
生成函数(7) 2 满足均匀线性PDE:
( 1 e(电子) ) G公司 ( , x个 ) = ( 1 + x个 ) G公司 ( , x个 ) x个 ,
G公司 ( , x个 ) = G公司 ( , x个 ) x个 + G公司 ( , x个 ) ( 1 + x个 e(电子) ) ,
G公司 ( , x个 ) = ( 1 + x个 ) G公司 ( , x个 ) x个 + G公司 ( , x个 ) .
证明。 
差异化 G公司 ( , x个 ) 关于 x个 ,我们有
G公司 ( , x个 ) x个 = G公司 ( , x个 ) ( e(电子) 1 ) .
通过取方程组成员之间的比率(9)和(13),我们找到方程式(10). 其他方法很容易通过初等代数操作来实现。 ☐

3.4. 轮班操作员

我们记得一个多项式集合 第页 n个 ( x个 ) 称为拟经济当且仅当存在两个算子 P(P) ^ ^ 这样的话
P(P) ^ 第页 n个 ( x个 ) = n个 第页 n个 1 ( x个 ) , ^ 第页 n个 ( x个 ) = 第页 n个 + 1 ( x个 ) , ( n个 = 1 , 2 , ) .
P(P) ^ 被称为导数操作员和 ^ 这个乘法运算符,因为它们的作用方式与单项式上的经典运算符相同。
这个定义可以追溯到Steffensen的一篇论文[23],最近由Dattoli改进[24]并广泛应用于多种应用中。
本·谢赫[25]证明了在适当的导数和乘法算子的作用下,每个多项式集都是拟单的。特别是,在同一篇文章(推论3.2)中,证明了以下结果。
定理 三。
第页 n个 ( x个 ) 表示Boas–Buck多项式集合,即由生成函数定义的集合
一个 ( ) ψ ( x个 H(H) ( ) ) = n个 = 0 第页 n个 ( x个 ) n个 n个 ! ,
哪里
一个 ( ) = n个 = 0 n个 n个 , ( 0 0 ) , ψ ( ) = n个 = 0 γ n个 n个 , ( γ n个 0 n个 ) ,
具有 ψ ( ) 不是多项式,最后
H(H) ( ) = n个 = 0 小时 n个 n个 + 1 , ( 小时 0 0 ) .
σ ( ) 降低操作员定义为
σ ( 1 ) = 0 , σ ( x个 n个 ) = γ n个 1 γ n个 x个 n个 1 , ( n个 = 1 , 2 , ) .
放置
σ 1 ( x个 n个 ) = γ n个 + 1 γ n个 x个 n个 + 1 ( n个 = 0 , 1 , 2 , ) .
如前所述,表示 (f) ( ) 的成分逆 H(H) ( ) ,Boas–Buck多项式集 第页 n个 ( x个 ) 在算子的作用下是拟经济的
P(P) ^ = (f) ( σ ) , ^ = 一个 [ (f) ( σ ) ] 一个 [ (f) ( σ ) ] + x个 D类 x个 H(H) [ (f) ( σ ) ] σ 1 ,
其中素数表示关于t的普通导数。
注意,在我们的例子中,我们正在处理一个Sheffer多项式集,因此,由于我们 ψ ( ) = e(电子) ,操作员 σ 由方程式定义(16)简单地简化为导数算子 D类 x个 此外,我们有:
(f) ( ) = H(H) 1 ( ) = 0 ( ) , 一个 ( ) 一个 ( ) = e(电子) , H(H) ( ) = e(电子) ,
因此,
(f) ( σ ) = 0 ( D类 x个 ) , 一个 [ 0 ( D类 x个 ) ] 一个 [ 0 ( D类 x个 ) ] = D类 x个 + 1 , H(H) [ (f) ( σ ) ] = H(H) [ 0 ( D类 x个 ) ] = D类 x个 + 1 .
定理 4
Bell–Sheffer多项式 { E类 k个 ( 1 ) ( x个 ) } 在算子的作用下是拟经济的
P(P) ^ = 0 ( D类 x个 ) = k个 = 0 ( 1 ) k个 + 1 D类 x个 k个 k个 , ^ = ( 1 + x个 ) ( D类 x个 + 1 ) .

3.5. 微分方程 E类 k个 ( 1 ) ( x个 )

根据单项式原理的结果[24],拟多项式 第页 n个 ( x个 ) 满足微分方程
^ P(P) ^ 第页 n个 ( x个 ) = n个 第页 n个 ( x个 ) .
在本例中,回顾方程式(22),我们有
定理 5
Bell–Sheffer多项式 { E类 k个 ( 1 ) ( x个 ) } 满足微分方程
( 1 + x个 ) k个 = 1 n个 ( 1 ) k个 + 1 D类 x个 k个 + 1 + D类 x个 k个 k个 ! E类 n个 ( 1 ) ( x个 ) = n个 E类 n个 ( 1 ) ( x个 ) .
证明。 
方程式(22),通过使用方程式(21),成为
^ P(P) ^ E类 n个 ( 1 ) ( x个 ) = ( 1 + x个 ) ( D类 x个 + 1 ) 0 ( D类 x个 ) E类 n个 ( 1 ) ( x个 ) = = ( 1 + x个 ) ( D类 x个 + 1 ) k个 = 1 n个 ( 1 ) k个 + 1 D类 x个 k个 k个 ! E类 n个 ( 1 ) ( x个 ) = n个 E类 n个 ( 1 ) ( x个 ) ,
即。,
( 1 + x个 ) k个 = 1 ( 1 ) k个 + 1 D类 x个 k个 + 1 + D类 x个 k个 k个 ! E类 n个 ( 1 ) ( x个 ) = n个 E类 n个 ( 1 ) ( x个 ) ,
此外,对于任何固定的n个,最后一个级数展开式降为有限和,有上限 n个 1 ,当应用于次数多项式时n个因为最后一个不消失项(对于 k个 = n个 1 )包含阶导数n个. ☐

3.6. 的前几个值 E类 k个 ( 1 ) ( x个 )

这里,我们展示了Bell–Sheffer多项式的前几个值 E类 k个 ( 1 ) ( x个 ) ,由生成函数定义(7) 2
E类 0 ( 1 ) ( x个 ) = 1 , E类 1 ( 1 ) ( x个 ) = x个 + 1 , E类 2 ( 1 ) ( x个 ) = x个 2 + x个 + 2 , E类 ( 1 ) ( x个 ) = x个 + 6 x个 2 + 10 x个 + 5 , E类 4 ( 1 ) ( x个 ) = x个 4 + 10 x个 + 31 x个 2 + 37 x个 + 15 , E类 5 ( 1 ) ( x个 ) = x个 5 + 15 x个 4 + 75 x个 + 160 x个 2 + 151 x个 + 52 ,
使用Wolfram Alpha可以轻松获得更多值 © (2009年,Wolfram Research,美国伊利诺伊州香槟市)。
备注 4
请注意,数值 E类 k个 ( 1 ) ( 0 ) 考虑的Bell–Sheffer多项式
( 1 , 1 , 2 , 5 , 15 , 52 , 203 , 877 , )
出现在整数序列百科全书中[8]低于A000110号:钟形数或指数数:划分一组n个标记元素的方法。
相同的序列也出现在下面A164864号,A164863号,A276723型,A276724型,276725英镑,A276726型,A287278号,A287279号,A287280型.

4.迭代Bell–Sheffer多项式集

在这里,我们重复了中介绍的过程第3节,通过考虑Sheffer多项式集
一个 ( ) = E类 2 ( ) + 1 = e(电子) E类 1 ( ) , H(H) ( ) = E类 1 ( ) , G公司 ( , x个 ) = 经验 ( 1 + x个 ) E类 1 ( x个 ) = k个 = 0 E类 k个 ( 2 ) ( x个 ) k个 k个 ! .
我们发现:
(f) ( ) = H(H) 1 ( ) = 1 ( ) , 一个 ( ) 一个 ( ) = H(H) ( ) = [ E类 1 ( ) + 1 ] e(电子) = [ E类 1 ( ) + 1 ] [ E类 0 ( ) + 1 ] ,
因此,
(f) ( σ ) = 1 ( D类 x个 ) , H(H) [ (f) ( σ ) ] = H(H) [ 1 ( D类 x个 ) ] = [ D类 x个 + 1 ] 0 ( D类 x个 ) + 1 , 一个 [ 1 ( D类 x个 ) ] 一个 [ 1 ( D类 x个 ) ] = [ E类 1 ( 1 ( D类 x个 ) ) + 1 ] e(电子) 1 ( D类 x个 ) = ( D类 x个 + 1 ) 0 ( D类 x个 ) + 1 .
定理 6
Bell–Sheffer多项式 { E类 k个 ( 2 ) ( x个 ) } 在算子的作用下是拟经济的
P(P) ^ = 1 ( D类 x个 ) , ^ = ( 1 + x个 ) ( D类 x个 + 1 ) 0 ( D类 x个 ) + 1 .

4.1. 微分方程 E类 k个 ( 2 ) ( x个 )

根据单项式原理的结果[24,26],拟多项式 第页 n个 ( x个 ) 满足微分方程
^ P(P) ^ 第页 n个 ( x个 ) = n个 第页 n个 ( x个 ) .
在本例中,回顾方程式(19),我们有
定理 7
Bell–Sheffer多项式 { E类 k个 ( 2 ) ( x个 ) } 满足微分方程
( 1 + x个 ) ( D类 x个 + 1 ) 0 ( D类 x个 ) + 1 1 ( D类 x个 ) E类 n个 ( 2 ) ( x个 ) = n个 E类 n个 ( 2 ) ( x个 ) .

4.2. 的前几个值 E类 k个 ( 2 ) ( x个 )

这里,我们展示了Bell–Sheffer多项式的前几个值 E类 k个 ( 2 ) ( x个 ) ,由生成函数定义(7) 2
E类 0 ( 2 ) ( x个 ) = 1 , E类 1 ( 2 ) ( x个 ) = x个 + 1 , E类 2 ( 2 ) ( x个 ) = x个 2 + 4 x个 + , E类 ( 2 ) ( x个 ) = x个 + 9 x个 2 + 20 x个 + 12 , E类 4 ( 2 ) ( x个 ) = x个 4 + 16 x个 + 74 x个 2 + 119 x个 + 60 , E类 5 ( 2 ) ( x个 ) = x个 5 + 25 x个 4 + 200 x个 + 635 x个 2 + 817 x个 + 358 ,
使用Wolfram Alpha可以轻松获得更多值 © .
备注 5
注意数值 E类 k个 ( 2 ) ( 0 ) 考虑的Bell–Sheffer多项式
( 1 , 1 , , 12 , 60 , 358 , 2471 , 19302 , )
出现在整数序列百科全书中A000258号:函数的McLaurin系数 E类 2 ( x个 ) .

5.一般情况

一般来说,通过将
一个 ( ) = E类 第页 ( ) + 1 = e(电子) E类 第页 1 ( ) , H(H) ( ) = E类 第页 1 ( ) , G公司 ( , x个 ) = 经验 ( 1 + x个 ) E类 第页 1 ( ) = k个 = 0 E类 k个 ( 第页 ) ( x个 ) k个 k个 ! ,
我们发现:
(f) ( ) = H(H) 1 ( ) = 第页 1 ( ) , 一个 ( ) 一个 ( ) = H(H) ( ) = = 1 第页 1 [ E类 ( ) + 1 ] e(电子) = = 0 第页 1 [ E类 ( ) + 1 ] ,
因此,
(f) ( σ ) = 第页 1 ( D类 x个 ) , 一个 [ 第页 1 ( D类 x个 ) ] 一个 [ 第页 1 ( D类 x个 ) ] = = 0 第页 1 [ E类 ( 第页 1 ( D类 x个 ) ) + 1 ] , H(H) [ (f) ( σ ) ] = H(H) [ 第页 1 ( D类 x个 ) ] = = 0 第页 1 [ E类 ( 第页 1 ( D类 x个 ) ) + 1 ] .
回顾备注3.1,我们发现
E类 ( 第页 1 ( D类 x个 ) ) = 第页 2 ( D类 x个 ) , = 0 第页 1 [ E类 ( 第页 1 ( D类 x个 ) ) + 1 ] = ( D类 x个 + 1 ) k个 = 0 第页 2 [ k个 ( D类 x个 ) + 1 ] ,
所以我们有了定理:
定理 8
Bell–Sheffer多项式 { E类 k个 ( 第页 ) ( x个 ) } 在算子的作用下是拟经济的
P(P) ^ = 第页 1 ( D类 x个 ) , ^ = ( 1 + x个 ) ( D类 x个 + 1 ) k个 = 0 第页 2 [ k个 ( D类 x个 ) + 1 ] .

微分方程 E类 k个 ( 第页 ) ( x个 )

根据单项式原理的结果[24],拟多项式 第页 n个 ( x个 ) 满足微分方程
^ P(P) ^ 第页 n个 ( x个 ) = n个 第页 n个 ( x个 ) .
在本例中,回顾方程式(19),我们有
定理 9
Bell–Sheffer多项式 { E类 k个 ( 第页 ) ( x个 ) } 满足微分方程
( 1 + x个 ) ( D类 x个 + 1 ) k个 = 0 第页 2 [ k个 ( D类 x个 ) + 1 ] 第页 1 ( D类 x个 ) E类 n个 ( 第页 ) ( x个 ) = n个 E类 n个 ( 第页 ) ( x个 ) .

6.结论

通过引入迭代指数函数和对数函数,我们展示了如何构造新的具有迭代特性的Bell-Sheffer多项式集。我们利用单项性和Y.Ben Cheikh的一个一般结果找到了它们的主要性质,该结果明确地给出了Sheffer型多项式的导数和乘法算子。我们使用的工具是谢弗多项式理论的内部工具,不使用外部技术。我们认为,其他方法很难实现所证明的特性(尤其是高阶多项式的微分方程)。

作者贡献

作者声明他们都对本文的最终版本做出了贡献。

基金

这项研究没有得到外部资助。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

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MDPI和ACS样式

纳塔里尼,P。;里奇,体育。新贝尔-谢弗多项式集。公理 2018,7,71。https://doi.org/10.3390/axioms7040071

AMA风格

Natalini P,Ricci PE。新贝尔-谢弗多项式集。公理. 2018; 7(4):71.https://doi.org/10.3390/axioms7040071

芝加哥/图拉宾风格

纳塔里尼、皮耶保罗和保罗·埃米利奥·里奇。2018.“新贝尔-谢弗多项式集”公理7号,编号4:71。https://doi.org/10.3390/axioms7040071

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