%I M1497 N0589#476 2024年4月14日14:00:32

%S 1,2,5,16,653261957137001096019864109864101108505112，

%电话：130206134516926797486236975164805355462747207656874039553217，

%电话：96685867240901740345610328442133066566596240400066133192480800011388795797042096800223055350753492612960485702730330098091156

%N N个元素集中不同元素的有序k元组（k=0..N）总数：a（N）=Sum_{k=0..N}N/k！。

%C一个n-集合的所有子集的排列的总数。

%C也是可以由n个不同对象形成的一对一序列的数量。

%C旧名称“n个元素的集合的排列总数”，或与单词“排列”相同，两者听起来都太像A000142。

%C与通过辅因子展开计算n阶行列式的加法和乘法运算次数有关-参见A026243。

%C a（n）也是n+2个顶点上完整图形中从一个顶点v1开始到另一个v2结束的路径数（没有循环）。示例：当n=2时，完整图中有5条路径，其中4个顶点从顶点1开始，到顶点2结束：（12），（132），（142），，（1342），（1432），因此a（2）=5Avi Peretz（njk（AT）netvision.net.il），2001年2月23日；Jonathan Coxhead于2003年3月21日更正的评论

%C表A008279中的行总和，可以通过对x^k的导数生成。例如，对于y=1*x^3，y'=3x^2，y“=6x，y''=6，因此a（4）=1+3+6=16_阿尔福德·阿诺德（Alford Arnold），1999年12月15日

%C a（n）是n×n矩阵的永久值，对角线上有2s，其他地方有1s尤瓦尔·德克尔，2003年11月1日

%C（A000166+此序列）/2=A009179，（A000166-此序列）/2=A009628。

%A006252（n-1）=[1,1,1,2,4,14,38，…]的C斯特林变换是a（n-1_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2004年3月4日

%C超八面体群中避免符号置换的{12,12*，21*}-和{12,12_，2*1}-的数目。

%Ca（n）=b，这样积分{x=0..1}x^n*exp（-x）dx=a-b*exp_Sébastien Dumortier，2005年3月5日

%C a（n）是[n+1]上的排列数，其从左到右的记录低点都出现在开始处。示例：a（2）统计[3]上除231之外的所有排列（最后一项为历史最低值，但其前身不是）_David Callan，2005年7月20日

%C a（n）是[n+1]上避免（分散）模式1-2-3|的排列数。竖线表示“3”必须出现在排列的末尾。例如，21354不被a（4）计算：234是一个冒犯的子置换_David Callan，2005年11月2日

%C高度为n+1的装饰多边形的数量，沿着下轮廓没有凹角（即没有垂直台阶，后面跟着一个水平台阶）。换句话说，a（n）=A121579（n+1,0）。装饰多面体是一种定向柱-凸多面体，其中沿对角线测量的高度仅在最后一列中获得。例如：a（1）=2，因为只有高度为2的装饰性多米诺骨牌是垂直和水平多米诺骨板，其下轮廓没有凹角_Emeric Deutsch，2006年8月16日

%C e.-_Jonathan Sondow的泰勒级数部分和的未简化分子，2006年8月18日

%C a（n）是[n+1]上的排列数（用单行符号表示），其中从1开始的子序列正在增加。示例：a（2）=5计数123、213、231、312、321_David Callan，2006年10月6日

%C a（n）是集合[n+k]上的置换数（用单行符号表示），k>=1，其中子序列从1,2开始，。。。，k在增加。例如：n=2，k=2。a（2）=5计数1234、3124、3412、4123、4312_Peter Bala，2014年7月29日

%C a（n）和（1，-2,3，-4,5，-6,7，…）在A133314中描述的列表分区转换和相关操作下形成倒易对_Tom Copeland_，2007年11月1日

%考虑由前n个整数组成的集合{1,2,3，…，n}的子集。例如，对于n=3，我们有{}、{1}、}、[3]、{1,2}、[1,3}、[2]、3}。让变量sbst表示子集。对于每个子集sbst，我们确定其部件数，即nprt（sbst）。所有可能子集的总和都写为sum_{sbst=subsets}。那么a（n）=Sum_{sbst=subsets}nprt（sbst）！。例如，对于n=3，我们有1+1!+1!+1!+2+2+2+3!=16.-托马斯·维德，2006年6月17日

%C等于三角形A158359的行和（无符号）_Gary W.Adamson，2009年3月17日

%C等于三角形A158821的特征序列_Gary W.Adamson，2009年3月30日

%C对于正n，等于1/BarnesG（n+1）乘以n×n矩阵的行列式，该矩阵的（i，j）系数是第（i+j）个Bell数_John M.Campbell，2011年10月3日

%C a（n）是n X n个二进制矩阵的数目，其中i）每行和每列最多有一个1，ii）包含1的行子集也必须是包含1的列。参考A002720，其中限制ii被删除。-_杰弗里·克里泽尔，2011年12月20日

%C限制增长字符串（RGS）的数量[d（1），d（2），…，d（n）]，使得d（k）<=k，d（k”）<=1+（前缀中非零数字的数量）。非零数字的位置决定子集，其值（减少1）是置换的（左）反演表（上升阶乘数），见示例_Joerg Arndt_，2012年12月9日

%C限制增长字符串（RGS）的数量[d（0），d（1），d（2），…，d（n）]，其中d（k）>=0，d（k）<=1+chg。将函数chg（.）替换为函数asc（.），该函数对前缀中的上升进行计数，得到A022493（上升序列）_Joerg Arndt_，2013年5月10日

%卢卡·什帕林斯基（Luca&Shparlinski）的摘要中提到了序列t（n）=i的个数，使得楼层（ei！）是一个正方形。对于0≤n≤2，值为t（n）=0；对于至少3≤n≤300，值为t（n）=1_R.J.Mathar，2014年1月16日

%C a（n）=p（n，1）=q（n，l），其中p和q是在A248664和A248669中定义的多项式_克拉克·金伯利（Clark Kimberling），2014年10月11日

%C a（n）是当一个或多个人选择不排队时，最多n个人可以在（慢）售票处排队的方式数。注意，有C（n，k）组k个人，他们quene up和k！排队的方式。由于k可以从0运行到n，a（n）=Sum_{k=0..n}n/（n-k）！=求和{k=0..n}n/k！。例如，如果n=3，人是A（dam）、B（eth）和C（arl），那么A（3）=16，因为有16个可能的队列：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA、AB、BA、AC、CA、BC、CB、A、B、C和空队列_Dennis P.Walsh_，2015年10月2日

%C作为A008279的行和，Motzkin使用缩写符号$n_<^\Sigma$表示a（n）。

%C分段多项式函数f由f（x）=a（n）*x^n/n！在每个区间[1-1/a（n），1-1/a（n+1））在[0,1）上是连续的，lim{x->1}f（x）=e.-Luc Rousseau，2019年10月15日

%C a（n）是3<=n<=2015的复合数，但a（2016）是质数（或至少是强伪质数）：见Johansson链接_罗伯特·伊斯雷尔，2020年7月27日

%一般来说，形式为a（0）=a，a（n）=n*a（n-1）+k，n>0的序列将具有n的闭形式*a+楼层（n！*（e-1））*k.-加里·德特列夫斯，2020年10月26日

%C From _Peter Bala，2022年4月3日：（开始）

%ca（2*n）是奇数，a（2*n+1）是偶数。更一般地说，对于所有n和k，a（n+k）==a（n）（mod k）。由此可知，对于每个正整数k，通过减少a（n；例如，a（5*n+2）==a（5*n+4）==0（mod 5），a（25*n+7）==a（25*n+19）==0。（结束）

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%H<a href=“/index/Par#partN”>相关分区计数序列的索引条目</a>

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%F a（n）=n*a（n-1）+1，a（0）=1。

%F a（n）=A007526（n-1）+1。

%F a（n）=A061354（n）*A093101（n）。

%F a（n）=n！*和{k=0..n}1/k！=n！*号（e-求和{k>=n+1}1/k！）_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），1999年3月26日

%F a（0）=1；对于n>0，a（n）=楼层（e*n！）。

%F例如：exp（x）/（1-x）。

%Fa（n）=1+Sum_｛n>=k>=j>=0｝（k-j+1）*k/j！=a（n-1）+A001339（n-1）=A007526（n）+1。n！，的二项式变换！，即A000142_Henry Bottomley，2001年6月4日

%F a（n）=楼层（2/（n+1））*A009578（n+1_Emeric Deutsch，2001年10月24日

%F积分表示为非负函数在正半轴上的第n个矩：a（n）=e*积分{x=0.无穷}（x^n*e^（-x）*重影（x-1）_卡罗尔·彭森，2001年10月1日

%F公式，用数学符号表示：拉盖尔多项式的特殊值，a（n）=（-1）^n*n*拉盖尔L[n，-1-n，1]，n=1，2。Maple无法检查此关系，因为Maple似乎没有包含第二个索引等于负整数的拉盖尔多项式。这确实与Mathematica相符_Karol A.Penson_和Pawel Blasiak（Blasiak（AT）lptl.jussieu.fr），2004年2月13日

%F G.F.：求和{k>=0}k*x^k/（1-x）^（k+1）。a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*k^（n-k）*（k+1）^k.-Vladeta Jovovic_，2002年8月18日

%F a（n）=总和{k=0..n}A008290（n，k）*2^k.-Philippe Deléham，2003年12月12日

%F a（n）=和{k=0..n}A046716（n，k）.-_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2004年6月12日

%F a（n）=e*Gamma（n+1,1），其中Gamma（z，t）=Integral_{x>=t}e^（-x）*x^（z-1）dx是不完备的伽玛函数_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2004年7月1日

%F a（n）=和{k=0..n}P（n，k）.-_Ross La Haye_，2005年8月28日

%F给定g.F.A（x），则g.F.A059115=A（x/（1-x））_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2006年8月3日

%F a（n）=1+n+n*（n-1）+n*不！.-_Jonathan Sondow，2006年8月18日

%F a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*k！；解释：对于所有k个子集（和），选择一个子集（二项式（n，k））和子集置换（k！）_Joerg Arndt_，2012年12月9日

%F a（n）=积分{x>=0}（x+1）^n*e^（-x）dx.-_Gerald McGarvey，2006年10月19日

%F a（n）=和{k=0..n}A094816（n，k），n>=0（泊松-查利尔系数矩阵的行和）_N.J.A.Sloane，2007年11月10日

%F来自Tom Copeland_，2007年11月1日，2007年12月10日：（开始）

%F作用于1/（1-x），其中1/（1-xDx）=Sum_{j>=0｝（xDx）^j=Sum_{j>=0｝x^j*D^j*x^j=Sum_{j>=0｝j*x^j*L（j，-：xD:，0）其中Lag（n，x，0）是0阶Laguerre多项式，D是导数w.r.t.x和（：xD：）^j=x^j*D^j.在j=n项截断算子级数，得到a（0）到a（n）的o.g.f.，与Jovovic的一致。

%F这些结果与Penson和Blasiak、Arnold、Bottomley和Deleham的结果通过操作符A094587（A008279的反面）关联，这是n的本影等价物*滞后[n，（.）！*滞后[.，x，-1]，0]=（1-D）^（-1）x^n=（-1）^n*n！滞后（n，x，-1-n）=Sum_{j=0..n}二项式（n，j）*j*x^（n-j）=Sum_{j=0..n}（n！/j！）*x^j.用b（.）替换x，然后让b（n）=1替换所有n，将结果联系起来。有关这些操作与1/（1-xDx）之间的连接，请参见A132013（A094587的倒数）。

%F（完）

%F From _Peter Bala，2008年7月15日：（开始）

%F a（n）=n*e-1/（n+1/（n+1+2/（n+2+3/（n+3+…））））。

%F渐近结果（Ramanujan）：n*e-a（n）~1/n-1/n^3+1/n^4+2/n^5-9/n^6+。。。，其中序列[1,0，-1,1,2，-9，…]=[（-1）^k*A000587（k）]，对于k>=1。

%F a（n）是一个差分可除序列，也就是说，对于所有n和m（前提是n不等于m），差分a（n。对于固定k，定义派生序列a_k（n）=（a（n+k）-a（k））/n，n=1,2,3。那么a_k（n）也是一个差分可除序列。

%例如，派生序列a_0（n）就是a（n-1）。满足差分可除性的整数序列集构成一个具有加法和乘法逐项运算的环。

%F递归关系：a（0）=1，a（n）=（n-1）*（a（n-1。a（0）=1，a（1）=2，D-有限递归：a（n）=（n+1）*a（n-1）-（n-1。序列b（n）：=n！满足具有初始条件b（0）=1、b（1）=1的后一递推。这导致有限连分式展开a（n）/n！=1/（1-1/（2-1/（3-2/（4-…-（n-1）/（n+1））），n>=2。

%F极限{n->infinity}a（n）/n！=e=1/（1-1/（2-1/（3-2/（4-…-n/（（n+2）-…））））。这是一般结果m的特殊情况m=0/e-d_m=（-1）^（m+1）*（1/（m+2-1/（m+3-2/（m+4-3/（m+5-…）））），其中d_m表示第m个错位号A000166（m）。

%F对于满足更一般递归的序列a（n）=（n+1+r）*a（n-1）-（n-1！涉及泊松-查利尔多项式c_r（-n；-1），参见A001339（r=1）、A082030（r=2）、C095000（r=3）和A095177（r=4）。

%F有关常数log（2）、zeta（2）和zeta（3）的相应结果，请分别参考A142992、A108625和A143007。

%F（完）

%F G.F.满足：A（x）=1/（1-x）^2+x^2*A'（x）/（1-x）.-_Paul D.Hanna，2008年9月3日

%F From _Paul Barry，2009年11月27日：（开始）

%财务报表：1/（1-2*x-x^2/（1-4*x-4*x^2/（1-6*x-9*x^2/（1-8*x-16*x^ 2/（1-10*x-25*x^2-（1-……（连分数）））；

%财务报表：1/（1-x-x/（1-x/（1-x-2*x/（1-2*x/。

%F（完）

%计算公式：和{n>=0}（n+2）^n*x^n/（1+（n+1）*x）^（n+1_Paul D.Hanna，2011年9月19日

%F G.F.超几何（[1，k]，[]，x/（1-x））/（1-x），对于k=1,2，。。。，9是A000522、A001339、A082030、A095000、A095177、A096307、A096341、A095722和A095740的生成函数_Mark van Hoeij，2011年11月7日

%F G.F.：1/U（0），其中U（k）=1-x-x*（k+1）/（1-x*（k+1）/U（k+1））；（续分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2012年10月14日

%F E.g.F.：1/U（0），其中U（k）=1-x/（1-1/（1+（k+1）/U（k+1）））；（续分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2012年11月16日

%F G.F.：1/（1-x）/Q（0），其中Q（k）=1-x/（1-x；（续分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年5月19日

%F G.F:2/（1-x）/G（0），其中G（k）=1+1/（1-x*（2*k+2）/；（续分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年5月31日

%F G.F.：（B（x）+1）/（2-2*x）=Q（0）/（2-2*x），其中B（x；（续分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年8月8日

%F G.F.：1/Q（0），其中Q（k）=1-2*x*（k+1）-x^2*（k+1）^2/Q（k+1；（续分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年9月30日

%F例如：E^x/（1-x）=（1-12*x/（Q（0）+6*x-3*x^2））/（1-x），其中Q（k）=2*（4*k+1）*（32*k^2+16*k+x^2-6）-x^4*（4*1）*（4xk+7）/Q（k+1）；（续分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年11月18日

%F G.F.：猜想：T（0）/（1-2*x），其中T（k）=1-x^2*（k+1）^2/；（续分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年11月18日

%F 0=a（n）*（+a（n+1）-3*a（n+2）+a（n+3））+a_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2014年7月4日

%F From _Peter Bala，2014年7月29日：（开始）

%F a（n）=F（n），其中函数F（x）：=Integral_{0.infinity}e^（-u）*（1+u）^x du将该序列平滑地插值到x的所有实数。注意，F（-1）=G，对于n=2，3，。。。我们有F（-n）=（-1）^n/（n-1）*（A058006（n-2）-G），其中G=0.5963473623…表示Gompertz常数-见A073003。

%F a（n）=n*e-e*（和{k>=0}（-1）^k/（（n+k+1）*k！））。

%F（完）

%F a（n）=超几何_U（1，n+2，1）.-_Peter Luschny_，2014年11月26日

%F a（n）~exp（1-n）*n^（n-1/2）*sqrt（2*Pi）_Vladimir Reshetnikov，2015年10月27日

%F a（n）=A038155（n+2）/A000217（n+1）_安东·扎哈罗夫（Anton Zakharov），2016年9月8日

%F a（n）=圆形（exp（1）*n！），n>1-2020年7月28日，西蒙·普劳夫

%F a（n）=KummerU（-n，-n，1）.-_Peter Luschny_，2022年5月10日

%F a（n）=（e/（2*Pi））*Integral_{x=-oo..oo}（n+1+i*x）/（1+i*x）dx.-_David Ulgenes_，2023年4月18日

%F Sum_{i=0..n}（-1）^（n-i）*二项式（n，i）*a（i）=n！.-_沃纳·舒尔特（Werner Schulte），2024年4月3日

%e.G.f=1+2*x+5*x^2+16*x^3+65*x^4+326*x^5+1957*x^6+13700*x^7+。。。

%用两个物体，我们可以形成5个序列：（），（a），（b），（a，b），，（b，a），所以a（2）=5。

%e发件人_Joerg Arndt_，2012年12月9日：（开始）

%e 3组的16个排列及其RGS（点表示零）为

%e[#]RGS许可。子集的

%e[1][…][]

%e[2][…1][3]

%e（电子）[3]（.1.）[2]

%电子[4][.1 1][2 3]

%电子[5][.1 2][3 2]

%电子[6][1..][1]

%电子[7][1.1][13]

%电子[8][1.2][3]

%电子[9][11.][12]

%电子[10][1 1 1][1 2 3]

%e[11][1 1 2][1 3 2]

%e[12][1 1 3][2 3 1]

%电子[13][12.][21]

%e[14][1 2 1][2 1 3]

%e[15][1 2 2][3 1 2]

%e[16][1 2 3][3 2 1]

%e（结束）

%p a（n）：=exp（1）*int（x^n*exp（-x）*Heaviside（x-1），x=0..无穷大）；#_卡罗尔·彭森，2001年10月1日

%p A000522：=n->添加（n！/k！，k=0..n）；

%p G（x）：=exp（x）/（1-x）：f[0]：=G（x；

%p#_Zerinvary Lajos_，2009年4月3日

%p G：=经验（z）/（1-z）：Gser：=系列（G，z=0,21）：

%p代表从0到20的n做a（n）：=n*系数（Gser，z，n）：结束do

%p#_Paul Weisenhorn_，2010年5月30日

%p k：=1；级数（hypergeom（[1，k]，[]，x/（1-x））/（1-x），x=0，20）；#_Mark van Hoeij，2011年11月7日

%p#再来一个Maple程序：

%p a:=proc（n）选项记忆；

%p`if`（n<0，0，1+n*a（n-1））

%p端：

%p序列（a（n），n=0..23）；#_Alois P.Heinz，2019年9月13日

%p序列（简化（KummerU（-n，-n，1）），n=0..23）；#_Peter Luschny_，2022年5月10日

%t表[FunctionExpand[Gamma[n+1，1]*E]，{n，0，24}]

%t nn=20；累加[表[1/k！，｛k，0，nn｝]]范围[0，nn]！（*2013年4月21日，Jan Mangaldan*）

%t文件夹列表[#1*#2+#2&，0，范围@23]+1（*或*）

%t f[n_]：=楼层[E*n！]；f[0]=1；数组[f，20，0]（*_Robert G.Wilson v_，2015年2月13日*）

%t循环表[{a[n+1]==（n+1）a[n]+1，a[0]==1}，a，{n，0，12}]（*_Emanuele Munarini_，2017年4月27日*）

%tnxt[{n，a}]：={n+1，a（n+1）+1}；NestList[nxt，{0,1}，30][[All，2]]（*哈维·P·戴尔，2023年1月29日*）

%o（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，a=向量（n+1）；a[1]=1；对于（k=1，n，a[k+1]=k*a[k]+1）；a[n+1]）}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2004年7月1日*/

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n！*polceoff（exp（x+x*o（x^n））/（1-x），n））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2004年3月6日*/

%o（PARI）a（n）=局部（a=1+x+x*o（x^n））；对于（i=1，n，A=1/（1-x）^2+x^2*导数（A）/（1-x））；波尔科夫（A，n）\\保罗·D·汉纳，2008年9月3日

%o（PARI）{a（n）=局部（X=X+X*o（X^n））*/

%o（PARI）a（n）=和（k=0，n，二项式（n，k）*k！）；\\_Joerg Arndt_，2014年12月14日

%o（哈斯克尔）

%o导入数据。列表（子序列、排列）

%o a000522=长度。选择。enumFromTo 1，其中

%o选项=concat。映射排列。子序列

%o——Reinhard Zumkeller，2012年2月21日，2010年10月25日

%o（圣人）

%o#程序改编自A022493中的_Alois P.Heinz的Maple代码

%o@CachedFunction

%o定义b（n，i，t）：

%o如果n<=1：

%o回路1

%o范围（t+2）内j的返回和（b（n-1，j，t+（j==i））

%o定义a（n）：

%o返回b（n，0，0）

%o v000522=[a（n）代表范围（33）中的n]

%o打印（v000522）

%o#_Joerg Arndt_，2013年5月11日

%o（Magma）[1]cat[n eq 1 select（n+1）else n*Self（n-1）+1:n in[1..25]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2015年2月15日

%o（极大值）a（n）：=如果n=0，则1其他n*a（n-1）+1；制造商列表（a（n），n，0,12）；/*_伊曼纽尔·穆纳里尼，2017年4月27日*/

%Y参见A000166、A002627、A006231、A064383、A06438、A008290、A010844、A010845、A014508、A038159、A054091、A058006、A072453、A07245、A073591、A082030、A095000、A095177、A108625、A121579、A124779、A142992、A143007、A158359、A158821、A195254、A222637-A2222639、A038155、A000217。

%A068424中第n行三角形的Y平均值[由n.J.A.Sloane_修正，2024年2月29日]。

%Y行A008279和A094816的总和。

%Y第一个差异给出A001339。第二个差异给出A001340。

%Y部分金额在A001338、A002104中。

%Y A144502中的一行数组。

%Y另见A370973，最接近e*n！的整数！。

%K nonn，简单，好，改变了

%0、2

%A _N.J.A.斯隆_

%E迈克尔·索莫斯的其他评论_