0、4

在绝对值中，该序列还给出了矩阵{ j＋1，j}等于（j-1）^ 2（和所有其他条目为零）的矩阵的指数的下三角读数。- Joseph Biberstine（JBBibe（AT）印第安娜，EDU），5月26日2006

集X上的一个部分置换是x.t（n，nk）的两个子集之间的一个双射，等于一个具有域基数等于k的n-集的部分置换的数目，E表示算子D *x*d，其中D是导数算子d/dx。然后e^ n＝和{k＝0…n} t（n，k）**x^ k*d^（n+k）。-彼得巴拉10月28日2008

无符号三角形是相对于序列n的广义Riordan阵列（EXP（x），x）！2由Wang和王定义（广义Riordan阵列（EXP（x），x）相对于序列n！Pascal三角A000 7318并且关于序列n！*（n＋1）！是A10527）-彼得巴拉8月15日2013

M. Abramowitz和I. A. Stegun，EDS，数学函数手册，国家标准局应用数学。系列55, 1964（和各种改版），第799页。

Massimo Nocentini，“符号和逻辑计算支持的无穷数列的代数和组合研究”，博士论文，佛罗伦萨大学，2019。见第31页。

G. Rota，有限运算符微积分，学术出版社，纽约，1975。

诺伊，行n＝0…50的三角形，扁平化

M. Abramowitz和I. A. Stegun，编辑，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十打印，1972 [替代扫描副本]。

萨拉姆，Laguerre和其它多项式的运算表示Duke Math。J.O.，第31卷（1964），第127至142页。

P. Barry受限制的ToDA链、指数Riordon阵列和Hankel变换J. Int. Seq。13（2010）×10.8，例5。

P. Barry指数Riordon阵列与置换枚举J. Int. Seq。13（2010）×10.1，例7。

P. BarryRiordan Arrays，正交多项式为矩，Hankel变换J. Int. Seq。14（2011）×112.2，例21。

Paul Barry矩、Hankel变换和指数Riordan阵的组合多项式，ARXIV预打印ARXIV：1105.3044（数学，Co），2011，也J. Int. Seq。14（2011）.

Paul Barry关于Riordan矩序列的一个变换，阿西夫：1802.03443（数学，Co），2018。

I. Gessel经典阴阳演算的应用

G. Hetyei第二类Mexnor多项式与SU（1,1）的量子代数，ARXIV预印记ARXIV：909.4352 [数学，QA ]，2009，第4页。

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M. Z. Spivey关于一般组合递归的解J. Int. Seq。14（2011）×11 .9。

W. Wang和T. Wang广义Riordan阵列，离散数学，第308卷，第24卷，64 66—6500页。

Eric Weisstein的数学世界，拉盖尔多项式

与Laguerre多项式相关的序列索引条目

A（n，m）=（（-1）^ m）*n！*二项式（n，m）/m！=（（-1）^ m）*（（n）！m）^ 2）/（N-M）！如果n>＝M 0。第m列：（-x/（1-x））^ m/（（1-x）*m），M>＝0。

表示（无符号A（n，m））作为高斯超几何函数2F1的特殊值，在Maple符号：n！*（-1）^ m＊超几何（[-m，n+1），[1 ]，1）/m！-卡罗尔·彭森，10月02日2003

SuMu{{M}= 0 }（-1）^ M*A（n，m）=A000 720（n）。-菲利普德勒姆3月10日2004

E.g.f.：（1／（1-x））*EXP（x*y/（x-1））。-瓦拉德塔约霍维奇，APR 07 2005

SUMU{{N>＝0，M>＝0 } A（n，m）*x^ n/n！^ 2＊y^ m＝EXP（x）* BesselJ（0, 2×SqRT（x*y））。-瓦拉德塔约霍维奇，APR 07 2005

矩阵平方生成单位矩阵：L^ 2＝I.保罗·D·汉娜11月22日2008

从汤姆·科普兰，10月20日2012：（开始）

象征性地，用d= d/dx和Ln（n，x）＝n！Lyn（x），定义：dx:^j= d^j x^j，：xd:^j= x^jd^j，和Ln（.x）^j＝Ln（j，x）=行多项式A021009.

然后是一些有用的关系。

1）（：dx:^）n=Ln（n，-:xd:）[罗德里格兹公式]

2）（xdx）^n=x^n d^n x^n=x^n Ln（n，-:xd:）]参见Al Salam参考文献。A132440]

3）（dxd）^n=d^n x^n d^n=Ln（n，-:xd::）d^n。A132440]

4）荫成分Ln（n，Ln（，x））＝x^ n [参见RoTa参考文献]

5）阴阳面。Ln（n，，-dx:）＝Ln（n，-Ln（…，-：xd:））＝2 ^ n Ln（n，-：xd:：2）＝n！*（第n行E.F.X）A038 207用x代替：xd:）。

2）的一个例子是运算符（xdx）^=（xdx）（xdx）＝xd（x^ 2 +x^3d）＝2x^+4x^ 3 d+x^4 d^2＝x^2（2 +4xd+x^2 d^2）＝x^2（2＋：xd:+:xd:^^）＝x^^-Ln（α，，-xd:）＝x^^^！LY2（-：XD:）。

给出了5中的阴影分量的一个例子。A038 207.

OP.xDX与幂级数/O.G.F.S.通过EXP（t*xdx）f（x）＝f[x/（1-t*x）] /（1-t*x）和特殊的莫比厄斯/线性分数/射影变换z Exp（-t*Zdz）（1／z）f（z）＝f（z／（1＋t*z））有关。

对于一般的微积分讨论，请参阅GESELLink。（结束）

从狼人郎，1月31日2013：（开始）

由正交多项式系统的三项递归导出的标准递归{n！*L（n，x）}：L（n，x）＝（2×n - 1 -x）*L（n-1，x）-（n-1）^ 2×l（n-2，x），n>＝1，L（-1，x）＝0，L（0，x）＝1。

a（n，m）＝（2×n-1）*a（n-1，m）-a（n-1，m -1）-（n-1）^ 2＊a（n-2，m），

n>＝1，A（n，1）＝0，a（0，0）＝1，A（n，m）＝0，如果n＜m（与无符号情形A（n，m）＝（-1）^ m *a（n，m））的Peter Luschny程序进行比较。

简化递归（使用上面给出的（n，m）的显式形式的列递归）：

a（n，m）＝（n+m）*a（n-1，m）-a（n-1，m -1），n>＝1，a（0，0）＝1，A（n，1）＝0，a（n，m）＝0，如果n＜m（结束）

t（n，k）＝[x^ k]（- 1）^ n*u（-n，1，-x），其中u（a，b，x）是Kummer的超几何U函数。-彼得卢斯尼4月11日2015

T（n，k）=（-1）^ k*n！* s（n，k），其中s（n，k）递归地定义为：“如果k＝0，则如果k＞n则为1，则为0个其它s（n-1，k-1）/k+s（n-1，k）”。-彼得卢斯尼6月21日2017

未签名的情况是指数Riordan平方（参见A32 1620）阶乘数。-彼得卢斯尼，十二月06日2018

三角形A（n，m）开始：

n m 0 1 2 2 3 4 5 6 7 8

0：1

1：1—1

2：2—4—1

3：6—18—9—1

4:24—96—72—16—1

5：120 - 600 - 600 - 200 25 - 1

6：720 - 4320 - 5400 - 2400 - 450 - 36 1

7：5040 - 35280 - 52920 - 29400 - 7350 - 882 49 - 1

8:40320 - 322560 - 564480 - 376320 - 117600 - 18816 - 1568 - 64 1

…

从狼人郎，1月31日2013（开始）

递归（通常一）：A（4，1）＝7＊（- 18）- 6 - 3 ^ 2 *（-4）＝-96。

递归（简化版本）：A（4，1）＝5＊（- 18）- 6＝-96。

复发（SAGE程序）：αa（4，1）＝6＋3×18＋4＊9＝96。（结束）

嵌入递归（MAPLE程序）：A（4，1）＝- 4！*（1＋3）＝- 96。

A021009= PROC（n，k）的局部S；s：= PROC（n，k）选项记住；“如果”（k＝0, 1，‘如果’（k> n，0，s（n-1，k-1）/k+s（n-1，k））结束：（- 1）^ k*n！*S（n，k）端：SEQ（SEQ）A021009（n，k），k＝0…n，n＝0…8）；彼得卢斯尼6月21日2017

无符号情况下的函数替换（函数RiordANGORD定义在A32 1620）：

RiordanSquare（Add（x^ m，m＝0…10），10，真）；彼得卢斯尼，十二月06日2018

变平[表]系数列表[n！＊拉盖尔〔n，x〕，x]，{n，0, 9 }〕让弗兰12月13日2011＊）

（圣人）

DEFA021009三角形（模糊）：计算未签名的t（n，k）。

M＝矩阵（SR，DIM，DIM）

对于n（0……DIM-1）：M[n，n]＝1

对于n（1……DIM-1）：

对于K在（0…DIM-2）中：

M[n，k]＝m〔n-1，k-1〕+（2×k+ 1）*m [ n-1，k] +（k+1）^ 2×m [n-1，k+1 ]

返回M

A021009三角（9）α彼得卢斯尼9月19日2012

（帕里）

P（n）＝分母（BestPAPPADE（Ser（矢量（2×N，K，（k-1）！）））；

CONTAT（1，CONTAT（矢量）（9，n，Vec（-p（n*α））格奥吉尔科塞里亚，十二月01日2016

（PARI）{t（n，k）＝f（n＜0, 0，n）！* PoCOFEFF（求和（i＝0，n，二项式（n，n- i）*（-x）^ i/i！），k）}；米迦勒索摩斯，十二月01日2016

行和给出A000 940交替行和是A000 720.

列序列（未签名）：A000 0142，A000 1563，A00 1809-A000 1812m＝0…5。

中心术语：A29 538.

对于生成器和泛化见A132440.

囊性纤维变性。A021010，A025166，A025167，A062137-A062140，A06667，A32 1620.

语境中的顺序：A204115 A204130 A204024*A13778 A089077 A142146

相邻序列：A021006 A021007 A021008*A021010 A021011 A021012

标志，塔布，容易，好

斯隆.

名称更改，表由狼人郎11月28日2011

经核准的