0,4个

在绝对值中，这个序列还给出了一个矩阵指数的下三角读数，其项{j+1，j}等于（j-1）^2（所有其他项都为零）。-2006年5月26日，印第安纳州教育部

集合X上的部分置换是X的两个子集之间的双射。T（n，n-k）|等于域基数等于k的n集的部分置换数。设E表示算子D*X*D，其中D是导数算子D/dx。那么E^n=sum{k=0..n}| T（n，k）|*x^k*D^（n+k）。-彼得·巴拉2008年10月28日

无符号三角形是序列n的广义Riordan数组（exp（x），x）！^2如Wang和Wang（广义Riordan数组（exp（x），x）对序列n的定义！是帕斯卡三角形A007318型关于序列n！*（n+1）！是A105278号). -彼得·巴拉2013年8月15日

无符号三角形出现在Ser（1933）第83页。-N、 斯隆2020年1月16日

M、 Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准局应用数学。系列551964年（和各种重印），第799页。

Massimo Nocentini，“符号和逻辑计算支持的一些无限数列的代数和组合研究”，佛罗伦萨大学博士论文，2019年。见第31页。

G、 罗塔，《有限算子演算》，学术出版社，纽约，1975年。

J、 先生，计算公式。高蒂埃·维拉斯，巴黎，1933年，第83页。

T、 D.不，n=0..50行三角形，展平

M、 Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[备选扫描件]。

W、 A.萨拉姆，拉盖尔多项式和其他多项式的运算表示，杜克数学。《期刊》，第31卷（1964年），第127-142页。

保罗·巴里，受限Toda链、指数Riordan数组和Hankel变换，国际期刊。13（2010）#10.8.4，例5。

保罗·巴里，指数Riordan数组和置换枚举，国际期刊。13（2010）#10.9.1，例7。

保罗·巴里，Riordan数组，正交多项式作为矩，和Hankel变换，国际期刊。14（2011）#11.2.2，例21。

保罗·巴里，组合多项式作为矩、Hankel变换和指数Riordan阵列，arXiv预印本arXiv:1105.3044[math.CO]，2011年J、 内景。2011年11月14日11.6.7.

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一、 盖塞尔，经典本影演算的应用

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J、 先生，析因公式的计算公式（某些选定页面的带注释扫描）

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W、 Wang和T.Wang，广义Riordan阵列离散数学，第308卷，第24期，6466-6500。

埃里克·韦斯坦的数学世界，拉盖尔多项式

与拉盖尔多项式有关的序列的索引项

a（n，m）=（（-1）^m）*n！*二项式（n，m）/m！=（-1）^m）*（（n！/m！）^2） /（n-m）！如果n>=m，否则为0。

E、 第m列的g.f:（-x/（1-x））^m/（（1-x）*m！），m>=0。

（无符号a（n，m））表示为Gauss超几何函数2F1的特殊值，用Maple表示法：n！*（-1）^m*超几何（[-m，n+1]，[1]，1）/m！。-卡罗尔·彭森2003年10月2日

和{m>=0}（-1）^m*a（n，m）=A002720（n） 一。-菲利普·德莱厄姆2004年3月10日

E、 g.f.：（1/（1-x））*有效期（x*y/（x-1））。-弗拉德塔·乔沃维奇2005年4月7日

和{n>=0，m>=0}a（n，m）*（x^n/n！^2） *y^m=exp（x）*BesselJ（0，2*sqrt（x*y））。-弗拉德塔·乔沃维奇2005年4月7日

矩阵平方得到单位矩阵：L^2=I-保罗·D·汉娜2008年11月22日

从汤姆·科普兰2012年10月20日：（开始）

象征性地，D=D/dx和LN（n，x）=n！L\n（x），定义：Dx:^j=D^j x^j，：xD:^j=x^j D^j，LN（.，x）^j=LN（j，x）=的行多项式A021009年.

那么一些有用的关系是

1） （：Dx:）^n=LN（n，-：xD:）[罗德里格斯公式]

2） （xDx）^n=x^n D^n x^n=x^n LN（n，-:xD:）[见Al-Salam参考文献/A132440]

3） （DxD）^n=D^n x^n D^n=LN（n，-：xD:）D^n[见A132440]

4） 本影合成LN（n，LN（，x））=x^n[见罗塔参考文献]

5） 本影比较。LN（n，-：Dx:）=LN（n，-LN（，-：xD:）=2^n LN（n，-：xD:/2）=n！*（第n行e.g.f.（x），共A038207x替换为：xD:）。

例如2）是运算符（xDx）^2=（xDx）（xDx）=xD（x^2+x^3D）=2x^2+4x^3 D+x^4 D^2=x^2（2+4x D+x^2 D^2）=x^2（2+4:xD:+：xD:^2）=x^2 LN（2，-：xD:）=x^2 2 2！L_2（-：xD:）。

中给出了5）中本影合成的一个例子A038207.

（与x/z有关的特殊变换（x/z）是（1/z）的二项变换（x/z）。

有关本影微积分的一般讨论，请参阅Gessel链接。（结束）

从狼牙2013年1月31日：（开始）

由正交多项式系的三项递推导出的标准递推式{n！*L（n，x）}：L（n，x）=（2*n-1-x）*L（n-1，x）-（n-1）^2*L（n-2，x），n>=1，L（-1，x）=0，L（0，x）=1。

（1米-2米），

n>=1，如果n<m，则a（n，-1）=0，a（0,0）=1，a（n，m）=0（与Peter Luschny针对无符号情况| a（n，m）|=（-1）^m*a（n，m））的程序进行比较。

简化递归（使用上述a（n，m）显式形式的列递归：

a（n，m）=（n+m）*a（n-1，m）-a（n-1，m-1），n>=1，a（0,0）=1，a（n，-1）=0，a（n，m）=0，如果n<m（结束）

|T（n，k）|=[x^k]（-1）^n*U（-n，1，-x），其中U（a，b，x）是Kummer的超几何U函数。-彼得·卢什尼2015年4月11日

T（n，k）=（-1）^k*n！*S（n，k），其中S（n，k）递归定义为：“如果k=0，则1 else如果k>n，则0 else S（n-1，k-1）/k+S（n-1，k）”。-彼得·卢什尼2017年6月21日

无符号的情况是指数Riordan平方（参见A321620)阶乘数。-彼得·卢什尼2018年12月6日

省略对角线和符号，这个数组由换向器[D^n，x^n]=D^n x^n-x^n D^n=sum{i=0，n-1}（（n！/我！）^2/（n-i）！）贝洛夫·卡内尔和孔采维奇两篇论文的第9页。-汤姆·科普兰2020年1月23日

三角形a（n，m）开始于：

n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0:1个

1： 1-1个

2： 2-4 1

3： 6-18 9-1

4： 24-96 72-16 1

5： 120-600 600-200 25-1

6： 720-4320 5400-2400 450-36 1

7： 5040-35280 52920-29400 7350-882 49-1

8： 40320-322560 564480-376320 117600-18816 1568-64 1

...

从狼牙2013年1月31日（开始）

递推（常用）：a（4,1）=7*（-18）-6-3^2*（-4）=-96。

递归（简化版）：a（4,1）=5*（-18）-6=-96。

复发（Sage程序）：| a（4,1）|=6+3*18+4*9=96。（结束）

嵌入式递归（Maple程序）：a（4,1）=-4！*（1+3）=-96。

A021009年：=proc（n，k）local S；S:=proc（n，k）选项记住；`if`（k=0，1，`if`（k>n，0，S（n-1，k-1）/k+S（n-1，k）））结束：（-1）^k*n！*S（n，k）端：顺序(A021009年（n，k），k=0..n），n=0..8）#彼得·卢什尼2017年6月21日

#无符号大小写的替代项（函数RiordanSquare定义在A321620):

RiordanSquare（加上（x^m，m=0..10），10，真）#彼得·卢什尼2018年12月6日

展平[Table[CoefficientList[n！*拉盖雷尔[n，x]，x]，{n，0，9}]](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2011年12月13日*）

（圣人）

定义A021009年_三角形（dim）：#计算无符号T（n，k）。

M=矩阵（ZZ，dim，dim）

对于n in（0..dim-1）：M[n，n]=1

对于n in（1..dim-1）：

对于k in（0..n-1）：

M[n，k]=M[n-1，k-1]+（2*k+1）*M[n-1，k]+（k+1）^2*M[n-1，k+1]

返回M

A021009年_三角形（9）#彼得·卢什尼2012年9月19日

（平价）

p（n）=分母（bestapppade（Ser（向量（2*n，k，（k-1）！）））;

concat（1，concat（向量（9，n，Vec（-p（n）））））\\格奥尔赫·科塞雷亚2016年12月1日

（PARI）{T（n，k）=如果（n<0，0，n！*波尔科夫（和（i=0，n，二项式（n，n-i）*（-x）^i/i！），k））}/*迈克尔·索莫斯2016年12月1日*/

（岩浆）/*三角形：*/[（-1）^k）*阶乘（n）*二项式（n，k）/阶乘（k）：k in[0..n]]：n in[0..0..0。。10] ]//文琴佐·利班迪2020年1月18日

行总和给出A009940号，交替行和为A002720.

列序列（无符号）：A000142号,A001563号,A001809型-A001812号对于m=0..5。

中心条款：A295383.

有关生成器和泛化，请参见A132440.

囊性纤维变性。A021010型,A025166号,A025167,A062137-A062140型,A066667号,A321620.

上下文顺序：A204115号 A204130号 A204024号*A1378号 A089087号 A142146号

相邻序列：A021006年 A021007年 A021008年*A021010型 A021011型 A021012型

签名,表,容易的,美好的

N、 斯隆

按表命名和更改狼牙2011年11月28日

经核准的