A021009-OEIS公司

抵消

0, 4

在绝对值中，这个序列也给出了矩阵指数的下三角读数，该矩阵的条目{j+1，j}等于（j-1）^2（所有其他条目都为零）。-Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2006年5月26日

集X上的部分置换是X的两个子集之间的双射。|T（n，n-k）|等于域基数等于k的n个集的部分置换数。让E表示算子D*X*D，其中D是导数算子D/dx。那么E^n=Sum_{k=0..n}|T（n，k）|*x^k*D^（n+k）。 -彼得·巴拉2008年10月28日

无符号三角形是关于序列n的广义Riordan数组（exp（x），x）！^2由Wang和Wang定义（关于序列n的广义Riordan数组（exp（x），x）！是帕斯卡三角形A007318号，并且关于序列n！*（n+1）！是A105278号). -彼得·巴拉2013年8月15日

无符号三角形出现在Ser（1933）第83页。 -N.J.A.斯隆2020年1月16日

参考文献

M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第799页。

G.Rota，《有限算子微积分》，学术出版社，纽约，1975年。

J.Ser，Les Calculs Formels des Séries de Factorielles出版社。高瑟·维拉斯（Gauthier-Villars），巴黎，1933年，第83页。

链接

T.D.Noe，三角形n=0..50行，展平

M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。

W.A.Al-Salam，拉盖尔多项式和其他多项式的运算表示杜克大学数学系。熟练工人。第31卷（1964年），第127-142页。

保罗·巴里，限制Toda链、指数Riordan阵列和Hankel变换，J.国际顺序。13（2010）#10.8.4，示例5。

保罗·巴里，指数Riordan阵列与置换计数，J.国际顺序。13（2010）#10.9.1，示例7。

保罗·巴里，Riordan阵列、作为矩的正交多项式和Hankel变换，J.国际顺序。14（2011）第11.2.2号，示例21。

保罗·巴里，作为矩的组合多项式、Hankel变换和指数Riordan阵列，arXiv预印本arXiv:1105.3044[math.CO]，2011年，也J.国际顺序。 14 (2011) # 11.6.7.

保罗·巴里，关于Riordan矩序列的一种变换，arXiv:1802.03443[math.CO]，2018年。

A.Belov-Kanel和M.Kontsevich，Weyl代数的自同构，arXiv预印本arXiv:0512169[math.QA]，2005。

A.Belov-Kanel和M.Kontsevich，雅可比猜想与迪克西耶猜想稳定等价，arXiv预印本arXiv:0512171[math.RA]，2005。

I.盖塞尔，经典本影演算的应用

G.Hetyei，第二类梅克斯纳多项式和表示su（1,1）的量子代数，arXiv预印本arXiv:0909.4352[math.QA]，2009年，第4页。

米兰·扬基克，数和导数的一些类别，JIS 12（2009）09.8.3。

罗伯特·S·迈尔，广义Stirling数和Euler数的玻色子算子序恒等式，arXiv:2308.10332[math.CO]，2023年。请参阅。第19页。

马西莫·诺森蒂尼，符号和逻辑计算支持的一些无限数列的代数和组合研究2019年，佛罗伦萨大学博士论文。见第31页。

J.Ser，工厂会计1933年，巴黎，戈瑟·维拉斯[当地副本]。

J.Ser，工厂会计（某些选定页面的注释扫描）

M.Z.斯皮维，关于一般组合递归的解，J.国际顺序。 14 (2011) # 11.9.7.

W.Wang和T.Wang，广义Riordan阵列《离散数学》，第308卷，第24期，6466-6500。

埃里克·魏斯坦的数学世界，拉盖尔多项式

与拉盖尔多项式相关的序列的索引项

配方奶粉

a（n，m）=（（-1）^m）*n！*二项式（n，m）/m！=（（-1）^m）*（（n！/m！）^2）/（n-m）！如果n>=m，则为0。

例如，对于第m列：（-x/（1-x））^m/（（1-x）*m！)，m>=0。

用Maple符号表示（无符号a（n，m））作为高斯超几何函数2F1的特殊值：n！*（-1）^m*超几何（[-m，n+1），[1]，1）/m！. -卡罗尔·彭森2003年10月2日

和{m>=0}（-1）^m*a（n，m）=A002720型（n）。 -菲利普·德尔汉姆2004年3月10日

例如：（1/（1-x））*exp（x*y/（x-1））。 -弗拉德塔·乔沃维奇2005年4月7日

求和{n>=0，m>=0}a（n，m）*（x^n/n！^2）*y^m=exp（x）*BesselJ（0，2*sqrt（x*y））。 -弗拉德塔·乔沃维奇2005年4月7日

矩阵平方得到单位矩阵：L^2=I-保罗·D·汉纳2008年11月22日

发件人汤姆·科普兰，2012年10月20日：（开始）

符号上，D=D/dx和LN（n，x）=n！L_n（x），定义：Dx:^j=D^j x^j，：xD:^j=x^j D^j，和LN（.，x）^j=LN（j，x）=的行多项式A021009型.

那么一些有用的关系是

1）（：Dx：）^n=LN（n，-：xD：）[罗德里格斯公式]

2）（xDx）^n=x^n D^n x^n=x ^n LN（n，-：xD:）[参见Al-Salam参考/A132440号]

3）（DxD）^n=D^n x ^n D^n=LN（n，-：xD:）D^n[参见中的参考A132440号]

4）本影合成LN（n，LN（.，x））=x^n[参见罗塔参考]

5）本影补偿。LN（n，-：Dx:）=LN（n，-LN（.，-：xD:））=2^n LN（n-：xD:/2）=n！*（第n行，例如f.（x）ofA038207号x替换为：xD:）。

2）的一个例子是操作符（xDx）^2=（xDx）（xDx=xD（x^2+x^3D）=2x^2+4x^3D+x^4D^2=x^2（2+4xD+x*2D^2）=x^ 2（2+4:xD:+：xD:^2）=x^2 LN（2，-：xD:）=x*22！L_2（-：xD:）。

5）中的阴影合成示例如下所示A038207号.

op.xDx通过exp（t*xDx）f（x）=f[x/（1-t*x）]/（1-t*x）与幂级数/o.g.f.s.的欧拉/二项式变换有关，与特殊的Moebius/线性分数/投影变换z exp（-t*zDz）（1/z）f（z）=f（z/（1+t*z））有关。

有关阴影演算的一般讨论，请参阅Gessel链接。（结束）

发件人沃尔夫迪特·朗2013年1月31日：（开始）

由正交多项式组{n！*L（n，x）}的三项递推导出的标准递推：L（n、x）=（2*n-1-x）*L（n-1，x）-（n-1）^2*L（n2，x），n>=1，L（-1，x）=0，L（0，x）=1。

a（n，m）=（2*n-1）*a（n-1，m）-a（n-1、m-1）-（n-1）^2*a（n-2，m），

n>=1，其中a（n，-1）=0，a（0,0）=1，a（n、m）=0如果n<m。（与Peter Luschny的无符号情况下的程序|a（n（m）|=（-1）^m*a（n），m）进行比较）。

简化递归（使用上述a（n，m）的显式列递归）：

a（n，m）=（n+m）*a（n-1，m）-a

|T（n，k）|=[x^k]（-1）^n*U（-n，1，-x），其中U（a，b，x）是Kummer的超几何U函数。 -彼得·卢什尼2015年4月11日

T（n，k）=（-1）^k*n！*S（n，k），其中S（n、k）递归定义为：“如果k=0，则1 else如果k>n，则0 else S（n-1，k-1）/k+S（n-1，k）”。 -彼得·卢什尼2017年6月21日

无符号情况是指数Riordan平方（参见321620美元)阶乘数。 -彼得·卢什尼，2018年12月6日

省略对角线和符号，这个数组是由换向器[D^n，x^n]=D^nx^n-x^nD^n=Sum_{i=0..n-1}（（n！/i！）^2/（n-i）！)Belov-Kanel和Kontsevich的两篇论文第9页上的x^i D^i。 -汤姆·科普兰2020年1月23日

例子

三角形a（n，m）开始于：

n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0: 1

1: 1 -1

2: 2 -4 1

3: 6 -18 9 -1

4: 24 -96 72 -16 1

5: 120 -600 600 -200 25 -1

6: 720 -4320 5400 -2400 450 -36 1

7: 5040 -35280 52920 -29400 7350 -882 49 -1

8:40320 -322560 564480 -376320 117600 -18816 1568 -64 1

...

发件人沃尔夫迪特·朗，2013年1月31日（开始）

复发（常见）：a（4,1）=7*（-18）-6-3^2*（-4）=-96。

重复（简化版）：a（4,1）=5*（-18）-6=-96。

递归（Sage程序）：|a（4,1）|=6+3*18+4*9=96。（结束）

嵌入式递归（Maple程序）：a（4,1）=-4！*(1 + 3) = -96.

MAPLE公司

A021009型：=程序（n，k）局部S；S:=proc（n，k）选项记忆；`if`（k=0，1，`if`）（k>n，0，S（n-1，k-1）/k+S（n-l，k））结束：（-1）^k*n！*S（n，k）端：seq（seq(A021009型（n，k），k=0..n），n=0..8）； #彼得·卢什尼2017年6月21日

#无符号情况的替代方法（中定义的RiordanSquare函数321620美元):

RiordanSquare（加上（x^m，m=0..10），10，真）； #彼得·卢什尼，2018年12月6日

数学

扁平[表[系数列表[n！*LaguerreL[n，x]，{n，0，9}]](*Jean-François Alcover公司2011年12月13日*）

黄体脂酮素

（鼠尾草）

定义A021009型_三角形（dim）：#计算无符号T（n，k）。

M=矩阵（ZZ，dim，dim）

对于n in（0..dim-1）：M[n，n]=1

对于n in（1..dim-1）：

对于k in（0..n-1）：

M[n，k]=M[n-1，k-1]+（2*k+1）*M[n-1，k]+（k+1）^2*M[n-1，k+1]

返回M

A021009型_三角形（9）#彼得·卢什尼2012年9月19日

（PARI）

p（n）=分母（最佳apprPade（Ser（向量（2*n，k，（k-1）！))));

concat（1，concat）（向量（9，n，Vec（-p（n））））\\Gheorghe Coserea公司2016年12月1日

（PARI）{T（n，k）=如果（n<0，0，n！*polcoeff（和（i=0，n，二项式（n，n-i）*（-x）^i/i！），k））}； /*迈克尔·索莫斯2016年12月1日*/

（PARI）行（n）=Vecrev（n！*pollaguerre（n））； \\米歇尔·马库斯2021年2月6日

（岩浆）/*作为三角形：*/[[（-1）^k）*阶乘（n）*二项式（n，k）/阶乘（k）：k in[0..n]]：n in[0..10]]； //文森佐·利班迪2020年1月18日

交叉参考

行总和给出A009940号，交替行和为A002720型.

列序列（无符号）：A000142号,A001563号,A001809号-A001812号对于m=0..5。

中心术语：A295383型.

有关生成器和泛化，请参见A132440号.

囊性纤维变性。2010年0月,A025166号,A025167号,A062137号,A062138号,A062139号,A062140型,A066667号,A321620型.

上下文中的序列：A204115型 A204130型 A204024型*A137478号 A089087号 A142146号

相邻序列：A021006型 A021007号 A021008型*A021010型 A021011号 A021012号

关键词

签名,表,容易的,美好的

作者

N.J.A.斯隆

扩展

名称更改和表格提供人沃尔夫迪特·朗2011年11月28日

状态

经核准的