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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A021009年 拉盖尔多项式系数三角n!*L\n(x)(x的上升幂)。 50
1,1,-1,2,-4,1,6,-18,9,-1,24,-96,72,-16,1,120,-600,600,-200,25,-1,720,-4320,5400,-2400,450,-36,1,5040,-35280,52920,-29400,7350,-882,49,-1,40320,-322560,564480,-376320,117600,-18816,1568,-64,1,362880,-3265920 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,4个

评论

在绝对值中,这个序列还给出了一个矩阵指数的下三角读数,其项{j+1,j}等于(j-1)^2(所有其他项都为零)。-2006年5月26日,印第安纳州教育部

集合X上的部分置换是X的两个子集之间的双射。T(n,n-k)|等于域基数等于k的n集的部分置换数。设E表示算子D*X*D,其中D是导数算子D/dx。那么E^n=sum{k=0..n}| T(n,k)|*x^k*D^(n+k)。-彼得·巴拉2008年10月28日

无符号三角形是序列n的广义Riordan数组(exp(x),x)!^2如Wang和Wang(广义Riordan数组(exp(x),x)对序列n的定义!是帕斯卡三角形A007318型关于序列n!*(n+1)!A105278号). -彼得·巴拉2013年8月15日

无符号三角形出现在Ser(1933)第83页。-N、 斯隆2020年1月16日

参考文献

M、 Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准局应用数学。系列551964年(和各种重印),第799页。

Massimo Nocentini,“符号和逻辑计算支持的一些无限数列的代数和组合研究”,佛罗伦萨大学博士论文,2019年。见第31页。

G、 罗塔,《有限算子演算》,学术出版社,纽约,1975年。

J、 先生,计算公式。高蒂埃·维拉斯,巴黎,1933年,第83页。

链接

T、 D.不,n=0..50行三角形,展平

M、 Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册国家标准局,应用数学。系列55,第十次印刷,1972年[备选扫描件]。

W、 A.萨拉姆,拉盖尔多项式和其他多项式的运算表示,杜克数学。《期刊》,第31卷(1964年),第127-142页。

保罗·巴里,受限Toda链、指数Riordan数组和Hankel变换,国际期刊。13(2010)#10.8.4,例5。

保罗·巴里,指数Riordan数组和置换枚举,国际期刊。13(2010)#10.9.1,例7。

保罗·巴里,Riordan数组,正交多项式作为矩,和Hankel变换,国际期刊。14(2011)#11.2.2,例21。

保罗·巴里,组合多项式作为矩、Hankel变换和指数Riordan阵列,arXiv预印本arXiv:1105.3044[math.CO],2011年J、 内景。2011年11月14日11.6.7.

保罗·巴里,关于Riordan矩序列的一个变换,arXiv:1802.03443[math.CO],2018年。

A、 卡内尔和康采维奇先生,Weyl代数的自同构,arXiv预印本arXiv:0512169[math.QA],2005年。

A、 卡内尔和康采维奇先生,Jacobian猜想稳定地等价于Dixmier猜想,arXiv预印本arXiv:0512171[math.RA],2005年。

一、 盖塞尔,经典本影演算的应用

G、 赫蒂,第二类Meixner多项式与表示su(1,1)的量子代数,arXiv预印本arXiv:0909.4352[math.QA],2009年,第4页。

M、 詹吉奇,几类数和导数,JIS 12(2009)09.8.3。

J、 先生,析因公式的计算公式(某些选定页面的带注释扫描)

M、 维斯皮兹,关于一般组合递归的解,国际期刊。2011年第14期第11.9.7条。

W、 Wang和T.Wang,广义Riordan阵列离散数学,第308卷,第24期,6466-6500。

埃里克·韦斯坦的数学世界,拉盖尔多项式

与拉盖尔多项式有关的序列的索引项

公式

a(n,m)=((-1)^m)*n!*二项式(n,m)/m!=(-1)^m)*((n!/m!)^2) /(n-m)!如果n>=m,否则为0。

E、 第m列的g.f:(-x/(1-x))^m/((1-x)*m!),m>=0。

(无符号a(n,m))表示为Gauss超几何函数2F1的特殊值,用Maple表示法:n!*(-1)^m*超几何([-m,n+1],[1],1)/m!。-卡罗尔·彭森2003年10月2日

和{m>=0}(-1)^m*a(n,m)=A002720(n) 一。-菲利普·德莱厄姆2004年3月10日

E、 g.f.:(1/(1-x))*有效期(x*y/(x-1))。-弗拉德塔·乔沃维奇2005年4月7日

和{n>=0,m>=0}a(n,m)*(x^n/n!^2) *y^m=exp(x)*BesselJ(0,2*sqrt(x*y))。-弗拉德塔·乔沃维奇2005年4月7日

矩阵平方得到单位矩阵:L^2=I-保罗·D·汉娜2008年11月22日

汤姆·科普兰2012年10月20日:(开始)

象征性地,D=D/dx和LN(n,x)=n!L\n(x),定义:Dx:^j=D^j x^j,:xD:^j=x^j D^j,LN(.,x)^j=LN(j,x)=的行多项式A021009年.

那么一些有用的关系是

1) (:Dx:)^n=LN(n,-:xD:)[罗德里格斯公式]

2) (xDx)^n=x^n D^n x^n=x^n LN(n,-:xD:)[见Al-Salam参考文献/A132440]

3) (DxD)^n=D^n x^n D^n=LN(n,-:xD:)D^n[见A132440]

4) 本影合成LN(n,LN(,x))=x^n[见罗塔参考文献]

5) 本影比较。LN(n,-:Dx:)=LN(n,-LN(,-:xD:)=2^n LN(n,-:xD:/2)=n!*(第n行e.g.f.(x),共A038207x替换为:xD:)。

例如2)是运算符(xDx)^2=(xDx)(xDx)=xD(x^2+x^3D)=2x^2+4x^3 D+x^4 D^2=x^2(2+4x D+x^2 D^2)=x^2(2+4:xD:+:xD:^2)=x^2 LN(2,-:xD:)=x^2 2 2!L_2(-:xD:)。

中给出了5)中本影合成的一个例子A038207.

(与x/z有关的特殊变换(x/z)是(1/z)的二项变换(x/z)。

有关本影微积分的一般讨论,请参阅Gessel链接。(结束)

狼牙2013年1月31日:(开始)

由正交多项式系的三项递推导出的标准递推式{n!*L(n,x)}:L(n,x)=(2*n-1-x)*L(n-1,x)-(n-1)^2*L(n-2,x),n>=1,L(-1,x)=0,L(0,x)=1。

(1米-2米),

n>=1,如果n<m,则a(n,-1)=0,a(0,0)=1,a(n,m)=0(与Peter Luschny针对无符号情况| a(n,m)|=(-1)^m*a(n,m))的程序进行比较。

简化递归(使用上述a(n,m)显式形式的列递归:

a(n,m)=(n+m)*a(n-1,m)-a(n-1,m-1),n>=1,a(0,0)=1,a(n,-1)=0,a(n,m)=0,如果n<m(结束)

|T(n,k)|=[x^k](-1)^n*U(-n,1,-x),其中U(a,b,x)是Kummer的超几何U函数。-彼得·卢什尼2015年4月11日

T(n,k)=(-1)^k*n!*S(n,k),其中S(n,k)递归定义为:“如果k=0,则1 else如果k>n,则0 else S(n-1,k-1)/k+S(n-1,k)”。-彼得·卢什尼2017年6月21日

无符号的情况是指数Riordan平方(参见A321620)阶乘数。-彼得·卢什尼2018年12月6日

省略对角线和符号,这个数组由换向器[D^n,x^n]=D^n x^n-x^n D^n=sum{i=0,n-1}((n!/我!)^2/(n-i)!)贝洛夫·卡内尔和孔采维奇两篇论文的第9页。-汤姆·科普兰2020年1月23日

例子

三角形a(n,m)开始于:

n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0:1个

1: 1-1个

2: 2-4 1

3: 6-18 9-1

4: 24-96 72-16 1

5: 120-600 600-200 25-1

6: 720-4320 5400-2400 450-36 1

7: 5040-35280 52920-29400 7350-882 49-1

8: 40320-322560 564480-376320 117600-18816 1568-64 1

...

狼牙2013年1月31日(开始)

递推(常用):a(4,1)=7*(-18)-6-3^2*(-4)=-96。

递归(简化版):a(4,1)=5*(-18)-6=-96。

复发(Sage程序):| a(4,1)|=6+3*18+4*9=96。(结束)

嵌入式递归(Maple程序):a(4,1)=-4!*(1+3)=-96。

枫木

A021009年:=proc(n,k)local S;S:=proc(n,k)选项记住;`if`(k=0,1,`if`(k>n,0,S(n-1,k-1)/k+S(n-1,k)))结束:(-1)^k*n!*S(n,k)端:顺序(A021009年(n,k),k=0..n),n=0..8)#彼得·卢什尼2017年6月21日

#无符号大小写的替代项(函数RiordanSquare定义在A321620):

RiordanSquare(加上(x^m,m=0..10),10,真)#彼得·卢什尼2018年12月6日

数学

展平[Table[CoefficientList[n!*拉盖雷尔[n,x],x],{n,0,9}]](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2011年12月13日*)

黄体脂酮素

(圣人)

定义A021009年_三角形(dim):#计算无符号T(n,k)。

M=矩阵(ZZ,dim,dim)

对于n in(0..dim-1):M[n,n]=1

对于n in(1..dim-1):

对于k in(0..n-1):

M[n,k]=M[n-1,k-1]+(2*k+1)*M[n-1,k]+(k+1)^2*M[n-1,k+1]

返回M

A021009年_三角形(9)#彼得·卢什尼2012年9月19日

(平价)

p(n)=分母(bestapppade(Ser(向量(2*n,k,(k-1)!)));

concat(1,concat(向量(9,n,Vec(-p(n)))))\\格奥尔赫·科塞雷亚2016年12月1日

(PARI){T(n,k)=如果(n<0,0,n!*波尔科夫(和(i=0,n,二项式(n,n-i)*(-x)^i/i!),k))}/*迈克尔·索莫斯2016年12月1日*/

(岩浆)/*三角形:*/[(-1)^k)*阶乘(n)*二项式(n,k)/阶乘(k):k in[0..n]]:n in[0..0..0。。10] ]//文琴佐·利班迪2020年1月18日

交叉引用

行总和给出A009940号,交替行和为A002720.

列序列(无符号):A000142号,A001563号,A001809型-A001812号对于m=0..5。

中心条款:A295383.

有关生成器和泛化,请参见A132440.

囊性纤维变性。A021010型,A025166号,A025167,A062137-A062140型,A066667号,A321620.

上下文顺序:A204115号 A204130号 A204024号*A1378号 A089087号 A142146号

相邻序列:A021006年 A021007年 A021008年*A021010型 A021011型 A021012型

关键字

签名,,容易的,美好的

作者

N、 斯隆

扩展

按表命名和更改狼牙2011年11月28日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年8月8日19:29。包含336298个序列。(运行在oeis4上。)