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问候整数序列的在线百科全书!)
A021009 拉盖尔多项式系数的三角形n!* Lyn(x)(x的上升幂)。 四十六
1, 1,-1, 2,-4, 1, 6,-18, 9,-1, 24,-96, 72,-16, 1, 120,-600, 600,-200, 25,-1, 720,-4320, 5400,-2400, 450,-2400, 450,--,--,--,--,--,--,--,--,--,--,-- 列表图表参考文献历史文本内部格式
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0、4

评论

在绝对值中,该序列还给出了矩阵{ j+1,j}等于(j-1)^ 2(和所有其他条目为零)的矩阵的指数的下三角读数。- Joseph Biberstine(JBBibe(AT)印第安娜,EDU),5月26日2006

集X上的一个部分置换是x.t(n,nk)的两个子集之间的一个双射,等于一个具有域基数等于k的n-集的部分置换的数目,E表示算子D *x*d,其中D是导数算子d/dx。然后e^ n=和{k=0…n} t(n,k)**x^ k*d^(n+k)。-彼得巴拉10月28日2008

无符号三角形是相对于序列n的广义Riordan阵列(EXP(x),x)!2由Wang和王定义(广义Riordan阵列(EXP(x),x)相对于序列n!Pascal三角A000 7318并且关于序列n!*(n+1)!A10527-彼得巴拉8月15日2013

推荐信

M. Abramowitz和I. A. Stegun,EDS,数学函数手册,国家标准局应用数学。系列55, 1964(和各种改版),第799页。

Massimo Nocentini,“符号和逻辑计算支持的无穷数列的代数和组合研究”,博士论文,佛罗伦萨大学,2019。见第31页。

G. Rota,有限运算符微积分,学术出版社,纽约,1975。

链接

诺伊,行n=0…50的三角形,扁平化

M. Abramowitz和I. A. Stegun,编辑,数学函数手册,国家标准局,应用数学。系列55,第十打印,1972 [替代扫描副本]。

萨拉姆,Laguerre和其它多项式的运算表示Duke Math。J.O.,第31卷(1964),第127至142页。

P. Barry受限制的ToDA链、指数Riordon阵列和Hankel变换J. Int. Seq。13(2010)×10.8,例5。

P. Barry指数Riordon阵列与置换枚举J. Int. Seq。13(2010)×10.1,例7。

P. BarryRiordan Arrays,正交多项式为矩,Hankel变换J. Int. Seq。14(2011)×112.2,例21。

Paul Barry矩、Hankel变换和指数Riordan阵的组合多项式,ARXIV预打印ARXIV:1105.3044(数学,Co),2011,也J. Int. Seq。14(2011).

Paul Barry关于Riordan矩序列的一个变换,阿西夫:1802.03443(数学,Co),2018。

I. Gessel经典阴阳演算的应用

G. Hetyei第二类Mexnor多项式与SU(1,1)的量子代数,ARXIV预印记ARXIV:909.4352 [数学,QA ],2009,第4页。

M. Janjic几类数及其导数,JIS 12(2009)09.

M. Z. Spivey关于一般组合递归的解J. Int. Seq。14(2011)×11 .9。

W. Wang和T. Wang广义Riordan阵列,离散数学,第308卷,第24卷,64 66—6500页。

Eric Weisstein的数学世界,拉盖尔多项式

与Laguerre多项式相关的序列索引条目

公式

A(n,m)=((-1)^ m)*n!*二项式(n,m)/m!=((-1)^ m)*((n)!m)^ 2)/(N-M)!如果n>=M 0。第m列:(-x/(1-x))^ m/((1-x)*m),M>=0。

表示(无符号A(n,m))作为高斯超几何函数2F1的特殊值,在Maple符号:n!*(-1)^ m*超几何([-m,n+1),[1 ],1)/m!-卡罗尔·彭森,10月02日2003

SuMu{{M}= 0 }(-1)^ M*A(n,m)=A000 720(n)。-菲利普德勒姆3月10日2004

E.g.f.:(1/(1-x))*EXP(x*y/(x-1))。-瓦拉德塔约霍维奇,APR 07 2005

SUMU{{N>=0,M>=0 } A(n,m)*x^ n/n!^ 2*y^ m=EXP(x)* BesselJ(0, 2×SqRT(x*y))。-瓦拉德塔约霍维奇,APR 07 2005

矩阵平方生成单位矩阵:L^ 2=I.保罗·D·汉娜11月22日2008

汤姆·科普兰,10月20日2012:(开始)

象征性地,用d= d/dx和Ln(n,x)=n!Lyn(x),定义:dx:^j= d^j x^j,:xd:^j= x^jd^j,和Ln(.x)^j=Ln(j,x)=行多项式A021009.

然后是一些有用的关系。

1)(:dx:^)n=Ln(n,-:xd:)[罗德里格兹公式]

2)(xdx)^n=x^n d^n x^n=x^n Ln(n,-:xd:)]参见Al Salam参考文献。A132440]

3)(dxd)^n=d^n x^n d^n=Ln(n,-:xd::)d^n。A132440]

4)荫成分Ln(n,Ln(,x))=x^ n [参见RoTa参考文献]

5)阴阳面。Ln(n,,-dx:)=Ln(n,-Ln(…,-:xd:))=2 ^ n Ln(n,-:xd::2)=n!*(第n行E.F.X)A038 207用x代替:xd:)。

2)的一个例子是运算符(xdx)^=(xdx)(xdx)=xd(x^ 2 +x^3d)=2x^+4x^ 3 d+x^4 d^2=x^2(2 +4xd+x^2 d^2)=x^2(2+:xd:+:xd:^^)=x^^-Ln(α,,-xd:)=x^^^!LY2(-:XD:)。

给出了5中的阴影分量的一个例子。A038 207.

OP.xDX与幂级数/O.G.F.S.通过EXP(t*xdx)f(x)=f[x/(1-t*x)] /(1-t*x)和特殊的莫比厄斯/线性分数/射影变换z Exp(-t*Zdz)(1/z)f(z)=f(z/(1+t*z))有关。

对于一般的微积分讨论,请参阅GESELLink。(结束)

狼人郎,1月31日2013:(开始)

由正交多项式系统的三项递归导出的标准递归{n!*L(n,x)}:L(n,x)=(2×n - 1 -x)*L(n-1,x)-(n-1)^ 2×l(n-2,x),n>=1,L(-1,x)=0,L(0,x)=1。

a(n,m)=(2×n-1)*a(n-1,m)-a(n-1,m -1)-(n-1)^ 2*a(n-2,m),

n>=1,A(n,1)=0,a(0,0)=1,A(n,m)=0,如果n<m(与无符号情形A(n,m)=(-1)^ m *a(n,m))的Peter Luschny程序进行比较。

简化递归(使用上面给出的(n,m)的显式形式的列递归):

a(n,m)=(n+m)*a(n-1,m)-a(n-1,m -1),n>=1,a(0,0)=1,A(n,1)=0,a(n,m)=0,如果n<m(结束)

t(n,k)=[x^ k](- 1)^ n*u(-n,1,-x),其中u(a,b,x)是Kummer的超几何U函数。-彼得卢斯尼4月11日2015

T(n,k)=(-1)^ k*n!* s(n,k),其中s(n,k)递归地定义为:“如果k=0,则如果k>n则为1,则为0个其它s(n-1,k-1)/k+s(n-1,k)”。-彼得卢斯尼6月21日2017

未签名的情况是指数Riordan平方(参见A32 1620)阶乘数。-彼得卢斯尼,十二月06日2018

例子

三角形A(n,m)开始:

n m 0 1 2 2 3 4 5 6 7 8

0:1

1:1—1

2:2—4—1

3:6—18—9—1

4:24—96—72—16—1

5:120 - 600 - 600 - 200 25 - 1

6:720 - 4320 - 5400 - 2400 - 450 - 36 1

7:5040 - 35280 - 52920 - 29400 - 7350 - 882 49 - 1

8:40320 - 322560 - 564480 - 376320 - 117600 - 18816 - 1568 - 64 1

狼人郎,1月31日2013(开始)

递归(通常一):A(4,1)=7*(- 18)- 6 - 3 ^ 2 *(-4)=-96。

递归(简化版本):A(4,1)=5*(- 18)- 6=-96。

复发(SAGE程序):αa(4,1)=6+3×18+4*9=96。(结束)

嵌入递归(MAPLE程序):A(4,1)=- 4!*(1+3)=- 96。

枫树

A021009= PROC(n,k)的局部S;s:= PROC(n,k)选项记住;“如果”(k=0, 1,‘如果’(k> n,0,s(n-1,k-1)/k+s(n-1,k))结束:(- 1)^ k*n!*S(n,k)端:SEQ(SEQ)A021009(n,k),k=0…n,n=0…8);彼得卢斯尼6月21日2017

无符号情况下的函数替换(函数RiordANGORD定义在A32 1620):

RiordanSquare(Add(x^ m,m=0…10),10,真);彼得卢斯尼,十二月06日2018

Mathematica

变平[表]系数列表[n!*拉盖尔〔n,x〕,x],{n,0, 9 }〕让弗兰12月13日2011*)

黄体脂酮素

(圣人)

DEFA021009三角形(模糊):计算未签名的t(n,k)。

M=矩阵(SR,DIM,DIM)

对于n(0……DIM-1):M[n,n]=1

对于n(1……DIM-1):

对于K在(0…DIM-2)中:

M[n,k]=m〔n-1,k-1〕+(2×k+ 1)*m [ n-1,k] +(k+1)^ 2×m [n-1,k+1 ]

返回M

A021009三角(9)α彼得卢斯尼9月19日2012

(帕里)

P(n)=分母(BestPAPPADE(Ser(矢量(2×N,K,(k-1)!)))

CONTAT(1,CONTAT(矢量)(9,n,Vec(-p(n*α))格奥吉尔科塞里亚,十二月01日2016

(PARI){t(n,k)=f(n<0, 0,n)!* PoCOFEFF(求和(i=0,n,二项式(n,n- i)*(-x)^ i/i!),k)};米迦勒索摩斯,十二月01日2016

交叉裁判

行和给出A000 940交替行和是A000 720.

列序列(未签名):A000 0142A000 1563A00 1809-A000 1812m=0…5。

中心术语:A29 538.

对于生成器和泛化见A132440.

囊性纤维变性。A021010A025166A025167A062137-A062140A06667A32 1620.

语境中的顺序:A204115 A204130 A204024*A13778 A089077 A142146

相邻序列:A021006 A021007 A021008*A021010 A021011 A021012

关键词

标志塔布容易

作者

斯隆.

扩展

名称更改,表由狼人郎11月28日2011

地位

经核准的

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最后修改9月19日06:47 EDT 2019。包含327187个序列。(在OEIS4上运行)