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方法数量a设置属于n个元素可以是分区的变成非空的子集称为贝尔号码，并表示为B_n（B_n）（不要与伯努利数，也通常表示为B_n（B_n）).

例如，数字有五种方式{1,2,3}可以分区：{{1},{2},{3}},{{1,2},{3}},{{1,3},{2}},{{1},{2,3}}、和｛｛1，2，3｝｝，所以B_3=5.

B_0=1，和前几个贝尔数对于n=1, 2, ... 是1、2、5、15、52、203、，877, 4140, 21147, 115975, ... （组织环境信息系统A000110号).中的位数B_（10^n）对于n=0, 1, ... 由1、6、116、1928给出，27665, ... （组织环境信息系统A113015号).

钟号在沃尔夫拉姆语言作为贝尔B[n个].

虽然贝尔数传统上被认为是外星人的。Bell在1934年的论文（Bell 1934）中发展了一般理论，在Bell工作大约25-30年前，Ramanujan在其第二本笔记本的第3章中首次对Bell数进行了系统研究（B.C.Berndt，pers.comm.，2010年1月4日和13日）。

前几个质数Bell数出现在指数上n=2, 3, 7, 13, 42, 55, 2841, ... （组织环境信息系统A051130型),其他人不少于30447（Weisstein，2006年4月23日）。这些对应于数字2、5、877、27644437、，…（OEIS）A051131号).B_（2841）2004年被I.Larrosa Canestro证明为最佳选手经过17个月的计算，使用椭圆形曲线素性证明程序PRIMO。

铃声编号

钟数与加泰罗尼亚数字上图显示了给出的结构B_3=5和B_4=15，线段表示相同的元素子集和表示包含单个元素（Dickau）。这个整数 B_n（B_n）可以由总和定义

B_n=sum_（k=0）^nS（n，k），
(1)

哪里S（n，k）是一个第二斯特林数友善的，即作为斯特林变换属于顺序1、1、1。。。。

贝尔数是用广义超几何函数表示的

B_n=e^（-1）_（n-1）F_（n-1）（2，…，2_（）_（n-1）；1,...,1_（）_（n-1）；1)
(2)

（K.A.Penson，pers.comm.，2007年1月14日）。

贝尔数也可以使用总和和重现关系

B_n=sum_（k=0）^（n-1）B_k（n-1；k），
（3）

哪里（a；b）是一个二项式系数，使用公式Comtet（1974年）

B_n=[e^（-1）总和_（m=1）^（2n）（m^n）/（m！）]
(4)

对于n> 0个，其中【x】表示天花板函数.多宾斯基公式提供了n个th贝尔号码

B_n=1/esum_（k=0）^infty（k^n）/（k！）。
(5)

的变体多宾斯基公式给予

B_n（B_n）=求和（k=1）^（n）（k^n）/（k！）求和（j=0）^
(6)
=sum_（m=1）^（n）（m^n！（n-m））/（γ（m+1）γ（n-m+1））
(7)

哪里!n个是一个次级因子（皮特曼1997）。

双总和由以下公式得出

B_n=sum_（k=1）^nsum_（i=1）|k（（-1）^（k-i）i^n）/（k！）。
(8)

Bell编号由生成函数

G（x）=1/esum_（k=0）^（infty）1/（（1-kx）k！）
(9)
=sum_（k=0）^（单位）（x^k）/（（-x）^k（（x-1）/x）_k）
(10)
=（_1F_1（-1/x；（x-1）/x；1） ）/秒
(11)
=（（-1）^（1/x）[xGamma（1-x^（-1）））+Gamma
(12)
=sum_（n=0）^（infty）B_nx^n
(13)
=1+x+2x^2+5x^3+15x^4+52x^5+。。。，
(14)

和指数生成函数

e^（e^x-1）=sum_（n=0）^inff（B_n）/（n！）x^n。
(15)

令人惊讶的积分表示B_n（B_n）由塞萨罗（1885）给出，

B_n（B_n）=（2n！）/（pie）I[int_0^pie^（e^）（entheta）））sin（ntheta）dtheta]
(16)
=（2n！）/（pie）int_0^pie^
(17)

（Becker and Browne 1941，Callan 2005），其中我[z]表示虚部属于z（z）.

贝尔号码B_n（B_n）也等于phin（1）,哪里phin（x）是一个贝尔多项式.

de Bruijn（1981）给出了渐近公式

（lnB_n）/n=lnn-lnlnn-1+（lnlnn）/（lnn）+1/（lnm）+1/2（（lnln）/（lbn））^2+O[（lnlnn）/（inn）^2）]。
(18)

Lovász（1993）表明，该公式给出了渐近极限

B_n～n^（-1/2）[λ（n）]^（n+1/2）e^（λ（n）-n-1），
(19)

哪里λ（n）由提供

λ（n）=n/（W（n）），
(20)

具有W（n）这个兰伯特W函数（格雷厄姆等。1994年，第493页）。Odlyzko（1995）给出

B_n～（n！）/（平方码（2piW^2（n）e^（W（n）））。
(21)

Touchard同余状态

B_（p+k）=B_k+B_（k+1）（修改），
(22)

什么时候第页是首要的.这是以下情况的特例k=0同余

B_p=2（模式p）
(23)

对于n个素数。人们推测

B_（n+（p^p-1）/（p-1））=B_n（mod p）
(24)

给出了最短时间B_n（B_n）（修订版第页). 贝尔数序列{B_1、B_2…}是周期性的（莱文和道尔顿1962年，伦农et（等）阿尔。1979）具有模量周期m=1, 2, ... 由1、3、13、12、781、39、137257、24、39、，2343, 28531167061, 156, ... （组织环境信息系统A054767号).

贝尔数字还有一个奇怪的特性

|B_0 B_1 B_2。。。B_n；B_1 B_2 B_3。。。B_（n+1）；|||…|；B_n B_（n+1）B_（n+2）。。。B_（2n）|=产品_（i=1）^（n）i！
(25)
=G（n+2）
(26)

（Lenard 1992），其中产品只是超因子的和G（n）是一个巴恩斯G函数，其中的前几个用于n=0, 1, 2, ... 是1、1、2、12、288、34560、24883200。。。（组织环境信息系统A000178号).

另请参见

贝尔多项式,钟形三角形,补充铃号,多宾斯基公式,整数序列素数,斯特林数第二类,Touchard的一致性

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参考Wolfram | Alpha

铃声编号

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“门铃号码。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/BellNumber.html网址

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