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5 $\开始组$ 这是 oeis.org/A0000522 $\端组$ – 弗雷德里克·约翰逊 2020年7月27日6:58 -
$\开始组$ $a_i$是奇数响应。 即使$i$是奇数响应。 甚至。 因此，即使是$i$，$a_i$也肯定是复合的。 $\端组$ – 本·史密斯 2020年7月27日8:14 -
2 $\开始组$ 序列$a{n+1}=\sum_{k=0}^{n}\frac{n！}{k！}$可以用另一种表示形式编写。 这是$$a{n+1}=2^n+\sum_{k=2}^{n}\binom{n} {k} 2个 ^ {n-k}D_k $$. 其中，$D_k$是错位数。 $\端组$ – 阿拉潘达斯 2020年7月27日8:29
2个答案
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2 $\开始组$ Mathematica似乎认为$a_{2017}$是素数。 我使用了FactorInteger命令，大约10秒后，它显示$a_{2017}$是唯一的主因子。 Mathematica的因式分解算法通常效率不高，这意味着（a）Mathematia失败得很离谱，（b）$a{2017}$是一种特殊形式的素数。对于通过伪素数测试的数字，该算法可能工作得更快。 $\端组$ 2021年6月22日0:15 -
1 $\开始组$ 嗯，Magma并没有这么容易。它很快就决定$a{2000}$到$a{2016}$是复合的，但在$a{2017年}$，我的（功能相当强大的）笔记本电脑在那里坐了五分钟，变得越来越热，并吹掉了空气，然后我中止了计算。 我怀疑Mathematica在其答案的可信度方面对你撒谎。 $\端组$ – 戴夫·本森 2023年10月14日22:52 -
1 $\开始组$ 是的，我认为Mathematica的FactorInt函数在默认设置下使用 Lenstra椭圆曲线分解法 当使用输入$a{2017}$运行时，这只表明$a{2017年}$没有小的主因子。 要使用Mathematica检查$a_{2017}$是否是确定的素数，可以尝试使用 PrimalityProving包 ，尽管它可能需要非常、非常、非常长的时间才能运行。 $\端组$ – 何文轩 2023年10月15日2:15 -
三 $\开始组$ 这与（非常粗糙的）启发式基本一致，即每个$a_n$的“概率”为$\approx\frac{1}{\loga_n}\approx-\frac{1}}{n\logn}$为素数； 总和$\sum_｛n=2｝^\infty\frac｛1｝｛n\log n｝$发散，但仅为双对数，因此人们暂时预计会有无限多的反例，但分布非常稀疏，第一个反例只出现在$n\约2000$时，这是有道理的。 $\端组$ – 陶哲轩 2023年10月16日5:04
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2 $\开始组$ 这就是说，sympy.theory.primetest.isprime用了几秒钟的时间来证明$a{2017}$，如果不是质数，至少是一个强的 Baillie–PSW伪素数 已知BPSW测试在$n=2^{64}$之前是正确的，我们不知道是否存在BPSW伪素数（即欺骗BPSW检测认为它们是素数的复合数）。 （Mathematica的PrimeQ和Maple的isprime也使用了类似的测试，所以在使用计算机检查一个大数字是否是素数时必须非常小心。） $\端组$ – 何文轩 2023年10月15日23:07