A080663-OEIS公司

A080663号

a（n）=3*n^2-1。

2, 11, 26, 47, 74, 107, 146, 191, 242, 299, 362, 431, 506, 587, 674, 767, 866, 971, 1082, 1199, 1322, 1451, 1586, 1727, 1874, 2027, 2186, 2351, 2522, 2699, 2882, 3071, 3266, 3467, 3674, 3887, 4106, 4331, 4562, 4799, 5042, 5291, 5546, 5807, 6074, 6347, 6626

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,1

这些数字不可能是完美的正方形。请参阅Hilliard链接以获取证据。

n，n+1和n+2的第二初等对称多项式：n（n+1）+n（n+2）+（n+1-扎克·塞多夫2005年3月23日

此序列等于n>=2三角形右第三列A165674号.它的递推关系导致Pascal三角形A007318号克劳利公式A080663号（n-1）导致Wiggen三角形A028421号这个序列的o.g.f.，如果没有第一项，就可以得到Wood多项式126671英镑。另请参阅A165676号,A165677号,165678英镑和A165679号. -约翰内斯·梅耶尔2009年10月16日

丢番图方程x（x+1）+（x+2）（x+3）=（x+y）^2+（x-y）^2有解x=a（n），y=3n-布鲁诺·贝塞利2013年3月29日

使用同余可以很容易地构造出这些数字不可能是完美平方的一个简单证明：如果方程x^2=3y^2-1有一个正整数的解，那么x^2=2mod 3。显然，我们不能有x=0的mod3，而x=1的mod3也不能工作，因为x^2=1的Mod3也不能。剩下x=2mod3，但x^2=1mod3-阿隆索·德尔·阿特2013年10月19日

2*a（n+1）是具有连续整数边的矩形棱镜的表面积：n，n+1，和n+2，（n>0）-韦斯利·伊万·赫特2014年9月6日

数字m，使3*m+3为正方形。因此，这些是数字m，这样方程组x=sqrt（m-2yz），y=sqert（m+1-2xz），z=sqrt（m+2-2xy）就可以得到3个实正解，它们的和是整数。请参阅Rechtman链接-米歇尔·马库斯，2020年6月6日

参考文献

伊桑·D·博克，《初等数论：代数方法》。米诺拉，纽约：多佛出版社（1969年，2007年再版）：第7页，问题6.6。

E.Grosswald，《数论主题》，1966年第64页第11题

链接

纳撒尼尔·约翰斯顿，n=1..10000时的n，a（n）表

西诺·希利亚德，3n^2-1不方形.[自2008年4月11日起从web.archive.org存档的副本]

Ana Rechtman，2020年，第1天《数学图像》，CNRS，2020年（法语）。

利奥·塔瓦雷斯，插图：连体梯形

Eric Weistein的《数学世界》，对称多项式.

常系数线性递归的索引项，签名（3，-3,1）。

公式

a（n）=-Re（（1+n*i）^3），其中i=sqrt（-1）-加里·亚当森2006年8月14日

a（n）=3*n^2-1-斯蒂芬·克劳利，2009年7月6日

a（n）=a（n-1）-3*a（n-2）+3*a（n-3）-约翰内斯·梅耶尔2009年10月16日

通用格式：x*（2+5*x-x^2）/（1-x）^3-约尔格·阿恩特2014年9月6日

当n>1时，a（n）=a（n-1）+6*n-3-文森佐·利班迪2010年8月8日

例如：1+exp（x）*（3*x^2+3*x-1）-斯特凡诺·斯佩齐亚2020年2月1日

发件人阿米拉姆·埃尔达尔2021年2月4日：（开始）

求和{n>=1}1/a（n）=（1-（Pi/sqrt（3））*cot（Pi/squart（3”））/2。

和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=（（Pi/sqrt（3））*csc（Pi/squart（3”）-1）/2。

产品{n>=1}（1+1/a（n））=（Pi/sqrt（3））*csc。

乘积_{n>=1}（1-1/a（n））=csc（Pi/sqrt（3））*sin（sqrt（2/3）*Pi）/sqrt（2）。（结束）

a（n）=A005449号（n）+A115067型（n） ●●●●-利奥·塔瓦雷斯2022年5月25日

a（n）=（n-1）*n+（n-1。请参阅扎克·塞多夫以上评论-沃尔夫迪特·朗2024年8月15日

MAPLE公司

A080663号：=进程（n）返回3*n^2-1：结束进程：seq(A080663号（n），n=1..50）#纳撒尼尔·约翰斯顿2013年10月16日

数学

3*范围[47]^2-1(*阿隆索·德尔·阿特2013年10月19日*）

黄体脂酮素

（PARI）列表（n）={对于（x=1，n，y=3*x*x-1；打印1（y，“，”））}\\编辑人米歇尔·马库斯2020年2月1日

（PARI）Vec（x*（2+5*x-x^2）/（1-x）^3+O（x^66））\\约尔格·阿恩特2014年9月6日

（岩浆）[3*n^2-1:n英寸[1..50]]//韦斯利·伊万·赫特2014年9月4日

交叉参考

囊性纤维变性。A007318号,A028421号,A080663号,121670英镑,A126671号,A165674号,A165676号,165677元,A165678号,A165679号.

囊性纤维变性。A005449号,A115067型.

上下文中的序列：A141428号 A371344飞机 A104085号*A248118号 A320648型 2014年1月

相邻序列：A080660型 A080661号 A080662号*A080664号 A080665号 A080666号

关键词

非n,容易的

作者

西诺·希利亚德2003年3月1日

状态

经核准的