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次级阶乘


这个n个th亚因子(也称为错乱数量;Goulden和Jackson 1983年,第48页;格雷厄姆等。2003年,第1050页)是的数字排列属于n个没有物体出现在其自然位置的物体(即。,"错乱").

Whitworth(1867年或1878年;Cajori 1993年,第77页)引入了术语“次级因子”。欧拉(1809)计算了前十项。

的前几个值!n个对于n=1, 2, ... 是0、1、2、9、44、265、1854、,14833, ... (组织环境信息系统A000166号). 例如只有错乱属于{1,2,3}{2,3,1}{3,1,2},所以!3=2类似地错乱属于{1,2,3,4}{2,1,4,3},{2,3,4,1},{2,4,1,3},{3,1,4,2},{3,4,1,2},{3,4,2,1},{4,1,2,3},{4,3,1,2},以及{4,3,2,1},所以!4=9.

的总和和公式!n个包括

!n个=不!sum_(k=0)^(n)((-1)^k)/(k!)
(1)
=sum_(k=0)^(n)k!(-1)^(n-k)(n;k)
(2)
=sum_(k=0)^(n)(n!(-1)^
(3)
=(伽马(n+1,-1))/e
(4)

哪里不!是阶乘,(n;k)是一个二项式系数,以及伽马(a,z)不完整的伽马函数.

子因子在沃尔夫拉姆语言作为次级阶乘[n个].

次级阶乘

上面说明了将子因子的实部和虚部推广到任何实参数的图,通常的积分值子因子对应于非负整数n个.

子因子也称为rencontres数,并满足重现关系

!n个=n·!(n-1)+(-1)^n
(5)
!n个=[!(n-2)+!(n-1)]。
(6)

子因子可以被视为受限布鲁克斯问题.

该子编剧有生成函数

G(x)=(e^(-(1+1/x))/xEi(1+1/x)
(7)
=sum_(n=0)^(infty)(!n)x^n
(8)
=1+x^2+2x^3+9x^4+44x^5+265x^6+。。。,
(9)

哪里Ei(x)指数积分,以及指数的生成函数

E(x)=(e ^(-x))/(1-x)
(10)
=sum_(n=0)^(infty)(!n)(x^n)/(n!)
(11)
=1+1/2x^2+1/3x^3+3/8x^4+(11)/(30)x^5+。。。
(12)

(组织环境信息系统A053557号A053556号).

通常表示子因子!n个,不`(格雷厄姆等。2003年,第194页),n个^_(Dörie 1965,第19页),d(n)日(彭马拉州和斯基纳,2003年,第106页),dn(数字)(古尔登和杰克逊1983年,第48页;范·林特和威尔逊1992年,第90页),或编号(_n)(里尔丹1980年,第59页;斯坦利1997年,第489页),后者尤其重要查看时使用错乱.

另一个方程式如下所示

 !n=[(n!)/e],
(13)

哪里k!像往常一样阶乘的【x】最近整数功能M.Hassani(pers.comm.,2004年10月28日)提供了表格

 !n=| _(n!+1)/e_|
(14)

对于n> =1

 !n=| _(e+e ^(-1))n_|-|_恩_|
(15)

对于不=1,哪里|_x个_|楼层功能.

的积分!n个由提供

 int_(-1)^inftyx^ne^(-(x+1))dx=!n.(名词)。
(16)

A类连分数对于!n个由提供

 !n=(n!)/e+((-1)^n)/(n+2-1/(n+3-2/(n+4-3/(n+5-…))))。
(17)

十进制数字!(10 ^n)对于n=0, 1, ... 是7、158、2568、35660、456574、5565709、65657059、,…(OEIS)A114485号).

唯一的主要子因子是!3=2.

唯一等于其数字的子因子之和的数字是

 148349=!1+!4+!8+!3+!4+!9
(18)

(Madachy 1979)。

子工厂ReIm次级等高线

如上图所示,子因子可以解析地延续到复杂平面。


另请参见

解除量程,阶乘,已婚夫妇问题,Rooks公司问题,超阶乘

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引用的关于Wolfram | Alpha

次级阶乘

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“子因子。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Subfactorial.html

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