A036040-OEIS公司

抵消

1,5

这与A080575美元和A178867号.

T（n，m）=n的集合分区数，块长度由n的第m个分区给出。

发件人蒂尔曼·诺依曼，2008年10月5日：（开始）

这些也是完整贝尔多项式中的系数、Faa di Bruno公式（最简单形式）和累积量矩的计算。

虽然贝尔多项式看起来相当笨拙，但它们可以很容易地作为n维方阵的行列式进行计算

前n个素数的完备Bell多项式给出了A007446号.（完）

发件人汤姆·科普兰2011年4月29日：（开始）

在“Lagrange A la Lah”链接中，给出了由这些第二类“精化”Stirling数形成的划分多项式与本影算子树和拉格朗日反演之间的关系。

对于连通图、累积量和A036040型，请参阅下面关于统计物理的参考资料。从某种意义上说，这些图是《拉格朗日·拉拉》中本影花束的对偶。（结束）

这些M3（Abramowitz-Stegun）分区多项式是带递归的完整Bell多项式（见上面的注释）（见维基百科链接）B_0=1，B_n=Sum_{k=0..n-1}二项式（n-1，k）*B_{n-1-k}*x[k+1]，n>=1。 -沃尔夫迪特·朗2016年8月31日

对于不确定性（x_1，x_2，x_3，…）=（t，-c2*t，-c3*t，…），c_n>0，本影B（n，a）=B（n，t）|_{t^n=a_n}=0和B（j，a）B（k，a）=B（j，t）B（k，t）|_{t^n=a_n}=d_{j，k}>=0是x^j/j的系数！*y^k/k！在形式群定律FGL（x，y）=f[f^{-1}（x）+f^{-1-}（y）]的泰勒级数展开式中，其中a_n是根据A134685号. -汤姆·科普兰2018年2月9日

关于量子场论中泛函的应用，请参见Figueroa等人、Brouder、Kreimer和Yeats以及Balduf。在前两篇论文中，具有不定项（x_1，x_2，x_3，…）=（c_1，2！c_2，3！c_3，..）的Bell多项式等价于A130561型在不定式cn中-汤姆·科普兰2019年12月17日

发件人汤姆·科普兰2020年10月15日：（开始）

使用a_n=n！*b_n=（n-1）！*c_n表示n>0，将f（0）=a_0=b_0=1的函数表示为

A）指数生成函数（例如f），或形式泰勒级数：f（x）=e^{A.x}=1+Sum_{n>0}A_n*x^n/n！

B）普通生成函数（o.g.f.），或形式幂级数：f（x）=1/（1-B.x）=1+Sum{n>0}B_n*x^n

C）对数生成函数（l.g.f）：f（x）=1-log（1-C.x）=1+Sum{n>0}C_n*x^n/n。

对数（f（x））的展开式如所示

一）A127671号和A263634型例如f:log[e^{a.*x}]=e^{L.（a_1，a_2，…）x}=Sum_{n>0}L_n（a_，…，a_n）*x^n/n！对数多项式，累积展开多项式

二）A263916型对于o.g.f.：log[1/（1-b.x）]=log[1-f（b_1，b_2，…）x]=-求和{n>0}f_n（b.1，…，b_n）*x^n/n，Faber多项式。

exp（f（x）-1）的展开式如下所示

三）A036040型对于例如f:exp[e^{a.x}-1]=e^{BELL.（a_1，…）x}，BELL/Touchard/指数配分多项式，即第二类Stirling配分多项式

四）A130561型对于o.g.f:exp[b.x/（1-b.x）]=e^{LAH.（b.，…）x}，LAH配分多项式

五）A036039号对于l.g.f.：exp[-log（1-c.x）]=e^{CIP.（c1，…）x}，对称群S_n的循环指数多项式，也称为第一类斯特林配分多项式。

由于exp和log是一个组合逆对，因此可以从exp集中提取分区多项式的log集的不确定性，反之亦然。有关这些多项式之间的关系以及连通和不连通图/映射的组合学的讨论，请参阅Novak和LaCroix关于经典矩和累积量的文章以及下面引用的两本统计力学书籍。（结束）

发件人汤姆·科普兰，2021年6月12日：（开始）

这些Bell多项式及其与Faa-di-Bruno-Hopf双代数、量子场论中的相关函数和动量-乘积对偶的关系在Zeidler的第134-144页中给出。

卡梅隆等人、杜尚、杜尚等人、Labele和Leroux、Scott和Sokal以及一些历史中的指数公式或原理的阐述中给出了多项式系数的解释。该原理的最简单应用如下所示A060540型.（完）

参考文献

Abramowitz和Stegun，《手册》，第831页，标有“M_3”的专栏。

C.Itzykson和J.Drouffe，《统计场理论》第2卷，剑桥大学出版社，1989年，第412页。

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链接

David W.Wilson，n=1..11731时的n，a（n）表（第1行到第26行）。

Milton Abramowitz和Irene A.Stegun，编辑，多项式：M_1、M_2和M_3《数学函数手册》，1972年12月，第831-2页。

P.Balduf，相互作用场论的传播子和微分同态，硕士论文，提交给柏林洪堡大学数学物理研究所，2018年。

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汤姆·科普兰，拉格朗日a la Lah2011年11月11日。

汤姆·科普兰，Appell序列的创建/提升运算符2015年11月21日。

汤姆·科普兰，生成器、反演、矩阵、二项式和积分变换，2015年12月21日。

汤姆·科普兰，形式群法则与二项式Sheffer序列, 2018.

G.杜尚，组合数学中的重要公式：指数公式数学溢出答案，2015年。

G.Duchamp、S.Goodenough、K.Penson和L.Poinsot，图、指数公式和组合物理的统计，arXiv:0910.0695[cs.DM]，2010年。

K.Ebrahimi-Fard和F.Patras，累积量、自由累积量和半洗牌，arXiv:1409.5664v2[math.CO]，2015年，第16页。 [汤姆·科普兰2016年2月29日]

H.Figueroa和J.Gracia-Bondia，量子场论中的组合Hopf代数I，arXiv:0408145[hep-th]，2005年，（第41页）。

P.古哈，Riccati链、高阶Painlevé型方程和Virasoro轨道稳定器集, 2006.

D.Kreimer和K.Yeats，量子场的异态射，arXiv:1610.01837[math-ph]，2016年。 [汤姆·科普兰2016年11月23日]

G.Labele和P.Leroux，枚举组合学中指数公式的推广《电子》。J.库姆。，第3卷，第2期，1996年。

沃尔夫迪特·朗，前10行和多项式

J.Novak和M.LaCroix，自由概率三讲，arXiv:1205.2097[math.CO]，2012年。

A.Scott和A.Sokal，指数公式的一些变体及其在多元Tutte多项式中的应用（别名Potts模型），arXiv:0803.1477[math.CO]，2009年。

J.Taylor，形式群法则与超图着色华盛顿大学博士论文，2016年，第95页。 [汤姆·科普兰2018年12月20日]

维基百科，贝尔多项式

配方奶粉

例如：A（t）=exp（和{k>=1}x[k]*（t^k）/k！).

T（n，m）是（T^n）/n！)*x[1]^e（m，1）*x[2]^e（米，2）*。A（t）中的..*x[n]^e（m，n）。这里n的第m个分区，按Abramowitz-Stegun（A-St）顺序计算，是[1^e（m，1），2^e（m,2），…，n^e（m2，n）]，其中e（m、j）>=0，如果e（m和j）=0，则不记录j^0。

a（n，m）=n！/产品{j=1..n}j！^e（m，j）*e（m、j）！，其中[1^e（m，1），2^e（m，2），…，n^e（n，n）]是上述A-St顺序中n的第m个分区。

根据Lang参考中的符号，x（1）被视为变量，D导数w.r.t.x（1，多项式S（n，x（l））=P3_n（x[1]，…，x[n]）的提升算子是r=Sum_{n>=0}x（n+1）D^n/n！即R S（n，x（1））=S（n+1，x（一））。下降操作员为D；即D S（n，x（1））=n S（n-1，x（一））。多项式序列是Appel序列，因此[S（.，x（1））+y]^n=S（n，x（1）+y）。对于x（j）=（-1）^（j-1）*（j-1”）！对于j>1，S（n，x（1））=[x（1。 -汤姆·科普兰2008年8月1日

给出了由A036040型在第22页“拉格朗日拉拉第一部分”的链接中。 -汤姆·科普兰2011年9月18日

第n行由[Sum_{k=0..n-1}（x_（k+1）*（dP_n）^k/k！）-S_n]的行列式生成，其中dP-n是A132440号而S_n是的n X n子矩阵A129185号.系数由不定x_k中的单项式表示的n的分区来标记。让所有x_n=t生成的Bell/Touchard/指数多项式A008277号. -汤姆·科普兰2014年5月3日

的划分多项式A036039号通过替换（n-1）获得！x[n]表示该项的划分多项式中的x[n]。 -汤姆·科普兰2015年11月17日

-（n-1）！F（n，B（1，x[1]），B（2，x[1]，x[2]）/2！, ...，B（n，x[1]，…，x[n]）/n！)=x[n]提取该项的完整Bell分划多项式B（n，x[1]，…，x[n]]）的不定项，其中F（n，x[1]，……，x[n]）是A263916型.（与A263634型.) -汤姆·科普兰2015年11月29日；2016年9月9日

T（n，m）=A127671号（n，m）/A264753型（n，m），n>=1和1<=m<=A000041号（n）。 -约翰内斯·梅耶尔2016年7月12日

发件人汤姆·科普兰2016年9月7日：（开始）

从初等Schur多项式和A130561型,A036039号这个数组，这个数组的划分多项式满足（d/d（x_m））P（n，x_1，…，x_n）=二项式（n，m）*P（n-m，x_1，…，x_（n-m）），对于k<0，P（k，x_1.，…，x _n）=0。

正如中的讨论和示例A130561型，本影成分逆序列由序列P（n，x_1，-x_2，-x_3，…，-x_n）给出。

（结束）

具有指数偏移的分块多项式可以由（v（x）+d/dx）^n v（x”）生成。参见Guha，第12页。 -汤姆·科普兰2018年7月19日

例子

三角形开始：

1;

1, 1;

1, 3, 1;

1, 4, 3, 6, 1;

1, 5, 10, 10, 15, 10, 1;

1, 6, 15, 10, 15, 60, 15, 20, 45, 15, 1;

...

3的第一个分区（即（3））导出集合{{1,2,3}}，所以T（3,1）=1；第二个（即（2，1））是集合{{1,2}，{3}}，}{1,3}，[2]，{2}}和{{2,3}{1}，所以T（3，2）=3；第三个（即，（1，1，1））是集合{{1}，{2}，{3}，因此T（3，1）＝1。 -洛伦佐·索拉斯（Lorenzo Sauras Altuzarra）2022年6月20日

枫木

with（组合）：nmax:=8：对于n从1到nmax do P（n）：=sort（分区（n））：对于r从1到numbpart（n）do B（r）：=P（n；j最大值：=j；对于r从1到n do q（r）：=0 od：对于r从1~n do对于j从1到jmax do如果x（j）=r，则q（rA036040型（n，m）：=n！/（mul（t！）^q（t）*q（t！，t=1..n））；od:od:seq（seq(A036040型（n，m），m=1..个零件（n），n=1..nmax）； #约翰内斯·梅耶尔，2010年6月21日，2016年7月12日

数学

运行[li:{__Integer}]：=（（长度/@Split[#]））&[Sort@li]；表[temp=Map[Reverse，Sort@（Sort/@IntegerPartitions[w]），{1}]；Apply[多项式，temp，{1}]/Apply[次数，（运行/@temp）！，{1{]，{w，6}]

黄体脂酮素

（MuPAD）

完整BellMatrix：=进程（x，n）//x-向量x[1]。..x[m]，m>=n

局部i，j，M；开始

M:=矩阵（n，n）：//零初始化

对于从1到n-1的i，执行M[i，i+1]：=-1：end_for:

对于i从1到n do对于j从1到i do

M[i，j]：=二项式（i-1，j-1）*x[i-j+1]：end_for：end_for:

return（M）：结束进程：

完成BellPoly:=进程（x，n）开始

return（linalg:：det（完成BellMatrix（x，n）））：end_proc：

对于从1到10的i，打印（i，完整BellPoly（x，i））：end_for:

//蒂尔曼·诺依曼2008年10月5日

（PARI）A036040型_poly（n，V=向量（n，i，eval（Str（'x，i）））={matdet（矩阵（n，n，i），j，if（j<=i，二项式（i-1，j-1）*V[n-i+j]，-（j==i+1））））}序列的第n行由按总阶（幂和）递增的单项式的系数构成，然后按字典序排列。 -M.F.哈斯勒，2013年11月16日，2014年7月12日更新

（鼠尾草）从集合导入计数器

定义AS分区（n，k）：

Q=[分区（n，长度=k）中p的p.to_list（）]

对于q:q.reverse（）中的q

返回排序（Q）

定义A036040型_第（n）行：

h=λp：乘积（映射（阶乘，计数器（p）.values（）））

return[多项式（p）//h（p）for k in（0..n）for p in AS分区（n，k）]

对于（1..10）中的n：打印(A036040型_行（n））

#彼得·卢什尼，2016年12月18日，2022年4月30日更正

交叉参考

请参见A080575号用于其他版本。