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A036040型 多项式系数的不规则三角形,按行读取(第1版)。 98
1,1,1,1,3,1,1,4,3,6,1,1,5,10,10,15,10,15,10,15,60,15,20,45,15,1,1,7,21,35,21,105,70,105,35,210,105,35,105,21,1,1,8,28,56,35,28,168,280,210,280,56,420,280,840,105,70,560,420,56,210,28,1,1,9,36,84,126,36,252 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,5个

评论

这与A057805号邮编:178867.

T(n,m)=n的集合分区的计数,其块长度由n的第m个分区给出。

蒂尔曼·纽曼2008年10月5日:(开始)

这些系数也出现在完整的贝尔多项式、Faa di Bruno公式(最简单形式)和累积量矩的计算中。

虽然Bell多项式看起来很笨拙,但作为n维方阵的行列式,它们可以很容易地计算出来。(例如,见Coffey(2006年)和下文的计划。)

前n个素数的完备Bell多项式给出A007446号. (结束)

汤姆·科普兰2011年4月29日:(开始)

在“Lagrange A la Lah”链接中,给出了由这些“精化”的第二类Stirling数和本影算子树形成的分区多项式与Lagrange反演之间的关系。

对于连通图、累积量和A036040型,参见下面关于统计物理学的参考文献。从某种意义上说,这些图是“拉格朗日a la Lah”中本影花束的对偶图。(结束)

这些M3(Abramowitz-Stegun)分区多项式是完整的Bell多项式(见上面的注释),具有递归性(参见维基百科链接)B_0=1,B琰n=Sum{k=0..n-1}二项式(n-1,k)*B{n-1-k}*x[k+1],n>=1。-狼牙2016年8月31日

以(x×1,x×U 2,x×U 3,…)=(t,,-c U2*t,,-c U3*t,…)c U n>0,全影B(n,a.)=B(n,n,t)|{t^n=a U n}=0和B(j,a.)B(k,a.)B(k,a.)=B(j,t)B(k,a.)=B(j,t)B(k,t)B(j,t)B(k,t)B(j,t)B(j,t)B(k,t)B(j,t)B(j,t)B(j,t)B(j,t)B(j,t)B(j,t)B(k,t)j!*是的,是的!在形式群律FGL(x,y)=f[f^{1}(x)+f^{-1}(y)]的泰勒级数展开式中,其中a_n是根据f ^{-1}(x)的级数展开系数计算f(x)的逆分划多项式A134685号. -汤姆·科普兰2018年2月9日

关于量子场论中泛函的应用,见Figueroa等人,Brouder,Kreimer and Yeats,and Balduf。在上两篇论文中,含指数项的贝尔多项式(x_1,x_2,x_3,…)=(c_1,2!2号,3号!c_3,…)等价于A130561号在不确定的情况下-汤姆·科普兰2019年12月17日

参考文献

Abramowitz和Stegun,《手册》,第831页,标有“M_3”的栏。

C、 《统计场论》第二卷,剑桥大学出版社,1989年,第412页。

S、 统计力学硕士,世界科学,1985年,第205页。

链接

大卫·W·威尔逊,n=1..11731的n,a(n)表(第1至26行)。

米尔顿·阿布拉莫维茨和艾琳·A·斯特根,编辑,多项式:M_1、M_2和M_3《数学函数手册》,1972年12月,第831-2页。

P、 巴尔杜夫,相互作用场理论的传播子与微分同胚,硕士论文,提交给德国柏林洪堡大学数学与自然科学研究所,2018年。

F、 布尔格莱兹,多维组合优化的介绍,Elektrotechniski Vestnik,78(4):181-1922011年。

马克·W·科菲,一类交替二项式和在计算应用中的一组恒等式数学,2006年6月14日。

T、 科普兰,拉格朗日2011年11月11日。

T、 科普兰,Appell序列的生成/提升算子2015年11月21日。

T、 科普兰,生成元、求逆、矩阵、二项式和积分变换2015年12月21日。

T、 科普兰,形式群律与二项式Sheffer序列2018年。

G、 杜尚,组合数学中的重要公式:指数公式,Mathoverflow答案,2015年。

K、 易卜拉希米·法德和F·帕特拉斯,累积量,自由累积量和半随机数,arXiv:1409.5664v2[math.CO],2015年,第16页。[汤姆·科普兰2016年2月29日]

H、 菲格罗亚和J.格雷西亚·邦迪亚,量子场论中的组合Hopf代数Ⅰ,arXiv:0408145[hep-th],2005,(第41页)。

P、 古哈,Riccati链、高阶Painleve型方程和Virasoro轨道稳定集2006年。

D、 克莱默和叶芝,量子场的微分同胚性,arXiv:1610.01837【数学博士】,2016年。[汤姆·科普兰,2016年11月23日]

沃尔夫迪特·朗,前10行和多项式

J、 泰勒,形式群律与超图着色,华盛顿大学博士论文,2016年,第95页。[汤姆·科普兰2018年12月20日]

维基百科,贝尔多项式

公式

E、 g.f.:A(t)=exp(和{k>=1}x[k]*(t^k)/k!)。

T(n,m)是((T^n)/n!)*x[1]^e(m,1)*x[2]^e(m,2)*…*x[n]^e(m,n)在A(t)中。这里n的第m个分区,按Abramowitz-Stegun(A-St)顺序计算,是[1^e(m,1),2^e(m,2),…,n^e(m,n)],e(m,j)>=0,如果e(m,j)=0,则j^0不被记录。

a(n,m)=n!/产品{j=1..n}j!^e(m,j)*e(m,j)!,其中[1^e(m,1),2^e(m,2),…,n^e(m,n)]n的m次配分。

用Lang引用中的符号表示,x(1)被视为变量,D为导数w.r.t.x(1),多项式S(n,x(1))=P3酏n(x[1],…,x[n])的提升算子是r=和{n>=0}x(n+1)D^n/n!,即R S(n,x(1))=S(n+1,x(1))。下降运算符是D;即ds(n,x(1))=ns(n-1,x(1))。多项式序列是一个Appell序列,因此[S(.,x(1))+y]^n=S(n,x(1)+y)。对于x(j)=(-1)^(j-1)*(j-1)!当j>1时,S(n,x(1))=[x(1)-1]^n+n[x(1)-1]^(n-1)。-汤姆·科普兰2008年8月1日

对于由A036040型在第22页“拉格朗日第一部分”的链接中。-汤姆·科普兰2011年9月18日

第n行由行列式[和{k=0..n-1}(x(k+1)*(dPün)^k/k!)的行列式生成-S_ng],其中dP帴n是A132440S峎n是A129185号. 系数用指数x_k中的单项式表示的n的划分来标记。让所有x_n=t,生成A008277号. -汤姆·科普兰2014年5月3日

的分块多项式A036039号通过替换(n-1)得到!x[n]表示x[n]在该条目的划分多项式中。-汤姆·科普兰2015年11月17日

-(n-1)!F(n,B(1,x[1]),B(2,x[1],x[2])/2!,…,B(n,x[1],…,x[n])/n!)=x[n]提取该条目的完整贝尔分划多项式B(n,x[1],…,x[n])的指数,其中F(n,x[1],…,x[n])是邮编:A263916. (与A263634号.) -汤姆·科普兰2015年11月29日;2016年9月9日

T(n,m)=A127671号(牛,米)/A264753号(n,m),n>=1和1<=m<=A000041号(n) 一。-约翰内斯W.梅杰2016年7月12日

汤姆·科普兰2016年9月7日:(开始)

从初等Schur多项式与分块多项式之间的联系A130561号,A036039号对于k<0,这个数组的分片多项式满足(d/d(x_m))P(n,x_1,…,x_n)=二项式(n,m)*P(n-m,x_1,…,x_(n-m)),其中P(k,x_1,…,x_n)=0。

就像在讨论和示例中A130561号,本影成分逆序列由序列P(n,x_1,-x_2,-x_3,…,-x_n)给出。

(结束)

具有指数移位的配分多项式可以由(v(x)+d/dx)^nv(x)生成。参见Guha,第12页。-汤姆·科普兰2018年7月19日

例子

1个;

1,1;

1,3,1;

1、4、3、6、1;

10,10,10,15;

1、6、15、10、15、60、15、20、45、15、1;

枫木

with(combinat):nmax:=8:对于n from 1到nmax do P(n):=sort(partition(n)):对于r from 1 to numberpart(n)do B(r):=P(n)[r]od:对于m from 1 to numberpart(n)do s:=0:j:=0:而s<n do j:=j+1:s:=s+B(m)[j]:x(j):=B(m)[j]:结束do;jmax:=j;对于从1到n的r,do q(r):=0 od:对于r从1到n do,对于j从1到jmax do,如果x(j)=r,则q(r):=q(r)+1 fi:od:od:A036040型(n,m):=n!/(mul((t!)^q(t)*q(t)!,t=1..n));外径:外径:序号(A036040型(n,m),m=1..numpart(n)),n=1..nmax#杰梅厄2010年6月21日,2016年7月12日

数学

运行[li:{u Integer}]:=((Length/@Split[#])&[Sort@li];Table[temp=Map[Reverse,Sort@(Sort/@IntegerPartitions[w]),{1}];Apply[多项式,temp,{1}]/Apply[Times,(runs/@temp)!,{1}],{w,6}]

黄体脂酮素

(MuPAD)

completeBellMatrix:=proc(x,n)//x-向量x[1]…x[m],m>=n

局部i,j,M;开始

M:=矩阵(n,n)://零初始化

对于从1到n-1的i,M[i,i+1]:=-1:结束时:

从1到n做j从1到i做

M[i,j]:=二项式(i-1,j-1)*x[i-j+1]:end_for:end_for:

return(M):结束程序:

completeBellPoly:=过程(x,n)开始

return(linalg::det(completeBellMatrix(x,n)):结束\u过程:

对于从1到10的i,请打印(i,complete bellpoly(x,i)):结束:

//蒂尔曼·纽曼2008年10月5日

(平价)A036040型_poly(n,V=向量(n,i,eval(Str('x,i))))={matdet(matrix(n,n,i,j,if(j<=i,二项式(i-1,j-1)*V[n-i+j],-(j==i+1))\\n序列的n行由单项式的系数通过增加总阶数(幂和),然后按字典顺序排列。-M、 哈斯勒2013年11月16日,2014年7月12日更新

(Sage)从收款进口柜台

定义A036040型_第(n)行:

h=lambda p:乘积(map(factorial,Counter(p).values())

return[多项式(p)/h(p)表示k in(0..n),p表示分区(n,length=k)]

对于n in(1..10):打印(A036040型_世界其他地区(n))

#彼得·卢什尼2016年12月18日,改进版2019年11月2日

交叉引用

看到了吗A080575号换个版本。

行和是贝尔数A000110号.

囊性纤维变性。A036036号,A036037号,A036038型,A036039号.

囊性纤维变性。A000040号,A007446号,邮编:178866邮编:178867(版本3)。

囊性纤维变性。A130561号,A263634号,邮编:A263916,A134685号.

上下文顺序:A126015号 A247169号 邮编:A144336*A080575号 A205117号 A077228号

相邻序列:A036037号 A036038型 A036039号*A036041型 A036042型 360A043型

关键字

,容易的,美好的,塔夫,,听到

作者

N、 斯隆

扩展

更多条款来自大卫·W·威尔逊

其他评论来自伍特·梅森2003年3月23日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年11月29日05:53。包含338756个序列。(运行在oeis4上。)