%I#90 2020年12月29日08:58:24

%S 0,1,1,2,7,36245207621059248836335660950896380856958911，

%电话1586401438832024596033370001257954796164792092647355，

%电话：41549065945181161117199290729865213191216673497748444

%N具有N个元素的不断增加的手机数量。

%C大小为n的标记树是n个节点上的根树，这些节点由集合{1，…，n}中的不同整数标记。递增树是一个标记树，这样沿着从根开始的任何分支的标签序列都会递增。

%C a（n）计算具有循环有序分支的增加树。

%C a（n+1）统计n个节点上的非平面增加树（其中来自节点的子树不在它们之间排序），其中超出度k的节点为k+1颜色。下面给出了一个示例。三阶阶乘数A008544给出了n个节点上的平面增树的个数，其中出度k的节点为k+1颜色_Peter Bala，2011年8月30日

%C a（n+1）/a（n）/n趋向于1/A073003=1.676875….-_瓦茨拉夫·科泰索维奇，2014年3月11日

%D F.Bergeron、G.Labele和P.Leroux，组合物种和树状结构，坎布。1998年，第392页。

%H Vaclav Kotesovec，<a href=“/A029768/b029768.txt”>n表，n=0..400时的a（n）</a>

%H C.G.Bower，转换</a>

%H C.G.Bower，转换（2）</a>

%H F.Bergeron，Ph.Flajolet和B.Salvy，<a href=“http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/BeFlSa92.pdf“>增加树木的种类，《计算机科学讲义》第581卷，J.-C.Raoult编辑，Springer 1992年，第24-48页。

%H D.Dominici，<a href=“http://arxiv.org/abs/math/0501052“>嵌套导数：计算反函数级数展开式的简单方法。arXiv:math/0501052v2[math.CA]，2015。

%谢尔盖·福明和格里戈里·米哈尔金，<a href=“http://arxiv.org/abs/0906.3828“>平面曲线的标记楼层图</a>，arXiv:0906.3828[math.AG]，2009-2010。

%H<a href=“/index/Mo#mobiles”>为与手机相关的序列索引条目</a>

%F Bergeron等人给出了几个公式。在“CIJ”（项链，模糊，标记）变换下向左移动。

%F例如：A（x）=

%传真：x+（1/2）*x^2+（1/3）*x|3+（7/24）*x*4+（3/10）*x_5+（49/144）*x_26+（173/420）*x~7+（21059/40320）*x~28+（8887/12960）*x~ 9+。。。

%F并满足微分方程A'（x）=log（1/（1-A（x）））+1.-_弗拉基米尔·克鲁奇宁，2011年1月22日

%F例如，A（x）满足：A''（x）=A'（x）*exp（A'（x）-1）_Paul D.Hanna，2015年4月17日

%F From _Robert Israel_，2015年4月17日（开始）：

%例如，A（x）满足E*（Ei（1，A'（x））-Ei（1,1））=积分（s=1..A'（x），exp（1-s）/s-ds）=-x。

%F a（n）=e^（1-n）*极限（w->1，（d^（n-2）/dw^（n-2））（（（w-1）/（Ei（1,1）-Ei（1，w）））），对于n>=2。（结束）

%F a（n）=和（i=1..n-2），二项式（n-2，i）*a（i）*a（n-i））+a（n-1），a（0）=0，a（1）=1.-_弗拉基米尔·克鲁奇宁，2011年1月24日

%F以下注释将此序列解释为计数递增树，其中超出度k的节点为k+1颜色。因此，我们使用生成函数B（x）=A'（x）-1=x+2*x^2+7*x^3/3+36*x^4/4！+。。。。这种树的度函数phi（x）（参见[Bergeron等人]的定义）是phi（x）=1+2*x+3*x^2/2+4*x^3/3+5*x^4/4！+…=（1+x）*exp（x）。母函数B（x）满足初始条件B（0）=0的自治微分方程B’=phi（B（x））。因此，反函数B（x）^（-1）可以表示为积分B（x，^（-1-）=int{t=0..x}1/phi（t）dt=int{t=0..x}exp（-t）/（1+t）dt。应用[Dominici，定理4.1]来反演积分，得到结果B（x）=和{n>=1}D^（n-1）[（1+x）*exp（x）]（0）*x^n/n！，其中函数f（x）的嵌套导数D^n[f]（x）递归定义为D^0[f]，（x）=1和D^（n+1）[f]。因此a（n+1）=D^（n-1）[（1+x）*exp（x）]（0）_Peter Bala，2011年8月30日

%e a（4）=7:D^2[（1+x）*exp（x）]=exp（2*x）*（2*x^2+8*x+7）。在x=0时计算得出a（4）=7。用字母a、b、c、…表示节点的颜色，。。。。3个节点上的7个可能的树，节点的超度数k以k+1颜色出现，如下所示：

%e。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

%e。。。1a。。。。1b。。。。1a。。。。1b。。。。。。。。1a。。。。。。。1b。。。。。。。。1c。。。。

%e…|…..|。。。

%e。。。2a。。。。2b。。。。2b。。。。2a。。。。。。2...3....2....3....2....3..

%e…|…..|。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

%e。。。3.....3.....3.....3..................................

%总长度=x+x ^2+2*x ^3+7*x ^4+36*x ^5+245*x ^6+2076*x ^7+21059*x ^8+。。。

%pS:=rhs（解（{diff（a（x），x）=log（1/（1-a（x

%p序列（系数（S，x，j）*j！，j=0..100）；#_罗伯特·伊斯雷尔（Robert Israel），2015年4月17日

%t多项式1[list_]：=应用[加，列表]/应用[次数，（#1！&）/@list]；a[1]=1；a[n]/；n> =2:=a[n]=Sum[Map[Multinomal1[#]乘积[Map[a，#]]/Length[#]&，Compositions[n-1]]；表[a[n]，{n，8}]（*_David Callan_，2007年11月29日*）

%t nmax=20；b=常量数组[0，nmax]；b[[1]]=0；b[[2]]=1；Do[b[[n+1]]=b[[n]]+和[二项式[n-2，i]*b[[i+1]]*b[[n-i+1]]，{i，1，n-2}]，{n，2，nmax-1}]；b（*2014年3月11日，拉迪米尔·克鲁奇宁之后的卡拉夫·科特索维奇*）

%t项=20；A[x_]：=x；Do[A[x_]=积分[（1+A[x]）*Exp[A[x]+O[x]^j]，x]+O[x]^j//正常//简化，{j，1，项-1}]；联接[{0，1}，系数列表[A[x]，x]*范围[0，术语-2]！//休息]（*_Jean-François Alcover_，2014年5月22日，2018年1月12日更新（根据_Michael Somos_的PARI脚本）*）

%o（PARI）{a（n）=my（a=x+o（x^2））；如果（n<2，n==1，n---；对于（k=1，n-1，a=int形式（（1+a）*exp（a）））；n！*polcoff（a，n））}；/*_Michael Somos，2015年4月17日*/

%o表示（n=1,30，打印1（a（n），“，”）

%o（PARI）

%o序列（N）={

%o my（a=向量（N））；a[1]＝1；

%o表示（n=2，n，a[n]=a[n-1]+和（k=1，n-2，二项式（n-2，k）*a[k]*a[n-k]）；

%o concat（0，a）；

%o}；

%o序列（19）

%o\\测试：N=200；y=serconvol（Ser（seq（N），'x），exp（'x+O（'x^N））；y’==y’’*（1-y）

%2018年6月26日，Gheorghe Coserea

%Y参见A032220、A038037、A055356、A008544、A145271。

%K nonn，简单，特征，好

%0、4

%A _N.J.A.Sloane，1999年12月11日

%E克里斯蒂安·G·鲍尔的更多术语_