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问候整数序列的在线百科全书!)
A000 0110 贝尔或指数数:划分N个标记元素集合的方法的数量。
(前M1484N0585)
九百九十三
1, 1, 2、5, 15, 52、203, 877, 4140、21147, 115975, 678570、4213597, 27644437, 190899322、1382958545, 10480142147, 82864869804、682076806159, 5832742205057, 51724158235372、474869816156751, 4506715738447323, 44152005855084346、445958869294805289, 463859033222999935、49 6312465、266、1875、627、4 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、3

评论

其差分表的主要对角线是序列移位,见伯恩斯坦和斯隆(1995)。-斯隆,朱尔04 2015

也可以在一组n个元素上定义等价关系的数目。- Federico Arboleda(费德里克.AbBOLDA(AT)Gmail),09年3月2005日

A(n)=由N + 1相邻区域行组成的图的非同构着色。相邻区域不能具有相同的颜色。-戴维·W·威尔逊2月22日2005

如果一个整数是无平方的,并且具有n个素数因子,那么A(n)是将它写成其除数乘积的方法的数目。-阿马纳思穆西4月23日2001

考虑根植树的高度最多2。让每棵树“成长”成下一代的N意味着我们为每一个节点产生一棵新树,它要么是根,要么是高度1,这给了贝尔数。-乔恩佩里7月23日2003

从[1,1]开始,遵循[1,k] -> [1,k+2]和[1,k] k倍的规则,例如[1,3]转化为[1,4],[1,3],[1,3],[1,3]。然后A(n)是所有分量的和:[1,1]=2;[1,2],[1,1]=5;[1,3],[1,2],[1,2],[1,2],[1,1]=15;等等。乔恩佩里05三月2004

n行诗的不同韵律数:押韵方案是字母串(例如“ABBA”),因此最左边的字母总是“A”,没有一个字母可能大于其左边的最大字母。因此“AAC”是无效的,因为“C”大于“A”。例如,A(3)=5,因为有5个押韵方案:AAA、AAB、ABA、ABB、ABC;也见Nevur-Juric的例子。-比尔布莱特3月23日2004

换句话说,长度为n的限制增长字符串(RGS)[S(0),S(1),…,S(n-1)],其中s(0)=0,S(k)<=1+max(前缀)为k>=1,参见例子(参见)。A080337A189845-乔尔格阿尔恩特4月30日2011

{ 1,…,n+1 }的分区数为非连续整数的子集,包括1×2×…n+1的分区。例如,A(3)=5:{1,2,3,4}的5个分区为非连续整数的子集,即,13×24, 13,2,4, 14,2,3, 1,24,3, 1,3, 1,2。-奥古斯丁·O·穆纳吉3月20日2005

三角形(加法)方案产生来自Oscar Arevalo的递归项(LoalValo(AT)SBCGULSC.NET),5月11日2005:

1 2

2 3 3

5 7 10 10

15 20 27 27 37 52

这是艾特肯的数组A011971]

p(n)=n的整数分区数,p(i)=n,d(i)的第i个分区的个数=n,p(j,i)的第i个分区的不同部分的数目=n,m(i,j)的第i个分区的第j个部分=n的第i个分区的第j个部分的多重性,其中一个具有:(n)=SuMu{{i=1…p(n)}(n)!/(乘积{{j=1…p(i)} p(i,j))*(1)(乘积{{j=1…d(i)}m(i,j)!)-托马斯维德5月18日2005

A(n+1)是n-元集上对称和传递的二元关系数。- Justin Witt(Juxin Mwitt(AT)Gmail),7月12日2005

如果使用来自Jon Perry,MAR 05 2004的规则,则A(N-1)= [用于形成A(n)] / 2的分量的数目。- Daniel Kuan(DKCM(AT)雅虎.com),2月19日2006

A(n)是从{1,…,n}到{ 1,…,n,n+}}满足以下两个条件的函数f的数目,其满足域中的所有x:(1)f(x)>x;(2)f(x)=n+1或f(f(x))=n+1。例如,A(3)=5,因为满足两个条件的正是五个函数:F1= {(1,4),(2,4),(3,4)},F2= {(1,4),(2,3),(3,4)},F3= {(1,3),(2,4),(3,4)},F4= {(1,2),(2,4),(3,4)}和F5= {(1,3),(2,3),(3,4)}。-丹尼斯·P·沃尔什2月20日2006

长度为n的非同步零位模式的数目(没有包含0个),其轨道数(在Allen Knutson给出的意义上)等于球的数目。例如,对于n=4,该条件由以下15个SITESWAP:4444, 4413, 4242、4134, 4112, 3441、2424, 1344, 2411、1313, 1241, 2222、3131, 1124, 1111满足。也可以选择n个排列从身份和循环排列(1 2),(1 2 2),……(1 2 3)…n)使他们的作文具有同一性。对于n=3,我们得到以下五个:ID O ID O ID,ID O(1 2)O(1 2),(1 2)O ID O(1 2),(1 2)O(2)O ID,(α-x)O(α-x)O(αx)。(为了看双关语,看ErrBurg和Read Dy.)安蒂卡特宁01五月2006

A(n)是在[n]上排列的数目,其中3-2-1(散布)模式仅作为3-2-4-1模式的一部分发生。例子:A(3)=5计数所有排列(3),除321。参见“组成的特征序列”引用A(n)=大小n的置换表数A000 0142第一个行不包含0个。示例:A(3)=5个计数{{}、{}、{}}、{{}}、{}}、{{ 1 }、{ 0 }}、{{1 }、{1 }}、{{1, 1 }}。-戴维卡兰,10月07日2006

以系列1 ^ n / 1!+ 2 ^ N / 2!+ 3 ^ N / 3!+ 4 ^ N / 4!如果n=1,则结果为E,约为2.71828。如果n=2,则结果将是2e。如果n=3,结果将是5E。这继续,按照贝尔数的模式:E、2E、5E、15E、52E、203E等- Jonathan R. Love(JaaNaDaa11(AT)雅虎Ca),2月22日2007。

哥特弗里德赫尔姆斯,3月30日2007:(开始)

这个序列也是矩阵的第一列(下三角)Pascal矩阵,按EXP(-1)缩放:Pe=EXP(p)/EXP(1)=

1 1

2 2 2

5 6 3 3

15 20 12 12 4 1

52 75 50 50 20 5 1

203 312 225 225 100 30 6 1

877 1421 1092 1092 525 175 42 7 1

前4列A000 0110A03306A1054 79A1054. 一般情况是在后面两个条目中提到的。PE也是Hadamard产品Toeplitz(A000 0110(x)P:

1 1

2 1 1

5 2 1 1

15 5、2、1、1(x)p

52 15 5 5 2 1 1

203 52 15 15 5 2 1 1

877 203 52 52 15 5 2 1 1

(结束)

术语也可以用有限步和精确整数运算来计算。代替EXP(P)/EXP(1),可以计算A= EXP(P—I),其中I是适当维数的单位矩阵,因为(p i)是幂零的维数。然后A(n)=a[n,1 ],其中n是从1开始的行索引。-哥特弗里德赫尔姆斯4月10日2007

定义一个贝尔伪映射是一个复合数n,使得A(n)=2(mod n)。W. F. Lunnon最近发现Bell赝光21361=41×521和C46=3×23×162186689309090353539052688202053538989357,推测贝尔赝极是非常稀少的。因此,在不久的将来,第二钟假晶不太可能被确切地知道。我确认21361是第一名。-戴维·W·威尔逊,八月04日2007日和9月24日2007日

这个序列和A000 0597在下面描述的列表分区转换下形成互惠对A13314. -汤姆·科普兰10月21日2007

开始(1, 2, 5,15, 52,…),等于行和和三角形的右边界。A1367. 三角形的行和A1367 90. -加里·W·亚当森1月21日2008

这是指数变换。A000 0 12. -托马斯维德,SEP 09 2008

阿卜杜拉希奥马尔,10月12日2008:(开始)

A(n)也是幂等阶递减全变换(n链)的个数。

A(n)也是幂零部分11阶递减变换(n链)的数目。

A(n+1)也是部分(n链)的11阶递减变换的数目。(结束)

彼得巴拉,10月19日2008:(开始)

贝尔(n)是n型序列的数目[Cooper &甘乃迪]。N模式序列是一个整数序列(AA1,…,AYN),使得AJI=I或AAI=AJJ对于一些J<I。例如,Bell(3)=5,因为3个模式序列是(1,1,1),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2)和(1,2,3)。

Bell(n)是长度n的正整数序列(n1,…,nnn)的序列数,使得n1=1,ni(i+1)<=1+max {j=1…i } njj为i>=1(参见上面B. Blewett的评论)。值得注意的是,如果我们将后一个条件加强到n~(i+1)<=1+ni i,我们得到加泰罗尼亚数。A000 0108而不是钟声号码。

(结束)

等于Pascal三角形的本征序列,A000 7318从偏移1开始,=三角形的行和A07664A152431. -加里·W·亚当森,十二月04日2008

二项式系数B(i,j)的无限下三角矩阵的指数f(i,j)是f(i,j)=b(i,j)e a(i -j)。-戴维帕西诺,十二月04日2008

等于Limi{{K-> If.}A071919K.加里·W·亚当森,02月1日2009

等于A154107卷积A014182在哪里A014182= EXP(1-x EXP(-x))的展开,本征序列A000 7318^(- 1)。从偏移1开始A154108与(1,2,3,…)=三角形的行和卷积A154109. -加里·W·亚当森,04月1日2009

当(a,1,0,0,0,……)的二项式变换将收敛于(1, 2, 5,15, 52,…)时,当每个结果以“1”为序时,使得最终结果是固定的极限:(1,1,2,5,15,…)的二项式变换=(1,2,5,15,52,…)。-加里·W·亚当森1月14日2009

卡罗尔·彭森,五月03日2009:(开始)

通过Seq(S=0,简化((d^ n/dx^ n)γ(1+x)^(- 1))),n=1…6的钟数b(n)与1种衍生物的n阶导数(γ=1+x)之间的关系;

b)用DigMaA(Psi(k))和多Γ(Psi(k,n))函数表示它们和未评价的;

n=1…5这样的表达式的例子是:

n=1:- Psi(1),

n=2:-(- Psi(1)^ 2 +PSI(1,1));

n=3:- Psi(1)^ 3+3*Psi(1)* Psi(1,1)- Psi(2,1),

n=4:-(- Psi(1)^ 4+6*Psi(1)^ 2 Psi(1,1)- 3*Psi(1,1)^ 2-4* Psi(1)*Psi(2 1)+PSI(3, 1));

n=5:- Psi(1)^ 5+10*Psi(1)^ 3 * Psi(1,1)-15*Psi(1)* Psi(1,1)2 - 10*Psi(1)^ 2*2(2 1)+***(1,1)*(2,1)+* *(*)*(3,1)--(4,1);

c)对于给定的n,读出包含DigMaA或多Γ函数的每个项的系数的绝对值之和。

这个和等于B(n)。例:B(1)=1,B(2)=1+1=2,B(3)=1+3+1=5,B(4)=4++++ +α+=α,B(α)=α+α+α+α+α+α=α;

d)观察到贝尔数b(n)的这种分解显然不涉及第二类的斯特灵数。

(结束)

由PoSon给出的数导致多项式系数A036040. -约翰内斯·梅杰8月14日2009

第1栏A162663. -富兰克林·T·亚当斯·沃特斯,朱尔09 2009

渐近展开(0)!+ 1!+ 2!+…+(N-1)!(N-1)!= A(0)+A(1)/N+A(2)/N ^ 2 +…(0)+ 1!+ 2!+…+N!n!=1+a(0)/n+a(1)/n ^ 2+a(2)/n ^ 3+…-米迦勒索摩斯6月28日2009

从偏移1开始=三角形的行和A165194. -加里·W·亚当森,SEP 06 2009

A(n+1)=A165196(2 ^ n);A165196开始:(1, 2, 4,5, 7, 12,14, 15,…)。这样A165196(2 ^ 3)=15=A000 0110(4)。-加里·W·亚当森,SEP 06 2009

发散级数G(x=1,m)=1 ^ m×1!- 2 ^ m * 2!+3 ^ m * 3!- 4 ^ m * 4!+…,M>=- 1,M=1可追溯到Euler,与贝尔数有关。我们发现G(x=1,m)=(- 1)^ m *。A0400 27(m)-A000 0110(m+1)*A07300我们观察到A07300是Gompertz的常数A0400 27由古尔德出版,请参阅更多信息A16940. -约翰内斯·梅杰10月16日2009

A(n)=E(x^ n),即关于具有(速率)参数的泊松分布的随机变量x的起源的n阶矩,λ=1。-杰弗里·克里茨11月30日2009

A000 0110=s(x),则s(x)=a(x)/a(x^ 2),当a(x)=A1731或(1, 1, 2,5, 15, 52,…)=(1, 1, 3,6, 20, 60,…)/(1, 0, 1,0, 3, 0,6, 0, 20,…)。-加里·W·亚当森,09月2日2010

贝尔数是任何给定的有限泛代数的不同同态图像数的上限。每个代数同态是由它的核决定的,它必须是一个同余关系。由于一个有限泛代数的可能同余关系的数量必须是它可能的等价类的一个子集(由贝尔数给出),它自然地遵循。-马克西尔斯,军01 2010

对于R. Stephan评论中给出的O.G.F.的证明,例如,W. Lang链接下A071919. -狼人郎6月23日2010

设B(x)=(1 +x+2x^ 2 +5x^ 3+…)。然后B(x)满足A(x)/a(x^ 2),其中a(x)=波尔科夫。A1731(1 +x+3x^ 2 +6x^ 3 +20x^ 4 +60x^ 5 +…)=b(x)*b(x^ 2)*b(x^ 4)*b(x^ 8)*…-加里·W·亚当森,朱尔08 2010

考虑一组A000 0217(n)n个颜色的球,其中,对于每一个整数k=1到n,正好在集合中出现一个颜色,总共k次。(每个球都有一种颜色,与其他颜色的球不可区分)A(n+1)等于选择0种或更多种颜色的球的数量,而不选择任何两种颜色相同的正数。(见相关评论)A000 0108A000 827A016098马修范德马斯特11月22日2010

具有故障位的二进制计数器从值0开始,在每一步尝试增加1。每一个应该切换的比特都可以或者不可以这样做。A(n)是计数器在n步之后可以具有值0的方式的数目。例如,对于n=3,5条轨迹是0、0、0、0、0、1、0、0、0、1、1 0、0、0、1、0、0、1、3、0。-戴维斯坎布勒1月24日2011

没有贝尔数可被8整除,并且没有贝尔数与6模8一致;参见Lunnon中的定理6.4和表1.7,PraseNes和斯蒂芬斯。-乔恩佩里,FEB 07 2011,通过埃里克·罗兰3月26日2014

A(n+1)是(对称)半正定n×n 0-1矩阵的个数。这些对应于{ 1,…,n+3}上的等价关系,其中矩阵元素M[i,j]=1,当且仅当i和j彼此相等但不等于n+1时。-罗伯特以色列3月16日2011

A(n)是n个顶点的单调标记森林的数量,树的高度小于2。我们注意到,如果任何父顶点的标签大于任何子顶点的标签,则标记的根树是单调标记的。参见链接“计数斯特灵和贝尔数的森林”。-丹尼斯·P·沃尔什11月11日2011

A(n)=d^ n(EXP(x))在x=0处计算,其中D是算子(1+x)*d/dx。囊性纤维变性。A000 077A094198. -彼得巴拉11月25日2011

B(n)计数长度n + 1韵律方案而不重复。例如,对于n=2,长度为3(AAA,AAB,ABA,ABB,ABC)的5个押韵方案,而没有重复的2个是ABA,ABC。这基本上是O. Munagi的结果,贝尔数计数划分成子集的非连续整数(见评论以上日期为3月20日2005)。- Eric Bach,1月13日2012

如果mod(a(n)- 2,n)=0,则数n为素数。-德米特里克鲁钦宁2月14日2012

右边界和左边框和行和A212431=A000 0110或移位的变体。-加里·W·亚当森6月21日2012

图F数:[n] -> [n],其中f(x)<x和f(f(x))=f(x)(投影)。-乔尔格阿尔恩特,04月1日2013

在等价类(i)1-23、3-21、12-3、32 -1和(ii)1-32、3-12、21-3、2-1中避免[n]的任意一个8个虚线模式的排列。(见Caleon 2001参考文献)戴维卡兰,10月03日2013

猜想:没有A(n)的形式为x^ m,m>1,x>1。-孙志伟,十二月02日2013

SUMU{{N>=0 } A(n)/n!= E^(E-1)=5.57494152476…A2444. -李察·R·福尔伯格,12月26日2013(这是E.F.X=1)。-狼人郎,FEB 02 2015)

Suthi{{=0…n}二项式(n,j)*a(j)=(1/e)*SuMu{{K>=0 }(k+1)^ n/k!=(1 /e)SUMU{{K=1 ..无穷大} ^ ^(n+1)/k!=a(n+1),n>=0,使用Dobinski公式。查看评论加里·W·亚当森,在Pascal特征序列上,DEC 04 2008。-狼人郎,02月2日2015

事实上,它不是PASCAL矩阵的特征序列,而是PASCAL矩阵对序列起移位作用。这是由PASCAL矩阵导出的矩阵的特征序列(具有特征值1的唯一特征序列),通过在行的顶部添加[1, 0, 0,0…]。二项式和公式可以从分区的定义中导出:将n个元素的集合S的任何元素x标记,并使x(k)是含有k个元素的x的子集的数目。由于每个子集都有唯一陪集,S的分区P(n)的数目由p(n)=SUMY{{K=1…n}(x(k)p(nk))给出;平凡x(k)=n-1选择k-1。-梅森博格3月20日2015

A(n)是N-MyRyoSkas(俄罗斯嵌套娃娃)筑巢的方法:我们可以用{{ 1, 2,…,n} }来表示具有升序大小的玩偶,以及一组集合的玩偶的集合。-卡洛桑纳10月17日2015

增加元素的连续运行的初始元素以递减顺序排列的[n]的排列数。A(4)=15:“1234”、“2”、“23”、“234”、“24”、“24”、“3”、“*”、“是”、“是”、“是”、“是”、“是”、“是”、“是”、“是”、“是”、“是”、“是”。-阿洛伊斯·P·海因茨4月27日2016

以交替符号表示,钟数是渐近展开(RAMANUJIN)中的系数:(- 1)^ n*(A000 0166(n)-n!/EXP(1))~1/N-2/N ^ 2+5/N ^ 3-15/N ^ 4+52/N ^ 5-203/n^·6+o(6/n^)。-弗拉迪米尔·雷斯捷尼科夫11月10日2016

避免模式T23的树数。A7867定义和示例。-谢尔盖·吉尔吉佐夫12月24日2016

这可能满足BunFothe定律,尽管H·RimLangn(2009)中的结果并没有说明这一点。-斯隆,09月2日2017

A(n)=和(μm的标准无玷表m,m是n的组成),其中这个和大于n>0的所有整数成分m。通过将{ 1, 2,…,n}的集合分区确定大小为n的标准无瑕表,可以很容易地看到这个公式。例如,如果我们对4个字典的整数成分求和,我们可以看到1+1+2+1+3+3+3+1=15=15。A000 0110(4)。-约翰·M·坎贝尔7月17日2017

A(n)也是(n-1)-三角形蜂窝Bishop图中独立顶点集(和顶点覆盖)的个数。-埃里克·W·韦斯斯坦8月10日2017

偶数条目表示在具有二倍体个体和可区分的母系和父本等位基因的基因的等位基因的身份和非同一性的配置的数目。-挪亚罗森伯格1月28日2019

具有n个元素(偏移=1)的集合上的部分等价关系(Pes)的数目,即对称数、传递数(不必自反)关系。其思想是在集合中添加哑元D,然后在结果上取等价关系;然后将等价于D的任何部分移除为部分等价关系。-戴维斯皮瓦克,06月2日2019

当字母未标记时,长度n=1的单词的数目不重复的字母。-托马斯安东3月14日2019

推荐信

Stefano Aguzzoli,Brunella Gerla和Corrado Manara,GODEL和幂零最小逻辑的偏序集表示,符号和定量方法的不确定性推理,计算机科学讲义,第3571/2005卷,Springer Verlag。[由斯隆,朱尔08 2009

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F. V. Weinstein关于Fibonacci分区的注记,ARXIV:数学/ 0307150 [数学,NT],2003—2015(见第16页)。

Eric Weisstein的数学世界,贝尔数

Eric Weisstein的数学世界,贝尔三角

Eric Weisstein的数学世界,二项式变换

Eric Weisstein的数学世界,独立顶点集

Eric Weisstein的数学世界,斯特灵变换

Eric Weisstein的数学世界,亚阶乘的

Eric Weisstein的数学世界,顶点覆盖

H. S. Wilf生成函数学,第二EDN,学术出版社,NY,1994,pp.21FF。

罗马威图拉,Damian Slota和Edyta Hetmaniok,不同已知整数序列之间的桥梁,Annales Mathematicae et EnviaTaCe,41(2013)pp.255-263。

WOLFRAM功能站点,广义不完全伽马函数.

德凯武,K. Addanki和M. Saers,HIPHOP挑战应答模型的机器翻译在西马安,K.,Furcad,M.L.,Grasmick,D.,DePaTeEr.H.,路,A.(EDS)的XIV机器翻译峰会(尼斯,九月2-6,2013)的会议录,第109至116页。

D. Wuilquin1984年8月斯隆的来信

Winston Yang贝尔数与K树,磁盘。数学156(1996)247—252。MR1405023(97 C:05004)

Karen YeatsCY2不变量前缀的研究,阿西夫:1805.11735(数学,Co),2018。

Alexander YongJoseph Greenberg问题:组合论与比较语言学,ARXIV预告ARXIV:1309.5883 [数学,CO],2013。

Farid Bencherif,Rachid Boumahdi,AptPoto的一个恒等式的推广,J. Int. Seq,第21卷(2018),第18.5.1条。

“核心”序列的索引条目

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公式

E.g.f.:Exp(Exp(x)- 1)。

递推:A(n+1)=SuMu{{K=0…n} A(k)*二项式(n,k)。

A(n)=SuMu{{K=0…n}斯特林2(n,k)。

A(n)=SuMu{{j=0…n-1 }(1 /(n-1)!)*A000 0166(j)*二项式(N-1,J)*(N-J)^(n-1)。-安德鲁·拉博西亚雷,十二月01日2004

G.f.:(SUMU{{=0…无穷大} 1 /((1-k*x)*k!))+拉盖尔(1/x,(x-1)/x,1)+x* LaguerreL(1/x,(2×x-1)/x,1)*pI/(x^ 2 *SiN(π*(2×x-1)/x)),其中LaguerreL(μ,nu,z)=(γ(MU+NU+1)/γ(MU+SUN)/Gamma(NU+Y))*超几何([-MU],[Nu+Y],z)是拉盖尔函数,是拉盖尔多项式的解析延拓,对于MU不等于非负整数。/EXP(1)=超几何([-1/x],[(x-1)/x],1)/EXP(1)=((1-*x))这个生成函数在x=0附近有无穷多个极点积累。卡罗尔·彭森3月25日2002

A(n)=EXP(-1)*SUMY{{K>=0 } K^ N/K![ Dobinski ]。-班诺特回旋曲5月19日2002

A(n)是渐近n的!*(2πR^ 2 EXP(R))^(- 1/2)EXP(EXP(R)-1)/R^ n,其中R是R EXP(R)=N的正根,参见,例如,OdLyZKO参考。

A(n)是渐近的b^ n*EXP(B-N-1/2)*SqRT(b/(b+n)),其中B满足b*log(b)=n-1/2(参见Graham,Knuth和Patashnik,具体数学,第二版,第493页)。-班诺特回旋曲,10月23日2002,由瓦茨拉夫科特索维茨,06月1日2013

Lovasz(组合问题和练习,北荷兰,1993,第1.14节,问题9)给出了另一个渐近公式,由Mezo和Baricz引用。-斯隆3月26日2015

G.f.:SuMu{{K>=0 } x^ k/(乘积{{=1…k}1-jx)(见KLAZAR证明)。-拉尔夫斯蒂芬4月18日2004

A(n+1)=EXP(-1)*SUMY{{K>=0 }(k+1)^(n)/k!-杰拉尔德麦加维,军03 2004

对于n>0,a(n)=艾特肯(n-1,n-1),即艾特肯阵列的a(n-1,n-1)A011971-杰拉尔德麦加维6月26日2004

A(n)=SUMU{{K=1…n}(1/k!)*(Suthi{{i=1…k}(-1)^(k- i)*二项式(k,i)*i^ n+0 ^ n)。-保罗·巴里4月18日2005

A(n)=A032647(n)+A0400 27(n+1)。-乔恩佩里4月26日2005

A(n)=2*n!/(π*)*IM(整合式{ 0 } ^ {PI} e^(e^(e^(x)))辛(nx)dx),其中IM表示虚部[CeSARO]。-戴维卡兰,SEP 03 2005

O.g.f.:1/(1-x×^ 2/(1-2*X-2*x^ 2//(1-3*X-3*x^ 2/…)(1-N*X-N*x^ 2/…………)(Ph. Flajolet的连续分数)。-保罗·D·汉娜1月17日2006

卡罗尔·彭森,1月14日2007:(开始)

Bell数B(n),n=1,2,表示为(n-1)f(n-1)类型的超几何函数的特殊值,在Maple符号中:B(n)=EXP(-1)*超几何([2,2,…,2),[1,1,…,1 ],1),n=1,2…,即n-1个参数在分子中都等于2,n-1个参数都等于分母中的1,该参数的值等于1。

实例:

B(1)=EXP(-1)*超几何([],[],1)=1

B(2)=EXP(- 1)*超几何([ 2 ],[1 ],1)=2。

B(3)=EXP(-1)*超几何([2,2],[1,1],1)=5

B(4)=EXP(-1)*超几何([2,2,2],[1,1,1],1)=15

B(5)=EXP(-1)*超几何([2,2,2,2],[1,1,1,1],1)=52

(警告:这个公式是正确的,但它在计算机上的应用可能不会产生精确的结果,特别是在大量参数的情况下)。

(结束)

A(n+ 1)=1+SuMu{{K=0…n-1 } SuMu{{i=0…k}二项式(k,i)* *(2 ^(k i))* a(i)。-亚尔钦阿克塔2月27日2007

A(n)=[1,0,0,…,0 ] T^(n-1)[1,1,1,…,1 ],其中t是主对角线{1,2,3,…,n}的n×n矩阵,在对角线上为1,在其他对角线上为0。[迈耶]

A(n)=((2×n))/(π*e)* ImaginaryPart(积分从0到π)(E^ E^ E^(i*θ))*Sin(n*theta)dtheta。-乔纳森沃斯邮报8月27日2007

汤姆·科普兰,10月10日2007:(开始)

A(n)=t(n,1)=SUMY{{=0…n} S2(n,j)=SUMY{{=0…n}e(n,j)*滞后(n,-1,j-n)=SUMU{{j=0…n}[e(n,j)/n!*!*滞后(n,1,J-n):其中T(n,x)是Bell/ToucARD/指数多项式;S2(n,j),第二类的斯特灵数;E(n,j),欧拉数;和滞后(n,x,m),m阶相关的Laguerre多项式,注意E(n,j)/n!= E(n,j)/(SuMu{{k=0…n}e(n,k))。

欧拉数计数置换上行和表达式[n!*滞后(n,1,J-N)A086895用一个简单的组合解释来解释座位安排,对N给出组合解释。* a(n)=SUMU{{j=0…n}e(n,j)*[n!*滞后(n,1,J-N)]。

(结束)

定义FY1(x),FY2(x),…FZ1(x)=E^ x,n=2,3,…f{{n+1 }(x)=(d/dx)(x*fyn(x))。然后对于Bell数Byn,我们有Byn=1 /E*Fyn(1)。-米兰扬吉克5月30日2008

A(n)=(n-1)!SUMU{{K=1…n} A(N-K)/((N-K)!(K-1)!其中A(0)=1。-托马斯维德,SEP 09 2008

a(n+k)=SuMu{{m=0…n}斯特林2(n,m)SuMu{{r=0…k}二项式(k,r)m ^ r a(k- r)。- David Pasino(达维帕西诺(AT)雅虎.com),1月25日2009。(Umbrally,这可以写成(n+k)=SuMu{{m=0…n}斯特林2(n,m)(a+m)^ k。斯隆,FEB 07 2009。

托马斯维德,2月25日2009:(开始)

A(n)=SUMY{{KY1=0…N+1 } SUMU{{KY2=0…N}…SUMY{{KYI=0…N-I}…SUMU{{KYN=0…1 }

δ(K1,KY2,…,Ki i,…,Kyn)

其中δ(k1,k2,…,kayi,…,kyn)=0,如果有任何kii> ki+i(1+)和k~(i+1)<>0

δ(K1,Ky2,…,Ki i,…,Kyn)=1。

(结束)

设A是由[Ai,I-1 ]=1,A [ i,j]:=二项式(J-1,I-1),(i<j),和[i,j]=0定义的n阶的HeSeNebg矩阵。然后,对于n>=1,A(n)=DET(a)。-米兰扬吉克,朱尔08 2010

G.F.满足A(x)=(x/(1-x))*a(x/(1-x))+ 1。-弗拉迪米尔克鲁钦宁11月28日2011

G.f.:(1)/(1 - x/(1 - 1×x/)(1 - x/(1)-2×x/(1 - x/(1 - 3×x/…-米迦勒索摩斯5月12日2012

A(n+ 1)=SuMu{{m=0…n}斯特林2(n,m)*(m+ 1),n>=0。与A(n)以上的第三个公式进行比较。这里斯特林2=A04903. -狼人郎,03月2日2015

G.f.:(- 1)^(1/x)*((-1/x)!/e+(!)(-1-1(x))/x)其中Z!而且!Z是阶乘和次阶乘推广到复参数。-弗拉迪米尔·雷斯捷尼科夫4月24日2013

下面的公式是在12月2011日-10月2013日提出的谢尔盖·格拉德科夫斯克. (开始)

E.g.f.:EXP(Exp(x)- 1)=1+x/(g(0)-x);G(k)=(k+1)*贝儿(k)+x*贝儿(k+1)-x*(k+1)*贝儿(k)*贝儿(k+2)/g(k+1)(连续分数)。

G.f.:W(x)=(1-(/(0)+1))/EXP(1);G(k)=x*k^ 2 +(3×x-1)*k- 2 +x-(k+1)*(x*k+x-1)^ 2 /g(k+1);(连分数欧拉的类,1步)。

G.f.:W(x)=(1 +g(0)/(x^ 2-3×x+2))/EXP(1);G(k)=1(x*k+x-1)/(((k+1)!)-((k+1)!)^ 2)*(1-X-K*X+(K+ 1)!)/((k+1)!)*(1-X-K*X+(K+ 1)!)-(x*k+2×x-1)*(1-2-*X-k*x+(k+ 2)!)/g(k+ 1));(连续分数)。

G.f.:A(x)=1(/ 1×/(1-x/(1×x/g(0)));G(k)=x- 1 +x*k+x*(x1+x*k)/g(k+1);(连续分数,1步)。

G.f.:- 1(U)(0),其中u(k)=x*k- 1 +x- x^ 2 *(k+1)/u(k+1);(连续分数,1步)。

G.f.:1±x/u(0),其中u(k)=1×x(k+2)-x^ 2 *(k+1)/u(k+1);(连续分数,1步)。

G.f.:1+1/(u(0)-x),其中u(k)=1+x- x*(k+1)/(1 -x/u(k+1));(连续分数,2步)。

G.f.:1±x/(u(0)-x),其中u(k)=1×x(k+1)/(1 -x/u(k+1));(连续分数,2步)。

G.f.:1/g(0),其中G(k)=1—x/(1××(2×k+1)/(1 -x/(1××(2×k+2)/g(k+1)));(连续分数)。

G.f.:G(0)/(1+x),其中G(k)=1~2×x*(k+1)/((2×k+1)*(2×x*k-1)-x*(2×k+1)*(2*k+3)*(3×x*k-1)/(x*(ωk+i)-*(k+y)*(α*x*k+x-1)/g(k+y)));(连续分数)。

G.f.:-(1+2×x)*和(k>=0,x^(2*k)*(4×x*k^ 2-2*k-2×x-1)/((2×k+1)*(2×x*k-1))*(k)/b(k),其中a(k)=PRD(p=0…k,(2*p+1)),b(k)=PRD(p=0…k,(0 *p-1)*(α*x*p x-1)*(α*x*p-2*x-1))。

G.f.:(g(0)-1)/(x-1),其中G(k)=1~1 /(1-k*x)/(1-x/(x-1/g(k+1)));(连分数)。

G.f.:1 +x*(s-1),其中s=和(k>=0,(1 +(1-x)/(1-x x*k))*(x/(1-x))^ k/PROD(i=0…k-1,(1-x x*i)/(1-x)))。

G.f.:(g(0)-2)/(2×x-1),其中G(k)=2—1/(1-k*x)/(1-x/(x-1/g(k+1)));(连分数)。

G.f.:-G(0),其中G(k)=1(x*k - 2)/(x*k- 1 -x*(x*k- 1)/(x+(x*k- 2)/g(k+1)));(连分数)。

G.f.:G(0),其中G(k)=2(2×x*k- 1)/(x*k- 1 -x*(x*k- 1)/(x+(2×x*k- 1)/g(k+1)));(连分数)。

G.f.:(g(0)- 1)/(1+x),其中G(k)=1+1/(1-k*x)/(1-x/(x+1/g(k+1)));(连分数)。

G.f.:1/(x*(1-x)*g(0))-1/x,其中G(k)=1—x/(x- 1 /(1+1/(x*k-1)/g(k+1)));(连续分数)。

G.f.:1 +x/(q(0)-x),其中q(k)=1 +x/(x*k- 1)/q(k+1);(连分数)。

G.f.:1±x/q(0),其中q(k)=1×x/(1××(k+1)/q(k+1));(连分数)。

G.f.:1 /(1-x*q(0)),其中q(k)=1+x/(1 -x+x*(k+1)/(x- 1 /q(k+1)));(连分数)。

G.f.:q(0)/(1-x),其中q(k)=1~x^ 2 *(k+1)/(x^ 2 *(k+1)-(1-x*(k+1))*(1-x*(k+2))/q(k+1));(连分数)。

(结束)

A(n)~EXP(EXP(w(n))-n-1)*n^ n/w(n)^(n+1/2),其中w(x)是Labwit-W-函数。-弗拉迪米尔·雷斯捷尼科夫01月11日2015

A(n)~n^ n*EXP(n/LaBurtw(n)-1-n)/(SqRT(1+LaBrtWw(n))* LambertW(n)n)。-瓦茨拉夫科特索维茨11月13日2015

A(n)是-EXP(- 1)*(- 1)^ x*x* Gamma(-x,0,-1)的渐近展开中的系数,其中Gamma(a,Z0,Z1)是广义不完全伽玛函数。-弗拉迪米尔·雷斯捷尼科夫11月12日2015

A(n)=1+层(EXP(-1)*SUMY{{K=1…2×n} k^ n/k!)-弗拉迪米尔·雷斯捷尼科夫11月13日2015

当p为素数且m>1时,(p^ m)m+1(mod p)(参见Hurst/舒尔茨参考中的引理3.1)。-马山由一,军01 2016

SUMU{{N>=0 }(-1)^ n*A(n)/n!= EXP(EXP(- 1)- 1)。-伊利亚古图科夫基,军01 2016

例子

G.F=1+x+2×x ^ 2+5×x ^ 3+15×x ^ 4+52×x ^ 5+203×x ^ 6+877*x ^ ^+××^ ^+…

来自Nevur-Juric,10月19日2009:(开始)

n=4的A(4)=15韵律

AAAA,AAAB,AABA,AABB,AABC,ABAA,ABAB,ABBA,ABBA,ABBC,ABCA,ABCB,ABCC,ABCD,ABCD

n=5的A(5)=52韵律

aaaaa, aaaab, aaaba, aaabb, aaabc, aabaa, aabab, aabac, aabba, aabbb, aabbc, aabca, aabcb, aabcc, aabcd, abaaa, abaab, abaac, ababa, ababb, ababc, abaca, abacb, abacc, abacd, abbaa, abbab, abbac, abbba, abbbb, abbbc, abbca, abbcb, abbcc, abbcd, abcaa, abcab, abcac, abcad, abcba, abcbb, abcbc, abcbd, abcca, abccb, abccc, abccd, abcda, abcdb, abcdc, abcdd, abcde

(结束)

乔尔格阿尔恩特,4月30日2011:(开始)

限制增长字符串(RGS):

对于n=0,有一个空字符串;

对于n=1,有一个字符串〔0〕;

对于n=2,有2个字符串〔00〕,〔01〕;

对于n=3,存在a(3)=5个字符串[000 ]、[001 ]、[010 ]、[011 ]和[012 ];

对于n=4,存在一个(4)=15个字符串。

1:[ 0000 ],2:[ 0010 ],4:[0011 ],5:[0012,6 ]:[0100 ],0100:,[],[,],[,],[,],[,],[,],[,],[,],(:)。

这些是与押韵方案一一对应的(识别A=0,B=1,C=2等)。

(结束)

考虑集合s= { 1, 2, 3,4 }。A(4)=1+3+6+4+1=15分为:p1={{1 },{2 },{3 },{4 };p21…p23={{a,4 },s{a,4 }},a=1, 2, 3;p24…p29={{a},{b},s{a,b}},具有1 <=a<b<=4;p31…p34={s{a},{a}},A=1。4;P4= {S}。请参阅ButtoLee链接的图形插图。-哈斯勒10月26日2017

枫树

A000 0110= PROC(n)选项记住;如果n<=1,则1个加法(二项式(n-1,i)*)A000 0110(N1-I),I=0…n-1);FI;结束;α版本1

A=系列(Exp(Exp(x)- 1),x,60);A000 0110= N-> n!* coeff(A,X,N);第2版

用(组合);A000 0110= n->和(斯特林2(n,k),k=0…n):SEQ(A000 0110(n),n=1…22);零度拉霍斯6月28日2007

A000 0110= N->组合[Bell ](n):γ版本4,来自彼得卢斯尼3月30日2011

A=:数组(0…200);A[ 0 ]:=1;a(1):=1;LP印(0, 1);LPosits(1, 1);m:=200;n为2(m):[n]:=加法(二项式(n-1,i)*a[n1-i],i=0…n-1);LP印(n,a[n]);OD:

用(COMPREST);SPEC==,S=SET(U,CARD=1),U=SET(Z,CARD=1)};[SEQ(COMPREST [计数],大小= n),n=0…40)];G== P=SET(SET(原子,卡0))}:COMPREST [ G,未标记,X):SEQ(COMPREST [计数]([P,G,标记],大小=i),i=0…22);零度拉霍斯12月16日2007

A000 0110= PROC(N::整数)局部k,ReultTAT;如果n=0,则ReultAt:=1:返回RESUTAT;结束IF;ReultAt:= 0:对于k从1到n,结果为:A000 0110(N-K)/((N-K)!*(K-1)!OD;结果:=结果AT*(N-1)!返回结果;结束进程;托马斯维德,SEP 09 2008

Mathematica

F[n]:=和[斯特林s2(n,k],{k,0,n});表[f[n],{n,0, 40 }]Robert G. Wilson五世*)

表[BELB[n],{n,0, 40 }]哈维·P·戴尔,MAR 01 2011*)

B〔0〕=1;B〔n〕:=1/e和〔K ^(n-1)〕/(k-1)!,{k,1,无穷大}(*)迪米特里帕帕佐普洛斯3月10日2015,编辑哈斯勒11月30日2018*)

BELB[范围[0, 40 ] ]埃里克·W·韦斯斯坦8月10日2017*)

B〔1〕=1;k=1;平坦[ { 1,表[do] [j= k;k+= b[m ];b[m ]=j;{m,1,n-1 }];b[n]=k,{n,1, 40 }] }(*)瓦茨拉夫科特索维茨,SEP 07 2019*)

黄体脂酮素

(n)= a(n)=i(m);如果(n=0, 0,m=CracFracpnqn)(矩阵(2,n,2,i,k,If(i=1,-k*x^ 2, 1 -(k+1)*x));PoCOFEF(1 /(1 -x+m[2, 1)/m[1, 1 ])+x*o(x^ n),n)};/*;米迦勒索摩斯*/

(PARI){A(n)=PoCOFEFF(求和(k=0,n,PRD(i=1,k,x/(1 - i*x)),x^ n*o(x)),n)};/*米迦勒索摩斯8月22日2004*

(PARI)A(n)=圆(EXP(-1)*SUMIMF(k=0,1×k^ n/k!))\\哥特弗里德赫尔姆斯3月30日2007 -警告!仅用于说明:默默地给出n=42的错误结果和n> 42的错误,标准精度为38位。-哈斯勒11月30日2018

(PARI){A(n)=IF(n<0, 0,n)!*POLCOFEF(Exp(Exp(x+x*o(x^ n))- 1),n)};/*米迦勒索摩斯6月28日2009*

(PARI)VEC(SeLaPAST(EXP(X+O(‘X^ 66))-1)))乔尔格阿尔恩特5月26日2012

(帕里)A000 0110(n)=和(k=0,n,斯特灵(n,k,2))哈斯勒11月30日2018

(SAGE)从SAGE组合。ExpUnSs导入ExpUs2;ExpUns2(30, 1)α零度拉霍斯6月26日2008

(SAGE)〔n(0…40)〕的贝尔努数(n)〕格鲁贝尔6月13日2019

(Python),这个实现的目的是效率。

αm>[a(0),a(1),…,a(m)],m>0。

DEFA000 0110清单(M):

…A==i(0,范围(0,m))

…A[ 0 ]=1

…r=[ 1, 1 ]

对于n的范围(1,m):

[…] = [ 0 ]

…k范围内(n,0,- 1):

……[k-1 ] +a[k]

R.append…(0)

返回…

A000 0110清单(40)实例调用彼得卢斯尼1月18日2011

(蟒蛇)

γ需要Python 3.2或更高。否则使用Python文档中的Debug。

从迭代工具导入累加

A000 0110,BIST,B=〔1, 1〕,〔1〕,1

对于范围内(20):

BLIST=列表(累加([B] + BIST))

…B= BIST〔1〕

A000 0110追加(b)吴才华,SEP 02 2014,更新吴才华9月19日2014

(岩浆)〔贝尔(n)〕:n〔0〕40〕;文森佐·利布兰迪,07月2日2011

(Max)马克莱斯特(Beln(n),n,0, 40);/*伊曼纽勒穆纳里尼,JUL 04 2011*

(哈斯克尔)

类型n=整数

n~-分区:k::n->n->n

1’n*分割k=1=1

1’n*分区k k=0

n'NeRealthDeDek'k= k*(PrD N'N'StRealEddieK'k)+(PrD N'N'StRealEddieK'Prdk)

n*分区::n-> n

n*分区0=1

n*分区n=和$ map(\k->n`n*分区k k k)$ 1。N

——菲利克斯·丹尼斯10月16日2012

(哈斯克尔)

A000 0110=和。A08933-列莱因哈德祖姆勒6月30日2013

交叉裁判

等于三角形的行和A000 827(斯特灵子集数)。

部分和给出A000 500. A(n)=A123158(n,0)。

A061462对于2除以A(n)的幂。

三角形最右对角线A12120.A14429给出最大素数因子。

囊性纤维变性。A000 00 45A000 0108A000 0166A000 0204A000 0255A000 0311A000 029A000 322A024716A029 761A049020A058692A060719A08423A08650A094262A10329A165194A165196A1731A227 840.

等于三角形的行和A152432.

行和,右和左边界A212431.

对角线A011971. -斯隆7月31日2012

囊性纤维变性。A054 767(这个序列的周期mod n)。

行和是A04903. -狼人郎10月16日2014

LeNEY(1974)论文中的序列:A000 0110A000 0798A000 1035A00 1927A00 1929A000 6056A000 6057A000 6058A000 6059.

贝尔多项式B(n,x):A000 1861(x=2)A027 710(x=3)A078944(x=4)A144180(x=5)A144223(x=6)A144263(x=7)A221159(x=8)。

囊性纤维变性。A24399(倒数之和)。

语境中的顺序:A203645 A203646 A29*A30924 A18600 A13438

相邻序列:A000 0107 A000 0108 A000 0109*A000 0111 A000 0112 A000 0113

关键词

核心诺恩容易改变

作者

斯隆

扩展

被编辑哈斯勒11月30日2018

地位

经核准的

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最后修改9月18日22:44 EDT 2019。包含327183个序列。(在OEIS4上运行)