%I M1795 N0708#317 2024年4月4日09:50:23

%编号：1,2,7,342091546133271309221441729175721142346622313405357682，

%电话：5333445441789632430863416083557845279306827170866106，

%电话：6199668952527617132240988644215842296897126391128899699727707903049154172719448204414663752144552237162692939114282

%N—集的部分置换数；n X n个二进制矩阵的数量，每行和每列最多一个1。

%C a（n）也是[1..n]的所有置换的递增子序列的总数（参见Lifschitz和Pittel）_N.J.A.Sloane，2012年5月6日

%Ca（n）=A000142+A001563+A001809+A001810+A0011811+A00182+。。。这些序列分别给出了i=0,1,2，…时长度为i的递增子序列的数目，。。。[1..n].-的所有排列_Geoffrey Critzer，2013年1月17日

%C a（n）也是完全二部图K（n，n）中的匹配数沙伦·塞拉（sharonsela（AT）hotmail.com），2002年5月19日

%C a（n）也是B_n中避免有符号置换的12个数（参见Simion ref）。

%C a（n）也是对称逆半群（幺半群）I_n.-a.Umar的阶，2008年9月9日

%A001048（n）=n！+的C EXP转换（n-1）！.-_Franklin T.Adams-Watters_，2006年12月28日

%C摘自佩特·卢什尼，2011年3月27日：（开始）

%设B_｛n｝（x）=Sum_｛j>=0｝exp（j！/（j-n）*x-1）/j！；那么a（n）=2！[x^2]Taylor（B_{n}（x）），其中[x^2]表示B_{n}（x）的Taylor级数中x^2的系数。

%C a（n）是A090210的方形数组表示的第2列。（结束）

%C a（n）是完全二部图K_{n，n}的Hosoya指数_Eric W.Weisstein，2011年7月9日

%C a（n）也是n X n板上k辆车的非攻击位置数，总和k>=0。-_瓦茨拉夫·科特索维奇，2012年8月28日

%C也是n X n rook图中顶点覆盖和独立顶点集的数量_Eric W.Weisstein，2013年1月4日

%C a（n）是从[n]到[n]的子集的内射函数的数目，其中[n]＝{1,2，…，n}。对于大小为k的子集D，有n/（n-k）！从D到[n]的内射函数。对所有子集求和，得到a（n）=Sum_{k=0..n}C（n，k）*n/（n-k）！=求和{k=0..n}k*C（n，k）^2.-_Dennis P.Walsh，2015年11月16日

%C也是n X n rook补码图中的团数_Eric W.Weisstein_，2017年9月14日

%Ca（n）/n！是乌拉姆“历史相关随机序列”第n项的期望值。见Kac（1989），等式（2）。-_N.J.A.Sloane，2019年11月16日

%对于所有n，C a（2*n）是奇数，a（2*n+1）是偶数。更一般地说，对于每个正整数k，a（n+k）==a（n）（mod k）对于所有n。因此，对于每个正向整数k，通过减少a（n==0（7模），a（11*n+4）==0_Peter Bala，2022年11月7日

%C猜想：a（n）*k是所有整数分区中最大部分的和，这些整数分区包含它们自己的第一个差分与n+1部分和最小部分k。-约翰·泰勒·拉斯科，2024年2月28日

%D J.M.Howie，半群理论基础。牛津：克拉伦登出版社（1995）。【摘自A.Umar，2008年9月9日】

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%与拉盖尔多项式相关的序列的索引项</a>

%F a（n）=和{k=0..n}k*C（n，k）^2。

%F例如：（1/（1-x））*exp（x/（1-x））.-_Don Knuth_，1995年7月

%具有递归的F D-有限：a（n）=2*n*a（n-1）-（n-1。

%F a（n）=和{k>=0}（k+n）！/（（k！）^2*经验（1））_Robert G.Wilson v_，2002年5月2日【由_Vaclav Kotesovec_修订，2012年8月28日】

%F a（n）=和{m>=0}（-1）^m*A021009（n，m）_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2004年3月10日

%F a（n）=和{k=0..n}C（n，k）n/k！.-_Paul Barry，2004年5月7日

%F a（n）=和{k=0..n}P（n，k）*C（n，k）；a（n）=Sum_｛k=0..n｝n^2/（k！*（n-k）^2). - _Ross La Haye_，2004年9月20日

%F a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*Stirling1（n，k）*Bell（k+1）.-_Vladeta Jovovic_，2005年3月18日

%用b（0）=1，b（n）=b（n-1）+（1/n）*Sum_{k=0..n-1}定义b（k）。则b（n）=a（n）/n！.-_富兰克林·亚当斯·沃特斯，2005年9月5日

%F渐近，a（n）/n！~（1/2）*Pi^（-1/2）*exp（-1/2+2*n^（1/2））/n^（1/4），所以a（n）~C*BesselI（0，2*sqrt（n））*n！C=exp（-1/2）=0.6065306597126334236…-亚历克·米哈伊洛夫斯，2005年9月6日，建立了弗兰克林·亚当斯·沃特斯的猜想_

%F a（n）=（n！/e）*和{k>=0}二项式（n+k，n）/k！.-_Gottfried Helms_，2006年11月25日

%F积分表示为正半轴上正函数的第n个矩（Stieltjes矩问题的解），用Maple符号表示：a（n）=int（x^n*BesselI（0,2*sqrt（x））*exp（-x）/exp（1），x=0..无穷大），n=0,1，….-_Karol A.Penson和G.H.E.Duchamp（gduchamp2（AT）free.fr），2007年1月9日

%F a（n）=n！*拉盖尔L[n，-1]。

%例如：exp（x）*Sum_{n>=0}x^n/n^2=Sum_{n>=0}a（n）*x^n/n^2.-Paul D.Hanna，2011年11月18日

%F From _Peter Bala，2012年10月11日：（开始）

%F来自A073003的Stieltjes连分式的收敛序列中的分母，Euler-Compertz常数G:=Integral_{x=0..oo}1/（1+x）*exp（-x）dx：

%F G=1/（2-1^2/（4-2^2/。参见[墙，第18章，（92.7），a=1]。收敛到连分式的序列开始于[1/2，4/7，20/34，124/209，…]。分子在A002793中。（结束）

%F G.F.：1=和{n>=0}a（n）*x^n*（1-（n+1）*x）^2.-_Paul D.Hanna_，2012年11月27日

%例如：exp（x/（1-x））/（1-x）=g（0）/（1-x），其中g（k）=1+x/（（2*k+1）*（1-x；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2012年12月28日

%F a（n）=和{k=0..n}L（n，k）*（k+1）；L（n，k）无符号Lah数_Peter Luschny_，2014年10月18日

%F a（n）=n！*A160617（n）/A160618（n）.-_Alois P.Heinz，2017年6月28日

%F 0=a（n）*（-24*a（n+2）+99*a（n+3））对于所有n>=0.-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2018年7月31日

%F a（n）=和{k=0..n}C（n，k）*k*A000262（n-k）。-_杰弗里·克里泽尔，2023年1月7日

%F a（n）=A000262（n+1）-n*A000262_沃纳·舒尔特（Werner Schulte），2024年3月29日

%总资产=1+2*x+7*x^2+34*x^3+209*x^4+1546*x^5+13327*x^6+130922*x^7+…-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2018年7月31日

%p A002720:=程序（n）exp（-x）*n*hypergeom（[n+1]，[1]，x）；simplify（subs（x=1，%））end:seq（A002720（n），n=0..25）；#_Peter Luschny_，2011年3月30日

%p A002720:=程序（n）

%p选项记忆；

%p如果n<=1，则

%pn+1；

%p其他

%p 2*n*进程名（n-1）-（n-1；

%p end if；

%结束程序：#R.J.Mathar_，2017年3月9日

%t表[n！LaguerreL[n，-1]，{n，0，25}]

%t表[（-1）^n*超几何U[-n，1，-1]，{n，0，25}]（*_Jean-François Alcover_，2015年7月15日*）

%t递归表[｛（n+1）^2 a[n]-2（n+2）a[n+1]+a[n+2]==0，a[1]==2，a[2]==7｝，a，｛n，25｝]（*_Eric W.Weisstein_，2017年9月27日*）

%o（PARI）a（n）=总和（k=0，n，k！*二项式（n，k）^2）；

%o（PARI）a（n）=suminf（k=0，二项式（n+k，n）/k！）/（exp（1）/n！）/*_Gottfried Helms_，2006年11月25日*/

%o（PARI）{a（n）=n！^2*polcoeff（exp（x+x*o（x^n））*sum（m=0，n，x^m/m！^2），n）}/*Paul D.Hanna，2011年11月18日*/

%o（PARI）{a（n）=如果（n==0.1，polceoff（1-和（m=0，n-1，a（m）*x^m*（1-（m+1）*x+x*o（x^n））^2），n））}/*Paul D.Hanna，2012年11月27日*/

%o（PARI）我的（x='x+o（'x^22））；Vec（serlaplace（（1/（1-x）））*exp（x/（1-x

%o（岩浆）[因子（n）*求值（拉盖尔多项式（n），-1）：[0..25]]中的n；//_G.C.Greubel，2022年8月11日

%o（SageMath）[（0..25）中n的阶乘（n）*laguerre（n，-1）]#_G.C.Greubel_，2022年8月11日

%o（Python）

%o来自数学导入阶乘，comb

%o def A002720（n）：返回和（阶乘（k）*comb（n，k）**2 for k in range（n+1））#_Chai Wah Wu_，2023年8月31日

%Y A088699的主对角线。A283500柱。行总和A144084。

%Y参见A000110、A020556、A069223、A000712、A001048、A090210、A002793、A073003、A000262。

%Y列k=1，共A289192列。

%Y参考A160617、A160618。

%Y参考A364673。

%不，简单，好

%0、2

%A _N.J.A.斯隆_

%E 1997年11月，R.H.Hardin第二次描述

%E 1998年6月1日Wwouter Meeussen_的第三篇描述