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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A074909号 帕斯卡三角形的行列式和(A007318型)或斩首帕斯卡的三角形,由斩首行读出。 58
1、1、2、1、3、3、1、4、1、5、10、10、5、1、6、15、20、15、6、1、7、21、35、35、21、7、1、8、28、56、70、56、28、8、1、9、36、84、126、126、84、36、9、1、10、45、120、210、252、210、120、45、10、1、11、55、165、330、462、462、330、165、55、11 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,3个

评论

这个序列计算n的“几乎三角形”分区。如果分区的形式是0+1+2+…+k,则它是三角形的。示例:3=0+1+2,6=0+1+2+3。“几乎三角形”分区是每个部分最多添加1个的三角形分区。示例:7=1+1+2+3=0+2+2+3=0+1+3+3=0+1+2+4。因此a(7)=4。8=1+2+2+3=1+1+3+3=1+1+2+4=0+2+3+3=0+2+2+4=0+1+3+4所以a(8)=6。-莫希·什穆埃尔·纽曼2002年12月19日

“几乎是三角形”的分区是由马丁·加德纳定义的“保加利亚单人纸牌”所循环的。

A007318型-I(I=单位矩阵),然后删除0的右边框。-加里·W·亚当森2007年6月15日

还有从{1..n-k+1}增加到{1..n+2}的无环函数的数目。如果域的每个子集B在f下的像不等于B,则函数f是无环的。例如,T(3,1)=4,因为从{1,2,3}增加到{1,2,3,4,5}:f1={(1,2),(2,3),(3,4)},f2={(1,2),(2,3),(3,5)},f3={(1,2),(2,4),(3,5)}和f4={(1,3,3),(4),(4),5)},f4={(1,3),(2,4),(5)}。-丹尼斯·沃尔什2008年3月14日

第二个伯努利多项式是邮编:A164555而不是A027641号)B2(n,x)=1;1/2,1;1/6,1,1;0,1/2,3/2,1;-1/30,0,1,2,1;0,-1/6,0,5/3,5/2,1。然后(B2(n,x)/A002260)=1;1/2,1/2;1/6,1/2,1/3;0,1/4,1/2,1/4;-1/30,0,1/3,1/2,1/5;0,-1/12,0,5/12,1/2,1/6。见(自福勒贝尔1631年)雅各布伯努利Summae Potestatum(权力之和)邮编:A159688. 逆多项式,-1,4;-1,4;-1,4;-1,4。。。=A074909号对角线为负偶数。反射A053382号/A053383=反射B(n,x)=RB(n,x)=1;-1/2,1;1/6,-1,1;0,1/2,-3/2,1。A074909号是RB(n,x)的逆/A002260=1;-1/2,1/2;1/6,-1/2,1/3;0,1/4,-1/2,1/4。-保罗·柯茨2010年6月21日

A054143号是多项式序列(p(n,x))的裂变,由p(n,x)=x^n+x^(n-1)+。。。+多项式序列的x+1((x+1)^n)。看到了吗邮编:A193842关于裂变的定义。-克拉克·金伯利2011年8月7日

逆转A135278号. -菲利普·德莱厄姆2012年2月11日

关于类Pascal三角形的任意左右边界的闭合形式公式,请参见A228196. -鲍里斯·普提耶夫斯基2013年8月19日

关于广义Pascal三角形的闭式公式,请参见A228576号. -鲍里斯·普提耶夫斯基2013年9月9日

A238363号,算符方程d/d(:xD:)f(xD)={exp[d/d(xD)]-1}f(xD)=f(xD+1)-f(xD)。选择f(x)=x^n并使用:xD:^n/n!=二项式(xD,n)和(xD)^n=Bell(n,:xD:),的贝尔多项式A008277号,下面的三角形矩阵A074909号]

A) =[St2]*[dP]*[St1]=A048993号*A132440*[填充物A008275号]

B) =[St2]*[dP]*[St2]^(-1)

C) =[St1]^(-1)*[dP]*[St1],

其中[St1]=填充A008275号就像[St2]=A048993号=填充A008277号鉴于A074909号]=A007318型-I=单位矩阵。-汤姆·科普兰2014年4月25日

在奇数m具有“顶点到边”版本或偶数m具有“顶点到顶点”版本的情况下,由m-边展开生成的T(n,k)。请参阅中的三角形展开A061777号A10146年(以及它们对应的m-gons)分别是“顶点到顶点”和“顶点到边”版本。每次迭代的标签值可以排列成三角形。任何m-边也可以被安排成同一个三角形,条件是:(i)m是奇数,展开是“顶点到边”版本;或者(ii)m是偶数,展开是“顶点到顶点”版本。m*Sum{i=1..k}T(n,k)给出第n次迭代时的总标签值。另请参见A247976号. 顶点到顶点:A061777号,A247618号,A247619号,A247620. 顶点到边:A10146年,A247903号,A247904型,A247905型. -Kival Ngaokrajang公司2014年9月28日

汤姆·科普兰2014年11月12日:(开始)

当P(n,x)=[(x+1)^(n+1)-x^(n+1)],此条目的行多项式Up(n,x)=P(n,x)/(n+1)形成一个多项式的Appell序列,这些多项式是本影替换下伯努利多项式B(n,x)的本影合成逆,即B[n,Up(.,x)]=x^n=Up[n,B(.,x)]=x^n=Up[n,B(.,x)],例如B(.,x)^n=B(n,x)。

伯努利多项式的e.g.f.是[t/(e^t-1)]e^(x*t),而Up(n,x)则是exp[Up(.,x)t]=[(e^t-1)/t]e^(x*t)。

另一个g.f.是g(t,x)=log[(1-x*t)/(1-(1+x)*t]=log[1+t/(1+-(1+x)t)]=t/(1-t*向上(,x))=向上(0,x)*t+向上(1,x)*t^2+向上(2,x)*t^3+。。。=t+(1+2x)/2 t^2+(1+3x+3x^2)/3 t^3+(1+4x+6x^2+4x^3)/4 t^4+。。。=-log(1-t*P(.,x)),以本影表示。

g.f.的逆Ginv(t,x)可以在A008292号来自Copeland的公式列表(2014年9月),其中a=(1+x)和b=x。这将这两组多项式与代数几何联系起来,例如椭圆曲线、三角展开、切比雪夫多项式以及置换面体及其对偶的组合学。

Ginv(t,x)=[e^((1+x)t)-e^(xt)]/[(1+x)*e^((1+x)t)-x*e^(xt)]=[e^(t/2)-e^(-t/2)]/[(1+x)e^(t/2)-x*e^(-t/2)]=(e^t-1)/[1+(1+x)(e^t-1)]=t-(1+2 x)t^2/2!+(1+6 x+6 x^2)t^3/3!-(1+14 x+36 x^2+24 x^3)t^4/4!+ ... =-exp[-Perm(.,x)t],其中Perm(n,x)是置换面体的反向面多项式或反向f向量,即置换面体对偶的面多项式。囊性纤维变性。A090582号,A019538年,A049019号,A133314号,A135278号.

L(t,x)=t/(1+t*x),逆L(t,-x)在t中,Cinv(t)=e^t-1,逆C(t)=log(1+t)。则Ginv(t,x)=L[Cinv(t),(1+x)],G(t,x)=C[L[t,-(1+x)]]。注L是特殊的线性分式(Mobius)变换。

置换面体、单纯形的组合数学之间的联系。A135278号)通过拉格朗日反演公式(LIF)可以得到正六面体邮编:A133437适用于G(t,x)(参见。A111785年还有施罗德之路A126216号同样),对于LIF也是如此A134685号应用于Ginv(t,x),涉及简单的Whitehouse复合体、系统发育树和其他结构。(另见LIFsA145271邮编:A133932). (结束)

R=x-exp[-[B(n+1)/(n+1)]D]=x-exp[zeta(-n)D]是这个规范化序列的提升算子UP(n,x)=P(n,x)/(n+1),也就是说,R UP(n,x)=UP(n+1,x),其中D=D/dx,zeta(-n)是在-n处求值的Riemann-zeta函数的值,B(n)是第n个伯努利数,或伯努利多项式的常数B(n,0)。伯努利多项式的提升算子是x+exp[-[B(n+1)/(n+1)]D]。[注:2014年11月25日添加:exp[zeta(-n)D]是exp(a.D)的缩写,带有(a.)^n=a_n=zeta(-n)]。-汤姆·科普兰2014年11月17日

当n>=m时,对角线T(n,n-m)给出正整数的第m次迭代部分和;即A000027号(n+1),A000217(n) 你说,A000292号(n-1),A000332号(n+1),A000389号(n+1),A000579号(n+1),A000580(n+1),A000581号(n+1),A000582号(n+1)。-狼牙2015年5月21日

转置给出了一般线性群GL(n,1)的Maurer-Cartan形式矩阵的数值系数(参见Olver,但请注意第6页底部的公式有一个错误——12应该是15)。-汤姆·科普兰2015年11月5日

群GL^n(1)的Olver论文第7页上的左不变Maurer-Cartan形式多项式实质上是该条目的行多项式与那些行多项式的二项式卷积A133314号,或由该条目的e.g.f.与的乘积生成的行多项式A133314号,进行了一些重新索引。-汤姆·科普兰2018年7月3日

汤姆·科普兰2018年7月10日:(开始)

逆矩阵的第一列是伯努利数序列,它来自于在x=1处计算的伯努利多项式(B.(0)+x)^n=bun(x)的本影定义,以及n>1和-B_1(0)=1/2=Bˉ1(1)的关系式Bˉn(0)=Bˉn(1),因此,伯努利数可以用Cramer规则来计算,这个规则作用于这个条目的矩阵,因此,从这个条目的平方子矩阵的列所决定的平行六面体的体积比来计算。-汤姆·科普兰2018年7月10日

伯努利多项式用B峈n(x)构成行多项式,得到(B(x)+1)^(n+1)-(B(x))^(n+1)=d[x^(n+1)]/dx=(n+1)*x^n,因此将此项作为下三角矩阵(LTM)乘以Bernoulli多项式系数的LTM就得到了自然数的对角矩阵。那么这个项的逆矩阵有元素B_u(n,k)/(k+1),其中B_u(n,k)是B_n(x)的x^k系数,e.g.f.(1/x)(e^(xt)-1)/(e^t-1)。(结束)

链接

莱因哈德·祖姆凯勒,n=0..150行三角形,展平

保罗·巴里,由Riordan数组定义的类Pascal三角形的f-矩阵,arXiv:1805.02274[math.CO],2018年。

T、 科普兰,阿佩尔多项式,累积量,非交叉分区,戴克格路径和反演2014年。

T、 科普兰,生成元、求逆、矩阵、二项式和积分变换,2015年。

J、 R.格里格斯,在重复移位下的分配和组成的循环《应用数学进展》,第21卷第2期,1998年8月,第205-227页。

P、 奥尔弗,典型接触形式p、 7。

D、 沃尔什,关于增加无环函数的一点注记

公式

T(n,k)=和{i=0..n}C(i,n-k)=C(n+1,k)。

n行有g.f.(1+x)^(n+1)-x^(n+1)。

E、 g.f.:((1+x)*E^t-x)E^(x*t)。行多项式p_n(x)满足dp_n(x)/dx=(n+1)*p_n(n-1)(x)。-汤姆·科普兰2018年7月10日

T(n,k)=T(n-1,k-1)+T(n-1,k),对于k:0<k<n,T(n,0)=1,T(n,n)=n-莱因哈德·祖姆凯勒2005年4月18日

T(n,k)=T(n-1,k)+2*T(n-1,k-1)-T(n-2,k-1)-T(n-2,k-2),T(0,0)=1,T(1,0)=1,T(1,1)=2,T(n,k)=0,如果k<0或k>n-菲利普·德莱厄姆2013年12月27日

G、 f.对于k列(带前导零):x^(k-1)*(1/(1-x)^(k+1)-1),k>=0。-狼牙2014年11月4日

Up(n,x+y)=(Up(.,x)+y)^n=和{k=0..n}二项式(n,k)Up(k,x)*y^(n-k),其中Up(n,x)=((x+1)^(n+1)-x^(n+1))/(n+1)=P(n,x)/(n+1),P(n,x)/(n+1),P(n,x)此条目的第n行多项式。dUp(n,x)/dx=n*向上(n-1,x),dP(n,x)/dx=(n+1)*P(n-1,x)。-汤姆·科普兰2014年11月14日

o.g.f.GF(x,t)=x/((1-t*x)*(1-(1+t)x))=x+(1+2t)*x^2+(1+3t+3t^2)*x^3+。。。在x中求逆GFinv(x,t)=(1+(1+2t)x-sqrt(1+(1+2t)*2x+x^2))/(2t(1+t)x),它生成A033282型. o.g.f.的倒数,即x/GF(x,t),给出了与GFinv定义的矩相关联的自由累积量(1,-(1+2t),t(1+t),0,0,…),实际上,这些自由累积量通过A134264. 相关的e.g.f.和与格拉斯曼人的关系如中所述邮编:A248727与上述多项式的倒数项不同的是,多项式的倒数项是由倒数多项式构成的。-汤姆·科普兰2015年1月7日

例子

T(4,2)=0+0+1+3+6=10=二项式(5,2)。

三角形T(n,k)开始于:

n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0:1个

1: 12个

2: 1 3 3

3: 1 4 6 4

4: 1 5 10 10 5

5: 1 6 15 20 15 6

6: 1 7 21 35 35 21 7

7: 1 8 28 56 70 56 28 8

8: 1 9 36 84 126 126 84 36 9

9: 1 10 45 120 210 252 210 120 120 45 10

10: 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11

11: 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12

... 已重新格式化。-狼牙2014年11月4日

.

可以看作是一个方阵A(n,k)=二项式(n+k+1,n)由对角递减读取。A(n,k)是单调非减函数f:{1,2,…,k}->{1,2,…,n}的个数。-彼得·卢什尼2019年8月25日

[0]1,1,1,1,1,1,1,1,1。。。A000012号

[1] 2,3,4,5,6,7,8,9,10。。。A000027号

[2] 3,6,10,15,21,28,36,45,55。。。A000217

[3] 4,10,20,35,56,84,120,165,220。。。A000292号

[4] 5,15,35,70,126,210,330,495,715。。。A000332号

[5] 6、21、56、126、252、462、792、12872002年。。。A000389号

[6] 第三、第二、第二百一十八、第二百一十八、第二百一十、第二百一十、第二百一十、第二百一十、第二百一十、第二百八十四、第二百一十、第二百一十、第二百一十、第二百一十、第二百一十、第二百一十、第二百零零四千。。。A000579号

[7] 8、36、120、330、792、1716、3432、6435、11440。。。A000580

[8] 9、45、165、495、1287、3003、6435、12870、24310。。。A000581号

[9] 10,55,220,7152002,5005144024310448620。。。A000582号

枫木

A074909号:=过程(n,k)

如果k>n或k<0,则

0;

其他的

二项式(n+1,k);

结束if;

结束过程:#泽伦瓦拉乔斯2006年11月9日

数学

Flatten[连接[{1},Table[Sum[二项式[k,m],{k,0,n}],{n,0,12},{m,0,n}]]](*或*)展平[连接[{1},表[二项式[n,m],{n,12},{m,n}]]]

黄体脂酮素

(哈斯克尔)

a074909 n k=a074909表格!!n!!k

a074909第n行=a074909表!!n

a074909_tabl=迭代

(\row->zipWith(+)([0]++行)(row++[1]))[1]

--莱因哈德·祖姆凯勒2012年2月25日

(PARI)print1(1);对于(n=1,10,对于(k=1,n,print1(“,”二项式(n,k))))\\查尔斯R格雷特豪斯四世2013年3月26日

(间隙)平坦(列表([0..10],n->列表([0..n],k->二项式(n+1,k))))#阿西鲁2018年7月10日

(岩浆)/*为三角形*/[二项式(n+1,k):k in[0..n]]:n in[0..0。。15] ]//文琴佐·利班迪2018年7月22日

交叉引用

囊性纤维变性。A007318型,A181971年,A228196,A228576号.

行和为A000225,对角线和为A052952号.

非循环函数的个数为A058127号.

囊性纤维变性。A008292号,A090582号,A019538年,A049019号,A133314号,A135278号,邮编:A133437,A111785年,A126216号,A134685号,邮编:A133932,邮编:A248727,A033282型,A134264.

囊性纤维变性。A000027号,A000217,A000292号,A000332号,A000389号,A000579号,A000580,A000581号,A000582号.

囊性纤维变性。A325191.

上下文顺序:甲134394 A322967 A284855号*A135278号 A034356号 A075195年

相邻序列:A074906号 A074907号 A074908号*A074910 A074911 A074912号

关键字

容易的,不,不,

作者

伍特·梅森2002年10月1日

扩展

我根据建议加了个首字母1保罗·巴里,这使得三角形稍微好一点,但可能意味着一些公式现在需要调整。-N、 斯隆2003年2月11日

公式部分编辑、检查和更正人狼牙2014年11月4日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年12月3日02:56。包含338899个序列。(运行在oeis4上。)