搜索: a099285-编号:a099285%
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A163931号
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| 高阶指数积分E(x,m=2,n=1)在x=1时的十进制展开。 |
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0, 9, 7, 8, 4, 3, 1, 9, 7, 2, 1, 6, 6, 7, 0, 1, 7, 9, 3, 2, 5, 5, 3, 7, 7, 8, 9, 0, 4, 5, 2, 8, 0, 0, 8, 2, 7, 6, 9, 5, 8, 2, 2, 6, 9, 5, 3, 0, 2, 6, 5, 7, 6, 5, 5, 7, 4, 4, 2, 1, 2, 4, 2, 4, 5, 4, 4, 7, 1, 3, 7, 6, 2, 6, 1, 4, 0, 9, 0, 4, 8, 8, 7, 3, 6, 9, 6, 0, 4, 8, 9, 1, 8, 5, 5, 5, 0, 8, 9, 4, 5, 4, 6, 7, 0
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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我们用E(x,m,n)=x^(n-1)*Integral_{t=x.infinity}E(t,m-1,n)/t^n定义了高阶指数积分,对于m>=1和n>=1,其中E(x、m=0,n)=exp(-x),参见Meijer和Baken。
E(x,m,n)的性质类似于著名的指数积分E(x、m=1,n),参见Abramowitz和Stegun及其公式。
E(x,m,n)的值可以用Maple程序计算。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准局,应用数学。第55辑,第十次印刷,1972年,第5章,第227-251页。
J.W.Meijer和N.H.G.Baken,指数积分分布《统计与概率快报》,第5卷,第3期,1987年4月。第209-211页。
米尔格拉姆,广义积分指数函数,数学。《计算》,第44卷,第443-458页,1985年。
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配方奶粉
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E(x=1,m=2,n=1)=伽马^2/2+Pi^2/12+和{k>=1}((-1)^k/(k^2*k!))。
对于n>=2,E(x=0,n,m)=(1/(n-1))^m。
积分{t=0..x}E(t,m,n)=1/n^m-E(x,n,n+1)。
dE(x,m,n+1)/dx=-E(x,m,n)。
E(x,m,n+1)=(1/n)*。
E(x,m,n)=(-1)^m*((-x)^(n-1)/(n-1!)*求和{kz=0..floor(m/2)}(α(kz,n)*G(m-2*kz,n))+(-1)^m*((-x)^(n-1)/(n-1!)*求和{kz=0..floor(m/2)}(求和{i=1.m-2*kz}(α(kz,n)*G(m-2*kz-i,n)*对数(x)^i/i!))+(-1)^m*和{kx=0..n-2}((-x)^kx/((kx-n+1)^m*kx!)+(-1)^m*和{ky>=n}((-x)^ky/((ky-n+1)^m*ky!))。
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例子
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E(1,2,1)=0.09784319721667017932553778904528008276958226953026576557442124245。。。。
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MAPLE公司
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E: =程序(x,m,n)本地nmax,kmax,EI,k1,k2,n1,n2;选项记住:nmax:=20;kmax:=20;k1:=0:对于从0到nmax的n1 do alpha(k1,n1):=1 od:对于从1到kmax的k1 do,对于从1至nmax do alfa(k1,n1)的n1:=(1/k1)*总和(总和(p^(-2*(k1-i1))),p=0..n1-1)*α(i1,nl),i1=0..k1-1)od;od:对于从0到kmax的n2 do G(0,n2):=1 od:对于从1到nmax的n 2,对于从1至kmax,do G;od:EI:=evalf((-1)^m*((-x)^(n-1)/(n-1*和(α(kz,n)*(G(m-2*kz,n)+和(G(m-2*kz-i,n)*ln(x)^i/i!,i=1..m-2*kz)),kz=0.floor(m/2))+sum((-x)^kx/((kx-n+1)^m*kx!),kx=0..n-2)+总和((-x)^ky/((ky-n+1)^m*ky!),ky=无限大));返回(EI):结束:
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数学
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加入[{0},RealDigits[N[EulerGamma^2+Pi ^2/12-超几何PFQ[{1,1,1},{2,2},-1],104]][[1]]](*Jean-François Alcover公司2012年11月7日,第1配方奶粉*)
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黄体脂酮素
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(PARI)t=1;欧拉^2/2+Pi^2/12+总和(k=1,t*=k;(-1)^k/(k^2*t))\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年11月7日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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已批准
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A001286号
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| Lah数:a(n)=(n-1)*n/2 (原名M4225 N1766)
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+10 70
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1, 6, 36, 240, 1800, 15120, 141120, 1451520, 16329600, 199584000, 2634508800, 37362124800, 566658892800, 9153720576000, 156920924160000, 2845499424768000, 54420176498688000, 1094805903679488000, 23112569077678080000, 510909421717094400000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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2,2
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评论
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0,1,2,3,4,…的第一个欧拉变换-罗斯·拉海耶2005年3月5日
偏移量为0时:n X n矩阵m(i,j)的行列式=(i+j+1)/我/j-贝诺伊特·克洛伊特2005年4月11日
这些数字出现在表示n(n+1)(n+2)。。。(n+k)[n+(n+1)+(n+2)+…++(1+4+9+16+…+n^2),n(n+1)(n+2)(n+3)-亚历山大·波沃洛茨基2006年10月16日
a(n)是对称群S_n上弱Bruhat阶的Hasse图中的边数。对于S_n中的置换p,q,如果p,q与相邻的转置不同,并且q比p多一个倒置,则q覆盖弱Bruhart阶的p。因此23514覆盖23154,因为转置交换了第三项和第四项。囊性纤维变性。A002538号为了强大的布鲁哈特秩序-大卫·卡伦2007年11月29日
a(n)也是{1,2,…,n}的所有排列中的超额数(排列p的超额是值j,使得p(j)>j)。证明:超过j(n-1)!乘以数字j+1,j+2。。。,n;现在,求和{j=1..n}(n-j)(n-1)!=不!(n-1)/2。例如:a(3)=6,因为置换123、132、312、213、231、321的异常数分别为0、1、1、2、1-Emeric Deutsch公司,2008年12月15日
(-1)^(n+1)*a(n)是n X n矩阵的行列式,其(i,j)-第个元素对于i=j是0,对于j>i是j-1,对于j<i是j-米歇尔·拉格诺2010年5月4日
对于m>=4,a(m-2)是除一条边外,具有m个完全顶点的简单图中的哈密顿圈数。证据:想想m个人的不同的圆桌座位,这样“1”和“2”可能不是邻居;计数是(m-3)(m-2)/2.另请参阅A001710号. -斯坦尼斯拉夫·西科拉,2014年6月17日
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参考文献
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A.T.Benjamin和J.J.Quinn,《真正重要的证据:组合证明的艺术》,M.A.A.2003,第90页,例4。
Louis Comtet,《高级组合数学》,Reidel,1974年,第156页。
A.P.Prudnikov,Yu。A.Brychkov和O.I.Marichev,“积分与级数”,第1卷:“初等函数”,第4章:“有限和”,纽约,Gordon和Breach科学出版社,1986-1992年。
约翰·里尔丹,《组合分析导论》,威利出版社,1958年,第44页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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Yasmin Aguillon等人。,论停车功能与河内塔,arXiv:2206.00541[math.CO],2022。
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov和Vincent Vajnovszki,树丛中的图案,arXiv:1611.07793[cs.DM],2016年。
埃尔达尔·菲舍尔、约翰·马考斯基和弗塞沃洛德·拉基塔,限制集配分函数的MC有限性,arXiv:2302.08265[math.CO],2023年。
Jennifer Elder、Pamela E.Harris、Jan Kretschmann和J.Carlos Martínez Mori,S_n弱阶布尔区间,arXiv:2306.14734[math.CO],2023年。
Lucas Chaves Meyles、Pamela E.Harris、Richter Jordaan、Gordon Rojas Kirby、Sam Sehayek和Ethan Spingarn,单位间隔停车函数与二面体,arXiv:2305.15554[math.CO],2023。
桑迪·克拉夫扎尔、乌洛什·米卢蒂诺维奇和西里尔·皮特,Hanoi图和一些经典数,世博会。数学。23(2005),编号4371-378。
S.Lehr、J.Shallit和J.Tromp,关于自动实的向量空间,理论。计算。科学。163(1996),第1-2期,193-210页。
P.A.Piza,Kummer数字《数学杂志》,21(1947/1948),257-260。
P.A.Piza,Kummer数字《数学杂志》,21(1947/1948),257-260。[带注释的扫描副本]
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配方奶粉
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a(n)=和{i=0..n-1}(-1)^(n-i-1)*i^n*二项式(n-1,i).-Yong Kong(ykong(AT)curagen.com),2000年12月26日[更正人:阿米拉姆·埃尔达尔2022年5月2日]
a(n+1)=(-1)^(n+1)*det(M_n),其中M_n是n X n矩阵M_(i,j)=max(i*(i+1)/2,j*(j+1)/2)-贝诺伊特·克洛伊特2004年4月3日
的第五个二项式变换A135218号: (1, 1, 1, 25, 25, 745, 3145, ...). -加里·亚当森,2007年11月23日
如果我们定义f(n,i,x)=和{k=i.n}和{j=i.k}二项式(k,j)*Stirling1(n,k)*Stiling2(j,i)*x^(k-j),那么a(n)=(-1)^n*f(n、2、-2),(n>=2)-米兰Janjic2009年3月1日
a(n)=(n+1)*和{k=1..n-1}1/(k^2+3*k+2)-加里·德特利夫斯2011年9月14日
a(n+1)=a(n)*n*(n+1”)/(n-1)-柴华武2018年4月11日
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例子
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G.f.=x^2+6*x^3+36*x^4+240*x^5+1800*x^6+15120*x^7+141120*x^8+。。。
a(10)=(1+2+3+4+5+6+7+8+9)*(1*2*3*4*5*6*7*8*9)=16329600-莱因哈德·祖姆凯勒2010年5月15日
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MAPLE公司
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seq(sum(mul(j,j=3..n),k=2..n),n=2..21)#零入侵拉霍斯2007年6月1日
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数学
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表[Sum[n!,{i,2,n}]/2,{n,2,20}](*零入侵拉霍斯2009年7月12日*)
nn=20;使用[{a=累加[Range[nn]],t=范围[nn]!},时间@@@线程[{a,t}]](*哈维·P·戴尔2013年1月26日*)
表[(n-1)n!/2,{n,2,30}](*文森佐·利班迪2016年9月9日*)
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黄体脂酮素
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(Sage)[(n-1)*在(2,21)范围内n的阶乘(n)/2]#零入侵拉霍斯2009年5月16日
(哈斯克尔)
a001286 n=总和[1..n-1]*乘积[1..n-1]
(岩浆)[(n-1)*阶乘(n)/2:n in[2..25]]//文森佐·利班迪2016年9月9日
(Python)
来自未来进口部
对于范围(2100)内的n:
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交叉参考
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三角形第三列(m=2)|A111596号(n,m)|:|S1|的矩阵乘积。S2斯特林数矩阵。
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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已批准
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A073003型
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| -exp(1)*Ei(-1)的十进制展开式,也称为Gompertz常数或Euler-Compertz常数。 |
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+10 22
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5、9、6、3、4、7、3、6、2、3、2、3、1、9、4、0、7、4、4、1、0、7、8、4、9、3、6、9、2、7、9、3、7、6、0、7、4、1、7、7、8、6、0、1、5、2、5、4、8、7、8、1、5、7、3、4、8、4、9、1、0、4、8、2、3、2、7、2、9、1、4,8,7,4,4,1,7,4,7,0,4,3,0,4,9,7,0,9,3,6,1,2,7,6,0,3,4,4,2,3,7
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.1个
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评论
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0! - 1! + 2! - 3! + 4! - 5! + ... = (Borel)和{n>=0}(-y)^n n!=KummerU(1,1,1/y)/y。
φ(1)的十进制展开式,其中φ(x)=Integral_{t>=0}e^-t/(x+t)dt-贝诺伊特·克洛伊特2003年4月11日
Le Lionnais(1983)以英国自学数学家和精算师本杰明·戈佩兹(1779-1865)的名字命名。Finch(2003)将其命名为Euler-Compertz常数。Lagarias(2013)指出,他没有在Gompertz的著作中找到这个常数-阿米拉姆·埃尔达尔2020年8月15日
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参考文献
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布鲁斯·伯恩特(Bruce C.Berndt),拉马努扬(Ramanujan)的笔记本第二部分,施普林格(Springer),第171页
布鲁斯·伯恩特(Bruce C.Berndt),拉马努扬(Ramanujan)的笔记本第一部分,施普林格(Springer),第144-145页。
S.R.Finch,《数学常数》,剑桥,2003年,第424-425页。
弗朗索瓦·勒·利昂奈斯(Francois Le Lionnais),《传奇人物》(Les nombres remarquables),巴黎:赫尔曼出版社,1983年。见第29页。
H.S.Wall,连分式分析理论,Van Nostrand,纽约,1948年,第356页。
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链接
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理查德·布伦特(Richard P.Brent)、M.L.Glasser和安东尼·古特曼(Anthony J.Guttmann),由指数积分产生的推测整数序列,arXiv:1812.00316[math.NT],2018年。
杰弗里·拉加里亚斯,欧拉常数:欧拉的工作与现代发展,公牛。阿默尔。数学。Soc.,第50卷,第4期(2013年),第527-628页,预印本,arXiv:1303.1856[math.NT],2013年。
Ed Sandifer,发散级数《Euler是如何做到的》,MAA在线,2006年6月-约翰内斯·梅耶尔2009年10月16日
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配方奶粉
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φ(1)=e*(和{k>=1}(-1)^(k-1)/(k*k!)-Gamma)=0.596347362323194…其中Gamma是欧拉常数。
G=0.596347…=1/(1+1/(1+1/(1+2/-菲利普·德尔汉姆2005年8月14日
Stieltjes发现了连续分式表示G=1/(2-1^2/(4-2^2/。参见[墙,第18章,(92.7),a=1]。收敛到连分式的序列开始于[1/2,4/7,20/34,124/209,…]。分子在A002793号和分母A002720型.
此外,1-G具有连分式表示1/(3-2/(5-6/(7-…-n*(n+1)/((2*n+3)-…)))以收敛点开始[1/3,5/13,29/73,201/501,…]。分子在A201203号(无符号),分母为A000262号.
(结束)
等于Integral_{x=0..1}1/(1-log(x))dx。
等于Integral_{x=1..oo}exp(1-x)/x dx。
等于Integral_{x=0..oo}exp(-x)*log(x+1)dx。
等于Integral_{x=0..oo}-exp(-x)/(x+1)dx。(结束)
等于积分{x=0..1}兰伯特W(e/x)-1 dx。
等于积分{x=0..1}1+1/LambertW(-1,-x/e)dx。(结束)
等于和{n>=1}1/(n*L(n,-1)*L(n-1,-1)),其中L(n、x)表示第n个拉盖尔多项式-彼得·巴拉2024年3月21日
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例子
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0.59634736232319407434107849936927937607417786015254878157348491...
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数学
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实数位[N[-Exp[1]*ExpIntegralEi[-1],105]][[1]
(*第二个节目:*)
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黄体脂酮素
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(Magma)SetDefaultRealField(RealFild(100));指数积分E1(1)*指数(1)//G.C.格鲁贝尔2018年12月4日
(Sage)数字_近似值(exp_integral_e(1,1)*exp(1),数字=100)#G.C.格鲁贝尔2018年12月4日
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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A005990号
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| a(n)=(n-1)*(n+1)/6 (原M4551)
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+10 21
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0, 1, 8, 60, 480, 4200, 40320, 423360, 4838400, 59875200, 798336000, 11416204800, 174356582400, 2833294464000, 48819843072000, 889218570240000, 17072996548608000, 344661117825024000, 7298706024529920000, 161787983543746560000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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甘地多项式的系数。
a(n)=Symm(n)中的和{pi}和{i=1..n}max(pi(i)-i,0),即n个字母上所有排列中所有字母的总正位移-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年10月25日
a(n)也是[n]的所有排列的超额的和。[n]的置换p的一个例外是一个i(1<=i<=n-1),使得p(i)>i。证明:i是一个例外,如果p(i)=i+1,i+2。。。,n(n-i可能性),p的剩余值在位置[n]\{i}((n-1)!可能性)。i(n-i)(n-1)的求和!i从1到n-1完成了证明。例如:a(3)=8,因为置换123、132、213、231、312、321分别具有超限NONE、{2}、{1}、}、1,2},{1},{1{-Emeric Deutsch公司2008年10月26日
a(n)也是{1,2,…,n-1}的所有置换中的双下降数。我们说,如果p(i)>p(i+1)>p(i+2),i是置换p的双下降。例如:a(3)=8,因为置换1432、4312、4213、2431、3214、3421中的每一个都有一个双下降,置换4321有两个双下降并且{1、2、3、4}的其余17个置换没有双下降-Emeric Deutsch公司2009年7月26日
n上所有排列的abs(p(i+1)-p(i))之和的一半,例如42531=2+3+2=9,{1,2,3,4,5}上所有排列之和为960-乔恩·佩里2013年5月24日
a(n)给出了大小为n+1的树状表中未被占用的角的数量(见Gao等人的链接)-米歇尔·马库斯2015年11月18日
a(n)是最多n种颜色的n+2个球的序列数,这样正好有三个球与序列中的其他球的颜色相同-杰里米·多佛2017年9月26日
a(n)是(n+1)-交替群图中的三角形数(3个圈)-埃里克·韦斯特因2019年6月9日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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Alice L.L.Gao、Emily X.L.Gau和Brian Y.Sun,类树表角点计数的Zubieta猜想,arXiv:1511.05434[math.CO],2015年。本文的第二个版本有不同的标题和作者:a.L.L.Gao、E.X.L.Gau、P.Laborde-Zubieta和B.Y.Sun,《树状表中角点的枚举和推测(a,B)类比》,arXiv预印本arXiv:1511.05434v22015。
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配方奶粉
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a(n)=求和{m=0..n}求和{k=-1..n}求并{j=1..n}n/6,n>=0-零入侵拉霍斯2007年5月11日
如果我们定义f(n,i,x)=Sum_{k=i.n}(Sum__{j=i.k}二项式(k,j)*Stirling1(n,k)*Stiling2(j,i)*x^(k-j)),那么a(n+1)=(-1)^(n-1)*f(n、1、-4),(n>=1)-米兰Janjic2009年3月1日
a(n)=((n+3)/2) *求和{j=i.k}(k+1)/(k+3)!,偏移量为0-加里·德特利夫斯2010年8月5日
a(n)=(n+2)*和{k=1..n-1}1/((2*k+4)*(k+3))-加里·德特利夫斯2011年10月9日
a(n)=(n+2)*(1+3*(H(n+1)-H(n+2))/6,其中H(n)是第n个谐波数-加里·德特利夫斯2011年10月9日
偏移量=0,例如f.:x/(1-x)^4-杰弗里·克里策2013年8月30日
求和{n>=2}(-1)^n/a(n)=3*(γ-Ei(-1))-3/2,其中Ei(-1-A099285.(结束)
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MAPLE公司
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[序列((n-1)*(n+1)!/6,n=1..40)];
a: =n->和(和(总和(n!/6,j=1..n),k=-1..n),m=0..n):序列(a(n),n=0..19)#零入侵拉霍斯2007年5月11日
seq(总和(mul(j,j=3..n),k=3..n)/3,n=2..21)#零入侵拉霍斯2007年6月1日
重新启动:G(x):=x^3/(1-x)^2:f[0]:=G(x):对于从1到21的n,执行f[n]:=diff(f[n-1],x)od:x:=0:seq(f[n]/3!,n=2..21)#零入侵拉霍斯2009年4月1日
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数学
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表[Sum[n!/6,{i,3,n}],{n,2,21}](*零入侵拉霍斯2009年7月12日*)
表[(n-1)(n+1)!/6,{n,20}](*哈维·P·戴尔,2019年4月7日*)
表[(n-1)Pochhammer[4,n-2],{n,20}](*埃里克·韦斯特因2019年6月9日*)
表[(n-1)伽马[n+2]/6,{n,20}](*埃里克·韦斯特因2019年6月9日*)
范围[0,20]!系数列表[级数[x/(1-x)^4,{x,0,20}],x](*埃里克·韦斯特因2019年6月9日*)
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黄体脂酮素
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(Magma)[(n-1)*阶乘(n+1)/6:n在[1..25]]中//文森佐·利班迪2011年10月11日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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Robert Newstedt提供了更好的定义
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已批准
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0, 2, 12, 72, 480, 3600, 30240, 282240, 2903040, 32659200, 399168000, 5269017600, 74724249600, 1133317785600, 18307441152000, 313841848320000, 5690998849536000, 108840352997376000, 2189611807358976000, 46225138155356160000, 1021818843434188800000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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对于n>0,a(n)=长度为n+1且具有两个不相邻的预定元素的置换数;例如,对于n=2,1和2不相邻的排列是132和231,因此a(2)=2-乔恩·佩里2003年6月8日
[n]的所有排列中所有循环(不包括定点)的长度之和-奥利维尔·杰拉德2012年10月23日
n个不同对象的排列数(ABC…)1(一)次>>(“-”,A,AB,ABC,ABCD,ABCDE,…,ABCDEFGHIJK,无穷大),并且一个接一个地类似于基序:A(1)AB(1-1),AAB(2-1),AAAB(3-1),AAAAB(4-1),AAAAA B(5-1),AAAAAA B(6-1),AAAAAAA B(7-1),AAAAAAAA B(8-1)等,>>“1(一)个不动点”。示例:图案:AAAB(或BBBA)12*一(1)个固定点等A“BCD 1.”A“BDC 2.”A’CBD 3。ACDB“A”DBC 4.“A’DCB B’A’CD 5。B'A直流6。BCAD 7。BCDA BD’A’C 8。BDCA C’ad 9。C'A’DB CB'A’D 10号。CBDA CDAB CDBA D’A’BC 11号。DACB数据库'A’C 12。DBCA DCAB DCBA公司-零入侵拉霍斯2009年11月27日(有人明白这句话的意思吗-乔格·阿恩特2015年1月10日)
a(n)是将n本书排列在两个书架上以使每个书架接收至少一本书的方式的数量-杰弗里·克里策2010年2月21日
a(n)=其阶乘基表示的数(A007623号)以数字{n-1}开头,后面跟n-1个零。从这个基数来看,这个序列看起来是这样的:0、10、200、3000、40000、500000、6000000、70000000、800000000、9000000000、A00000000000、B00000000000。。。(其中“数字”A和B分别代表占位符值10和11)-安蒂·卡图恩2015年5月7日
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链接
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Ugbene Ifeanyichukwu Jeff、Ogundele Olaniyi Suraju和Ndubuisi Rich Ugochukwo,全变换半群的有向图,J.阀瓣。数学。科学。地穴。(2021).
路易斯·曼努埃尔·里维拉,整数序列与k-交换置换,arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO],2014-2015。
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配方奶粉
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a(n)=n!*(n-1)。
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MAPLE公司
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G(x):=x^2/(1-x)^2:f[0]:=G(x#零入侵拉霍斯2009年4月1日
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数学
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表[n!(n-1),{n,20}](*哈维·P·戴尔2021年8月29日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){f=1;对于(n=1100,f*=n;写入(“b062119.txt”,n,“”,f*(n-1))}\\哈里·史密斯2009年8月2日
(PARI)a(n)=n*(n-1)\\阿尔图·阿尔坎,2018年5月4日
(哈斯克尔)
a062119 n=(n-1)*a000142 n--莱因哈德·祖姆凯勒2012年8月27日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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A001809年
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| a(n)=n!*n(n-1)/4。 (原名M4649 N1989)
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+10 19
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0, 0, 1, 9, 72, 600, 5400, 52920, 564480, 6531840, 81648000, 1097712000, 15807052800, 242853811200, 3966612249600, 68652904320000, 1255367393280000, 24186745110528000, 489781588488192000, 10400656084955136000, 231125690776780800000, 5364548928029491200000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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a(n)=n*n*(n-1)/4给出了[n]的所有置换中的反转总数。[Stern,Terquem]证明:对于固定i,j和固定i,j(i<j,i>j,1<=i,j,i,j<=n),我们有(n-2)![n]的置换p,其中p(i)=i,p(j)=j(在位置(1,2,…,n)\{i,j}中置换{1,2,,…,n}\{i,j})。对于i<j的对(i,j)有n*(n-1)/2个选择,对于i>j的对(i,j)有n*n-1)/2个选择。因此,[n]的所有置换中的反转总数为(n-2)*(n*(n-1)/2)^2=n*n*(n-1)/4-Emeric Deutsch公司2006年10月5日
换句话说,a(n)是模式12在[n]的所有排列中的出现次数-N.J.A.斯隆2014年4月12日
a(n)是对称群S_n的Cayley图中相对于由转置组成的生成集的边数Avi Peretz(njk(AT)netvision.net.il),2001年2月20日
a(n+1)是n的所有排列上的力矩之和。例如,a(4)是[1,2,3]。[1,2,3]+[1,3,2]。[1,2,3] + [2,1,3].[1,2,3] + [2,3,1].[1,2,3] + [3,1,2].[1,2,3] + [3,2,1].[1,2.3] = 14 + 13 + 13 + 11 + 11 + 10 = 72. -乔恩·佩里2004年2月20日
q因子的导数[n]!,在q=1时进行评估。示例:a(3)=9,因为(d/dq)[3]=(d/dq)((1+q)(1+q+q^2))=2+4q+3q^2在q=1时等于9-Emeric Deutsch公司2007年4月19日
a(n-1)是[n]上的树数,根为1,正好有两片叶子。叶子是阶数为1的非根顶点-尼科斯·阿波斯托拉基斯2021年12月27日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准应用数学局。1964年第55辑(以及各种重印本),第799页。
西蒙·奥尔特曼(Simon Altmann)和爱德华多·奥尔蒂斯(Eduardo L.Ortiz),《法国数学与社会乌托邦:奥林德·罗德里格斯及其时代》(法国)编辑,艾默尔。数学。Soc.,2005年。
David M.Bressoud,《证明与确认》,剑桥。大学出版社,1999年;第90页。
科尼利厄斯·兰佐斯(Cornelius Lanczos),《应用分析》(Applied Analysis),普伦蒂斯·霍尔(Prentice-Hall),新泽西州恩格尔伍德克利夫斯(Englewood Cliffs),1956年,第519页。
Edward M.Reingold、Jurg Nievergelt和Narsingh Deo,组合算法,Prentice-Hall,1977年,第7.1节,第287页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
Olly Terquem,《刘维尔杂志》,1838年。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准局,应用数学。第55辑,第十次印刷,1972年[备选扫描件]。
埃里克·巴布森(Eric Babson)和埃纳尔·斯坦格里姆森(Einar Steingrimsson),广义排列模式和马洪统计分类《联合国图书馆》,B44b(2000),第18页。
Dominique Foata和Marcel-Paul Schützenberger,排列的主指数和反转数,数学。纳克里斯。83 (1978), 143-159
科尼利厄斯·兰佐斯,应用分析.(选定页面的注释扫描)
J.Ser,工厂会计1933年,巴黎,戈瑟·维拉斯[当地副本]。
斯特恩先生,会计的任务《数学杂志》,第18卷(1838年),第100页。
Thotsaporn Thanatipanonda,倒置和排列的主要指数,数学。Mag.,第77卷,第2期(2004年4月),第136-140页。
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配方奶粉
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例如:(1/2)*x^2/(1-x)^3。
a(n)=a(n-1)*n^2/(n-2),n>2;a(2)=1。
a(n)=n*a(n-1)+(n-1*n*(n-1)/2,a(1)=0,a(2)=1;a(n)=总和(的前n!项A034968号); a(n)=排列上升j的总和(p(j)<p(j+1))Claude Lenormand(Claude.Lenormand(AT)free.fr),2001年2月2日
如果我们定义f(n,i,x)=和{k=i.n}(和{j=i.k}(C(k,j)*斯特林1(n,k)*斯特林2(j,i)*x^(k-j))),那么a(n)=(-1)^n*f(n、2、-3),(n>=2)-米兰Janjic2009年3月1日
和{n>=2}1/a(n)=12-4*e。
Sum_{n>=2}(-1)^n/a(n)=8*伽玛-4-4/e-8*Ei(-1),其中伽玛是欧拉常数(A001620号)和-Ei(-1)是-1处的负指数积分(A099285号). (结束)
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例子
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G.f.=x ^2+9*x ^3+72*x ^4+600*x ^5+5400*x ^6+52920*x ^7+。。。
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MAPLE公司
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with(combstruct):ZL:=[st,{st=Prod(left,right),left=Set(U,card=r),right=Set(U,card<r),U=Sequence(Z,card>=1)},标签]:subs(r=1,stack):seq(count(subs(r=2,ZL),size=m),m=0..19)#零入侵拉霍斯2008年2月7日
with(combstruct):with(组合):a:=进程(m)[ZL,{ZL=集合(循环(Z,卡>=m))},标记];结束:ZLL:=a(1):seq(计数(ZLL,大小=n)*二项式(n,2)/2,n=0..21)#零入侵拉霍斯2008年6月11日
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数学
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表[n!n(n-1)/4,{n,0,18}]
表[n!二项式[n,2]/2,{n,0,20}](*埃里克·韦斯特因2017年12月1日*)
系数[表[n!LaguerreL[n,x],{n,20}],x,2](*埃里克·韦斯特因2017年12月1日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=n!*n*(n-1)/4};
(Sage)[范围(19)中m的阶乘(m)*二项式(m,2)/2]#零入侵拉霍斯2008年7月5日
(Magma)[因子(n)*n*(n-1)/4:n在[0..20]]中]//文森佐·利班迪2015年6月15日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的,特征
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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A001754号
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| Lah数:a(n)=n*二项式(n-1,2)/6。 (原名M4863 N2079)
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+10 16
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0, 0, 1, 12, 120, 1200, 12600, 141120, 1693440, 21772800, 299376000, 4390848000, 68497228800, 1133317785600, 19833061248000, 366148823040000, 7113748561920000, 145120470663168000, 3101950060425216000, 69337707233034240000, 1617879835437465600000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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a(n+1)=Sum_{π在Symm(n)}Sum_{i=1..n}max(pi(i)-i,0)^2,即n个字母上所有排列中所有字母的正位移的平方和-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年10月25日
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参考文献
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Louis Comtet,《高级组合数学》,Reidel,1974年,第156页。
约翰·里尔丹,《组合分析导论》,威利出版社,1958年,第44页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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配方奶粉
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例如:((x/(1-x))^3)/3!。
如果我们定义f(n,i,x)=Sum_{k=i.n}(Sum__{j=i.k}二项式(k,j)*Stirling1(n,k)*Stiling2(j,i)*x^(k-j)),那么a(n+1)=(-1)^n*f(n、2、-4),n>=2-米兰Janjic2009年3月1日
递归D-有限(-n+5)*a(n)+(n-2)*(n-3)*a(n-1)=0,n>=4-R.J.马塔尔2021年1月6日
求和{n>=3}(-1)^(n+1)/a(n)=18*(γ-Ei(-1))-12/e-9,其中Ei(-1-)=-A099285号人工神经网络=A001113号.(结束)
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MAPLE公司
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[seq(n!*二项式(n-1,2)/6,n=1..40)];
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数学
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带[{nn=30},系数列表[系列[(x/(1-x))^3/6,{x,0,nn}],x]范围[0,nn]!](*哈维·P·戴尔2017年10月4日*)
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黄体脂酮素
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(岩浆)[因子(n)*二项式(n-1,2)/6:n in[1..25]]//文森佐·利班迪2011年10月11日
(Sage)[(1..30)中n的阶乘(n-1)*二项式(n,3)/2]#G.C.格鲁贝尔2021年5月10日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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已批准
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1, 15, 180, 2100, 25200, 317520, 4233600, 59875200, 898128000, 14270256000, 239740300800, 4249941696000, 79332244992000, 1556132497920000, 32011868528640000, 689322235650048000, 15509750302126080000, 364022962973429760000, 8898339094906060800000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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参考文献
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R.Austin、R.K.Guy和R.Nowakowski,未出版笔记,约1987年。
R.K.Guy,个人沟通。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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Rajesh Kumar Mohapatra和Tzung-Pei Hong,有限模糊子集的个数与整数序列分析《数学》,第10卷,第7期(2022年),1161。
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配方奶粉
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a(n)=n*(n+1)*(n+3)/48
如果我们定义f(n,i,x)=和{k=i.n}和{j=i.k}二项式(k,j)*Stirling1(n,k)*Stiling2(j,i)*x^(k-j),那么a(n-3)=(-1)^n*f(n、4、-3),(n>=4)-米兰Janjic2009年3月1日
例如:t*(3*t+2)/(2*(t-1)^6)-冉·潘2016年7月10日
a(n)~sqrt(Pi/2)*exp(-n)*n^(n+1/2)*(n^5/24+85*n^4/288+5065*n|3/6912+955841*n^2/1244160+3710929*n/11943936)-伊利亚·古特科夫斯基2016年7月10日
求和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=32*(γ-Ei(-1))-16/e-56/3,其中Ei(-1-A099285号.(结束)
a(n)=(n-1)!*斯特林2(n+3,n)-G.C.格鲁贝尔2022年11月23日
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例子
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G.f.=x+15*x^2+180*x^3+2100*x^4+25200*x^5+317520*x^6+。。。
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MAPLE公司
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a: =n->总和((n-j)*n/4!, j=3..n):序列(a(n),n=4..17)#零入侵拉霍斯2007年4月29日
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数学
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表[(n(n+1)(n+3)!)/48,{n,20}](*哈维·P·戴尔2012年3月14日*)
a[n_]:=如果[n<0,0,n(n+1)(n+3)!/48];(*迈克尔·索莫斯2014年5月27日*)
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黄体脂酮素
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(Sage)[阶乘(m+1)*二项式(m-1,2)/24,对于范围(3,19)中的m]#零入侵拉霍斯2008年7月5日
(Sage)[二项式(n,4)*阶乘(n-2)/2,范围(4,18)内的n]#零入侵拉霍斯2009年7月7日
(岩浆)[阶乘(n-1)*StirlingSecond(n+3,n):n in[1..35]]//G.C.格鲁贝尔2022年11月23日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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A061206型
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| a(n)=[n+3]的所有排列中连续模式1324的总出现次数。 |
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+10 12
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1, 10, 90, 840, 8400, 90720, 1058400, 13305600, 179625600, 2594592000, 39956716800, 653837184000, 11333177856000, 207484333056000, 4001483566080000, 81096733605888000, 1723305589125120000, 38318206628782080000, 889833909490606080000, 21543347282404147200000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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a(n)是用最多n种颜色着色的n+3个球的序列数,这样正好有四个球与序列中的其他球的颜色相同-杰里米·多佛2017年9月27日
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链接
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配方奶粉
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a(n)=n*(n+3)/24
如果我们定义f(n,i,x)=和{k=i.n}和{j=i.k}二项式(k,j)*Stirling1(n,k)*Stiling2(j,i)*x^(k-j),那么a(n-3)=(-1)^n*f(n、4、-2),(n>=4)-米兰Janjic2009年3月1日
a(n)=((n+4)/6) *求和{k=1..n}(k+2)/(k+4)-加里·德特利夫斯2010年8月5日
a(n)=n*二项式(-n,4)-彼得·卢什尼2016年4月29日
求和{n>=1}1/a(n)=118/3-16*e-4*gamma+4*Ei(1),其中gamma是Euler常数(A001620号)Ei(1)是1的指数积分(A091725号).
求和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=2/3-8/e+4*gamma-4*Ei(-1),其中-Ei(-1(A099285). (结束)
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例子
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a(4)=840,因为4*(7!)/24=4*7*6*5=840。
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MAPLE公司
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a:=n->n*二项式(-n,4):seq(a(n),n=1..20)#彼得·卢什尼,2016年4月29日
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数学
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数组[#(#+3)!/24&,20](*或*)数组[#!*二项式[-#,4]&,20'(*迈克尔·德弗利格2017年9月30日*)
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黄体脂酮素
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(Sage)[范围(4,21)中n的二项式(n,4)*阶乘(n-3)]#零入侵拉霍斯2009年7月7日
(岩浆)[1..20]]中的[n*阶乘(n+3)/24:n//文森佐·利班迪2011年10月11日
(PARI)a(n)=n*(n+3)/24; \\阿尔图·阿尔坎2017年10月8日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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梅尔文·奈特(knightmj(AT)juno.com),2001年5月30日
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扩展
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状态
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已批准
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1, 12, 126, 1344, 15120, 181440, 2328480, 31933440, 467026560, 7264857600, 119870150400, 2092278988800, 38532804710400, 746943599001600, 15205637551104000, 324386934423552000, 7237883474325504000, 168600109166641152000, 4093235983656787968000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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a(n)是{1,2,…,n+5}的所有排列中长度为5的上行总次数。a(1)=12,因为我们有:[1,2,3,4,6,5],[1,2,4,5,6,4],[1,2,4,5,1],[1,1,3,5,5,2],[2,3,45,6,1],[3,1,2,4,1,6,6],[4,1,2,3,6,6],[5,1,2,3,1,4,6]、[6,1,2,2,3,5]和[1,3,4,5,6]这两条长度为5-杰弗里·克里策2014年2月21日
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链接
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配方奶粉
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例如:(1+5*x)/(1-x)^7。
如果我们定义f(n,i,x)=总和(总和(二项式(k,j)*斯特林1(n,k)*斯特林2(j,i)*x^(k-j),j=i.k),k=i.n),那么a(n-1)=(-1)^(n-1。[米兰Janjic,2009年3月1日]
假设偏移量1:a(n)=-n*二项式(-n,5)-彼得·卢什尼2016年4月29日
求和{n>=0}1/a(n)=1565/12-50*e-5*gamma+5*Ei(1),其中gamma是Euler常数(A001620号)Ei(1)是1的指数积分(A091725号).
求和{n>=0}(-1)^n/a(n)=-125/12+20/e+5*gamma-5*Ei(-1),其中-Ei(-1(A099285号). (结束)
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数学
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表[Sum[n!/5!,{i,5,n}],{n,5,21}]#零入侵拉霍斯2009年7月12日
使用[{nn=20},系数列表[Series[(1+5x)/(1-x)^7,{x,0,nn}],x]Range[0,nn]!](*哈维·P·戴尔2016年11月10日*)
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黄体脂酮素
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(Sage)[范围(5,22)中n的二项式(n,5)*阶乘(n-4)]#零入侵拉霍斯2009年7月7日
(岩浆)[二项式(n,5)*阶乘(n-4):[5..25]]中的n//文森佐·利班迪2014年2月23日
(PARI)x='x+O('x^30);维奇(serlaplace((1+5*x)/(1-x)^7))\\G.C.格鲁贝尔2018年2月7日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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