A028421-OEIS公司

A028421美元

行读取三角形：T（n，k）=（k+1）*A132393号（n+1，k+1），对于0<=k<=n。

1, 1, 2, 2, 6, 3, 6, 22, 18, 4, 24, 100, 105, 40, 5, 120, 548, 675, 340, 75, 6, 720, 3528, 4872, 2940, 875, 126, 7, 5040, 26136, 39396, 27076, 9800, 1932, 196, 8, 40320, 219168, 354372, 269136, 112245, 27216, 3822, 288, 9

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,3

以前的名字是：数字三角形f（n，k）来自序列{1/m^2}_{m>=1}的第n个差，对于n>=0；第n个差分序列是{（-1）^n*n！*P（n，m）/D（n，m）^2}{m>=1}，其中P（n、x）是行多项式P（n，x）=和{k=0..n}f（n，k）*x^k和D（n，x）=x*（x+1）*。..*（x+n）。

发件人约翰内斯·梅耶尔，2009年10月7日：（开始）

高阶指数积分E（x，m，n）定义于A163931号E（x，m，n）渐近展开的一般公式可以在A163932号.

我们使用了一般公式和E（x，m=1，n）的渐近展开式，参见A130534型，以确定E（x，m=2，n）~（exp（-x）/x^2）*（1-（1+2*n）/x+（2+6*n+3*n^2）/x^2-（6+22*n+18*n^2+4*n^3）/x*3+。..）可通过EA（x，2，n）公式进行验证，参见A163932号此展开式分母中的系数导致上述序列。

E（x，m=2，n）的渐近展开使n从1到10变成已知序列，见交叉参考。用这些序列可以形成三角形A165674号（左侧列）和A093905号（右侧列）。

（结束）

有关log（x）和x^n（d/dx）^n之间运算符关系的连接，请参见A238363型. -汤姆·科普兰2014年2月28日

发件人沃尔夫迪特·朗，2018年11月25日：（开始）

带符号三角形t（n，k）：=（-1）^{n-k}*f（n，k）给出了（n+1）*n（-1；n，x）=Sum_{k=0..n}t（n、k）*x^k，其中n（-1，n，x）是参数为a=-1的Narumi多项式（参见Weisstein链接）。

上述序列{1/m^2}_{m>=1}的第n个差分序列的成员满足递归δ（n，m）=δ（n-1，m+1）-δ（n-1,m），对于n>=1，m>=1，输入δ（0，m）=1/m^2。解是delta（n，m）=（n+1）！*N（-1；N，-m）/risefac。..*（x+n）。

对于n>=0，上述行多项式P满足P（n，x）=（-1）^n*（n+1）*n（-1；n，-x）。对于n>=1和P（0，x）=1，递推公式为P（n，x）=（-x^2*P（n-1，x+1）+（n+x）^2*P（n-1、x））/n。（结束）

三角形是指数Riordan平方（参见。A321620型)对数（1-x），附加的主对角线为零。 -彼得·卢什尼2019年1月3日

链接

G.C.格鲁贝尔，前50行的n，a（n）表，扁平

埃里克·魏斯坦的数学世界，Narumi多项式[此处表示a=-1]。

配方奶粉

例如：d/dt（-log（1-t）/（1-t^x）。 -弗拉德塔·乔沃维奇2003年10月12日

偏移量为1:y=x+（1+2*t）*x^2/2的示例f！+（2+6*t+3*t^2）*x^3/3！ + ...关于x的级数反转等于y-（1+2*t）*y^2/2！+（1+3*t）^2*y^3/3！-（1+4*t）^3*y^4/4！ + .…这是签名版本的A139526号. -彼得·巴拉2013年7月18日

递归：如果n<k，T（n，k）=0；如果k=0，则T（0，0）=1，T（n，0）=n*T（n-1，0。从未签名的Stirling1复发。 -沃尔夫迪特·朗2018年11月25日

例子

三角形T（n，k）开始于：

否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

------------------------------------------------------------------------------------

0: 1

1: 1 2

2: 2 6 3

3: 6 22 18 4

4: 24 100 105 40 5

5: 120 548 675 340 75 6

6: 720 3528 4872 2940 875 126 7

7: 5040 26136 39396 27076 9800 1932 196 8

8: 40320 219168 354372 269136 112245 27216 3822 288 9

9: 362880 2053152 3518100 2894720 1346625 379638 66150 6960 405 10

10: 3628800 21257280 38260728 33638000 17084650 5412330 1104411 145200 11880 550 11

... -沃尔夫迪特·朗2018年11月23日

MAPLE公司

A028421号：=程序（n，k）（-1）^（n+k）*（k+1）*箍筋1（n+1，k+1）末端：

seq（序列(A028421号（n，k），k=0..n），n=0..8）；

#约翰内斯·梅耶尔，2009年10月7日，2012年9月9日修订

egf：=（1-t）^（-x-1）*（1-x*log（1-t

ser:=系列（egf，t，16）：系数t:=n->展开（系数（ser，t，n））：

seq（seq（n！*系数（系数n），x，k），k=0..n），n=0..8）； #彼得·卢什尼2022年6月12日

数学

f[n_，k_]=（k+1）箍筋S1[n+1，k+1]//Abs；扁平[表[f[n，k]，{n，0，9}，{k，0，n}][[1；；47]](*Jean-François Alcover公司，2011年6月1日，配方后*）

黄体脂酮素

（鼠尾草）#使用[riordan_square来自A321620型]

riordan_square（-ln（1-x），10，真）#彼得·卢什尼2019年1月3日

交叉参考

行总和给出A000254号（n+1），n>=0。

囊性纤维变性。A132393号（无符号斯特林1），A061356美元,A139526号,A321620型.

发件人约翰内斯·梅耶尔，2009年10月7日：（开始）

A000142号,2005年5月17日, 3*A000399号, 5*A000482号是前四个左手列；A000027号,A002411号是右前两列。

E（x，m=2，n）的渐近展开导致A000254号（n=1），A001705号（n=2），A001711号（n=3），A001716号（n=4），A001721年（n=5），A051524号（n=6），A051545号（n=7），A051560型（n=8），A051562号（n=9），A051564号（n=10），A093905号（三角形）和A165674号（三角形）。

囊性纤维变性。A163931号（E（x，m，n）），A130534型（m=1），A163932号（m=3），A163934号（m=4），A074246美元（E（x，m=2，n+1））。（结束）

上下文中的序列：A227608型 A276484型 A100641号*A263003型 A344469型 A308159型

相邻序列：A028418号 A028419号 A028420号*A028422号 A028423号 A028424号

关键词

表,非n

作者

彼得·维根（Wiggen（AT）math.psu.edu）

扩展

编辑人沃尔夫迪特·朗2018年11月23日

状态

经核准的