A001705-OEIS公司

A001705号

广义斯特林数：a（n）=n！*和{k=0..n-1}（k+1）/（n-k）。
（原名M3944 N1625）

0, 1, 5, 26, 154, 1044, 8028, 69264, 663696, 6999840, 80627040, 1007441280, 13575738240, 196287356160, 3031488633600, 49811492505600, 867718162483200, 15974614352793600, 309920046408806400, 6320046028584960000, 135153868608460800000, 3024476051557847040000 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`0,3`
	评论	`a（n）也是[n]的所有排列中从右到左的极小值的位置之和。例如：a（3）=26，因为置换123132213231312和321中从右到左的最小值的位置分别为123、13、23、3、23和3，并且1+2+3+3+2+3+2+3+3+3+3=26-Emeric Deutsch公司2008年9月22日` `高阶指数积分E（x，m=2，n=2）~exp（-x）/x^2*（1-5/x+26/x^2-154/x^3+1044/x^4-8028/x^5+69264/x^6-…）的渐近展开导致了上述序列。请参见A163931号和A028421号了解更多信息-约翰内斯·W·梅耶尔2009年10月20日` `a（n）是[n+1]的所有排列中的循环总数（不包括不动点）-奥利维尔·杰拉德，2012年10月23日；2012年12月31日` `通过在（0,1）中随机选择（一个接一个）n个实数，形成长度n序列。a（n）/（n+1）！是这样一个序列中新最大值之和的期望值。例如，对于n=3：如果我们选择（按此顺序）：0.591996、0.646474、0.163659，我们将添加0.591996+0.646474，这将略高于a（3）/4的平均值！=26/24. -杰弗里·克雷策2013年10月17日`
	参考文献	`N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。` `N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。`
	链接	`G.C.格鲁贝尔，n=0..445时的n，a（n）表（术语0至100由T.D.Noe提供）` `J.-L.Baril和S.Kirgizov，置换的纯下降统计量，预印本，2016年。` `J.-L.Baril和S.Kirgizov，置换的纯下降统计量《离散数学》，340（10）（2017），2550-2558。` `Jean-Luc Baril和Sergey Kirgizov，特殊类型下降和例外的Foata变换，arXiv:2101.01928[math.CO]，2021。` `陈刚（Gang Chen）、亨利克·约翰逊（Henrik Johansson）、费腾（Fei Teng）和王田恒（Tianheng Wang），下一代MHV Yang-Mills运动学代数，arXiv:2104.12726[hep-th]，2021。见第46页。` `INRIA算法项目，组合结构百科全书406.` `D.S.Mitrinovic和M.S.Mitrinovic，斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。第77号（1962年），1-77。` `罗伯特·莫里茨，关于n个连续整数乘积的和，华盛顿大学数学出版物。，第1期（1926年第3期），第44-49页。[带注释的扫描副本]` `J.Riordan，74年11月4日的信.` `J.Riordan，信件，1978年7月6日.`
	配方奶粉	`前n个谐波数乘以n！的部分和！。` `a（n）=n求和{m=1..n}求和{k=1..m}1/k=n和{m=1..n}H（m），其中H（m）=和{k=1..m}1/k=A001008号（米）/A002805号（m）是第m个谐波数。` `例如：-log（1-x）/（1-x）^2。` `a（n）=（n+1）！H（n）-nn！，H（n）=和{k=1..n}（1/k）。` `a（n）=112486年（n，1）。` `a（n）=a（n-1）（n+1）+n=A000254（n+1）-A000142号（n+1）=A067176号（n+1，1）-亨利·博托姆利2002年1月9日` `a（n）=和{k=0..n-1}（（-1）^（n-1+k）（k+1）2^k斯特林1（n，k+1））Borislav Crstici（bcrstici（AT）etv.utt.ro），2004年1月26日` `交替符号：Ramanujan多项式psi_2（n，x）计算值为0-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月16日` `a（n）=总和{k=1..n}（kStirlingCycle（n+1，k+1））-大卫·卡伦2006年9月25日` `a（n）=和{k=n.n（n+1）/2}kA143947号（n，k）-Emeric Deutsch公司2008年9月22日` `对于n>=1，a（n）=Sum_{j=0..n-1}（（-1）^（n-j-1）2^j（j+1）Stirling1（n，j+1））-米兰Janjic2008年12月14日` `a（n）=（2n+1）a（n-1）-n^2a（n-2）-加里·德特利夫斯2009年11月27日` `a（n）=（n+1）（H（n+1）-1），其中H（n）是第n次谐波数-加里·德特利夫斯2009年12月18日` `a（n）=n和{k=1..n}（-1）^（k+1）二项式（n+1，k+1）/k-弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年10月10日` `a（n）=（n+1）和{k=1..n}（-1）^（k+1）二项式（n+1，k+1）k/（k+1-彼得·巴拉2022年2月15日` `a（n）=伽马（n+2）（Digamma（n+2）+EulerGamma-1）-彼得·卢什尼2022年2月19日` `发件人梅利卡·特布尼，2022年6月22日：（开始）` `a（n）=-求和{k=0..n}kA066667号（n，k+1）。` `a（n）=Sum_｛k=0..n｝kA132159号（n，k+1）。（结束）` `a（n）=n（n+1）超深层（[1,1,1-n]，[2,3]，1）/2-彼得·卢什尼2022年6月22日`
	例子	`（1-x）^-2（-log（1-x））=x+5/2x^2+13/3x^3+77/12x^4+。。。` `示例：a（6）=6(1/6 + 2/5 + 3/4 + 4/3 + 5/2 + 6/1) = 8028; a（20）=20(1/20 + 2/19 + 3/18 + 4/17 + 5/16 + ... + 16/5 + 17/4 + 18/3 + 19/2 + 20/1) = 135153868608460800000. -亚历山大·阿达姆丘克，2004年10月9日` `发件人奥利维尔·杰拉德，2012年12月31日：（开始）` 4个元素的所有排列的循环分解给出了以下列表：{{{1}、{2}、{3}、{4}、{1}、{2}、{3,4}、{1}、{2,3}、{4}、{1}、{2,4,3}、{1}、{2,3,4}、{1}、{2,4}、{3}、{1,2}、{3}、{4}、{1,2}、{3,4}、{1,3,2}、{4}、{1,4,3,2}｛1，3，4，2｝｝、｛1，4，2｝、｛3｝、｛1，3｝、｛4｝、｛1，2，3｝、｛1，3｝、｛1，3｝、｛2｝、｛4｝、｛1，4，3｝、｛2｝｝、｛1，3｝、｛4｝｝， {{1,4,2,3}}, {{1,2,3,4}}, {{1,2,4},{3}}, {{1,3,4},{2}}, {{1,4},{2},{3}}, {{1,3,2,4}}, {{1,4},{2,3}}}. `删除不动点会得到以下26项：4}、{1,3,4}，{1,4}和{1,32,4}。（结束）`
	MAPLE公司	`a:=n->加（（n+1）/k、 k=2..n+1）：序列（a（n），n=0..21）#零入侵拉霍斯2008年1月22日；已编辑约翰内斯·W·梅耶尔2012年11月28日` `a:=n->（（n+1）*（h（n+1）-1）：h:=n->谐波（n）：seq（a（n），n=0..21）#加里·德特利夫斯2009年12月18日；已由更正约翰内斯·W·梅耶尔2012年11月28日`
	数学	`表[n！Sum[Sum[1/k，{k，1，m}]，{m，1，n}]，}n，0，20}](亚历山大·阿达姆丘克2006年4月14日）` `a[n]：=（n+1）！（EulerGamma-1+PolyGamma[n+2]）；` `表[a[n]，{n，0，21}](彼得·卢什尼2022年2月19日*）`
	黄体脂酮素	`（最大值）` `a（n）：=n和（（-1）^（k+1）二项式（n+1，k+1））/k，k，1，n）/弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年10月10日/` `（PARI）对于（n=0，25，打印1（n！总和（k=0，n-1，（k+1）/（n-k）），“，”）\\G.C.格鲁贝尔2017年1月20日` `（Python）` `从数学导入阶乘` `定义A001705号（n）：` `f=阶乘（n）` `范围（n）内k的返回和（f（k+1）//（n-k））#柴华武2022年6月23日`
	交叉参考	`囊性纤维变性。A000254（排列中的循环总数，包括固定点）。` `囊性纤维变性。A002104号（排列中的不同循环数，无固定点）。` `囊性纤维变性。A006231号（排列中的不同循环数，包括固定点）。` `囊性纤维变性。A001008号,A002805号,A006675美元,A066667号,A132159号,A143947号.` `与n相关谐波数的第k次连续求和：` `（k=0）A000254，（k=1）A001705号，（k=2）A001711号，（k=3）A001716号,` `（k=4）A001721号，（k=5）A051524号，（k=6）A051545号，（k=7）A051560型,` `（k=8）A051562号，（k=9）A051564号.` `上下文中的序列：A082029号 A365150型 A081047号A185108号 A302442 A367285型` `相邻序列：A001702号 A001703号 A001704号*A001706年 A001707号 A001708号`
	关键词	`非n,容易的`
	作者	`N.J.A.斯隆`
	扩展	`更多术语来自萨沙·库尔兹2002年3月22日`
	状态	`经核准的`