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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A001705型 广义斯特林数:a(n)=n!*和{k=0..n-1}(k+1)/(n-k)。
(原M3944 N1625)
44
0,1,5,26,154,1044,8028,69264,663696,6999840,80627040,1007441280,13575738240,196287356160,3031488633600,49811492505600,86771816248483200,15974614352793600,309920046408806400,63200460285849600000,13515386860846080000000,3024476051557847040000 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,3个

评论

第一个n次谐波数的部分和乘以n!:a(n)=n!*Sum[Sum[1/k,{k,1,m}],{m,1,n}]=n!*Sum[H(m),{m,1,n}],其中H(m)=和[1/k,{k,1,m}]=A001008号(米)/A002805型(m) 是第m次谐波数。

来自德国金刚砂2008年9月22日:(开始)

a(n)也是[n]的所有排列中从右到左的最小值的位置之和。例如:a(3)=26,因为在排列12313221323312和321中,从右到左的最小值的位置分别是123、13、23、3、23和3,并且是1+2+3+1+3+2+3+3+2+3=26。

a(n)=和{k=n..n*(n+1)/2}k*A143947号(n,k)。(结束)

高阶指数积分E(x,m=2,n=2)~exp(-x)/x^2*(1-5/x+26/x^2-154/x^3+1044/x^4-8028/x^5+69264/x^6-…)的渐近展开得到了上面给出的序列。看到了吗邮编:A163931A028421号更多信息。-约翰内斯W.梅杰2009年10月20日

a(n)是[n+1]的所有置换中的循环总数(不包括不动点)。[奥利维尔·杰拉德,2012年10月23日;2012年12月31日]

在(0,1)中随机选择(一个接一个)n个实数形成一个长度n序列。A(n)/(n+1)!是这样一个序列中新的最大值之和的期望值。例如n=3:如果我们选择(按此顺序):0.591996,0.646474,0.163659,我们将加上0.591996+0.646474,这将略高于a(3)/4的平均值!=26/24。-杰弗里·克里特2013年10月17日

参考文献

N、 J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。

N、 J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

链接

G、 格雷贝尔,n=0..445的n,a(n)表(术语0到100由T.D.Noe提供)

J、 -巴里尔和柯尔吉佐夫,置换的纯下降统计量,预印本,2016年。

J、 -巴里尔和柯尔吉佐夫,置换的纯下降统计量离散数学(2550-2550)。

INRIA算法项目,组合结构百科全书406.

D、 S.Mitrinovic和M.S.Mitrinovic,斯特林列名等级表贝格拉德大学。公共。罗特勒恩。法克。爵士。垫子。菲兹。第77号(1962年),第1-77页。

罗伯特·E·莫里茨,关于n个连续整数的乘积和,华盛顿大学数学出版物,1(1926年第3期),44-49页。[带注释的扫描副本]

J、 里奥丹,第74页,共74页.

J、 里奥丹,信件,1978年7月6日.

公式

E、 g.f.:-log(1-x)/(1-x)^2。a(n)=(n+1)!*H[n]-n*n!,H[n]=和{k=1..n}(1/k)。

a(n)=A112486号(n,1)。

a(n)=a(n-1)*(n+1)+n!=A000254号(n+1)-A000142号(n+1)=A067176号(n+1,1)。[亨利·巴特利,2002年1月9日]

a(n)=和{k=0..n-1}((-1)^(n-1+k)*(k+1)*2^k*Stirling1(n,k+1))。-Borislav Crstici(bcrstici(AT)etv.utt.ro),2004年1月26日

交替符号:Ramanujan多项式psi_2(n,x)的计算值为0。-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月16日

a(n)=和{k=1..n}(k*StirlingCycle[n+1,k+1])。-大卫·凯伦2006年9月25日

对于n>=1,a(n)=和{j=0..n-1}((-1)^(n-j-1)*2^j*(j+1)*Stirling1(n,j+1))。-米兰-扬吉奇2008年12月14日

a(n)=(2*n+1)*a(n-1)-n^2*a(n-2)。-加里·德特勒夫斯2009年11月27日

a(n)=(n+1)!*(h(n+1)-1),其中h(n)是第n次谐波数。-加里·德特勒夫斯2009年12月18日

a(n)=n!*和{k=1..n}(-1)^(k+1)*二项式(n+1,k+1)/k-弗拉基米尔·克鲁基宁2016年10月10日

例子

(1-x)^-2*(-log(1-x))=x+5/2*x^2+13/3*x^3+77/12*x^4+。。。

示例:a(6)=6!*(1/6+2/5+3/4+4/3+5/2+6/1)=8028;a(20)=20!*(1/20+2/19+3/18+4/17+5/16+。。。+16/5+17/4+18/3+19/2+20/1)=1351538686084608000000。-亚历山大·阿达姆丘克2004年10月9日

奥利维尔·杰拉德2012年12月31日:(开始)

凡凡有4个元素元素的一切排列排列的一切排列的循环分解的循环分解凡有4个元素元素的一切排列的循环分解的循环分解给出以下清单的清单:即{{{1},{2},{3}{{1},{1},{1},{1},{2,3},{2,3},{4{1},{2,4,3 3{2,4,3 3}{1{1{1{1{1{2,3,3{{1{{{3}{{3}{{{1,2}{3}{3}{4}{{1,2}{3,4}{{1,3,3,2}{4}{{1,4,3,3,2}{{1,3,4,2{1,4,2 2}{1,4,2 2 2 2}{3 1{3{3 2,3 3},{4{3{3 2,4,3},{1,3},{2},{4},{1,4,3},{2},{1,3},{2,4},{1,4,2,3}},{1,2,3,4},{1,2,4},{3},{1,3,4},{2},{1,4},{2},{1,4},{2},{3},{1,3,2,4},{1,4},{2,3}}}。

除固定点外,除定点外,还提供以下26项项目:{{{3,4},{2,3},{2,4,3},{2,3,4},{2,4},{1,2},{1,2},{1,2},{3,4},{1,3,2},{1,4,3,2},{1,3,3,2},{1,3,4,2},{1,3,4,2},{1,4,4,2},{1,4,2},{1,2,3{1,2,3{1,2,3},{3},{1,4,3},{1,3},{2,4},{1,4,2,3},{1,2,3,4},{1,2,4},{1,3,4},{1,4},{1,3,2,4},{1,4},{2,3}。(结束)

枫木

a:=n->添加((n+1)!/k、 k=2..n+1):顺序(a(n),n=0..21)#泽伦瓦拉乔斯,2008年1月22日;编辑约翰内斯W.梅杰2012年11月28日

a:=n->((n+1)!*(h(n+1)-1)):h:=n->谐波(n):顺序(a(n),n=0..21)#加里·德特勒夫斯,2009年12月18日;更正人约翰内斯W.梅杰2012年11月28日

数学

桌子[n!*Sum[Sum[1/k,{k,1,m}],{m,1,n}],{n,0,20}](*亚历山大·阿达姆丘克,2006年4月14日*)

黄体脂酮素

(马克西玛)

a(n):=n!*和((-1)^(k+1)*二项式(n+1,k+1))/k,k,1,n)/*弗拉基米尔·克鲁基宁2016年10月10日*/

(PARI)对于(n=0,25,print1(n!*总和(k=0,n-1,(k+1)/(n-k)),“,”)\\G、 C.格雷贝尔2017年1月20日

交叉引用

囊性纤维变性。A000254号(排列中的循环总数,包括不动点)。

囊性纤维变性。A002104号(排列中的不同循环数,无固定点)。

囊性纤维变性。A006231(排列中不同循环的数目,包括不动点)。

囊性纤维变性。A001008号,A002805型,A006675号,A143947号.

与n有关!*谐波数的第k次连续和:

(k=0)A000254号,(k=1)A07015号,(k=2)A001711号(三)A001716号,

(k=4)A001721号,(k=5)A051524系列(六)A051545型,(k=7)A051560型,

(k=8)A051562型,(k=9)A051564号.

上下文顺序:甲263134 A082029号 A081047型*邮编:A185108 A302442型 A209672号

相邻序列:A001702型 A001703号 A070014号*A07016号 A001707型 A001708号

关键字

,容易的,改变

作者

N、 斯隆

扩展

更多条款来自萨沙库尔兹2002年3月22日

2个交叉引用由添加奥利维尔·杰拉德2012年12月31日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年7月11日13:38。包含335626个序列。(运行在oeis4上。)