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三
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9
10...14
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*w（k）*w（n-k）其中w（）=A000296号().
+20
14
1, 0, 2, 2, 14, 42, 222, 1066, 6078, 36490, 238046, 1653610, 12214270, 95361866, 784071966, 6764984362, 61066919230, 575200190986, 5640081557598, 57450510336234, 606773139773054, 6633515763375306, 74950634205257630, 873995513192234410, 10504736507220958142, 129983468625156713354
参考文献
D.E.Knuth，《计算机编程的艺术》，第4A卷，组合算法，第7.2.1.5节（第771页，问题37）。
配方奶粉
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1+x+x*k-x/（1-2*x*（k+1）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月7日
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-x*k-2*x^2*（k+1）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月6日
a（n）~4*n^（n-2）*exp（n/LambertW（n/2）-n-2）/（sqrt（1+LambertW（n%2））*LambertW（n/2，n-2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2022年6月26日
数学
表[和[（-1）^（n-k）*二项式[n，k]*BellB[k，2]*2^（n-k），{k，0，n}]，{n，0，25}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2022年6月25日*）
黄体脂酮素
（平价）
N=66；x='x+O（'x^N）；
Q（k）=如果（k>N，1，1+x+x*k-x/（1-2*x*（k+1）/Q（k+1；
gf=1/Q（0）；Vec（丝氨酸（gf））
（PARI）我的（N=66，x='x+O（'x^N））；Vec（塞拉普拉斯（经验（2*（经验（x）-1-x）））\\Seiichi Manyama先生2020年11月20日
1, 1, 3, 10, 44, 231, 1427, 10151, 81923, 740732, 7425042, 81773715, 981864897, 12767876941, 178774288331, 2681781213130, 42909715480460, 729474427239587, 13130613291110603, 249482261007109579, 4989650444408388515, 104782705832468197252, 2305219956684224457858
配方奶粉
a（n）=（-1）^n*n*求和{k>=0}拉盖尔L（n，-n-1，k-1）/k/经验（1），n>=0。
例如：exp（exp（x）-1-x）/（1-x）。
数学
使用[{nmax=50}，系数列表[Series[Exp[Exp[x]-1-x]/（1-x），{x，0，nmax}]，x]*范围[0，nmax]！](*G.C.格鲁贝尔2018年5月23日*）
黄体脂酮素
（PARI）x='x+O（'x^30）；Vec（塞拉普拉斯（exp（x）-1-x）/（1-x））\\G.C.格鲁贝尔2018年5月23日
（岩浆）m:=25；R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），m）；b： =系数（R！（Exp（x）-1-x）/（1-x））；[阶乘（n-1）*b[n]：[1..m]]中的n//G.C.格鲁贝尔2018年5月23日
评论
等价地，复合数k使得和{i=1..k-1}（-1）^i*Bell（i）==1（mod k），其中Bell（i）=A000110号（i） ●●●●。
所有素数都具有同余性。这是Sun和Zagier（2011）定理1.1的特例，当m=1时。
a（5）>56000（如果存在）。
链接
格拉泽戈兹·塞拉芬，向后触碰同余，公牛。贝尔格。数学。Simon Stevin律师事务所，第28卷，第4期（2022），第603-614页；arXiv预印本，arXiv:2110.06129[math.NT]，2021。
数学
f[k_]：=f[k]=和[二项式[k-1，i]*f[k-i-1]，{i，1，k-1}]；f[0]＝1；选择[Range[2000]，CompositeQ[#]&Divisible[f[#]+（-1）^#，#]&]
贝尔数或指数数：划分一组n个标记元素的方法。
（原名M1484 N0585）
+10
1331
1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, 678570, 4213597, 27644437, 190899322, 1382958545, 10480142147, 82864869804, 682076806159, 5832742205057, 51724158235372, 474869816156751, 4506715738447323, 44152005855084346, 445958869294805289, 4638590332229999353, 49631246523618756274
评论
其差分表的前对角线是移位的序列，参见Bernstein和Sloane（1995）-N.J.A.斯隆2015年7月4日
还可以定义在一组n个元素上的等价关系的数量Federico Arboleda（Federico.Arboleda（AT）gmail.com），2005年3月9日
a（n）=由n+1个相邻区域组成的映射的非同构着色数。相邻区域不能具有相同的颜色-大卫·W·威尔逊2005年2月22日
如果一个整数是无平方的，并且有n个不同的素因子，那么a（n）就是将它写成除数乘积的方法-阿玛纳斯·穆尔西2001年4月23日
考虑树根高度最多为2。让每棵树“生长”到下一代n意味着我们为每个节点生成一棵新树，它要么是根，要么是高度1，这就给出了贝尔数-乔恩·佩里，2003年7月23日
从[1,1]开始，遵循[1，k]->[1，k+1]和[1，k]k倍的规则，例如，[1,3]被转换为[1,4]，[1,3+，[1.3]。则a（n）为所有分量之和：[1,1]=2；[1,2], [1,1] = 5; [1,3], [1,2], [1,2], [1,2], [1,1] = 15; 等-乔恩·佩里2004年3月5日
n行诗的不同押韵模式的数量：押韵模式是一系列字母（例如“abba”），因此最左边的字母总是“a”，任何字母都不能比左边最大的字母多出一个。因此，“aac”无效，因为“c”大于“a”。例如，a（3）=5，因为有5个押韵方案：aaa、aab、aba、abb、abc；另见Neven Juric的例子-比尔·布莱维特2004年3月23日
｛1，…，n+1｝到非连续整数子集的分区数，包括分区1|2||n+1。例如，a（3）=5：{1,2,3,4}有5个划分为非连续整数子集，即13|24、13|2|4、14|2|3、1|24|3、1 |2|3|4-奥古斯汀·穆纳吉2005年3月20日
产生术语的三角形（加法）方案，源自重现，摘自Oscar Arevalo（loarevalo（AT）sbcglobal.net），2005年5月11日：
1
1 2
2 3 5
5 7 10 15
15 20 27 37 52
其中P（n）=n的整数分区数，P（i）=n第i个分区的部分数，d（i）=n第i分区的不同部分数，Pp（i，j）！））*（1/（产品{j=1..d（i）}m（i，j）！））-托马斯·维德2005年5月18日
a（n+1）是一个n元集上既对称又可传递的二元关系数贾斯汀·维特（justinwitt（AT）gmail.com），2005年7月12日
如果使用Jon Perry（2004年3月5日）的规则，则a（n-1）=[用于形成a（n）的组件数量]/2.-Daniel Kuan（dkcm（AT）yahoo.com），2006年2月19日
a（n）是函数f从{1，…，n}到{1，..，n，n+1}的个数，这些函数满足域中所有x的以下两个条件：（1）f（x）>x；（2） f（x）=n+1或f（f（x。例如，a（3）=5，因为正好有五个函数满足这两个条件：f1＝{（1,4），（2,4），（3,4）}，f2＝{（1,4），（2,3），（3,4）}，f3＝{（1,3），（2,4），（3,4）}，f4＝{（1,2），（2,4），（3,4）}和f5＝{（1,3），（2,3），（3,4）}-丹尼斯·沃尔什2006年2月20日
长度为n的异步站点交换模式的数量，这些模式没有零throws（即不包含0），并且其轨道数量（在Allen Knutson给出的意义上）等于球的数量。例如，当n=4时，以下15个站点交换满足条件：4444、4413、4242、4134、4112、3441、2424、1344、2411、1313、1241、2222、3131、1124、1111。还有从恒等式和循环置换中选择n个置换的方法（1 2），（1 2 3）。。。，（1 2 3…n），以使其组成一致。对于n=3，我们得到了以下五个参数：id o id o id，id o（12）o（12。（要查看双射，请查看Ehrenborg和Readdy论文。）-安蒂·卡图恩2006年5月1日
a（n）是[n]上的排列数，其中3-2-1（分散）图案仅作为3-2-4-1图案的一部分出现。例如：a（3）=5统计[3]上除321以外的所有排列。参见“成分特征序列”参考a（n）=大小为n的排列表数量(A000142号)其第一行不包含0。例如：a（3）=5计算{{}、{}，{}}、}、、{{1}、-大卫·卡伦2006年10月7日
该序列也是（下三角）帕斯卡矩阵矩阵指数中的第一列，按exp（-1）缩放：PE=exp（P）/exp（1）=
1
1 1
2 2 1
5 6 3 1
15 20 12 4 1
52 75 50 20 5 1
203 312 225 100 30 6 1
877 1421 1092 525 175 42 7 1
1
1 1
2 1 1
5 2 1 1
15 5 2 1（X）P
52 15 5 2 1 1
203 52 15 5 2 1 1
877 203 52 15 5 2 1 1
（结束）
这些项也可以用有限步和精确的整数运算来计算。代替exp（P）/exp（1），可以计算A=exp（P-I），其中I是适当维数的恒等矩阵，因为（P-I。那么a（n）=a[n，1]，其中n是从1开始的行index-戈特弗里德·赫尔姆斯2007年4月10日
当n是素数时，a（n）==2（mod n），但反过来并不总是成立的。定义Bell伪素数为复合数n，使得a（n）==2（mod n）。W.F.Lunnon最近发现了Bell伪素数21361=41*521和C46=3*23*162186468930901345905353905290526854205539989357，并推测Bell伪素极其稀少。因此，在不久的将来，第二个贝尔伪素数不太可能被确定。我确认21361是第一个-大卫·W·威尔逊2007年8月4日和2007年9月24日
a（n）也是（n链的）幂等阶递减全变换的个数。
a（n）也是（n链的）幂零部分一阶递减变换的个数。
a（n+1）也是（n链的）部分一阶递减变换的数目。（结束）
Bell（n）是n模式序列的数量[Cooper&Kennedy]。n模式序列是一个整数序列（a_1，…，a_n），对于某些j<i，a_i=i或a_i=a_j。例如，Bell（3）=5，因为3模式序列是（1,1,1），（1,1,3），（1.2,1），（1.2，2）和（1,2,3）。
Bell（n）是长度为n的正整数（n_1，…，n_n）的序列数，其中n_1=1和n_（i+1）<=1+max{j=1..i}n_j表示i>=1（参见B.Blewett的评论）。有趣的是，如果我们将后一个条件加强到N_（i+1）<=1+N_i，我们会得到加泰罗尼亚数字A000108美元而不是贝尔号码。
（结束）
二项式系数b（i，j）的无穷低三角矩阵的指数中的项f（i，j）是f（i、j）=b（i、j）e a（i-j）-大卫·帕西诺2008年12月4日
当每个结果以“1”开头时，（[1,0,0,0，…]的二项式变换）的重复迭代将收敛于（1，2，5，15，52，…）；这样最终结果就是固定极限：（[1,1,2,5,15，…]的二项式变换）=（1,2,5,15,52，…）-加里·亚当森2009年1月14日
Bell数B（n）和在x=1时评估的1/Gamma（1+x）的n阶导数之间的关系：
a） 通过seq（subs（x=1，simplify（（d^n/dx^n）GAMMA（1+x）^（-1））），n=1..5）产生许多这样的导数；
b） 让它们以digamma（Psi（k））和polygamma（Psi（k，n））函数表示，并且不进行评估；
对于n=1..5，此类表达式的示例如下：
n=1:-Psi（1），
n=2:-（-Psi（1）^2+Psi（1,1）），
n=3:-磅/平方英寸（1）^3+3*磅/平方英尺（1）*磅/立方英寸（1,1）-磅/立方英尺（2,1），
n=4:（-Psi（1）^4+6*Psi（1，
n=5:-磅/平方英寸（1）^5+10*磅/平方毫米；
c） 对于一个给定的n，读取涉及digamma或polygamma函数的每个项的系数的绝对值之和。
这个总和等于B（n）。示例：B（1）=1，B（2）=1+1=2，B（3）=1+3+1=5，B（4）=1+6+3+4+1=15，B（5）=1+10+15+10+5+1=52；
d） 观察到贝尔数B（n）的这种分解显然没有明确涉及第二类斯特林数。
（结束）
渐近展开（0！+1！+2！+…+（n-1）！）/（n-1）！=a（0）+a（1）/n+a（2）/n^2+。。。和（0！+1！+2！+…+n！）/n！=1+a（0）/n+a（1）/n^2+a（2）/n^3+-迈克尔·索莫斯2009年6月28日
a（n）=E（X^n），即关于具有（速率）参数泊松分布的随机变量X原点的第n个矩，λ=1-杰弗里·克雷策2009年11月30日
Bell数是任何给定的有限泛代数中不同同态图像数的上限。每个代数同态都由其核决定，其核必须是同余关系。由于关于有限泛代数的可能同余关系的数目必须是其可能等价类（由贝尔数给出）的子集，因此它自然而然地遵循-最大门槛2010年6月1日
设B（x）=（1+x+2x^2+5x^3+…）。则B（x）满足于A（x）/A（x^2），其中A（xA173110型：（1+x+3x^2+6x^3+20x^4+60x^5+…）=B（x）*B（x^2）*B-加里·亚当森2010年7月8日
有故障位的二进制计数器从值0开始，并尝试在每一步增加1。每个应该切换的位可能会切换，也可能不会切换。a（n）是计数器在n个步骤后可以使值为0的方式数。例如，当n=3时，5条轨迹为0,0,0.0；0,1,0,0; 0,1,1,0; 0,0,1,0; 0,1,3,0. -大卫·斯卡布勒2011年1月24日
没有贝尔数可以被8整除，也没有贝尔数与模8的6同余；见Lunnon、Pleasants和Stephens中的定理6.4和表1.7-乔恩·佩里，2011年2月7日，澄清人埃里克·罗兰2014年3月26日
a（n+1）是（对称）半正定n×n 0-1矩阵的个数。这些对应于{1，…，n+1}上的等价关系，其中矩阵元素M[i，j]=1当且仅当i和j彼此等价但不等价于n+1-罗伯特·伊斯雷尔2011年3月16日
a（n）是n个顶点上有根树高度小于2的单调标记森林的数量。我们注意到，如果任何父顶点的标签大于任何子顶点的标签，则标记的根树是单调标记的。请参阅链接“使用斯特林和贝尔数字计算森林数量”-丹尼斯·沃尔什2011年11月11日
B（n）计算长度n+1韵律方案，不重复。例如，对于n=2，有5个长度为3的押韵方案（aaa、aab、aba、abb、abc），没有重复的2个押韵方案是aba、abc。这基本上是O.Munagi的结果，即Bell数将分区计数为非连续整数的子集（见2005年3月20日的评论）埃里克·巴赫，2012年1月13日
映射数f:[n]->[n]，其中f（x）<=x，f（f（x-乔格·阿恩特2013年1月4日
[n]的排列避免了等价类（i）1-23、3-21、12-3、32-1和（ii）1-32、3-12、21-3、23-1中8个虚线图案中的任何一个。（参见Claesson 2001参考。）-大卫·卡伦2013年10月3日
猜想：没有a（n）的形式是x^m，m>1和x>1-孙志伟2013年12月2日
求和{j=0..n}二项式（n，j）*a（j）=（1/e）*求和{k>=0}（k+1）^n/k！=（1/e）和{k=1..oo}k^（n+1）/k！=a（n+1），n>=0，使用Dobinski公式。查看评论加里·亚当森2008年12月4日，关于帕斯卡特征序列-沃尔夫迪特·朗2015年2月2日
事实上，它实际上并不是Pascal矩阵的本征序列；相反，帕斯卡矩阵对序列的作用是一种移位。它是从Pascal矩阵导出的矩阵的特征序列（具有特征值1的唯一特征序列），通过在顶部添加行[1,0,0,0…]。二项式和公式可以从分区的定义中导出：标记N个元素的S集合中的任何元素X，并且让X（k）是包含X的S的子集的数目，其中包含k个元素。由于每个子集都有一个唯一陪集，S的分区p（N）的个数由p（N）=Sum_{k=1..N}（X（k）p（N-k））给出；通常X（k）=N-1选择k-1-梅森·博格2015年3月20日
a（n）是嵌套n个matryoshkas（俄罗斯嵌套玩偶）的方法数量：我们可以将{1，2，…，n}标识为大小递增的玩偶，将集合分区的集合标识为一堆玩偶-卡洛·桑纳2015年10月17日
[n]的排列数，其中递增元素连续运行的初始元素按降序排列。a（4）=15:`1234，`2`134，`23`14，`234`1，`24`13，`3`124，`3` 2`14，` 3`24`1，` 34`12，`34`2`1，'4`123，`4`2`13，` 4`23`1，´4`3`12，` 4` 3`2`1`-阿洛伊斯·海因茨2016年4月27日
用交替符号表示，贝尔数是渐近展开式（Ramanujan）中的系数：（-1）^n*(A000166号（n） -n/经验（1））~1/n-2/n^2+5/n^3-15/n^4+52/n^5-203/n^6+O（1/n^7）-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年11月10日
虽然Hürlimann（2009）的结果并没有明确说明这一点，但这可能满足本福德定律-N.J.A.斯隆2017年2月9日
a（n）=求和（形状m的标准完美表的#，m是n的组成），其中该和在n>0的所有整数组成m上。用{1，2，…，n}的集合分区来识别大小为n的标准完美表，很容易看出这个公式是成立的。例如，如果我们按字典顺序对4个整数组合求和，我们会看到1+1+2+1+3+3+15=A000110号(4). -约翰·坎贝尔2017年7月17日
a（n）也是（n-1）-三角蜂窝bishop图中独立顶点集（和顶点覆盖）的个数-埃里克·韦斯特因2017年8月10日
均匀数条目表示具有可区分的母系和父系等位基因的n个二倍体个体中基因等位基因同一和非同一配置的数量-诺亚·罗森伯格2019年1月28日
具有n个元素（偏移量=1）的集合上的部分等价关系（PER）的数量，即对称传递（不一定是自反）关系的数量。其思想是在集合中添加一个虚拟元素D，然后在结果上建立等价关系；然后，对于部分等价关系，删除与D等价的任何内容-大卫·斯皮瓦克2019年2月6日
未标记字母时，长度为n+1且没有重复字母的单词数-托马斯·安东2019年3月14日
由贝克尔和里奥丹（1948）以苏格兰裔美国数学家和作家埃里克·坦普尔·贝尔（1883-1960）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2020年12月4日
还有最多有一个n+1单元素的{1,2，…，n+1}的分区数。例如，a（3）=5:{13|24，12|34，123|4，14|23，1234}-宇春记2020年12月21日
a（n）是n个元素集合上的sigma代数数。注意，每个sigma代数都是由集合的一个分区生成的。例如，由分区{{1}、{2}、}3,4}}生成的sigma代数是{{}、[1}、[2]、{1,2}，{3,4]、{1,3,4{、{2,3,4neneneep、{1,2,4}-宋嘉宁2021年4月1日
a（n）是n个标记节点上的无P_3图的数量-埃伦·凯西姆2021年6月4日
a（n）是函数X:（[n]选择2）->{+，-}的数目，因此对于任何有序的三元组abc，我们有X（ab）X（ac）X（bc）不在{+-+，++-，-++}中-罗伯特·劳夫2022年12月9日
参考文献
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配方奶粉
例如：exp（exp（x）-1）。
递归：a（n+1）=Sum_{k=0..n}a（k）*二项式（n，k）。
a（n）=总和{k=0..n}箍筋2（n，k）。
通用公式：（和{k>=0}1/（（1-k*x）*k！）/exp（1）=超地理学（[-1/x]，[（x-1）/x]超几何（[-mu]，[nu+1]，z）是拉盖尔函数，拉盖尔多项式的解析推广，对于mu不等于非负整数。这个生成函数在x=0附近有无穷多个极点-卡罗尔·彭森2002年3月25日
a（n）=经验（-1）*和{k>=0}k^n/k！[Dobinski]-贝诺伊特·克洛伊特2002年5月19日
a（n）对n是渐近的*（2 Pi r^2 exp（r））^（-1/2）exp（exp（r）-1）/r^n，其中r是r exp（l）=n的正根。参见Odlyzko引用。
a（n）渐近于b^n*exp（b-n-1/2）*sqrt（b/（b+n）），其中b满足b*log（b）=n-1/2（见Graham，Knuth和Patashnik，混凝土数学，第二版，第493页）-贝诺伊特·克洛伊特，2002年10月23日，更正人瓦茨拉夫·科特索维奇2013年1月6日
Lovasz（组合问题和练习，North-Holland，1993，第1.14节，问题9）给出了另一个渐近公式，由Mezo和Baricz引用-N.J.A.斯隆2015年3月26日
G.f.：求和{k>=0}x^k/（乘积{j=1..k}（1-j*x））（参见Klazar的证明）-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月18日
a（n+1）=经验（-1）*和{k>=0}（k+1）^（n）/k-杰拉尔德·麦卡维2004年6月3日
对于n>0，a（n）=Aitken（n-1，n-1）[即Aitken's数组的a（n-1、n-1）(A011971号)]. -杰拉尔德·麦卡维2004年6月26日
a（n）=和{k=1..n}（1/k！）*（和{i=1..k}（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*i^n+0^n）-保罗·巴里2005年4月18日
a（n）=（2*n！/（Pi*e））*Im（Integral_{x=0..Pi}e^（e^）（i^（ix）））sin（nx）dx），其中Im表示虚部[Cesaro]-大卫·卡伦2005年9月3日
O.g.f.：1/（1-x-x^2/（1-2*x-2*x^2/（1-3*x-3*x^2/（…/（1-n*x-n*x^2/（…）））））（由于Ph.Flajolet的原因，继续分数）-保罗·D·汉纳2006年1月17日
贝尔数B（n）的表示，n=1,2，。。。，作为（n-1）F（n-1）型超几何函数的特殊值，在Maple符号中：B（n）=exp（-1）*超几何（[2,2，…，2]，[1,1，…，1]，1），n=1,2，。。。，即，分子中n-1个参数全部等于2，分母中n-1参数全部等于1，参数值等于1。
示例：
B（1）=exp（-1）*超几何（[]，[]，1）=1
B（2）=exp（-1）*hypergeom（[2]，[1]，1）=2
B（3）=exp（-1）*高地层（[2,2]，[1,1]，1）=5
B（4）=exp（-1）*高地层（[2,2,2]，[1,1,1]，1）=15
B（5）=exp（-1）*超深层（[2,2,2,2]，[1,1,1]，1）=52
（警告：此公式是正确的，但计算机应用此公式可能无法产生准确的结果，尤其是使用大量参数时。）
（结束）
a（n+1）=1+求和{k=0..n-1}求和{i=0..k}二项式（k，i）*（2^（k-i））*a（i）-亚尔钦·阿克塔尔2007年2月27日
a（n）=[1,0,0，…，0]T^（n-1）[1,1,1，…，1]'，其中T是n×n矩阵，主对角线{1,2,3，…，n}，1位于对角线正上方，0位于其他位置。[梅耶]
a（n）=（（2*n！）/（Pi*e））*意象部分（积分[从0到Pi]（e^e^e~（i*theta））*sin（n*theta，数据eta）-乔纳森·沃斯邮报2007年8月27日
a（n）=T（n，1）=Sum_{j=0..n}S2（n，j）=Summ_{j=0..n}E（n，j）*Lag（n，-1，j-n）=Sum _{j=0..n}[E（n、j）/n！]*[n！*Lag；S2（n，j），第二类斯特林数；E（n，j），欧拉数；和Lag（n，x，m），相关的m阶Laguerre多项式。注意E（n，j）/n！=E（n，j）/（Sum_{k=0..n}E（n，k））。
欧拉数计算排列上升，表达式[n！*Lag（n，-1，j-n）]为A086885美元用座位安排的简单组合解释，对n*a（n）=和{j=0..n}E（n，j）*[n！*滞后（n，-1，j-n）]。
（结束）
定义f_1（x）、f_2（x）。。。f_1（x）=e^x，n=2,3，。。。f{n+1}（x）=（d/dx）（x*fn（x））。那么对于贝尔数B_n，我们得到B_n=1/e*f_n（1）-米兰Janjic2008年5月30日
a（n）=（n-1）！求和{k=1..n}a（n-k）/（n-k！（k-1）！）其中a（0）=1-托马斯·维德2008年9月9日
a（n+k）=和{m=0..n}斯特林2（n，m）和{r=0..k}二项式（k，r）m^ra（k-r）.-大卫·帕西诺（davepasino（AT）yahoo.com），2009年1月25日。（通常，这可以写成a（n+k）=Sum_{m=0..n}斯特林2（n，m）（a+m）^k-N.J.A.斯隆2009年2月7日）
Sum_{k=1..n-1}a（n）*二项式（n，k）=Sum_{j=1..n}（j+1）*Stirling2（n，j+1）.-[赵]-R.J.马塔尔2024年6月24日
a（n）=和{k_1=0..n+1}和{k_2=0..n}。。。Sum_｛k_i=0…n-i｝。。。和{k_n=0..1}
δ（k_1，k_2，…，k_i，…，kN）
其中，如果k_i>k_（i+1）且k_（i+1）<>0，则δ（k_1，k_2，…，k_i，…，kN）=0
否则，δ（k_1，k_2，…，k_i，…，kN）=1。
（结束）
设A是n阶上Hessenberg矩阵，定义为：A[i，i-1]=-1，A[i、j]：=二项式（j-1，i-1），（i<=j），否则A[i和j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=det（a）-米兰Janjic2010年7月8日
G.f.：1/（1-x/（1-1*x/（1-x/（1-2*x/…））））-迈克尔·索莫斯2012年5月12日
a（n+1）=总和{m=0..n}箍筋2（n，m）*（m+1），n>=0。与上述a（n）的第三个公式进行比较。这里Stirling2=A048993号. -沃尔夫迪特·朗2015年2月3日
G.f.：（-1）^（1/x）*（（-1/x）/e+（！（-1-1/x））/x）其中z！还有！z是阶乘和子阶乘，推广到复杂参数-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫，2013年4月24日
例如：exp（exp（x）-1）=1+x/（g（0）-x）；G（k）=（k+1）*贝尔（k）+x*贝尔（k+1。
通用公式：W（x）=（1-1/（G（0）+1））/exp（1）；G（k）=x*k^2+（3*x-1）*k-2+x-（k+1）*（x*k+x-1）^2/G（k+1；（连分数欧拉类，1步）。
G.f.：W（x）=（1+G（0）/（x^2-3*x+2））/exp（1）；G（k）=1-（x*k+x-1）/（（k+1）！）-（（（k+1）！）^2） *（1-x-k*x+（k+1）！）/（（（k+1）！）*（1-x-k*x+（k+1）！）-（x*k+2*x-1）*（1-2*x-k*x+（k+2）！）/G（k+1））；（续分数）。
G.f.:A（x）=1/（1-x/（1-x/（1+x/G（0）））；G（k）=x-1+x*k+x*（x1+x*k）/G（k+1）；（连分数，1步）。
G.f.：-1/U（0），其中U（k）=x*k-1+x-x ^2*（k+1）/U（k+1）；（连分数，1步）。
G.f.：1+x/U（0），其中U（k）=1-x*（k+2）-x^2*（k+1）/U（k+1；（连分数，1步）。
通用系数：1+1/（U（0）-x），其中U（k）=1+x-x*（k+1）/（1-x/U（k+1；（连续分数，2步）。
G.f.：1+x/（U（0）-x），其中U（k）=1-x*（k+1）/（1-x/U（k+1；（连续分数，2步）。
G.f.：1/G（0），其中G（k）=1-x/（1-x*（2*k+1）/（1-x/（1-x*（2*k+2）/G（k+1）））；（续分数）。
G.f.:G（0）/（1+x），其中G（k）=1-2*x*（k+1）/；（续分数）。
通用公式：-（1+2*x）*Sum_{k>=0}x^（2*k）*（4*x*k^2-2*k-2*x-1）/（（2*k+1）*（2*x*k-1））*A（k）/B（k）其中A（k。
G.f.：（G（0）-1）/（x-1），其中G（k）=1-1/（1-k*x）/（1-x/（x-1/G（k+1））；（续分数）。
G.f.：1+x*（S-1），其中S=Sum_{k>=0}（1+（1-x）/（1-x-x*k））*（x/（1-x。
G.f.：（G（0）-2）/（2*x-1），其中G（k）=2-1/（1-k*x）/（1-x/（x-1/G（k+1）））；（续分数）。
G.f.:-G（0），其中G（k）=1-（x*k-2）/（x*k-1-x*（x*k-1）/（x+（x*km-2）/G（k+1））；（续分数）。
G.f.:G（0），其中G（k）=2-（2*x*k-1）/（x*k-1-x*（x*k-1）/；（续分数）。
G.f.：（G（0）-1）/（1+x），其中G（k）=1+1/（1-k*x）/（1-x/（x+1/G（k+1）））；（续分数）。
G.f.：1/（x*（1-x）*G（0））-1/x，其中G（k）=1-x/（x-1/（1+1/（x*k-1）/G（k+1））；（续分数）。
G.f.：1+x/（Q（0）-x），其中Q（k）=1+x/（x*k-1）/Q（k+1）；（续分数）。
G.f.：1+x/Q（0），其中Q（k）=1-x-x/（1-x*（k+1）/Q（k+1；（续分数）。
G.f.：1/（1-x*Q（0）），其中Q（k）=1+x/（1-x+x*（k+1）/（x-1/Q（k+1；（续分数）。
G.f.：Q（0）/（1-x），其中Q（k）=1-x^2*（k+1）/；（续分数）。
（结束）
a（n）~exp（exp（W（n））-n-1）*n^n/W（n）^（n+1/2），其中W（x）是朗伯W函数-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年11月1日
a（n）~n^n*exp（n/LambertW（n）-1-n）/（sqrt（1+LambertW（n-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年11月13日
a（n）是-exp（-1）*（-1）^x*x*Gamma（-x，0，-1）的渐近展开式中的系数，其中Garma（a，z0，z1）是广义不完全Gamma函数-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年11月12日
a（n）=1+楼层（exp（-1）*Sum_｛k=1..2*n｝k^n/k！）-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年11月13日
当p是素数且m>=1时，a（p^m）==m+1（mod p）（参见Hurst/Schultz参考文献中的引理3.1）-Seiichi Manyama先生2016年6月1日
a（n）=和{k=0..n}超几何（[1，-k]，[]，1）*Stirling2（n+1，k+1）=和A182386号（k） *箍筋2（n+1，k+1）-梅利卡·特布尼2022年7月2日
例子
G.f.=1+x+2*x^2+5*x^3+15*x^4+52*x^5+203*x^6+877*x^7+4140*x^8+。。。
来自Neven Juric，2009年10月19日：（开始）
n=4的a（4）=15韵律方案为
aaaa，aaab，aaba，aabb，aabc，abaa，abab，abac，abba，abbc
n=5的a（5）=52韵律方案为
aaaaa、aaaab、aaaba、aaabb、aaabc、aabaa、aabab、aabac、aabba、aabbb、aabbc、aabca、aabcb、aabcc、aaabcd、abaaa、ababab、abaac、ababba、ababb、ababbc、abaca、abac、ababacb、abacb、abcca、abccb、abccc、abccd、abcda、abcdb、abcdc、，abcdd，abcde
（结束）
限制增长字符串（RGS）：
对于n=0，有一个空字符串；
对于n=1，有一个字符串[0]；
对于n=2，有2个字符串[00]、[01]；
对于n=3，有（3）=5个字符串[000]、[001]、[010]、[011]和[012]；
对于n=4，有a（4）=15个字符串
1: [0000], 2: [0001], 3: [0010], 4: [0011], 5: [0012], 6: [0100], 7: [0101], 8: [0102], 9: [0110], 10: [0111], 11: [0112], 12: [0120], 13: [0121], 14: [0122], 15: [0123].
这些是与押韵方案的一对一（识别a=0、b=1、c=2等）。
（结束）
考虑集合S={1,2,3,4}。a（4）=1+3+6+4+1=15分区是：P1={{1}，{2}，}3}，[4]}；第21页。。P23={a，4}，S\{a，4]}，a=1，2，3；第24页。。P29={{a}，{b}，S\{a，b}}，其中1<=a<b<=4；第31页。。P34=｛S \｛a｝，｛a｝｝，其中a=1。。4; P4={S}。有关图形说明，请参阅Bottomley链接-M.F.哈斯勒2017年10月26日
MAPLE公司
A000110号：=proc（n）选项记忆；如果n<=1，则另加1（二项式（n-1，i）*A000110号（n-1-i），i=0..n-1）；fi；end:#版本1
A:=系列（exp（x）-1），x，60）：A000110号：=n->n*系数（A，x，n）：#版本2
规范：=[S，{S=集（U，卡>=1），U=集（Z，卡>=1）}，标记]：G:={P=集（集（原子，卡>0））}:combstruct[gfsolve]（G，未标记，x）：seq（combstrut[count]（[P，G，标记]，大小=i），i=0..22）；#版本5，零入侵拉霍斯2007年12月16日
钟表：=proc（m）局部A，P，n；答：=[1，1]；P:=[1]；对于从1到m的n-2 do
P:=列表工具：-部分和（[A[-1]，op（P）]）；A:=[op（A），P[-1]]od；A端：BellList（29）#彼得·卢什尼2022年3月24日
数学
f[n_]：=总和[StirlingS2[n，k]，{k，0，n}]；表[f[n]，｛n，0，40｝](*罗伯特·威尔逊v*)
表[BellB[n]，{n，0，40}](*哈维·P·戴尔2011年3月1日*）
B[0]=1；B[n_]：=1/E和[k^（n-1）/（k-1）！，{k，1，无穷}](*迪米特里·帕帕佐普洛斯，2015年3月10日，编辑M.F.哈斯勒2018年11月30日*）
b[1]=1；k=1；扁平[{1，表[Do[j=k；k+=b[m]；b[m]=j；，{m，1，n-1}]；b[n]=k，{n，1，40}]}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2019年9月7日*）
表[j！系数[Series[Exp[Exp[x]-1]，{x，0，20}]，x，j]，{j，0，20}](*尼古拉·潘泰利迪斯2023年2月1日*）
黄体脂酮素
（PARI）｛a（n）=my（m）；if（n＜0，0，m＝contfracpnqn（矩阵（2，n\2，i，k，if（i＝＝1，-k*x^2，1-（k+1）*x）））；polcoeff（1/（1-x+m[2，1]/m[1，1]）+x*O（x^n），n））｝/*迈克尔·索莫斯*/
（PARI）{a（n）=polcoeff（和（k=0，n，prod（i=1，k，x/（1-i*x）），x^n*O（x））（n）}/*迈克尔·索莫斯，2004年8月22日*/
（PARI）a（n）=圆形（exp（-1）*suminf（k=0，1.0*k^n/k！）\\戈特弗里德·赫尔姆斯，2007年3月30日-警告！仅供说明：当n=42时，无提示地给出错误结果，当n>42时，无提示地给出错误结果，标准精度为38位-M.F.哈斯勒2018年11月30日
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n！*polcoeff（exp（x+x*O（x ^n））-1），n））}/*迈克尔·索莫斯2009年6月28日*/
（PARI）Vec（塞拉普拉斯（exp（'x+O（'x^66））-1））\\乔格·阿恩特2012年5月26日
（Sage）来自Sage.combinat.expnums import expnums2；扩展2（30，1）#零入侵拉霍斯2008年6月26日
（鼠尾草）[（0..40）中n的bell_number（n）]#G.C.格鲁贝尔2019年6月13日
（Python）#此实现的目标是提高效率。
#对于m>0，m->[a（0），a（1），…，a（m）]。
A=[0，i在范围（m）内]
A[0]=1
R=[1，1]
对于范围（1，m）内的n：
A[n]=A[0]
对于范围（n，0，-1）中的k：
A[k-1]+=A[k]
R.append（A[0]）（右附加）
返回R
（Python）
#需要python 3.2或更高版本。否则，请在python文档中使用累积的定义。
从itertools导入累加
对于范围（20）内的_：
blist=列表（累加（[b]+blist））
b=blist[-1]
（Python）
来自sympy import bell
打印（[范围（27）中n的贝尔（n）]）#迈克尔·布拉尼基2021年12月15日
（Python）
从functools导入缓存
@高速缓存
定义a（n，k=0）：返回int（n<1）或k*a（n-1，k）+a（n-l，k+1）
打印（[a（n）代表范围（27）中的n]）#彼得·卢什尼2022年6月14日
（Magma）[Bell（n）：n在[0..40]]中//文森佐·利班迪2011年2月7日
（Maxima）标记列表（beln（n），n，0，40）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年7月4日*/
（哈斯克尔）
类型N=整数
n_partitioned_k:：n->n->n
1`n_partitioned_k`1=1
1`n_partitioned_k`_=0
n`n_partitioned_k`k=k*（pred n`n_partitioned_k` k）+（pred n `n_pPartitioned_k ` pred k）
n_分区：：n->n
n分区0=1
n_partitioned n=总和$map（\k->n`n_partioned_k`k）$[1..n]
（哈斯克尔）
（朱莉娅）
函数a（n）
t=[1中_的零（BigInt，n+1）：n+1]
t[1][1]=1
对于2中的i：n+1
t[i][1]=t[i-1][i-1]
对于2:i中的j
t[i][j]=t[i-1][j-1]+t[i][j-1]
结束
结束
对于1:n+1中的i，返回[t[i][1]
结束
（Perl）
使用bignum；子a{my（$n）=@_；我的@t=映射{[（0）x（$n+1）]}0..$n$t[0][0]=1；对于我的$i（1..$n）{$t[$i][0]=$t[$1-1][$i-1]；对于我的$j（1..$1）{$t[$i][$j]=$t[$1][$j-1]+$t[$i][$j-1]}}}返回映射{$t[$_][0]}0..$n-1}打印连接（“，”，a（28）），“\n”#保罗·穆尔贾迪2024年5月8日
交叉参考
囊性纤维变性。A000045号,A000108美元,A000166号,A000204号,A000255号,A000311号,A000296号,A003422号,A024716号,A029761号,A049020号,A058692号,A060719号,A084423号,A087650号,A094262号,A103293号,A165194号,A165196号,A173110型,A227840型,A182386号.
超阶乘：前n个阶乘的乘积。
（原名M2049 N0811）
+10
279
1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, 5056584744960000, 1834933472251084800000, 6658606584104736522240000000, 265790267296391946810949632000000000, 127313963299399416749559771247411200000000000, 792786697595796795607377086400871488552960000000000000
评论
a（n）也是数字1,2，…，的Vandermonde行列式，。。。，（n+1），即A[i，j]=i^j，1<=i<=n+1，0<=j<=n.-艾哈迈德·法尔斯（ahmedfares（AT）my-deja.com），2001年5月6日
a（n）=（1/n！）*D（n），其中D（n-阿玛纳斯·穆尔西2002年1月2日
S_n的行列式，其中S_n是n×n矩阵S_n（i，j）=Sum_{d|i}d^j-贝诺伊特·克洛伊特2002年5月19日
似乎是det（M_n），其中M_n是n X n矩阵，M（i，j）=j_j（i），其中j_k（n）表示第k行第n列的Jordan函数（参见。A059380号（m） ）-贝诺伊特·克洛伊特2002年5月19日
a（2n+1）=1,1234560125411328000。。。是汉克尔变换A000182号（正切数）=1，2，16，272，7936。。。；例如：det（[1,2,16,272；2,16,242,7936；16,272,7936，353792；272,7936,353792，22368256]）=125411328000-菲利普·德尔汉姆2004年3月7日
对于任意Q，第i行由Lucas序列U（i，Q）的项1到n+1组成的（n+1）X（n+1”）矩阵的行列式。当Q=0时，得到Vandermonde矩阵-T.D.诺伊2004年8月21日
元素为A（i，j）=B（i+j）的（n+1）X（n+1”）矩阵A的行列式，其中B（k）是第k个Bell数，A000110号（k） [I.Mezo，JIS 14（2011）#11.1]-T.D.诺伊2004年12月4日
《整数序列杂志》第10卷（2007年）第07.3.6条多项式点第2页的定理1.3为每个正整数n提供了一个阶（n-1）超因子的阿贝尔商群示例。商是从多项式值序列中获得的E.F.Cornelius，Jr.（efcornelius（AT）comcast.net），2007年4月9日
从偏移量1开始，这是一个alpha=1的“Matryoshka doll”序列，它是加法的乘法对应项A000292号.seq（mul（mul（i，i=α.k），k=α.k）。。n） ，n=α。。12). -彼得·卢什尼2009年7月14日
对于n>0，a（n）也是S_n的行列式，其中S_n是n X n矩阵，从1开始索引，S_n（i，j）=σ_i（j），其中σ_k（n）是广义除数σ函数：A000203号是σ1（n）-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2010年6月21日
a（n）是（n+1）-顶点路径的乘法维纳指数。例如：a（4）=288，因为在5个顶点上的路径中，有3个距离等于2，2个距离等于3，1个距离等于4（2*2*3*4=288）。见古特曼等人参考文献第115页-Emeric Deutsch公司2011年9月21日
a（n-1）=产品{j=1..n-1}j！=V（n）=Product_{1<=i<j<=n}（j-i）（Vandermondian V（n），见上文Ahmed Fares 2001年5月6日的评论），n>=1，实际上是任何n×n矩阵M（n）的行列式，其中，p（M，X），M>=0是精确次数为M的一元多项式，p（0，X）=1。这是Vein-Dale第59页给出的一般定理中的一个特殊x[i]=i选择（写于Vein-Dae中的转置矩阵M（n；j，x_i）=p（i-1，x_j）=p_i（x_j，其中a{k，k}=1，对于k=1..n）。请参阅2013年8月26日的评论A049310美元，其中p（n，x）=S（n，x）（切比雪夫S）-沃尔夫迪特·朗，2013年8月27日
a（n）是用对称乘法表标记为1..n的n个元素上单调岩浆的数量。即，乘积（I，j）>=最大值（I，j）；乘积（i，j）=乘积（j，i）-乍得酿酒师2013年11月3日
a（n）是M（i，j）=（n+j-1）的（n+1）X（n+1”）矩阵M的行列式/（n+j-i）！，1<=i<=n+1，1<=j<=n+1-斯托扬·阿波斯托洛夫，2014年8月26日
经验：a（n-1）是n阶行列式，其中第（i，j）-项是x^（x+i-1）在x=1时的（j-1）-次导数-约翰·坎贝尔2016年12月13日
经验：如果f（x）是0的开邻域上的光滑实值函数，使得f（0）=1，那么a（n）是n+1阶的行列式，其中（i，j）-项是在x=0时计算的f（x，（1-x）^（i-1））的（j-1）-次导数-约翰·坎贝尔2016年12月27日
除了n=0，1之外，超因子a（n）决不是正方形（Mabry和Cormick链接中的证明，FFF 4第349页）；然而，当k属于A349079型（有关更多信息，请参见），存在m，1<=m<=k，因此a（k）/m！是一个正方形-伯纳德·肖特2021年11月29日
参考文献
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链接
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配方奶粉
a（0）=1，a（n）=1^n*2^（n-1）*3^（n-2）*…*n=产品{r=1..n}r^（n-r+1）-阿玛纳斯·穆尔西，2003年12月12日[公式由德里克·奥尔2014年7月27日]
a（n）=产品{i=1..n}产品{j=0..i-1}（i-j）-保罗·巴里2008年8月2日
log a（n）=0.5*n ^2*log n-0.75*n ^ 2+O（n*log n）-查尔斯·格里特豪斯四世2012年1月13日
渐近：a（n）~exp（zeta'（-1）-3/4-（3/4）*n^2-（3/2）*n）*（2*Pi）^（1/2）*n。例如，a（100）约为0.270317…*10^6941。（请参见A213080型.) -彼得·卢什尼2012年6月23日
G.f.：1+x/（U（0）-x），其中U（k）=1+x*（k+1）！-x*（k+2）/U（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年10月2日
G.f.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-1/（1+1/（k+1）*x*G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月14日
通用公式：1=Sum_{n>=0}a（n）*x^n/产品{k=1..n+1}（1+k！*x）-保罗·D·汉纳2013年10月2日
a（n）=G（n+2），其中G（n）是Barnes G-函数。
a（n）~exp（1/12-n*（3*n+4）/4）*n^（n*（n+2）/2+5/12）*（2*Pi）^（（n+1）/2）/a，其中a是格拉舍-金克林常数(A074962号).
对于Z中的所有n（如果a（-1）=1），0=a（n）*a（n+2）^3+a（n+1）^2*a（n/2）^2-a（n/1）^3*a（n+3）-迈克尔·索莫斯2020年3月11日
a（n）=Wronskian（1，x，x^2，…，x^n）-亚辛2023年8月1日
a（n）=e^（和{k=1..n}（积分{x=1..k+1}Psi（x）dx））。
a（n）=e^（积分_｛x＝1..n+1｝（log（sqrt（2*Pi））-（x-1/2）+x*Psi（x））dx）。
a（n）=e^（积分{x=1..n+1}（log（sqrt（2*Pi））-（x-1/2）+（n+1）*Psi（x）-log（Gamma（x）））dx）。
Psi（x）是地高玛函数。（结束）
例子
a（3）=（1/6）*|1 1 1|2 4 8|3 9 27|
a（7）=n！*a（n-1）=7！*24883200 = 125411328000.
a（12）=1！*2! * 3! * 4! * 5! * 6! * 7! * 8! * 9! * 10! * 11! * 12!
= 1^12 * 2^11 * 3^10 * 4^9 * 5^8 * 6^7 * 7^6 * 8^5 * 9^4 * 10^3 * 11^2 * 12^1
= 2^56 * 3^26 * 5^11 * 7^6 * 11^2.
总长度=1+x+2*x^2+12*x^3+288*x^4+34560*x^5+24883200*x^6+。。。
数学
a[0]：=1；a[1]：=1；a[n]：=n*a[n-1]；表[a[n]，{n，1，12}](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年3月10日*）
表[BarnesG[n]，{n，2，14}](*零入侵拉霍斯，2009年7月16日*）
折叠列表[次数，1，范围[20]！](*哈维·P·戴尔2011年3月25日*）
递归表[{a[n]==n！a[n-1]，a[0]==1}，a，{n，0，12}](*雷·钱德勒2015年7月30日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=polcoeff（1-和（k=0，n-1，a（k）*x^k/prod（j=1，k+1，（1+j！*x+x*O（x^n））），n）\\保罗·D·汉纳2013年10月2日
（PARI）用于（j=1，13，print1（prod（k=1，j，k^（j-k）），“，”）\\雨果·普福尔特纳，2020年4月9日
（红宝石）
定义单选项（a、b、n）
n-[a，b].最大值
结束
定义命令单选项（n）
累计=1
0。到（n-1）do|i|
i.截至（n-1）do|j|
accum=累计*单选项（i，j，n）
结束
结束
累计
结束
1.最多（12）个任务|
放置comm_mono_choices（k）
（岩浆）[&*[阶乘（k）：k in[0..n]]：n in[0..20]]//布鲁诺·贝塞利2015年3月11日
（Python）
对于范围（1100）内的i：
m*=i
n*=米
（Python）
从数学导入prod
定义A000178号（n） ：返回范围（2，n+1）中i的prod（i**（n-i+1））#柴华武2023年11月26日
交叉参考
囊性纤维变性。A002109号,A036561号,A000292号,A098694号,1986年,A113271号,A087316型,A113208号,A113231号,A113257号,A113258号,A113320号,A113336号,A113498型,A113173型,A113170型,A113475号,A113492号,A113497号,A113533号,A113534号,A113535型,A113153号,A113154号,A113122年,A114045型,A055462号,A137986号,A137987号.
Riordan数：a（n）=（n-1）*（2*a（n-1。
（原名M2587）
+10
185
1, 0, 1, 1, 3, 6, 15, 36, 91, 232, 603, 1585, 4213, 11298, 30537, 83097, 227475, 625992, 1730787, 4805595, 13393689, 37458330, 105089229, 295673994, 834086421, 2358641376, 6684761125, 18985057351, 54022715451, 154000562758, 439742222071, 1257643249140
评论
也称为Motzkin求和或环数。
旧名称是“Motzkin sums”，在某些出版物中使用。序列具有Motzkin（n）的属性=A001006号（n） =a（n）+a（n+1），例如。，A001006号（4） =9=3+6=a（4）+a（5）。
“加泰罗尼亚分区”的数量，即一组1、2、3、……的分区，。。。，n分为非单子的部分，当点排列在一个圆上时，这些部分的凸包是不相交的（因此，当这些部分都是成对的时，我们会得到加泰罗尼亚数字）阿尔特·布卢奎斯（aartb（AT）win.tue.nl），2000年7月4日
具有n条边且没有超出度1的顶点的有序树的数量。对于n>1，通过总边数为n+1的不相交对角线对凸多边形进行剖分的次数-Emeric Deutsch公司2002年3月6日
奇数级无峰值的半长n的Dyck路径数。例如：a（4）=3，因为我们有UUUDDD、UUDDUUDD和UUDUDUDD，其中U=（1,1），D=（1，-1）。半长度为n且没有长度为1的上升的Dyck路径数（Dyck路中的上升是最大的上行步长串）。例如：a（4）=3，因为我们有UUUDDD、UUDDUUDD和UUDUUDDD-Emeric Deutsch公司2003年12月5日
舒伯特微积分产生如下。设P=维数n+1的复射影空间。在一般位置取P中余维为3的n个射影子空间。那么a（n）是P与所有这些子空间相交的行数F.Hirzebruch，2004年2月9日
中心三项式系数与其前身的差异。示例：a（6）=15=141-126和（1+x+x^2）^6=…+126*x^5+141*x^6+。。。（加泰罗尼亚语数字A000108美元（n） 是中心二项式系数与其前身之间的差值。）-大卫·卡伦2004年2月7日
a（n）=[n]上321个无效置换的数目，其中每个从左到右的最大值是下降的（即后面跟着一个较小的数）。例如，a（4）表示4123、3142、2143-大卫·卡伦，2005年7月20日
该序列的Hankel变换给出A000012号= [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...]; 示例：Det（[1,0,1,1；0,1,1,3；1,1,3,6；1,3,6,15]）=1-菲利普·德尔汉姆2005年5月28日
射影线上n个标记点的2次射影不变量的数目本杰明·霍华德（bhoward（AT）ima.umn.edu），2006年11月24日
定义一个随机变量X=trA^2，其中a是使用Haar测度从USp（2）中选择的2X2酉辛矩阵。X的第n个中心力矩为E[（X+1）^n]=a（n）-安德鲁·萨瑟兰2007年12月2日
设V是复李代数sl（2）的伴随表示。V的第n张量幂的不变子空间的维数是a（n）萨姆森·布莱克（sblack1（AT）uoregon.edu），2008年8月27日
从偏移量3开始=M*[1,1,1，…]的迭代次数，其中M=主对角线为[0,1,1,1…]，上对角线和次对角线均为[1,1,1,]的三对角线矩阵-加里·亚当森2009年1月8日
a（n）具有以下标准——Young-tableaux（SYT）解释：二项式（n+1，k）*二项式（n-k-1，k-1）/（n+1）=f^（k，k，1^{n-2k}），其中f^lambda等于形状lambda的SYT数阿米泰·雷格夫（amotai.Regev（AT）weizmann.ac.il），2010年3月2日
a（n）也是所有1<=k<=floor（n/2）的标准Young表形状（k，k，1^{n-2k}）的数量之和阿米泰·雷格夫（amotai.Regev（AT）weizmann.ac.il），2010年3月10日
a（n）是具有亏格0的{1,2，…，n}的错位数。{1,2，…，n}的置换p的亏格g（p）由g（p）=（1/2）[n+1-z（p）-z（cp'）]定义，其中p'是p的逆置换，c=234…n1=（1,2，..，n），z（q）是置换q的圈数。示例：a（3）=1，因为p=231=（123）是{1,2,3}与亏格0的唯一错位。实际上，cp'=231*312=123=（1）（2）（3），因此g（p）=（1/2）（3+1-1-3）=0-Emeric Deutsch公司2010年5月29日
显然：所有上升长度为2，没有下降长度为2的Dyck 2n路径数-大卫·斯卡布勒2012年4月17日
这是真的。证明：映射“在每次上升（U）后插入峰值（UD）”是从所有Dyck n路径到那些Dyck（2n）路径的双射，其中每个上升长度为2。它将n路径中长度为1的下降发送到（2n）路径中长度2的下降。但没有长度下降1的Dyck n路径与Riordan n路径（地面上没有平坦台阶的Motzkin n路径）相等，如下所示。给定一个没有长度1下降的Dyck n路径，将其拆分为连续的步长对，然后将UU替换为U，将DD替换为D，将UD替换为蓝色平坦步长（F），将DU替换为红色平坦步长，并连接新的步长以获得彩色Motzkin路径。每个红色F将（立即）以蓝色F或D开头。在后一种情况下，转移红色F，使其位于D的匹配U之前。最后，擦除颜色以获得所需的Riordan路径。例如，用小写字母f表示红色的扁平台阶，U^5 D^2 U D^4 U^4 D^3 U D^2->（U^2，U^2、UD、DU、D^2、D^ 2、U^2和U^2 D^2，DU，D^2）->UUFfDDUUDfD->UUFFDDUFUDD-大卫·卡伦2012年4月25日
设ch[part1，part2]是n个字母上对称群的特征值，对应于part2给出的共轭类上n的分区part1。设A[n]是2n的（n+1）个部分1或2的划分集。然后删除序列的第一项，则得到a（n）=Sum_{k=1.n+1}二项式（n，k-1）*ch[[n，n]，a[n][k]]）/2^n。这可以通过Frobenius特征公式解释为张量^n（楔形^2 C^n）中SL（n，C）不变量的维数。
解释：让p_j表示sum（x_i）^j表示k个变量中的和。然后弗罗贝尼乌斯公式表示（p_1）^j_1（p_2）^j_2。。。（p_r）^j_r等于总和（λ，ch[lambda，1^j_12^j_2…r^j_r]S_lambda），S_lambda-对应于λ的Schur函数。这个公式意味着，S（[n，n]）in（（（p_1）^1+p_2）/2）^n的系数在其舒尔函数展开式中是我们公式的右边。如果我们将变量数专门化为2，那么S[n，n]（x，y）=（xy）^n。当限制为y=x^（-1）时，它是1。即SL（2）上的值为1。
另一方面，（（p_1）^2+p_2）/2是2次完全齐次对称函数，即tr（S^2（X））。因此，我们对于a（n）的公式与上面的Samson Black的公式相同，因为他的V与S^2（C^2）作为SL（2）的表示形式相同。另一方面，如果我们将ch（lambda）乘以sgn，则得到ch（Transpose（lambda））。所以ch（[n，n]）变为ch（[2，…，2]）（这里有n2）。a（n）的公式现在是（1/2^n）*Sum_{j=0..n}ch（[2，..，2]，1^（2n-2j）2^j]）*（-1）^j）*二项式（n，j），它计算（（p_1）^2-p2）/2）^n中S_（2，…，2）的系数。但是，n个变量中的（（p_1）^2-p_2）/2是第二个基本对称函数，它是楔形^2C^n的特征，而S_（2,…，2●●●●。
（结束）
设P（x）=x/（1+x）与comp。逆Pinv（x）=x/（1-x）=-P[-x]，C（x）=[1-sqrt（1-4x）]/2，是移位加泰罗尼亚数的o.g.fA000108美元，逆Cinv（x）=x*（1-x）。
Fin（x）=P[C（x，A000957号反向鳍^（-1）（x）=Cinv[Pinv（x）]=Cinv[-P（-x）]。
Mot（x）=C[P（x）]=C[-Pinv（-x）]给出移位的o.g.fA005043号、带有comp的Motzkin或Riordan数字。逆Mot^（-1）（x）=Pinv[Cinv（x）]=（x-x^2）/（1-x+x^2。A057078号).
BTC（x）=C[Pinv（x）]给出A007317号，加泰罗尼亚数的二项式变换，BTC^（-1）（x）=P[Cinv（x）]。
Fib（x）=-翅片[Cinv（Cinv（-x））]=-P[Cinv[-x）]=x+2 x ^2+3 x ^3+5 x ^4+…=（x+x^2）/[1-x-x^2]是移位斐波那契数列的o.g.fA000045号，所以比较。逆为Fib^（-1）（x）=-C[品目（-x）]=-BTC（-x。
o.g.f.s之间的各种关系可以很容易地构造，例如Fib[-Mot（-x）]=-P[P（-x）]=x/（1-2*x）a生成2^n的fct。
推广到P（x，t）=x/（1+t*x）和Pinv（x，t）=x\（1-t*xA091867号，C[P[x，1-t]]，以及A104597号，品脱[Cinv（x），t+1]。（结束）
与David Callan的上述评论一致，249548英镑，将Motzkin和细化为他描述的非交叉分区的单个数字-汤姆·科普兰2014年11月9日
从（0,0）到（n，0）的晶格路径数，这些路径不在x轴下方交叉，并使用up-step=（1,1）和down-step=（1，-k），其中k是正整数。例如，a（4）=3:[（1,1）（1,1”（1，-1）（1，-1）]，[（1,1,1）“1，-1”（1,1，-1-尼古拉斯·哈姆2015年8月19日
使用2*（A（n）+A（n+1））+（A（n+1+A（n+2））创建的序列具有F（2n）的Hankel变换，偏移量3，F是斐波那契数，A001906号（实证观察）-托尼·福斯特三世2016年7月30日
Rubey和Stump参考证明了RenéMarczinzik的一个猜想的改进，他们说：“2-Gorenstein代数的数量是具有n个简单模的Nakayama代数，并且有一条定向线作为相关的箭矢，等于长度n的Motzkin路径的数量。此外，对于最小忠实投影内射模具有双中心器性质的此类代数的数量等于Riordan路径的数量，即，高度为零、长度为n的没有水平步长的Motzkin路径的数量。”-埃里克·M·施密特2017年12月16日
伯恩哈特（1999）以美国数学家约翰·里奥丹（1903-1988）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年4月15日
参考文献
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链接
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配方奶粉
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*A000108美元（k） 。a（n）=（1/（n+1））*Sum_{k=0..上限（n/2）}二项式（n+1，k）*Binominal（n-k-1，k-1），对于n>1-伦·斯迈利【Amitai Regev（Amitai.Regev（AT）weizmann.ac.il）的评论，2010年3月2日：后者的总和应超过k=1..floor（n/2）的范围。】
总面积：（1+x-sqrt（1-2*x-3*x^2））/（2*x*（1+x））。
总面积：2/（1+x+平方（1-2*x-3*x^2））Paul Peart（ppeart（AT）fac.howard.edu），2000年5月27日
a（n+1）+（-1）^n=a（0）*a（n）+a（1）*aa（n）*a（0）.-伯恩哈特
a（n）=（1/（n+1））*Sum_{i}（-1）^i*二项式（n+1，i）*二项（2*n-2*i，n-i）伯恩哈特
G.f.A（x）满足A=1/（1+x）+x*A^2。
例如：exp（x）*（BesselI（0，2*x）-BesselI（1，2*x））-弗拉德塔·乔沃维奇2003年4月28日
a（n）=和{k=0..n}（-1）^k*二项式（n，k）*二项法（k，floor（k/2））-保罗·巴里2005年1月27日
力矩表示：a（n）=（1/（2*Pi））*Int（x^n*sqrt（（1+x）（3-x））/（1+x），x，-1,3）-保罗·巴里2006年7月9日
a（n）=（2/Pi）*积分{x=0..Pi}（4*cos（x）^2-1）^n*sin（x）*2dx-安德鲁·萨瑟兰2007年12月2日
G.f.：1/（1-x^2/（1-x-x^2/（1-x-x2/（1-x-x ^2/……（连分数））-保罗·巴里2009年1月22日
G.f.：1/（1+x-x/（1-x/（1+x-x/（1-）-保罗·巴里2009年5月16日
G.f.：1/（1-x^2/（1-x/（1-x^2/（1-x/（1-x^2/）1-x^2/（1-x^2/（1-x/（1-…））（续分数）-保罗·巴里2010年3月2日
a（n）=-（-1）^n*超几何（[1/2，n+2]，[2]，4/3）/sqrt（-3）-马克·范·霍伊2010年7月2日
a（n）=（-1）^n*超几何（[-n，1/2，[2]，4）-彼得·卢什尼2012年8月15日
设A（x）是g.f.，则x*A（x）是x/（1+x^2*Sum_{k>=0}x^k）的逆；看见A215340型用于与没有长度-1上升的Dyck路径的对应-乔格·阿恩特2012年8月19日和2013年4月16日
a（n）~3^（n+3/2）/（8*sqrt（Pi）*n^（3/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月2日
G.f.：2/（1+x+1/G（0）），其中G（k）=1+x*（2+3*x）*（4*k+1）/（4*k+2-x*（2+3*x；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月5日
D-有限（另一种选择）：（n+1）*a（n）=3*（n-2）*a-林风2014年3月22日
渐近：a（n）=（3^（n+2）/（sqrt（3*n*Pi）*（8*n）））*（1-21/（16*n）+O（1/n^2））（由Vaclav Kotesovec贡献）-林风2014年3月22日
a（n）=（-1）^n*JacobiP（n，1，-n-3/2，-7）/（n+1）-彼得·卢什尼，2014年9月23日
a（n）=和{k=0..n}C（n，k）*（C（k，n-k）-C（k，n-k-1））-彼得·卢什尼2014年10月1日
猜想：对于n>=1，n除以a（2*n+1），2*n-1除以a（2*n）。（结束）
例子
a（5）=6，因为一个多边形只有6条边的剖分是：五个五角形，其中一条是对角线，六角形没有对角线。
G.f.=1+x^2+x^3+3*x^4+6*x^5+15*x^6+36*x^7+91*x^8+232*x^9+。。。
a（0）=1到a（6）=15个孤子无效（没有超1级的顶点）具有n+1个顶点的有序根树（按A358376型):
o、。（oo）（ooo）（oooo）（ooooo）（oooooo）
（（oo）o）（（oo）oo）（（oo）ooo）
（o（oo））（（ooo）o）（（ooo）oo）
（o（oo）o）（（oooo）o）
（o（ooo））（o（oo）oo）
（oo（oo））（o（ooo）o）
（o（oooo））
（oo（oo）o）
（oo（ooo））
（ooo（oo））
（（（oo）o）o）
（（o（oo））o）
（（oo）（oo））
（o（（oo）o））
（o（o（oo））
（结束）
MAPLE公司
顺序：=20：求解（级数（（x-x^2）/（1-x+x^2，x）=y，x）；#输出g.f。
数学
a[0]=1；a[1]=0；a[n]：=a[n]=（n-1）*（2*a[n-1]+3*a[n-2]）/（n+1）；表[a[n]，{n，0，30}](*罗伯特·威尔逊v2005年6月14日*）
表[（-3）^（1/2）/6*（-1）^n*（3*Hypergeometric2F1[1/2，n+1，1，4/3]+Hypergeometric2F1[1/2,n+2,1,4/3]），{n，0，32}]（*cf。马克·范·霍伊在里面A001006号*) (*沃特·梅森2010年1月23日*）
递归表[{a[0]==1，a[1]==0，a[n]==（n-1）（2a[n-1]+3a[n-2]）/（n+1）}，a，{n，30}](*哈维·P·戴尔，2013年9月27日*）
a[n_]：=级数系数[2/（1+x+Sqrt[1-2x-3x^2]），{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年8月21日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，3^（n+3/2）超几何2F1[3/2，n+2，2，4]/I]；(*迈克尔·索莫斯2014年8月21日*）
表[3^（n+3/2）加泰罗尼亚数[n]（4（5+2n）超几何2F1[3/2，3/2，1/2-n，1/4]-9超几何2F1[3/2、5/2，1/2-n，1/4]）/（4^（n+3）（n+1）），{n，0，31}](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2019年7月21日*）
表[Sqrt[27]/8（3/4）^n CatalanNumber[n]超几何2F1[1/2，3/2，1/2-n，1/4]，{n，0，31}](*简·曼加尔丹2021年9月12日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n++；polceoff（serreverse（（x-x^3）/（1+x^3，+x*O（x^n）），n））}/*迈克尔·索莫斯2005年5月31日*/
（PARI）我的（N=66）；Vec（反向（x/（1+x*和（k=1，N，x^k））+O（x^N））\\乔格·阿恩特，2012年8月19日
（最大值）a[0]：1$
a[1]：0$
a[n]：=（n-1）*（2*a[n-1]+3*a[n-2]）/（n+1）$
（哈斯克尔）
a005043 n=a005043_列表！！n个
a005043_list=1:0:zip带div
（zipWith（*）[1..]（zipWith（+））
（map（*2）$tail a005043_list）（map
（鼠尾草）
A005043号=λn：（-1）^n*jacobi_P（n，1，-n-3/2，-7）/（n+1）
（鼠尾草）
定义ms（）：
a、 b，c，d，n=0，1，1，-1，1
产量1
为True时：
产量-b+（-1）^n*d
n+=1
a、 b=b，（3*（n-1）*n*a+（2*n-1）*n*b）/（（n+1）*（n-1））
c、 d=d，（3*（n-1）*c-（2*n-1）*d）/n
（Python）
从functools导入缓存
@高速缓存
如果n<=1：返回1-n
交叉参考
囊性纤维变性。A000045号,A000108美元,A000957号,A001006号,A005717号,A005773号,A007317号,A057078号,091867加元,A104597号,A126120号,A178514号,249548英镑,A309303型.
扩展
感谢Laura L.M.Yang（yanglm（AT）hotmail.com）的更正，2004年8月29日
2-贝尔数：a（n）=具有可分辨块的[n+1]的分区数。
（原名M2851）
+10
87
1, 3, 10, 37, 151, 674, 3263, 17007, 94828, 562595, 3535027, 23430840, 163254885, 1192059223, 9097183602, 72384727657, 599211936355, 5150665398898, 45891416030315, 423145657921379, 4031845922290572, 39645290116637023, 401806863439720943, 4192631462935194064
评论
{1..n}子集的布尔格的布尔子格的数目。
a（n）=p（n+1），其中p（x）是唯一次数n多项式，使得p（k）=A000110号（k+1）对于k=0，1。。。，n.（名词）-迈克尔·索莫斯，2003年10月7日
偏移量为1时，排列数从12开始，避免21-3。
（n+1）-集合的所有集合分区中的块数。例如：a（2）=10，因为{1,2,3}的集合分区是1|2|3、1|23、12|3、13|2和123，总共有10个块-Emeric Deutsch公司2006年11月13日
至少有一个单元素且单元素中最小元素等于2的n+3分区数-奥利维尔·杰拉德2007年10月29日
参见第29页，我关于arXiv的论文中的定理5.6：这些数字是被称为ComTrip的操作数的齐次分量的维数，与交换三元代数相关。（三元代数与偶数树和L-代数有关，参见A006013号）-Philippe Leroux，2007年11月17日
（n+2）元素的集合分区数，其中两个特定元素分别聚集在一起。示例：a（1）=3，因为1/2/3、1/23、13/2是3个集合分区，其中1、2分别集群安德烈·戈德（andy.Goder（AT）gmail.com），2007年12月17日
（n+1）人游戏中嵌入联盟的数量。-David Yeung（wkyeung（AT）hkbu.edu.hk），2008年5月8日
参考文献
Olivier Gérard和Karol A.Penson，集分区统计预算，正在编制中。截至2017年尚未发布。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
M.Brookes、J.East、C.Miller、J.D.Mitchell和N.Ruskuc，半群的单边同余格和双边同余格的高度，arXiv:2310.08229[math.GR]，2023年。
朱利奥·塞尔拜，改进的上升序列和贝尔数，arXiv:2305.10820[math.CO]，2023。见第11页。
马丁·科恩（Martin Cohn）、西蒙·埃文（Shimon Even）、卡尔·门格尔（Karl Menger，Jr.）和菲利普·霍珀（Philip K.Hooper），关于n个不同对象集的划分数阿默尔。数学。《月刊》第69期（1962年），第8期，第782--785页。1531841先生。
马丁·科恩（Martin Cohn）、西蒙·埃文（Shimon Even）、卡尔·门格尔（Karl Menger，Jr.）和菲利普·霍珀（Philip K.Hooper），关于n个不同对象集的划分数阿默尔。数学。《月刊》第69期（1962年），第8期，第782--785页。MR1531841.[带注释的扫描件]
R.B.Corcino和C.B.Corcino，关于广义Bell多项式，离散动态。Nat.Soc.文章ID:623456（2011）。
Gábor Czédli，具有大量同余能量的格，arXiv:2205.02294[math.RA]，2022年。
埃尔达尔·菲舍尔、约翰·马考斯基和弗塞沃洛德·拉基塔，限制集配分函数的MC-完整性，arXiv:2302.08265[math.CO]，2023年。
A.L.L.Gao、S.Kitaev和P.B.Zhang，关于避免不可分解排列的模式，arXiv:1605.05490[math.CO]，2016年。
S.Getu等人。，如何猜测生成函数，SIAM J.离散数学。，5 (1992), 497-499.
阿兰·赫兹（Alain Hertz）、哈德里安·梅洛特（Hadrien Mélot）、塞巴斯蒂安·博特（Sébastien Bonte）、高万·德维尔（Gauvane Devillez）和皮埃尔·豪维尔（Pierre Hauweele），图的非等价着色中平均颜色数的上界，arXiv:2105.01120[math.CO]，2021。
R.Jakimczuk，逐次导数与整数序列，J.国际顺序。14 (2011) # 11.7.3.
S.Kitaev和T.Mansour，同时避免广义模式，arXiv:math/0205182[math.CO]，2002年。
Toufik Mansour和Mark Shattuck，与贝尔数有关的一个递归，INTEGERS 11（2011），#A67。
I.Mezo，r-Bell数，J.整数序列。14（1）（2011），第11.1.1条。
A.M.Odlyzko，《渐近枚举方法》，R.L.Graham等人编辑，第1063-1229页，《组合数学手册》，1995年；参见示例12.16(pdf格式,秒)
配方奶粉
a（n-1）=Sum_{k=1..n}k*Stirling2（n，k）对于n>=1。
例如：exp（exp（x）+2*x-1）。贝尔数的第一个差异（如果偏移量为1）-迈克尔·索莫斯2002年10月9日
G.f.：Sum_｛k>=0｝（x^k/产品_｛l=1..k｝（1-（l+1）x））-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月18日
a（n）=Sum_{i=0..n}2^（n-i）*B（i）*二项式（n，i），其中B（n）=贝尔数A000110号（n） ●●●●-弗雷德·伦农2007年8月4日[本意为，a（n）=（B+2）^n-N.J.A.斯隆2009年2月7日]
表示为无穷级数：a（n-1）=Sum_{k>=2}（k^n*（k-1）/k！）/exp（1），n=1，2。。。这是一个Dobinski型求和公式-卡罗尔·彭森2002年3月14日
a（n）=经验（-1）*和{k>=0}（（k+2）^n）/k-杰拉尔德·麦卡维2004年6月3日
递归：a（n+1）=1+和{j=1..n}（1+二项式（n，j））*a（j）-乔恩·佩里2005年4月25日
贝尔数1，2，5，15，52，203，877，4140，…的二项式变换。。。（请参见A000110号).
定义f_1（x）、f_2（x）。。。当n=2,3，。。。。则a（n-1）=e^（-1）*f_n（1）-米兰Janjic2008年5月30日
将数字a（n），n=0,1…表示为（n）F（n）型超几何函数的特殊值，采用Maple表示法：a（n。示例：a（0）=2^0*evalf（hypergeom（[]，[]，1）/exp（1））=1a（1）=2^1*evalv（hyperseom（[3]，[2]，1）/exp）=2^4*evalf（hypergeom（[3,3,3,1]，[2,2,2,2]，1）/exp（1））=151 a（5）=2^5*evalf-卡罗尔·彭森2007年9月28日
设A是n阶的上Hessenberg矩阵，定义为：A[i，i-1]=-1，A[i和j]=二项式（j-1，i-1），（i<=j），否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=（-1）^（n）charpoly（a，-2）-米兰Janjic2010年7月8日
连续分数：
G.f.：1/U（0），其中U（k）=1-x*（k+3）-x^2*（k+1）/U（k+1。
G.f.：1/（U（0）-x），其中U（k）=1-x-x*（k+1）/（1-x/U（k+1。
G.f.:G（0）/（1-x），其中G（k）=1-2*x*（k+1）/（2*k+1）*。
G.f.：（G（0）-1）/（x-1），其中G（k）=1-1/（1-2*x-k*x）/（1-x/（x-1/G（k+1）））。
G.f.:-G（0）/x，其中G（k）=1-1/（1-k*x-x）/（1-x/（x-1/G（k+1）））。
G.f.：1-2/x+（1/x-1）*S，其中S=总和（k>=0，（1+（1-x）/（1-x-x*k））*（x/（1-x。
G.f.：（1-x）/x/（G（0）-x）-1/x，其中G（k）=1-x*（k+1）/（1-x/G（k+1。
G.f.：（1/G（0）-1）/x^3，其中G（k）=1-x/（x-1/（1+1/（x*k-1）/G（k+1））。
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-2*x-x/（1-x*（k+1）/Q（k+1））。
G.f.:G（0）/（1-3*x），其中G（k）=1-x^2*（k+1）/。（结束）
a（n）~exp（n/LambertW（n）+3*LambertW（n-瓦茨拉夫·科特索维奇2020年6月9日
a（0）=1；a（n）=2*a（n-1）+和{k=0..n-1}二项式（n-1，k）*a（k）-伊利亚·古特科夫斯基2020年7月2日
a（n）~n^2*Bell（n）/LambertW（n）^2*（1-LambertW（n）/n）-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年7月28日
例子
例如，a（1）计数为（12）、（1）-2、1-（2），其中用破折号分隔块，并用括号括住可分辨块。
MAPLE公司
seq（加上（二项式（n，k）*（贝尔（n-k）），k=1..n），n=1..23）#零入侵拉霍斯2006年12月1日
a:=[序列（3，i=1..n）]；b:=[序列（2，i=1..n）]；
2^n*exp（-x）*hypergeom（a，b，x）；圆形（evalf（subs（x=1，%），66））结束：
BT:=proc（n，k）选项记忆；如果n=0且k=0，则为1
elif k=n，然后BT（n-1，0），否则BT（n，k+1）+BT（n-1，k）结束：
数学
a=实验[x]-1；Rest[CoefficientList[a Exp[a]，{x，0，20}]，x]*表[n！，{n，0，20}]]
a[n_]：=如果[n<0，0，带[｛m=n+1}，m！序列系数[#Exp@#&[实验@x-1]，｛x，0，m｝]]]；(*迈克尔·索莫斯2011年11月16日*）
差异[BellB[范围[30]]](*哈维·P·戴尔2014年10月16日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n！*polceoff（exp（x+x*O（x ^n））+2*x-1），n））}/*迈克尔·索莫斯2002年10月9日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n+=2；subst（polinterpolate（Vec（serlaplace（exp（x+O（x^n））-1）），x，n））}/*迈克尔·索莫斯2003年10月7日*/
（Python）
#需要python 3.2或更高版本。否则，请在python文档中使用累积的定义。
从itertools导入累加
对于范围（1001）内的_：
blist=列表（累加（[b]+blist））
b=blist[-1]
#柴华武，2014年9月2日，更新柴华武2014年9月20日
交叉参考
囊性纤维变性。A000110号,A005494号,A008277号,A011971号,A011968号,A049020号,A106436号,A124323号,A137650个,A152433号,A159573号.
例如f.的展开：1/（exp（x）*（2-exp（x）））。
+10
53
1, 0, 2, 6, 38, 270, 2342, 23646, 272918, 3543630, 51123782, 811316286, 14045783798, 263429174190, 5320671485222, 115141595488926, 2657827340990678, 65185383514567950, 1692767331628422662, 46400793659664205566, 1338843898122192101558, 40562412499252036940910
评论
斯特林变换A005359号（n） =[0,2,0,24,0720，…]是a（n）=[0,2,6,38270，…]。
-（-1）^n的斯特林变换*A052657号（n-1）=[0,0,2，-6,48，-240，…]是指（n-1）=[0,0,2,6,38270，…]。
-（-1）^n的斯特林变换*A052558号（n-1）=[1，-1,4，-12,72，-360，…]是指（n-1）=[1,0,2,6,38270，…]。
2的斯特林变换*A052591号（n） =[2,4,24,96，…]是a（n+1）=[2,6,38270，…]。
（结束）
还有没有循环邻接的{1..n}的有序集分区数（同一块中的连续元素，其中1是n的后继元素）-古斯·怀斯曼2019年2月13日
还有带有偶数块的{1..n}的有序集分区数-杰弗里·克雷策2020年7月4日
配方奶粉
O.g.f.：求和{n>=0}（2*n）！*x^（2*n）/产品{k=1..2*n}（1-k*x）-保罗·D·汉纳2011年7月20日
另外，a（n）=Sum_{k=0..[n/2]}（2k）*箍筋2（n，2k）-拉尔夫·斯蒂芬2004年5月23日
例如：1/（2*g（0）），其中g（k）=1-2^k/（2-4*x/（2*x-2^k*（k+1）/g（k+1；（递归定义的连分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月22日
a（n）=（-1）^n+和{k=0..n-1}二项式（n，k）*a（k）-伊利亚·古特科夫斯基2020年6月11日
例子
a（4）=38个无循环邻接的有序集分区：
{{1}{2}{3}{4}} {{1}{24}{3}} {{13}{24}}
{{1}{2}{4}{3}} {{1}{3}{24}} {{24}{13}}
{{1}{3}{2}{4}} {{13}{2}{4}}
{{1}{3}{4}{2}} {{13}{4}{2}}
{{1}{4}{2}{3}} {{2}{13}{4}}
{{1}{4}{3}{2}} {{2}{4}{13}}
{{2}{1}{3}{4}} {{24}{1}{3}}
{{2}{1}{4}{3}} {{24}{3}{1}}
{{2}{3}{1}{4}} {{3}{1}{24}}
{{2}{3}{4}{1}} {{3}{24}{1}}
{{2}{4}{1}{3}} {{4}{13}{2}}
{{2}{4}{3}{1}} {{4}{2}{13}}
{{3}{1}{2}{4}}
{{3}{1}{4}{2}}
{{3}{2}{1}{4}}
{{3}{2}{4}{1}}
{{3}{4}{1}{2}}
{{3}{4}{2}{1}}
{{4}{1}{2}{3}}
{{4}{1}{3}{2}}
{{4}{2}{1}{3}}
{{4}{2}{3}{1}}
{{4}{3}{1}{2}}
{{4}{3}{2}{1}}
（结束）
MAPLE公司
规范：=[S，{B=产品（C，C），C=集合（Z，1<=卡），S=序列（B）}，标记]：seq（组合结构[计数]（规范，大小=n），n=0..20）；
P:=proc（n，x）选项记忆；如果n=0，则为1
（n*x+2*（1-x））*P（n-1，x）+x*（1-x）*diff（P（n-1,x），x）；扩展（%）fi结束：
h:=n->加（组合：-eulerian1（n，k）*2^k，k=0..n）：
a:=n->（h（n）+（-1）^n）/2:seq（a（n），n=0..21）#彼得·卢什尼2015年9月19日
b:=proc（n，m）选项记忆；如果n=0，则为1
（m-1）*b（n-1，m）+（m+1）*b
a:=n->b（n，0）：序列（a（n），n=0..21）#彼得·卢什尼2023年6月23日
数学
a[n_]：=如果[n==0，1，（PolyLog[-n，1/2]/2+（-1）^n）/2]；（*或*）
具有[{nn=30}，系数列表[Series[1/（Exp[x]（2-Exp[x]]）），{x，0，nn}]，x]范围[0，nn]！](*哈维·P·戴尔2019年4月8日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=如果（n<0，0，n！*polceoff（subst（1/（1-y^2），y，exp（x+x*O（x^n））
（PARI）{a（n）=polcoeff（和（m=0，n，（2*m）！*x^（2*m）/prod（k=1，2*m，1-k*x+x*O（x^n））），n）}/*保罗·D·汉纳2011年7月20日*/
（岩浆）
R＜x＞：=PowerSeriesRing（比率（），40）；
系数（R！（拉普拉斯（Exp（-x）/（2-Exp（x））））//G.C.格鲁贝尔，2024年6月11日
（SageMath）
P.<x>=PowerSeriesRing（QQ，prec）
return P（exp（-x）/（2-exp（x）））.egf_to_ogf（）.list（）
作者
百科全书（AT）pommard.inia.fr，2000年1月25日
a（n）=a（n-1）+a（n-2）+1，其中a（0）=0，a（1）=2。
（原名M0764 N0291）
+10
52
0, 2, 3, 6, 10, 17, 28, 46, 75, 122, 198, 321, 520, 842, 1363, 2206, 3570, 5777, 9348, 15126, 24475, 39602, 64078, 103681, 167760, 271442, 439203, 710646, 1149850, 1860497, 3010348, 4870846, 7881195, 12752042, 20633238, 33385281, 54018520
评论
一般化。如果a（0，x）=0，a（1，x）=2，并且对于n>=2，a（n，x）=a（n-1，x。A174625号). 因此，a（n）是Q_（n-1）（x）的系数之和-弗拉基米尔·舍维列夫，2010年4月23日
a（n）是通过交换一个或多个相邻对来修改n个对象的圆形排列的方法的数量。例如，对于1234，新的排列是2134、2143、1324、4321、1243、4231（取4和1相邻）和a（4）＝6-托比·戈特弗里德2011年8月21日
对于n>2，a（n）等于n+1节点上具有循环骨架的马尔可夫等价类的个数。参见下文A.Radhakrishnan等人的文章中的定理2.1-利亚姆·索卢斯，2018年8月23日
对于n>0，还包括不包含两个循环连续元素的{1，…，n+1}的非空子集的数目（循环连续平均数1继承n+1）。例如，a（5）=17稳定子集为：
{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6},
{1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,4}, {2,5}, {2,6}, {3,5}, {3,6}, {4,6},
{1,3,5}, {2,4,6}.
（结束）
参考文献
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
Daniel Birmajer、Juan B.Gil、Michael D.Weiner、，算术级数中具有指数的线性递推序列及其和，arXiv:1505.06339[math.NT]，2015年。
Ligia L.Cristea、Ivica Martinjak和Igor Urbiha，超斐波那契序列与多主题数《整数序列杂志》，2016年第19卷，第7期，#16.7.6。
F.Hazama，旋律空间的图形谱，离散数学。，311 (2011), 2368-2383. 见表2.1。
多夫·贾登，递归序列1966年，耶路撒冷莱马特马提卡河。[注释扫描副本]见第96页。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
配方奶粉
通用公式：x*（2-x）/（（1-x-x^2）*（1-x））=（2*x-x^ 2）/（1-2*x+x^3）。[西蒙·普劳夫在他1992年的论文中]
a（n）=F（n）+F（n+2）-1，其中F（n）是第n个斐波那契数-零入侵拉霍斯2008年1月31日
a（n）=Sum_{i=1.floor（（n+1）/2）}（（（n+1）/i）*C（n-i，i-1）。在多项式Q_n（x）=a（n，x）的更一般的情况下（见我们的评论），我们有Q_n（x）=Sum_{i=1.floor（（n+1）/2）}（（（n+1）/i）*C（n-i，i-1）*x^（i-1）-弗拉基米尔·舍维列夫，2010年4月23日
a（0）=0，a（1）=2，a（2）=3；对于n>=3，a（n）=2*a（n-1）-a（n-3）-乔治·约翰逊2013年1月28日
数学
t={0,2}；做[AppendTo[t，t[[-1]]+t[[-2]]+1]，{n，2，40}]；t吨
递归表[｛a[n]==a[n-1]+a[n-2]+1，a[0]==0，a[1]==2｝，a，｛n，0，40｝](*罗伯特·威尔逊v2013年4月13日*）
系数列表[级数[x（2-x）/（（1-x-x^2）（1-x）），{x，0，40}]，x](*文森佐·利班迪2015年3月20日*）
表[Fibonacci[n]+斐波纳契[n+2]-1，{n，0，40}](*埃里克·韦斯特因2018年2月13日*）
线性递归[{2，0，-1}，{2，3，6}，20](*埃里克·韦斯特因2018年2月13日*）
表[LucasL[n]-1，{n，20}](*埃里克·韦斯特因2023年8月1日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a001610 n=a001610_列表！！n个
a001610_列表=
0:2:map（+1）（zipWith（+）a001610_list（尾部a001610_列表））
（岩浆）I:=[0,2]；[n le 2在[1..40]]中选择I[n]else Self（n-1）+Self[n-2）+1:n//文森佐·利班迪2015年3月20日
（岩浆）[卢卡斯（n+1）-1:n in[0..40]]//G.C.格鲁贝尔，2019年7月12日
（PARI）a（n）=（[0,1,0；0,0,1；-1，0，2]^n*[0；2；3]）[1，1]\\查尔斯·格里特豪斯四世，2016年9月8日
（PARI）向量（40，n，f=fibonacci；f（n+1）+f（n-1）-1）\\G.C.格鲁贝尔，2019年7月12日
（鼠尾草）[lucas_number2（n+1，1，-1）-1代表n in（0..40）]#G.C.格鲁贝尔，2019年7月12日
（GAP）列表（[0..40]，n->Lucas（1，-1，n+1）[2]-1）#G.C.格鲁贝尔，2019年7月12日
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