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A010060型 |
| Thue-Morse序列:让A_k表示前2^k项;则A_0=0,对于k>=0,A_{k+1}=A_kB_k,其中B_k是通过交换0和1从A_k获得的。 |
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562
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0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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以Axel Thue命名,其名字的发音好像是拼写为“Tü”,其中u的发音与德语单词u ben大致相同。(说“Too-ee”或“Too-eh”是不正确的。)-N.J.A.斯隆,2018年6月12日
也称为Thue-Morse无限字,或Morse-Hedlund序列,或奇偶序列。
同态0-->01、1-->10的不动点,请参见示例-乔格·阿恩特2013年3月12日
序列是立方的(不包含三个连续的相同块)[参见Offner以获得直接证明],并且是无重叠的(不包括XYXYX,其中X是0或1,Y是0和1的任何字符串)。
a(n)=“奇偶序列”=n的二进制表示中1个数的奇偶性。
a(n)=S2(n)mod 2,其中S2(n)=以2为基数的n,n的位数之和。有一类广义Thue-Morse序列:设Sk(n)=n的位数之和;n采用base-k表示法。设F(t)是某个算术函数。则a(n)=F(Sk(n))mod m是广义Thue-Morse序列。经典的Thue-Morse序列是k=2,m=2,F(t)=1*t的情况-Ctibor O.Zizka公司,2008年2月12日(修正自丹尼尔·汉格2017年5月19日)
更一般地,广义Thue-Morse序列a(n)=F(Sk(n))modm的部分和是分形的,其中Sk(n)是以k为基数的n,n的位数之和;F(t)是一个算术函数;m整数-Ctibor O.Zizka公司,2008年2月25日
从偏移量1开始,=揉捏序列的模2运行总和(A035263号, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, ...); 也等于A005187号: (1, 3, 4, 7, 8, 10, 11, 15, 16, 18, 19, ...). -加里·W·亚当森,2008年6月15日
对于所有正整数k,子序列a(0)到a(2^k-1)与子序列a,(2^k+2^(k-1))到a,2^(k+1)+2^。也就是说,A_k的上半部分与B_k的下半部分相同,A_k的下半段与B_{k+1}的第一个四分之一相同,后者由紧跟在B_k之后的k/2项组成。
证明:子序列a(2^k+2^(k-1))到a(2qu(k+1)-1)是B_k的后半部分,根据定义,它是由a_k的后半部分a(2~(k-1,根据定义,是由子序列a(0)到a(2^(k-1)-1)形成的,a_k的前半部分,根据定义也是a_{k-1},通过交换其0和1。交换子序列的0和1两次使其保持不变,因此子序列a,必须与子序列a(0)到a(2^(k-1)-1)相同,即a_k的前半部分。
此外,子序列a(2^(k+1))到a(2qu(k+1)+2^(k-1)-1),即B_{k+1}的第一个四分之一,根据定义,是通过互换其0和1,从子序列a的(0)到a_{k+1}的第二个四分之一,即a_k的后半部分,形成的,根据定义,是由子序列a(0)到a(2^(k-1)-1)形成的,根据定义a{k-1},也是通过交换其0和1而形成的。如果通过交换其0和1,从同一子序列形成两个子序列,那么它们必须相同,因此子序列a(2^(k+1))到a(2qu(k+1)+2^(k-1)-1),即B_{k+1}的第一个四分之一,必须与子序列a。
因此,子序列a(0)。。。,a(2^(k-1)-1),a。。。,a(2^k-1)与子序列a(2q+2^(k-1))相同。。。,a(2^(k+1)-1),a(2qu(k+1))。。。,a(2^(k+1)+2^(k-1)-1),量子电动力学。
根据1929年德国国际象棋规则,如果相同的动作顺序连续重复三次,就可以下棋。尤韦(Euwe),见参考文献,证明了这个规则可以导致无限游戏。为了证明这一点,他重新设计了Thue-Morse序列-约翰内斯·梅耶尔2010年2月4日
“Thue-Morse 0->01&1->10,在每个阶段用补码附加前一个。从0、1、2、3开始,用二进制写。然后计算数字之和(mod 2),即除以2,然后使用余数。”数学书Pickover。
设s2(n)是n和epsilon的2位基数之和(n)=(-1)^s_2(n),Thue-Morse序列,然后prod(n>=0,(2*n+1)/(2*n+2))^epsilon(n))=1/sqrt(2)-乔纳森·沃斯邮报2012年6月6日
Dekking表明,通过将此序列解释为二进制展开而获得的常数是超越的;另请参阅“无处不在的彩色莫尔斯序列”-查尔斯·格里特豪斯四世2013年7月23日
虽然0或1的概率相等,但根据看到的最新位进行猜测会产生3次正确匹配中的2次-比尔·麦克阿欣2015年3月13日
从a(0)到a(2n+1),n+1项等于0,n+1项等于1(见Hassan Tarfaoui链接,Concours Général 1990)-伯纳德·肖特2022年1月21日
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参考文献
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配方奶粉
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a(2n)=a(n),a(2n+1)=1-a(n)、a(0)=0。此外,如果0<=k<2 ^m,a(k+2^m)=1-a(k)。
如果n=总和b_i*2 ^i是n的二进制展开式,则a(n)=总和b_i(mod 2)。
设S(0)=0,对于k>=1,通过映射0->01和1->10从S(k-1)构造S(k);序列是S(无穷大)。
通用公式:(1/(1-x)-产品{k>=0}(1-x^(2^k)))/2-贝诺伊特·克洛伊特2003年4月23日
a(0)=0,a(n)=(n+a(楼层(n/2)))模块2;同时a(0)=0,a(n)=(n-a(楼层(n/2)))mod 2-贝诺伊特·克洛伊特2003年12月10日
设b(1)=1,b(n)=b(天花板(n/2))-b(地板(n/2,)),则a(n-1)=(1/2)*(1-b(2n-1))-贝诺伊特·克洛伊特2005年4月26日
G.f.A.(x)满足:A(x)=x/(1-x^2)+(1-x)*A-伊利亚·古特科夫斯基2021年7月29日
对于k>=0,a(n)=a(n*2^k)。
a((2^m-1)^2)=(1-(-1)^m)/2(见Hassan Tarfaoui链接,Concours Général 1990)。(结束)
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例子
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从0开始的演变是:
0
0, 1
0, 1, 1, 0
0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1
0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0
0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1
.......
A_2=0 1 1 0,所以B_2=1 0 0 1和A_3=A_2 B_2=0 11 0 1 0 1。
迭代替换的第一步是
开始时间:0
规则:
0 --> 01
1 --> 10
-------------
0: (#=1)
0
1: (#=2)
01
2: (#=4)
0110
3: (#=8)
01101001
4: (#=16)
0110100110010110
5: (#=32)
01101001100101101001011001101001
6: (#=64)
0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110
(结束)
0;
1;
1,0;
1,0,0,1;
1,0,0,1,0,1,1,0;
1,0,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,0,0,0,1;
1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0;
(结束)
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MAPLE公司
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s:=proc(k)局部i,ans;ans:=[0,1];对于从0到k的i,执行ans:=[op(ans),op(map(n->(n+1)mod 2,ans))]od;返回ans;结束;t1:=s(6);A010060型:=n->t1[n];#s(k)给出了前2^(k+2)项。
a:=proc(k)b:=[0]:对于n从1到k做b:=subs({0=[0,1],1=[1,0]},b)od:b;结束;#去掉括号后,a(k)给出了前2^k项示例:a(3);给出[[[0,1],[1,0]],[[1,0],[0,1]]]
添加(i,i=转换(n,base,2))mod 2;
结束进程:
map(`-`,convert(StringTools[ThueMorse](1000),字节),48)#罗伯特·伊斯雷尔2014年9月22日
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数学
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表[If[OddQ[Count[InterDigits[n,2],1]],1,0],{n,0100}];
mt=0;Do[mt=ToString[mt]<>ToString[(10^(2^n)-1)/9-ToExpression[mt]],{n,0,6}];前缀[RealDigits[N[ToExpression[mt],2^7]][[1],0]
Mod[Count[#,1]&/@表格[Integer Digits[i,2],{i,0,2^7-1}],2](*哈兰·J·兄弟2005年2月5日*)
嵌套[#/.{0->{0,1},1->{1,0}}]&,{0},7](*罗伯特·威尔逊v2006年9月26日*)
a[n_]:=如果[n==0,0,如果[Mod[n,2]==0,a[n/2],1-a[(n-1)/2]](*本·布兰曼,2010年10月22日*)
a[n_]:=Mod[Length[FixedPointList[BitAnd[#,#-1]&,n]],2](*简·曼加尔丹2015年7月23日*)
表[2/3(1-Cos[Pi/3(n-求和[(-1)^二项式[n,k],{k,1,n}]),{n,0,100}](*或,对于10.2或更高版本*)(*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年5月6日*)
ThueMorse[Range[0100]](*程序使用Mathematica版本11*中的ThueMosse函数)(*哈维·P·戴尔2016年8月11日*)
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a010060 n=a010060_列表!!n个
a010060_列表=
0:交错(补码a010060_list)
其中补码=映射(1-)
交错(x:xs)ys=x:interleave ys-xs
--道格·麦克罗伊(Doug(AT)cs.dartmouth.edu),2003年6月29日
(PARI)a(n)=如果(n<1,0,和(k=0,长度(二进制(n))-1,位测试(n,k))%2)
(PARI)a(n)=如果(n<1,0,subst(Pol(binary(n)),x,1)%2)
(PARI)默认值(realprecision,6100);x=0.0;m=20080;对于(n=1,m-1,x=x+x;x=x+和(k=0,长度(二进制(n))-1,位测试(n,k))%2);x=2*x/2^m;对于(n=0,20000,d=楼层(x);x=(x-d)*2;写入(“b010060.txt”,n,“”,d)\\哈里·史密斯2009年4月28日
(Python)
对于范围(14)内的_:
(Python)
(R)
maxrow<-8#(可选)
b01<-1
for(m in 0:maxrow)for(k in 0:(2^m-1)){
b01[2^(m+1)+k]<-b01[2^m+k]
b01[2^(m+1)+2^m+k]<-1b01[2^m+k]
}
(b01<-c(0,b01))
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交叉参考
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Allouche等人《分类学》论文中提到的序列,按示例编号列出:1:A003849号, 2:A010060型, 3:A010056号, 4:A020985美元和A020987号, 5:A191818号, 6:163340英镑和A273129型, 18:A316341型, 19:A030302号, 20:A063438号,第21页:A316342型, 22:A316343, 23:A003849号减去第一项,24:A316344型, 25:A316345型和A316824型, 26:A020985美元和A020987号, 27:A316825型, 28:A159689号, 29:A049320型, 30:A003849号, 31:A316826型, 32:A316827型, 33:A316828型,第34页:A316344型, 35:A043529号, 36:168万元人民币, 37:A010060型.
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关键字
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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