A005717-OEIS公司

A005717号

构造三角形，其中第n行通过展开（1+x+x^2）^n获得，并取下一个到中心的列。
（原M1612）

1, 2, 6, 16, 45, 126, 357, 1016, 2907, 8350, 24068, 69576, 201643, 585690, 1704510, 4969152, 14508939, 42422022, 124191258, 363985680, 1067892399, 3136046298, 9217554129, 27114249960, 79818194925, 235128465026, 693085098852, 2044217638456, 6032675068061

(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,2

具有n+1个边的有序树的数目，其根为偶数次，非根节点的次数最多为2。 -Emeric Deutsch公司2002年8月2日

与莫茨金数的联系来自拉格朗日反演公式。 -迈克尔·索莫斯2003年10月10日

长度为n的所有Motzkin路径中的水平步数-Emeric Deutsch公司2003年11月9日

长度为n+2的所有Motzkin路径中的UHD数（此处U=（1,1），H=（1,0）和D=（1，-1））。例如：a（2）=2，因为在长度为4、HHHH、HHUD、HUDH、H、H（UHD）、UDHH、UDUD、（UHD）H、UHHD和UUDD的九个Motzkin路径中，我们总共有两个UHD（显示在括号中）。 -Emeric Deutsch公司，2003年12月26日

具有n+1个边的有序树的数量，在偶数高度上只有一片叶子。半长n+1的Dyck路径数，在偶数高度正好有一个峰值。例如：a（3）=6，因为我们有uuu（ud）ddd、u。 -Emeric Deutsch公司2004年3月10日

a（n）是正好包含一个UDU的Dyck（n+1）路径的数目。 -大卫·卡伦2004年7月15日

长度n+1的所有Motzkin路径中的峰值数。 -Emeric Deutsch公司2004年9月1日

这是一种Motzkin变换A059841号因为替换x->x*A001006号（x）在g.f.的自变量中A059841号生成1,0,1,2,6,16，。…即1,0，然后是这个序列。 -R.J.马塔尔2008年11月8日

a（n）是避免n^（>=3）从（0,0）到（n，n）的晶格路径数。 -高善珍，2010年4月20日

a（n+1）是具有n0和n1且不出现000的二进制字符串的数目。例如，对于n=1，有两个字符串：01和10。对于n=2，有6:0011、0101、0110、1001、1010、1100。 -托比·戈特弗里德2011年9月12日

a（n）是半平面x>=0中从（0,0）到（n，1）的路径数，由步骤U=（1,1）、D=（1，-1）和H=（1,0）组成。例如，对于n=3，我们有6条路径HHU、HUH、UDU、UUD、UHH、DUU。 -何塞·路易斯·拉米雷斯2015年4月19日

参考文献

Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第78页。

N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

链接

G.C.格鲁贝尔，n=1..1000时的n，a（n）表（条款1至200由T.D.Noe计算；条款201至1000由G.C.Greubel计算，2017年1月15日）

凯西·阿彻和克里斯蒂娜·格雷夫斯，关于Dyck路径的一个新统计，用于计算三维加泰罗尼亚语单词，arXiv:2205.09686[math.CO]，2022年。

Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov、JoséL.Ramírez和Diego Villamizar，Motzkin Polyminoes的组合学，arXiv:2401.06228[math.CO]，2024。参见第13页。

Emeric Deutsch公司，具有指定根度数、节点度数和分支长度的有序树，《离散数学》282（2004），89-94。

里卡多·戈梅斯·阿扎，带花树：整数分割树和整数合成树的目录及其渐近分析，arXiv:240.2.16111[math.CO]，2024。见第23页。

理查德·盖伊，给N.J.A.Sloane的信，1987年.

斯坦尼斯拉夫·克里姆斯基（Stanislav Krymski）和亚历山大·奥霍金（Alexander Okhotin），双向有限自动机中的最长最短字符串，in：JiráskováG.，Pighizini G.（eds）形式系统的描述复杂性。DCFS 2020。计算机科学课堂讲稿，第12442卷。查姆施普林格。

西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近，魁北克蒙特利尔大学论文，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。

西蒙·普劳夫，Une methode pour obtenir la function génératrice d'Une série，arXiv:0912.0072[math.NT]，2009；FPSAC 1993，佛罗伦萨。形式幂级数与代数组合学。

马克·沙塔克，平滑词中的子词模式，枚举。梳子。申请。（2024）第4卷，第4号，第S2R32条。见第6页。

王晨英、米斯卡和梅兹，r-错位数，《离散数学》340（7）（2017），1681-1692。

埃里克·魏斯坦的数学世界，三项式系数.

配方奶粉

a（n）=和{k=1..n}T（k，k-1），其中T是在A025177号.

总尺寸：2*x/（1-2*x-3*x^2+（1-x）*sqrt（1-2*x-3*x2））。 -Emeric Deutsch公司2002年8月14日

例如：exp（x）*I_1（2x），其中I_1是贝塞尔函数。 -迈克尔·索莫斯2002年9月9日

a（n）=A111808号（n，n-1）。 -莱因哈德·祖姆凯勒2005年8月17日

a（n）=和{k=0..floor（（n-1）/3）}（-1）^k*二项式（n，k）*二项法（2n-2-3k，n-1）。 -大卫·卡伦2006年7月3日

发件人保罗·巴里2007年2月5日：（开始）

a（n）=n*和{k=0..层（（n-1）/2），C（n-1,2k）*C（k）}，C（n）=A000108号（n） ●●●●。

a（n）=和{k=0..层（（n-1）/2）}（2k+1）*C（n，2k+1。

a（n）=总和{k=0..n-1}（总和{j=0..floor（k/2）}C（k，2j）*C（2j+1，j））。（结束）

a（n）=(A002426号（n+1）-A002426号（n））/2。 -保罗·巴里2008年5月22日

a（n）=n*A001006号（n-1）。 -保罗·巴里2009年10月5日

a（n）=和{i=0..层（n/2）}C（n+1，n-i）*C（n-i，i）。 -山珍高2010年4月20日

递归D-有限：（n+1）*a（n）-3*n*a（n-1）-（n+3）*a。 -R.J.马塔尔，2011年11月28日

a（n）~3^（n+1/2）/（2*sqrt（Pi*n））。 -瓦茨拉夫·科特索维奇2013年8月9日

对于Z中的所有n，0=a（n）*3*（n+1）*（n+2）+a（n+1-迈克尔·索莫斯，2014年4月3日

G.f.：z*M（z）/（1-z-2*z^2*M（z）），其中M（z”）是Motzkin路径的G.f。 -何塞·路易斯·拉米雷斯·拉米雷斯2015年4月19日

使用偏移量0，a（n）=[x^n]（1+x+x^2）^（n+1）；二项式变换是A076540号. -彼得·巴拉2015年6月15日

a（n）=GegenbauerC（n，-n-1，-1/2）。 -彼得·卢什尼2016年5月7日

a（n）=（-1）^（n+1）*n*超几何（[3/2，1-n]，[3]，4）。 -弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年9月28日

a（n）=和{k=0..n-1}二项式（n，k）*二项式。 -米歇尔·马库斯2020年12月4日

a（n）=（1/2）*(A005773号（n+1）-A005043号（n））。 -彼得·巴拉2022年2月11日

a（n）=A002426号（n）-A005043号（n） ●●●●。 -阿米拉姆·埃尔达尔2024年5月17日

例子

G.f.=x+2*x^2+6*x^3+16*x^4+45*x^5+126*x^6+357*x^7+。..

MAPLE公司

seq（加上（二项式（i，k）*二项式的（i-k，k+1），k=0..楼层（i/2）），i=1..30）；#Detlef Pauly（dettodet（AT）yahoo.de），2001年11月9日

M： =proc（n）选项记忆；`如果`（n<2，1，（3*（n-1）*M（n-2）+（2*n+1）*M[n-1））/（n+2））结束：A005717号：=n->n*M（n-1）：

序列(A005717号（i），i=1..27）； #彼得·卢什尼2011年9月12日

a:=n->简化（GegenbauerC（n，-n-1，-1/2））：

seq（a（n），n=0..28）； #彼得·卢什尼2016年5月7日

数学

表[系数[展开[（1+x+x^2）^n]，x，n-1]，{n，1，40}]

表[n*超几何2F1[（1-n）/2，1-n/2，2，4]，{n，29}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基，2012年8月13日*）

表[GegenbauerC[n，-n-1，-1/2]，{n，0，100}](*伊曼纽尔·穆纳里尼2016年10月20日*）

黄体脂酮素

（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（（1+x+x^2）^n，n-1））}； /*迈克尔·索莫斯2002年9月9日*/

（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n*polcoeff（serreverse（x/（1+x+x^2）+x*O（x^n）），n））}； /*迈克尔·索莫斯2003年10月10日*/

（PARI）

N=10^3；x='x+'x*O（'x^N）；

gf=2*x/（1-2*x-3*x^2+（1-x）*sqrt（1-2*x-3*x2））；

v005717=Vec（gf）；

/*乔格·阿恩特2012年8月16日*/

（鼠尾草、蟒蛇）

定义A（）：

a、 b，n=0，1，1

而True为真：

收益率b

n+=1

a、 b=b，（3*（n-1）*n*a+（2*n-1）*n*b）//（（n+1）*（n-1））

A005717号=A（）

打印（[下一页(A005717号)_在范围（29）内]）#彼得·卢什尼2016年5月16日

（Maxima）标记列表（超球面（n，-n-1，-1/2），n，0，12）； /*伊曼纽尔·穆纳里尼2016年10月20日*/

交叉参考

对角线A027907号.

囊性纤维变性。A001006号,A002426号,A005043号,A005773号,A076540号（二项式变换）。

上下文中的序列：A055544号 A126285号 A026163号*A333106型 A025266号 A074403号

相邻序列：A005714号 A005715号 A005716号*A005718号 A005719号 A005720元

关键词

非n,容易的

作者

N.J.A.斯隆

扩展

更多术语来自埃里希·弗里德曼2001年6月1日

状态

经核准的