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A143494号 |
| 按行读取三角形:2-第二类斯特林数。 |
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31
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1, 2, 1, 4, 5, 1, 8, 19, 9, 1, 16, 65, 55, 14, 1, 32, 211, 285, 125, 20, 1, 64, 665, 1351, 910, 245, 27, 1, 128, 2059, 6069, 5901, 2380, 434, 35, 1, 256, 6305, 26335, 35574, 20181, 5418, 714, 44, 1, 512, 19171, 111645, 204205, 156660, 58107, 11130, 1110, 54, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,2
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评论
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这是第二类r-Stirling数的r=2的情况。第二类2-Stirling数给出了将集合{1,2,…,n}划分为k个非空不相交子集的方法,限制了元素1和2属于不同的子集。
更一般地说,第二类r-Stirling数给出了将集合{1,2,…,n}划分为k个非空不交子集的方法的个数,条件是数字1,2。。。,r属于不同的子集。r=1的情况给出了第二种常见的斯特林数A008277号; 其他情况请参见A143495号(r=3)和A143496号(r=4)。
第二类r-Stirling数的下单位三角形数组等于矩阵乘积P^(r-1)*S(在行和列索引中具有适当的偏移量),其中P是Pascal三角形,A007318号S是第二类斯特林数的数组,A008277号.
有关第一类相应r-Stirling数的定义和条目,请参见A143491号有关r-Lah编号的条目,请参阅A143497号两种r-Stirling数的理论都是在[Broder]中发展起来的。
设D是导数算子D/dx,E是欧拉算子x*D/dx。那么x^(-2)*E^n*x^2=Sum_{k=0..n}T(n+2,k+2)*x^k*D^k。
生成多项式R_n(x):=Sum_{k=2..n}T(n,k)*x^k满足递归R_(n+1)(x)=x*R_n。因此,多项式R_n(x)只有实数零(适用推论1.2)。(刘和王)。
与2-欧拉数E_2(n,j)的关系:=A144696号(n,j):T(n,k)=2/k*当n>=k>=2时,求和{j=n-k..n-2}E_2(n,j)*二项式(j,n-k)。(结束)
T(n,k)=S(n,k,2),n>=k>=2,在米哈伊洛夫的第一篇论文中,等式(28)或(A3)。例如,来自(A20)的第k列,其中k->2,r->k。因此,在偏移量[0,0]的情况下,该三角形是Sheffer三角形(exp(2*x),exp(x)-1),例如,第m列的f>=0:exp(2%x)*((exp)-1)^m)/m!。请参阅下面给出的公式之一。有关Sheffer矩阵,请参阅下面的W.Lang链接A006232号参考S.罗马,也见于A132393号.(结束)
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链接
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S.Alex Bradt、Jennifer Elder、Pamela E.Harris、Gordon Rojas Kirby、Eva Reutercrona、Yuxuan(Susan)Wang和Juliet Whidden,单位间隔停车功能和r-Fubini数,arXiv:2401.06937[math.CO],2024。请参见第2页。
安德烈·布罗德,r-Stirling数,报告编号:CS-TR-82-9491982年,斯坦福大学计算机科学系。
阿斯卡·朱马迪尔·达耶夫和达米尔·叶利乌西佐夫,行走、分区和正常排序《组合数学电子杂志》,22(4)(2015),#P4.10。
埃尔达尔·菲舍尔、约翰·马考斯基和弗塞沃洛德·拉基塔,限制集配分函数的MC-完整性,arXiv:2302.08265[math.CO],2023年。
V.V.米哈伊洛夫,正规序和广义斯特林数,J.Phys A:数学。Gen.18(1985)231-235。
奥卡涅先生,法定类别剩余阿默尔。数学杂志。,第9卷(1887),353-380。
Michael J.Schlosser和Meesue Yoo,椭圆车号和文件号,《组合数学电子杂志》,24(1)(2017),#P1.31。
马克·沙塔克,广义r-Lah数,arXiv:1412.8721[math.CO],2014年。
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配方奶粉
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T(n+2,k+2)=(1/k!)*和{i=0..k}(-1)^(k-i)*C(k,i)*(i+2)^n,n,k>=0。T(n,k)=搅拌2(n,k)-搅拌2(n-1,k),对于n,k>=2。
递归关系:对于n>2,T(n,k)=T(n-1,k-1)+k*T(n-1,k),对于所有n,T(2,2)=1,T(2,k)=0。特殊情况:T(n,2)=2^(n-2);T(n,3)=3^(n-2)-2^(n-2)。
作为度m的单项式函数之和:T(n+m,n)=sum_{2<=i_1<=…<=i_m<=n}(i_1*i_2*…*i_m)。例如,T(6,4)=Sum_{2<=i<=j<=4}(i*j)=2*2+2*3+2*4+3*3+3*4+4*4=55。
例如,列k+2(偏移量为2):1/k*经验(2*x)*(经验(x)-1)^k。
O.g.f.第k列:和{n=k.oo}T(n,k)*x^n=x^k/((1-2*x)*(1-3*x)*(1-k*x))。
例如:exp(2*t+x*(exp(t)-1))=和{n=0..oo}和{k=0..n}t(n+2,k+2)*x^k*t^n/n!=求和{n=0..oo}B_n(2;x)*t^n/n!=1+(2+x)*t/1!+(4+5*x+x^2)*t^2/2!+。。。,其中行多项式B_n(2;x):=和{k=0..n}T(n+2,k+2)*x^k表示2-Bell多项式。
Dobinski类型恒等式:行多项式B_n(2;x)=exp(-x)*Sum_{i=0..oo}(i+2)^n*x^i/i!。求和{k=0..n}k*T(n+2,k+2)*x^k=Sum_{i=0..oo}(i+2)^n*x^i/(1+x)^(i+1)。
T(n,k)是下降阶乘和移位单项式(x+2)^(n-2)之间的连接系数。例如,第4行有4+5*x+x*(x-1)=(x+2)^2,而第5行有8+19*x+9*x*(x-1)+x*。
数组的行和是2-Bell数B_n(2;1),等于A005493号(n-2)。交替行和是互补的2-Bell数B_n(2;-1),等于(-1)^n*A074051美元(n-2)。
该数组是矩阵乘积P*S,其中P表示Pascal三角形,A007318号S表示第二类斯特林数的下三角数组,A008277号(应用[Neuwirth]的定理10)。
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例子
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三角形开始
n\k|。。。2....3....4....5....6....7
=================================
2..|...1
3..|...2....1
4..|...4....5....1
5..|...8...19....9....1
6..|..16...65...55...14....1
7..|..32..211..285..125...20....1
...
T(4.3)=5。集合{1,2,3,4}可以划分为三个子集,使得1和2以5种方式属于不同的子集:{{1}{2}{3,4{},{{1{3}{2,4}},}{1}{4}{2,3}}、{2}{3}}{1,4}和{2}}{4};剩余的可能性{{1,2}{3}{4}}是不允许的。
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MAPLE公司
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组合:T:=(n,k)->(1/(k-2)!)*加上(-1)^(k-i)*二项式(k-2,i)*(i+2)^;
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数学
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黄体脂酮素
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(鼠尾草)
@缓存函数
定义斯特林2r(n,k,r):
如果n<r:返回0
如果n==r:如果k==r否则为0,则返回1
返回斯特林2r(n-1,k-1,r)+k*斯特林2R(n-1、k,r)
对于(2..6)中的n:
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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