搜索： a218272-编号：a218272
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A007318号
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| 按行读取的帕斯卡三角形：C（n，k）=二项式（n，k）=n/（k！*（n-k）！），0<=k<=n。
（原名M0082）
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+10
2065
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1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1, 1, 5, 10, 10, 5, 1, 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1, 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1, 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1, 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1, 1, 11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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A.W.F.Edwards写道：“它（三角形）早在1654年之前，也就是布莱斯·帕斯卡（Blaise Pascal）写下三角算术的那一年，第一次被写下来，但正是这部作品首次将数字的所有不同方面结合在一起。在这本书中，帕斯卡将数的性质发展为一个纯粹的数学。。。然后，在一系列附录中，展示了这些性质如何与数字的研究、组合理论、二项式表达式的展开以及概率论中一个重要问题的解决相关。”（A.W.F.Edwards，《帕斯卡的算术三角》，约翰·霍普金斯大学出版社（2002），第xiii页）
爱德华兹（Edwards）报告称，1708年，蒙莫特（Montmort）首先以帕斯卡（Pascal）命名三角形，称之为“帕斯卡组合表”（Table de M.Pascal pour les combinations），1730年，德莫伊夫（de Moivre）将其命名为“三角算术PASCALANIUM”。（爱德华兹，第xiv页）
在中国，杨辉在1261年列出了（a+b）^n到n=6的系数，将这种扩展归功于大约1100年的嘉欣的《世素算书》。另一个突出的早期应用是1303年朱世嘉的《四行宝镜》。（爱德华兹，第51页）
在波斯，Al-Karaji在“1007年后不久的某个时间”发现了二项式三角形，而Al-Samawal在1180年前的某个时候在Al-bahir杂志上发表了它。（爱德华兹，第52页）
在印度，Halayuda对Pingala关于音节组合的论文（约公元前200年）的评论（约900年）清楚地描述了三角形的加法计算。（Amulya Kumar Bag，《古代印度的二项式定理》，第72页）
同样在印度，C（n，k）的乘法公式于850年为Mahavira所知，并于1150年由Bhaskara重申。（爱德华兹，第27页）
在意大利，塔塔格里亚（Tartaglia）在他的《将军特拉塔托》（General trattato，1556年）中发表了三角图，而卡达诺（Cardano）则在他的《新作品》（Opus novum，1570年）中出版了三角图。（爱德华兹，第39、44页）-俄罗斯考克斯2022年3月29日
有时也称为Omar Khayyam三角形。
有时也称为杨辉三角形。
C（n，k）=n元集的k元子集的数目。
第n行给出了（1+x）^n展开式中的系数。
二项式（n+k-1，n-1）是将k个无法区分的球放入n个盒子中的方法数（“条形和星形”参数-参见Feller）。
二项式（n-1，k-1）是n与k和的组合数（有序分区）。
二项式（n+k-1，k-1）是n的弱成分（有序弱分区）精确到k个和的数量-于尔根遗嘱2016年1月23日
二项式（n，k）是使用步骤（1,0）和（1,1）从（0,0）到（n，k）的晶格路径数-乔格·阿恩特2011年7月1日
如果将其视为无限下三角矩阵，则逆矩阵开始：
+1
-1 +1
+1 -2 +1
-1 +3 -3 +1
+1 -4 +6 -4 +1
可以看作是一个数组，由反对偶读取，其中第一行和第一列中的条目都是1，对于所有其他条目，A（i，j）=A（i-1，j）+A（i、j-1）。从（0,0）开始的每个n×n子数组的行列式为1-杰拉尔德·麦卡维，2004年8月17日
此外，矩阵指数的下三角读数，其条目{j+1，j}等于j+1（所有其他条目都为零）Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2006年5月26日
二项式（n-3，k-1）计算S_n中图案231零次出现、图案132和k下降一次出现的排列。二项式（n-3，k-1）还计算S_n中模式231零次出现、模式213和k下降一次出现的排列David Hoek（David.hok（AT）telia.com），2007年2月28日
考虑整数列表LL的列表L的形式LL=[m#L]=[m#[k#2]]（其中“#”表示“时间”），如LL（m=3，k=3）=[2,2,2]，[2,2,2]，[2,2]]。如果像[[1，1]，[2]，[2]和[[2，[2]，[1，1]]和[[2，[1，1]，[1，1]这样的多个分区只计数一次，则LL（m，k）的整数列表分区的数量等于二项式（m+k，k）。对于这个例子，我们发现4*5*6/3！=20=二项式（6,3）-托马斯·维德2007年10月3日
来自Lee Naish（Lee（AT）cs.mu.oz.au），2008年3月7日：（开始）
二项式（n+k-1，k）是将长度为k的序列划分为n个子序列的方法数（参见Naish链接）。
二项式（n+k-1，k）也是以至少k为基数写的n个（或更少）数字的数目，其数字总和为k。例如，在十进制中，有二项式的（3+3-1,3）=10个3位数，其数字之和为3（参见A052217号)二项式（4+2-1,2）=10个四位数，其数字之和为2（参见A052216号). 这个关系可以用来生成序列的数量A052216号到A052224号（以及使用大于10的基数的进一步序列）。（结束）
用sigma_k（x_1，x_2，…，x_n）表示初等对称多项式。然后：
二项式（2n+1,2k+1）=σ{n-k}（x_1，x_2，…，x_n），其中x_i=tan^2（i*Pi/（2n+1）），（i=1,2，…，n）。
二项式（2n，2k+1）=2n*sigma{n-1-k}（x_1，x_2，…，x_{n-1}），其中x_i=tan^2（i*Pi/（2n）），（i=1,2，…，n-1）。
二项式（2n，2k）=sigma_{n-k}（x_1，x_2，…，x_n），其中x_i=tan^2（（2i-1）Pi/（4n）），（i=1,2，…，n）。
二项式（2n+1,2k）=（2n+1）σ{n-k}（x_1，x_2，…，x_n），其中x_i=tan^2（（2i-1）Pi/（4n+2）），（i=1,2，…，n）。（结束）
给定矩阵R和S，其中R（n，k）=二项式（n，k）*R（n-k）和S（n，k-）=二项式（n、k）*S（n-k。并且，R、s和T的行多项式的例如f.s分别是exp（x*T）*exp[R（.）*x]、exp。行多项式本质上是Appell多项式。请参见A132382号例如-汤姆·科普兰2008年8月21日
如果A007318号=M作为无限下三角矩阵，M^n给出A130595型,A023531号,A007318号,A038207号,A027465号,A038231号,A038243号,A038255美元,A027466号,A038279号,A038291号,A038303号,A038315号,A038327美元,A133371号,A147716号,A027467号n分别为-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15-菲利普·德尔汉姆2008年11月11日
多项式的系数，例如f.exp（x*t）*（cosh（t）+sinh（t））-彼得·卢什尼2009年7月9日
三角形或国际象棋的总和，参见A180662号有关它们的定义，请将帕斯卡三角形与20个不同的序列联系起来，请参阅交叉参考。由于这个三角形的对称性，所有的总和都成对出现。骑士总金额Kn14-Kn110已添加。值得注意的是，所有骑士和都与斐波那契数相关，即。，A000045号，但其他都没有-约翰内斯·梅耶尔，2010年9月22日
二项式（n，k）也是将n+1个球分布到k+1个瓮中的方法数，以便每个瓮至少得到一个球。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年1月29日
二项式（n，k）是从{1，…，k}增加到{1，..，n}的函数数，因为有二项式的（n，k）方法从共域{1，，…，n}.中选择范围内k个不同的有序元素。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年4月7日
二项式（n，k）是以k+1为中间元素的{1，…，n+1}的子集数。要看到这一点，请注意Sum_{j=0..min（k，n-k）}二项式（k，j）*二项式（n-k，j）=二项式（n，k）。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年12月15日
这是晶格Z^n的坐标三角形，参见Conway-Sloane，1997-N.J.A.斯隆2012年1月17日
定义一个有n行的有限三角形T（m，k），使T（m、0）=1为左列，T（m）=二项式（n-1，m）为右列，其他条目为T（m；k）=T（m-1，k-1）+T（m-l，k）（如帕斯卡三角形中所示）。T中所有项目的总和（有A000217号（n） 元素）为3^（n-1）-J.M.贝戈2012年10月1日
集合{1，…，n}的置换p_1…p_n在位置i处下降，如果p_i>p_（i+1）。设S（n）表示{1，…，n}的置换p_1…p_n的子集，使得p_（i+1）-p_i<=1，。。。，n-1。然后二项式（n，k）给出了S（n+1）中具有k个下降的排列数。或者，二项式（n，k）给出了S（n+1）中随k+1增加的排列数-彼得·巴拉2013年3月24日
和{n=>0}二项式（n，k）/n！=e/k！，其中e=exp（1），同时允许n<k，其中二项式（n，k）=0。同时求和{n>=0}二项式（n+k-1，k）/n！=e（电子）*A000262（k） /k！，并且对于k>=1等于e*A067764号（k）/A067653号（k） ●●●●-理查德·福伯格2014年1月1日
下面公式中定义的Pascal矩阵P（X）的平方n X n子矩阵（前n行和n列）在左边乘以Vandermonde矩阵V（X_1，…，X_n）（第一行中有一个）时，将矩阵转换为V（X_1+X，…，X_n+X），同时保持行列式不变-汤姆·科普兰2014年5月19日
C（n，k）=半长n+1的Dyck路径数，其中k+1“u”位于奇数位置，k+1返回x轴。示例：{U=U在奇数位置，_=返回x轴}二项式（3,0）=1（Uududd_）；二项式（3,1）=3[（Uududd_Ud_），（Ud_Uudd_）；二项式（3,2）=3[（Ud_Ud_U udd_），（Uudd_U d_U d），（U d_Uudd_ d）]；二项式（3,3）=1（Ud_Ud_uUd_）-罗杰·福特2014年11月5日
二项式系数二项式（n，k）给出了n个种群加倍后第k代的个体数量。对于种群的每一倍，每个个体的克隆都会使其生成索引增加1，从而进入下一行。只需将每一行从0到2^n-1相加即可得到二项式系数。
0 1 3 7 15
0:O|.|..|….||
1:|O|O.|O…|（O…|）O|
2:||O|O操作。|O O O。哦|
3:|||O|O O O O|
4:|||O|
这是一个分形过程：要获得从0到2^n-1的图案，请在图案右侧附加一个从0到2 ^（n-1）-1的图案下移（一行）副本。（灵感来自“二项式堆”数据结构。）
生成指数序列：1’s计数序列：n的二进制展开中的1’s数（或n的二进制权重）（参见A000120号):
{0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, ...}
0到15的二进制扩展：
0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1111
（结束）
T（n，k）是[n+1]的集合分区w的数量，它们以rb（w）=k避免了1/2/3。对于ls（w）=k也适用，其中避免是在Klazar和ls的意义上，rb由Wachs和White定义。
满足本福德定律[Diaconis，1977]-N.J.A.斯隆2017年2月9日
设{A（n）}是一个有n个完全相同元素的集，{A（0）}为空集E。{A（n，1）}=A{（n）}的所有子集的集合，包括{A（n-）}和E。设A（n，k）是{A（n、k）}中的元素数。然后A（n，k）=C（n+k，k），每次迭代都复制帕斯卡三角形第k对角线的成员。请参见示例-格雷戈里·西蒙，2018年8月6日
二项式（n-1，k）也是避免213和312的排列数，其中k个上升-劳拉·普德威尔2018年12月19日
二项式（n-1，k）也是避免132和213的排列数，其中k个上升-劳拉·普德威尔2018年12月19日
二项式（n，k）是维数为n的向量空间的第k次外幂的维数-斯特凡诺·斯佩齐亚2018年12月22日
C（n，k-1）是使用k种颜色的n维单纯形的面（或顶点）的无方向着色数。在列举无定向排列时，每个手性对都算作一对-罗伯特·拉塞尔2020年10月20日
Dilcher和Stolarsky：“数学中最普遍的两个对象是素数序列和二项式系数（以及Pascal三角形）这两者之间的联系是由素数的一个著名特征给出的：考虑帕斯卡三角形第k行中的项，不包括首项和尾项。它们都可以被k整除当且仅当k是素数。" -汤姆·科普兰2021年5月17日
皮埃尔·雷蒙德·德·蒙莫特（1708）以法国数学家、物理学家和哲学家布莱斯·帕斯卡（1623-1662）的名字命名为“帕斯卡组合表”-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月11日
将三角形的第n条对角线视为序列b（n），n从0开始。通过保持第0项不变，然后考虑n的所有组成，从中形成一个新序列，取b（i）对每个组成中相应数字i的乘积，加上与偶数部分组成对应的项，减去与奇数部分组成相对应的项。然后得到三角形的第n行，每二项乘以-1，后面跟着无限多个零。对于以1开头的序列，此操作是自反转操作的特例，因此反之亦然-托马斯·安东2021年7月5日
C（n，k）是n维单位超立方体中距给定顶点L1距离k（或：具有k 1d条最短路径）处的顶点数-艾坦·莱文2023年5月1日
C（n+k-1，k-1）是无限维框中距给定顶点L1距离处的顶点数，对于每m>=0，该框具有长度为2^m的k条边。等价地，给定一组包含k个可区分令牌的令牌，每个m>=0的值为2^m，C（n+k-1，k-1）是总值为n的令牌子集的数量-艾坦·莱文，2023年6月11日
第k列中的数字，即n>=k的C（n，k）形式的数字，称为k单纯形数-蓬图斯·冯·布罗姆森2023年6月26日
设r（k）是第k行，c（k）为第k列。用*表示卷积，用^表示重复卷积。然后r（k）*r（m）=r（k+m）和c（k）*c（m）=c（k+m+1）。这是因为r（k）=r（1）^k和c（k）=c（0）^k+1-艾坦·莱文2023年7月23日
长度n的排列数同时避免了图案231和312（分别为213和231；213和312）和k个下降（相当于k个上升）。置换a（1）a（2）中的上升（分别是下降）。。。a（n）是位置i，使得a（i）<a（i+1）（相应地，a（i-田汉2023年11月25日
C（n，k）是m=0阶的广义二项式系数。通过公式C（n，k）=和{i=0..n-k}二项式（n+1，n-k-i）*斯特林2（i+m+1，i+1）*（-1）^i计算，其中m=0表示n>=0，0<=k<=n-伊戈尔·维克托维奇·斯塔森科，2023年2月26日
Akiyama-Tanigawa算法应用于对角线，二项式（n+k，k），得到n的幂-谢尔·卡潘2024年5月3日
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参考文献
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Louis W.Shapiro、Seyoum Getu、Wen-Jin Woan和Leon C.Woodson，Riordan集团，离散应用数学。，第34卷（1991年），第229-239页。
Christopher Stover和Eric W.Weisstein，组成。来自MathWorld-Wolfram Web资源。
赫伯特·S·威尔夫，生成函数学，第2版。，纽约学术出版社，1994年，第12页及其后。
Chris Zheng和Jeffrey Zheng，三角数及其固有性质《从理论基础到应用的变体构造》，新加坡施普林格，51-65。
伊戈尔·维克托维奇·斯塔森科，关于广义特殊数三角形的序数《创新科学》第2-2期，国家Ufa出版社，埃特纳出版社，2024年，第15-19页。俄语。
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配方奶粉
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a（n，k）=C（n，k）=二项式（n，克）。
C（n，k）=C（n-1，k）+C（n-1，k-1）。
三角形是对称的：C（n，k）=C（n、n-k）。
a（n+1，m）=a（n，m）+a（n、m-1），a（n；-1）：=0，a（m，n）:=0，n<m；a（0，0）=1。
C（n，k）=n/（k！（n-k）！）如果0<=k<=n，则为0。
G.f.：1/（1-y-x*y）=和_（C（n，k）*x^k*y^n，n，k>=0）
G.f.：1/（1-x-y）=和_（C（n+k，k）*x^k*y^n，n，k>=0）。
第n行的G.f:（1+x）^n=Sum_{k=0..n}C（n，k）*x^k。
柱k的G.f:x^k/（1-x）^（k+1）；[由更正沃纳·舒尔特，2022年6月15日]。
例如：A（x，y）=exp（x+x*y）。
例如，对于n列：x^n*exp（x）/n！。
一般来说A007318号表示为：T（0，0）=1，T（n，k）=T（n-1，k-1）+m*T（n-1，k），其中n是行index，k是列；T（n，k）=m^（n-k）*C（n，k）。
设P（n+1）=（n+1）的整数分区数；设p（i）=（n+1）的第i个分区的部分数；设d（i）=（n+1）的第i个分区的不同部分的数目；设m（i，j）=（n+1）的第i分区的第j部分的重数。将运算符Sum_{i=1..P（n+1），P（i）=k+1}定义为从i=1到i=P（n/1）的和，但只考虑具有P（i）=（k+1）部分的分区。定义操作符Product_{j=1..d（i）}=Product从j=1运行到j=d（i）。那么C（n，k）=和{p（i）=（k+1），i=1.p（n+1）}p（i[产品{j=1..d（i）}m（i，j）！]。例如，C（5，3）=10，因为n=6有以下m=3部分的分区：（114），（123），（222）。对于它们的多重性，我们有：（114）：3/(2!*1!) = 3; (123): 3!/(1!*1!*1!) = 6; (222): 3!/3! = 1.总和为3+6+1=10=C（5,3）-托马斯·维德2005年6月3日
通用格式：1+x*（1+x）+x^3*（1++x）^2+x^6*（1+x）^3+-迈克尔·索莫斯2006年9月16日
C（t+p-1，t）=和{i=0..t}C（i+p-2，i）=和}i=1..p}C（i+t-2，t-1）。二项式数是它的左亲和所有右祖先的和，等于它的右亲和所有左祖先的和Lee Naish（Lee（AT）cs.mu.oz.au），2008年3月7日
设A（x）=Sum_{n>=0｝x^（n*（n+1）/2）*（1+x）^n为展平三角形的g.f.：
A（x）=1+（x+x^2）+（x^3+2*x^4+x^5）+（x ^6+3*x^7+3*x ^8+x^9）+。。。
则A（x）等于级数Sum_{n>=0}（1+x）^n*x^n*Product_{k=1..n}（1-（1+x）*x^（2*k-1））/（1-（1+x）*x ^（2*k））；
此外，A（x）等于连分数1/（1-x*（1+x）/（1+x*（1-x）*（1+x）/）。
这些公式是由于（1）q级数恒等式和（2）部分椭圆θ函数表达式。（结束）
三角形的第n行（n>=0）由无穷矩阵P^n的第n对角化给出，其中P=（P_{i，j}），i，j>=0是生产矩阵
0, 1,
1, 0, 1,
0, 1, 0, 1,
0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
…（结束）
三角形的第n行也由由递归P_0（x）=1，P_1（x）=x+1，P_n（x-L.埃德森·杰弗里2013年8月12日
（1+x）^n=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*和{i=0..k}k^（i-i）*二项式（k，i）*x^（n-i）/（n-i）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年10月21日
例如：A（x，y）=exp（x+x*y）=1+（x+y*x）/（E（0）-（x+y*x）），其中E（k）=1+（x+y*x）/（1+（k+1）/E（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2013年11月8日
例如：E（0）-1，其中E（k）=2+x*（1+y）/（2*k+1-x*（1+y）/E（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年12月24日
通用系数：1+x*（1+x）*（1+x^2*（1++x）/（W（0）-x^2-x^3）），其中W（k）=1+（1+x）*x^（k+2）-（1+x）*xqu（k+3）/W（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年12月24日
和{n>=0}C（n，k）/n！=e/k！，其中e=exp（1），而允许n<k，其中C（n，k）=0。同时求和{n>=0}C（n+k-1，k）/n！=e（电子）*A000262（k） /k！，并且对于k>=1等于e*A067764号（k）/A067653号（k） ●●●●-理查德·福伯格2014年1月1日
和{n>=k}1/C（n，k）=k/（k-1）对于k>=1-理查德·福伯格2014年2月10日
将Pascal下三角矩阵的每个第n对角线乘以x^n，并将结果指定为A007318号（x） =P（x）。然后用：xD:^n=x^n*（d/dx）^n和B（n，x），Bell多项式(A008277号),
A） P（x）=经验（x*dP）=经验[x*（e^M-I）]=经验[M*B（.，x）]=（I+dP）^B（.、x）
C） P（x）^y=P（y*x）。P（2倍）=A038207号（x） =exp[M*B（.，2x）]，n维超立方体的面向量。
D） P（x）=[St2]*exp（x*M）*[St1]=[St2]*（I+dP）^x*[St1]
E） =[St1]^（-1）*（I+dP）^x*[St1]=[St2]*（I+dP）^x*[St2]^（-1）
发件人彼得·巴拉，2014年12月21日：（开始）
递归方程：T（n，k）=T（n-1，k）*（n+k）/（n-k）-T。注意，将递归中的减号改为加号可以递归二项式系数的平方-参见A008459号.
行的例如f.和三角形的对角线之间有一个关系，即exp（x）*例如f.对于行n=例如f.对角线n。例如，对于n=3，我们有exp（x）*（1+3*x+3*x^2/2！+x^3/3！）=1+4*x+10*x^2！+20*x^3/3！+35*x^4/4！+。。。。此属性更普遍地适用于形式为（f（x），x/（1-x））的Riordan数组，其中f（x）是形式为1+f_1*x+f_2*x^2+…的o.g.f。。。。例如，A055248号和A106516号.
让P表示现在的三角形。对于k=0,1,2，。。。定义P（k）为下单位三角形块数组
/确定0（_k）\
\0 P/将k X k单位矩阵I_k作为左上块；特别地，P（0）=P。无穷乘积P（0，P（1）*P（2）*。。。，这是明确定义的，等于第二类斯特林数的三角形A008277号.按相反顺序的无穷乘积，即*P（2）*P（1）*PA130534型.（结束）
C（a+b，C）=Sum_{k=0..a}C（a，k）*C（b，b-C+k）。这是普鲁德尼科夫等人参考文献第4.2.5节方程式1的推广，其中a=b=c=n:c（2*n，n）=Sum_{k=0..n}c（n，k）^2。有关新公式的动画，请参见“链接”部分-赫尔曼·斯坦姆·威尔勃朗2015年8月26日
Pascal矩阵P（n，x）=（1+x）^n的行多项式与Bernoulli多项式Br（n，x）及其本影合成逆Bv（n，x=（-Br（.，-Bv（.，x））^n=（-1）^n Br，M是对角矩阵图（1，-1,1，-1，…），Br是伯努利多项式系数的矩阵，Bv是由Br（n，Bv（.，x））=x^n=Bv（n，Br（.，x））定义的本影逆多项式的矩阵。注M=M^（-1）-汤姆·科普兰2015年9月5日
1/（1-x）^k=（r（x）*r（x^2）*r其中r（x）=（1+x）^k-加里·亚当森2016年10月17日
Riordan阵列第k列的Boas-Buck型递归（见2017年8月10日中的备注A046521号，也供参考），Boas-Buck序列b（n）={repeat（1）}。T（n，k）=（（k+1）/（n-k））*Sum_{j=k..n-1}T（j，k），对于n>=1，T（n、n）=1。通过T（n，k）=二项式（n，k），这可以简化为已知的二项式恒等式（例如，Graham等人，第161页）-沃尔夫迪特·朗2018年11月12日
C（（p-1）/a，b）==（-1）^b*fact_a（a*b-a+1）/fact_a（a*b）（mod p），其中fact_n表示第n个多因子，a除以p-1，方程式右侧分数的分母表示模逆-艾萨克·萨福克2019年1月7日
和{k=0..n}C（n+k，2*k+1）=F（2*n）。
和{k=0..n}C（n+k，2*k）=F（2*n+1）。（结束）
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11。。。
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
...
有C（4,2）=6种方式在3个不同的瓮中分配5个球BBBBB，<>（）[]，以便每个瓮获得至少一个球，即<BBB>（B）[B]、<B>（BBB。
从{1,2}到{1,2,3,4}有C（4,2）=6个递增函数，即{（1,1），（2,2）}，{（1.11）-丹尼斯·沃尔什2011年4月7日
含有中间元素3的{1,2,3,4,5}的C（4,2）=6个子集，即{3}、{1,3,4}、}1,3,5}、{2,3,4]、{2,5}和{1,2,4,5{-丹尼斯·P·沃尔什2011年12月15日
{A（0）}=E的连续k次迭代是E；E；E、 ；。。。；相应的元素数为1,1,1，。。。{A（1）}={A}的连续k次迭代是（省略括号）A；a、 E；a、 E，E；。。。；相应的元素数为1,2,3，。。。{A（2）}={A，A}的连续k次迭代是aa；aa、a、E；aa、a、E和a、E和E；。。。；相应的元素数为1,3,6-格雷戈里·西蒙，2018年8月6日
k列的Boas-Buck型递推=4:T（8，4）=（5/4）*（1+5+15+35）=70。请参阅上面的Boas-Buck评论-沃尔夫迪特·朗2018年11月12日
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MAPLE公司
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数学
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扁平[表[二项式[n，k]，{n，0，11}，{k，0，n}]](*罗伯特·威尔逊v2004年1月19日*）
压扁[系数列表[系数列表[Series[1/（1-x-x*y），{x，0，12}]，x]，y]](*Mats Granvik公司，2014年7月8日*）
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黄体脂酮素
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（Axiom）--（启动）
)设置公开添加构造函数OutputForm
帕斯卡（0，n）==1
帕斯卡（n，n）==1
帕斯卡（i，j|0<i和i<j）==帕斯卡
pascalRow（n）==[pascal（i，n）for i in 0..n]
displayRow（n）==输出中心空白分隔行（n）
对于0..20中的i，重复显示第i行--（结束）
（Python）#请参阅Hobson链接。其他计划：
来自数学导入产品，阶乘
定义C（n，k）：返回prod（范围（n，n-k，-1））//阶乘（k）#M.F.哈斯勒，2019年12月13日，2022年4月29日更新，2023年2月17日更新
（哈斯克尔）
a007318 n k=a007318_tabl！！n！！k个
a007318_row n=a007318-tabl！！n个
a007318_list=连接a007318-tabl
a007318_tabl=迭代（\row->zipWith（+）（[0]++行）（row++[0]））[1]
--参见。http://www.haskell.org/haskellwiki/Blow_your_mind#Mathematical_sequences
（极大值）create_list（二项式（n，k），n，0，12，k，0，n）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月11日*/
（Sage）def C（n，k）：返回子集（range（n），k）.cardinality（）#拉尔夫·斯蒂芬2014年1月21日
（岩浆）/*作为三角形：*/[[二项式（n，k）：k in[0..n]]：n in[0..10]]//文森佐·利班迪2015年7月29日
（GAP）平面（列表（[0..12]，n->List（[0..n]，k->二项式（n，k）））#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年12月22日
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交叉参考
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等于A102363号——David G.Williams（大卫·威廉姆斯（AT）Paxway.com），2006年1月23日
囊性纤维变性。A008277号,A132311号,A132312号,A052216号,A052217号,A052218美元,A052219号,A052220型,A052221号,A052222号,A052223号,A144225号,A202750型,2011年12月26日,A047999号,A026729号,A052553号,A051920号,A193242号.
斐波那契-帕斯卡三角形：A027926号,A036355号,A037027号,A074829号,105809英镑,A109906号,A111006号,A114197号,A162741号,A228074号,228196元,A228576号.
m=2..12时广义二项式系数（n，k）_m的三角形（或广义Pascal三角形）：A001263号,A056939号,A056940号,A056941号,A142465号,A142467号,A142468号,A174109号,A342889型,324890美元,A342891型.
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关键词
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作者
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扩展
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检查了所有链接，删除了8个似乎永远丢失的链接，这些链接可能并不重要-N.J.A.斯隆2018年5月8日
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状态
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经核准的
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A038207号
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| 第（i，j）项为二项式（i，j）*2^（i-j）的三角形。 |
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+10
96
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1, 2, 1, 4, 4, 1, 8, 12, 6, 1, 16, 32, 24, 8, 1, 32, 80, 80, 40, 10, 1, 64, 192, 240, 160, 60, 12, 1, 128, 448, 672, 560, 280, 84, 14, 1, 256, 1024, 1792, 1792, 1120, 448, 112, 16, 1, 512, 2304, 4608, 5376, 4032, 2016, 672, 144, 18, 1, 1024, 5120, 11520, 15360, 13440, 8064, 3360, 960, 180, 20, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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这个无限矩阵是帕斯卡矩阵的平方(A007318号)其行为[1,0，…]，[1,1,0，..]，[1,2,1,0。。。
作为右上角三角形，表格行给出了点、边、面、立方体的数量，
4D超立方体等-亨利·博托姆利2000年4月14日。更准确地说，第（i，j）项是i维超立方体的j维子空间的数量（参见Coxeter参考）-克里斯托夫·韦伯2009年5月8日
1+[1,1,2]+[2,2,3]+[3,3,4]+[4,4,5]+。。。删除了零项-乔恩·佩里2004年1月1日
Riordan阵列（1/（1-2x），x/（1-2x））-保罗·巴里2005年7月28日
T（n，k）是下降集包含在{s_k}中的Coxeter群B_n的元素数，0<=k<=n-1。对于T（n，n），我们将其解释为具有空下降集的B_n的元素数（因为s_n不存在）伊丽莎白·莫里斯（epmorris（AT）math.washington.edu），2006年3月1日
设S是具有n=|a|个元素的集a的幂集P（a）上的二元关系，使得对于P（a）的每个元素x，y，xSy，如果x是y的子集，那么T（n，k）=S的元素数（x，y），其中y比x多k个元素-罗斯·拉海耶2007年10月12日
T（n，k）是第一象限中从（0,0）到（n，k）的路径数，仅使用步骤B=（1,0）蓝色、R=（1,00）红色和U=（1,1）。例如：T（3,2）=6，因为我们有BUU、RUU、UBU、URU、UUB和UUR-Emeric Deutsch公司2007年11月4日
T（n，k）是使用步骤（0,1）和两种步骤（1,0）从（0,0）到（n，k）的晶格路径数-乔格·阿恩特2011年7月1日
T（i，j）是包含j 1的{1,2,3}的i-置换数。例如：T（2,1）=4，因为我们有12、13、21和31；T（3,2）=6，因为我们有112、113、121、131、211和311-零入侵拉霍斯2007年12月21日
（2+x）^n展开式中系数的三角形-N-E.法西2008年4月13日
三角形T（n，k），按行读取，由[2,0,0,0，0,0,1,0，…]DELTA[1,0,0-0,00,0.0，…]给出，其中DELTA是在A084938号. -菲利普·德尔汉姆2009年12月15日
n维立方体的f向量（“面”-向量）[参见例如，Hoare]。（这是对上述博托姆利的重申。）-汤姆·科普兰2012年10月19日
逆矩阵的矩阵元素是T^（-1）（n，k）=（-1）^（n+k）*T（n，k）-R.J.马塔尔2013年3月12日
T（n，k）是函数f:[n]->[3]的数量，其中k个元素正好映射到3。注意，有C（n，k）方法可以选择映射到3的k个元素，有2^（n-k）方法可将其他（n-k）元素映射到{1,2}。因此，当k从0运行到n时，通过求和T（n，k）得到3^n=Sum_{k=0..n}T（n、k）-丹尼斯·沃尔什，2017年9月26日
由于该数组是Pascal下三角矩阵的平方，因此该数组的行多项式作为Pascal矩阵的行多项式P_n（x）与其自身的本影合成。例如，P_3（P.（x））=1 P_3-汤姆·科普兰2018年11月12日
T（n，k）是n+1的2个成分的数量，允许一些零具有k个零；请参阅霍普金斯和奥夫里参考-布莱恩·霍普金斯2020年8月16日
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参考文献
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=和{i=0..n}二项式（n，i）*二项式。
从形式主义A133314号，对于的行多项式A038207号是exp（x*t）*exp（2x）。逆矩阵行多项式的示例f.是exp（x*t）*exp（-2x）。矩阵的p次迭代给出了带有例如f.exp（x*t）*exp（p*2x）的矩阵。结果推广到用任意数字替换的2-汤姆·科普兰2008年8月18日
求和{k=0..n}T（n，k）*x^k=（2+x）^n-菲利普·德尔汉姆2009年12月15日
对于k<n，T（n，n）=1，T（n，k）=T（n-1，k-1）+2*T（n-1，k）-乔恩·佩里2012年10月11日
第n行的示例f由归一化拉盖尔多项式的本影合成给出A021009型因为p（n，x）=L（n，-L（.，-x））/n！=2^n L（n，-x/2）/n！。例如，L（2，x）=2-4*x+x^2，所以p（2，x）=（1/2）*L（2、-L（.，-x））=（1/2）*（2*L（0，-x-汤姆·科普兰2012年10月20日
然后用D作为导数算子，
exp（x*z/（1-2*z））/
=（1 z ^2 z ^3…）H（1 x x ^2/2！x ^3/3！…）^T
=（1 x x ^2/2！x ^3/3！…）H^T（1 z ^2 z ^3…）^T
=Sum_{n>=0}z^n*2^n Lag_n（-x/2）=exp[z*EF（.，x）]，f向量（行）的o.g.fA038207号其中EF（n，x）是第n个f矢量的一个示例f。（Lag_n（x）是非正规化的拉盖尔多项式。）
相反，
exp（z*（2+x））=导出（2D_x）导出（x*z）=导出
=（1 x ^2 x ^3…）H^T（1 z z ^2/2！z ^3/3！…）^T
=（1 z z ^2/2！z ^3/3！…）H（1 x x ^2 x ^3…）^T
OF（n，x）=（2+x）^n是第n个f向量的o.g.f。
（结束）
G.f.:R（0）/2，其中R（k）=1+1/（1-（2*k+1+（1+y））*x/（（2*k+2+（1++））*x+1/R（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月9日
例如，对于第n次方阵，n=0,1,2，。。。，等于exp（x）*P（n，x），其中P（n、x）是多项式2^n*Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*x^k/k！。例如，第三个子对角的f.是exp（x）*（8+24*x+12*x^2+4*x^3/3）=8+32*x+80*x^2/2！+160*x^3/3！+-彼得·巴拉2017年3月5日
T（3*k+2，k）=T（3*k+2、k+1），T（2*k+1，k）=2*T（2*k+1，k+1）-宇春记2020年5月26日
k列的G.f:x^k/（1-2*x）^（k+1）。
例如，对于k列：exp（2*x）*x^k/k！。（结束）
此外，数组A（n，k）也是通过降序反对偶读取的，其中A（n、k）=（-1）^n*Sum_{j=0..n+k}二项式（n+k，j）*hypergeom（[-n，j+1]，[1]，1）-彼得·卢什尼2021年11月9日
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例子
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三角形以T（0,0）开头：
1;
2, 1;
4, 4, 1;
8, 12, 6, 1;
16, 32, 24, 8, 1;
32, 80, 80, 40, 10, 1;
视为通过降序反对偶读取的数组：
[0] 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ... [A000079号]
[1] 1, 4, 12, 32, 80, 192, 448, 1024, 2304, ... [A001787号]
[2] 1, 6, 24, 80, 240, 672, 1792, 4608, 11520, ... [A001788号]
[3] 1, 8, 40, 160, 560, 1792, 5376, 15360, 42240, ... [A001789号]
[4] 1, 10, 60, 280, 1120, 4032, 13440, 42240, 126720, ... [A003472号]
[5] 1, 12, 84, 448, 2016, 8064, 29568, 101376, 329472, ... [A054849号]
[6] 1, 14, 112, 672, 3360, 14784, 59136, 219648, 768768, ... [A002409号]
[7] 1, 16, 144, 960, 5280, 25344, 109824, 439296, 1647360, ... [A054851号]
[8] 1, 18, 180, 1320, 7920, 41184, 192192, 823680, 3294720, ... [A140325号]
[9] 1, 20, 220, 1760, 11440, 64064, 320320, 1464320, 6223360, ... [A140354号]
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MAPLE公司
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对于从0到12的i，做seq（二项式（i，j）*2^（i-j），j=0。。i） 结束do；#以三角形形式生成序列-Emeric Deutsch公司2007年11月4日
矩阵（10，n->2^（n-1））#彼得·卢什尼2022年10月9日
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数学
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表[系数列表[展开[（y+x+x^2）^n]，y]/。x->1，{n，0，10}]//表格(*杰弗里·克雷策，2011年11月20日*）
表[二项式[n，k]2^（n-k），{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*哈维·P·戴尔2020年5月22日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=polceoff（（x+2）^n，k）}/*迈克尔·索莫斯2000年4月27日*/
（哈斯克尔）
a038207 n=a038207_列表！！n个
a038207_list=concat$迭代（[2,1]*）[1]
实例编号a=>编号[a]，其中
fromInteger k=[来自Integer k]
（p:ps）+（q:qs）=p+q:ps+qs
ps+qs=ps++qs
（p:ps）*qs'@（q:qs）=p*q:ps*qs'+[p]*qs
_ * _ = []
（哈斯克尔）
a038207'n k=a038207 _ tabl！！n！！k个
a038207_行n=a038207 _ tabl！！n个
a038207_tabl=迭代f[1]，其中
f行=zipWith（+）（[0]++行）（映射（*2）行++[0]）
（鼠尾草）
M=矩阵（ZZ，dim，dim）
对于范围（dim）内的n：M[n，n]=1
对于n in（1..dim-1）：
对于（0..n-1）中的k：
M[n，k]=M[n-1，k-1]+2*M[n-l，k]
返回M
（岩浆）/*作为三角形*/[[（&+[二项式（n，i）*二项式：i in[k.n]]）：k in[0..n]]：n in[0..15]]//文森佐·利班迪2018年11月16日
（GAP）平面（列表（[0..15]，n->List（[0..n]，k->二项式（n，k）*2^（n-k）））#斯特凡诺·斯佩齐亚，2018年11月21日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A001861号,A008277号,A027465号,A027466号,A038231号,A038243号,A038255美元,A039683号,A112857号,A118801号,A132440号,A133156号,A133314号,A167374号,A218272型,A238385型,A323939型.
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A011973美元
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| 行读取的数字的不规则三角形：{二项式（n-k，k），n>=0，0<=k<=floor（n/2）}；或者，斐波那契多项式系数的三角形。 |
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+10
86
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1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3, 1, 5, 6, 1, 1, 6, 10, 4, 1, 7, 15, 10, 1, 1, 8, 21, 20, 5, 1, 9, 28, 35, 15, 1, 1, 10, 36, 56, 35, 6, 1, 11, 45, 84, 70, 21, 1, 1, 12, 55, 120, 126, 56, 7, 1, 13, 66, 165, 210, 126, 28, 1, 1, 14, 78, 220, 330, 252, 84, 8, 1, 15, 91, 286, 495, 462
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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T（n，k）是大小为k且不包含连续整数的{1,2，…，n-1}的子集的数目。例如：T（6,2）=6，因为大小为2的{1,2,3,4,5}的子集没有连续整数，是{1,3}、{1,4}、}1,5}、2,4}，{2,5}和{3,5}。等价地，T（n，k）是路径图P_n的k-匹配数-Emeric Deutsch公司，2003年12月10日
T（n，k）=n+2到k+1部分的组分数，全部>=2。例如：T（6,2）=6，因为我们有（2,2,4）、（2,4,2）、（4,2,2）、、（2,3,3）、（3,2,3）和（3,3,2）-Emeric Deutsch公司2005年4月9日
给定任意递归序列S（k）=x*a（k-1）+a（k-2），从（1，x，x^2+1，…）开始；在k次多项式中级数的第（k+1）项=f（x）：（1，（x），（x^2+1），（x^3+2x）。。。示例：假设x=2，然后S（k）=1，2，5，12，29，70，169。。。这样的话A000129号（7） =169=f（x），x^6+5x^4+6x^2+1=（64+80+24+1）-加里·亚当森2008年4月16日
行k给出了U（k，x/2）的非零系数，其中U是第二类切比雪夫多项式。例如，第6行是1,5,6,1，而U（6，x/2）=x^6-5x^4+6x^2-1-大卫·卡伦2008年7月22日
T（n，k）是斐波那契树f（k-1）中k级的节点数。k阶斐波那契树f（k）定义如下：1。f（-1）和f（0）中的每一个都由单个节点组成。2.对于k>=1，取f（k-1）的根作为f（k）的根，我们用最右边的边连接树f（k-2）。参见Iyer和Reddy参考。这些树与A180566号例如：T（3,0）=1和T（3,1）=2，因为在f（2）=/\中，0级有1个节点，1级有2个节点-Emeric Deutsch公司2011年6月21日
Riordan阵列（1/（1-x），x^2/（1-x））-菲利普·德尔汉姆2011年12月12日
这个序列是帕斯卡三角形上升对角线上的元素，其中每个上升对角线上的元素之和代表一个斐波那契数-穆罕默德·阿扎里安2012年3月8日
如果我们设置F（0；x）=0，F（1；x）=1，F（n+1；x）=x*F（n；x）+F（n-1；x加里·亚当森以上。我们注意到F（n；x）=（-i）^n*U（n；i*x/2），其中U表示第二类切比雪夫多项式（参见David Callan的上述评论）。让我们在C中固定a，b，f（0），f（1），b不是零，并且设置f（n）=a*f（n-1）+b*f（n-2）。然后我们推导出关系式：f（n）=b^（（n-1）/2）*f（n；a/sqrt（b））*f（1）+b^，。。。，n、 其中L（0；a）=2，L（1；a）=a，L（n+1；a）=a*L（n；a）+L（n-1；b）是Vieta-Lucas多项式。让我们观察到L（n+2；a）=F（n+2.；a）+F（n；a），L（m+n；a。此外，我们有L（n；a）=2*（-i）^n*T（n；i*x/2），其中T（n；x）表示第一类的第n个切比雪夫多项式。有关证据、其他关系和事实，请参阅维图拉·斯洛塔的论文-罗曼·维图拉2012年10月12日
除了符号和指数偏移外，Coxeter群A_n的Coxeter邻接矩阵的特征多项式的系数与第二类Chebyshev多项式有关（参见Damianou链接第19页）-汤姆·科普兰2014年10月11日
关于su（1,1）的普适Lie-Weyl代数公式的关系，请参见Durov等人的第16页-汤姆·科普兰2014年11月29日
对于n>=3，第n行给出了（n-2）路径图P_{n-2}的独立多项式的系数-埃里克·韦斯特因2017年4月7日
对于n>=2，第n行给出了（n-1）路径图P_{n-1}的匹配生成多项式的系数-埃里克·韦斯特因2017年4月10日
Pascal矩阵的反对角线A007318号从下到上阅读。这些也是Olver论文第9页所示莱布尼茨群L^（n）（1,1）的Maurer-Cartan形式矩阵的数值系数从上到下读取的反对角线，其生成为exp[c.*M]，其中（c）^n=c_n，M是Lie无穷小生成器A218272型。反向为1024年126日. -汤姆·科普兰2018年7月2日
T（n，k）是n+1节点上的路径骨架具有k个不道德性的马尔可夫等价类的数目。参见下文A.Radhakrishnan等人的文章中的定理2.1-利亚姆·索卢斯，2018年8月23日
T（n，k）=n+1到n+1-2*k奇数部分的组成数。例如，T（6,2）=6，因为7=5+1+1=3+3+1=3+1+3=1+1+5=1+3+3=1+1+3+5-迈克尔·索莫斯2019年9月19日
可选行可以解析为最左侧1右侧具有奇数整数系数的行，以及最左侧1的右侧具有偶数整数系数。第一组如所示A054142号和是无限三对角矩阵的子矩阵的特征多项式(A332602)所有-1在上对角线和次对角线中，（1,2,2,2，…）作为主对角线。例如，3X3子矩阵（1，-1,0；-1,2，-1；0，-1,2）的特征方程是X^3-5x^2+6x-1。根是Beraha常数B（7,1）=3.24697。。。；B（7.2）=1.55495。。。；B（7,3）=0.198062….对于这种形式的n×n矩阵，最大特征值是B（2n+1，1）。3X3矩阵的特征值为3.24697…=B（7,1）。
在最左边1的右边具有偶数整数系数的多项式位于A053123号根是均匀诱导的Beraha常数。生成的Cartan矩阵是那些以（2,2,2，…）为主对角线，以-1为次对角线和超对角线的矩阵。这种形式的n×n矩阵的最大特征值是B（2n+2,1）。例如，（2，-1,0；-1,2，-1；0，-1,2）的最大特征值是3.414…=B（8,1）=x^3-6x^2+10x-4的根。（结束）
T（n，k）是具有（n-k）边的P_（n+2）的边覆盖数。例如，T（6,2）=6，因为在边1、2、…、。。。，P_8的7，我们可以消除2-6中的任意两个非连续边。这些数可以使用P_n的边覆盖多项式的递推关系来找到，其为E（P_n，x）=xE（P_（n-1），x）+xE（P_（n-2），x）和E（P_1，x）=0，E（P_2，x）=x（参考Akbari和Oboudi）-费亚尔·阿莱昂特2022年6月3日
T（n，k）是使用k个多米诺骨牌和n-2*k个正方形平铺n块板（由1X1个单元格组成的nX1数组）的方法数-迈克尔·艾伦2022年12月28日
T（n，k）是正整数序列（s（1），s（2），。。。，s（n-2k）），使得s（i）<s（i+1），s（1）是奇数，s（n-20k）<=n，并且s（i）和s（i/1）具有相反的奇偶性（参考Donnelly、Dunkum和McCoy）。例如：T（6,0）=1对应于123456；T（6,1）=5对应于12341236125614563456；T（6,2）=6对应于12，14，16，34，36；T（6.3）=1对应于长度为0的空序列（）-莫莉·邓库姆2023年6月27日
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参考文献
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链接
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Robert G.Donnelly、Molly W.Dunkum、Sasha V.Malone和Alexandra Nance，对称斐波那契分配格和特殊线性李代数的表示，arXiv:2012.14991[math.CO]，2020年。
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R.Witula和D.Slota，关于修正的切比雪夫多项式，J.数学。分析。申请。，324 (2006), 321-343.
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配方奶粉
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设F（n，x）是x中的第n个斐波那契多项式；f（n，x）的g.f.是和{n>=0}f（n、x）*y^n=（1+x*y）/（1-y-x*y^2）-保罗·D·汉纳
T（m，n）=0代表n！=0和m<=1T（0，0）=T（1，0）=1T（m，n）=TA007318号，但在第二次汇总时，上移一行并左移一列）。例如，T（7,2）=10=T（6,2）+T（5,1）=6+4-罗布·阿森2003年9月22日
第k列的G.f.：x^（2*k-1）/（1-x）^（k+1）。
斐波那契多项式F（n，x）的恒等式：
F（m+n+1，x）=F（m+1，x。
F（n，x）^2-F（n-1，x）*F（n+1，x）=（-x）^（n-1）。
F（n，x）的阶数是floor（（n-1）/2），并且F（2p，x）＝F（p，x）乘以等阶多项式，即1 mod p。
p（x，n）=和{m=0..floor（（n+1）/2）}二项式（n-m+1，m）*x^m；
p（x，n）=p（x，n-1）+x*p（x、n-2）。（结束）
通用公式：1/（1-x-y*x^2）=R（0）/2，其中R（k）=1+1/（1-（2*k+1+x*y）*x/（（2*k+2+x*y）*x+1/R（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月9日
外径g（x，t）=x/（1-x-tx^2）=x+x^2+（1+t）x^3+（1+2t）x*4+。。。具有逆Ginv（x，t）=-[1+x-sqrt[（1+x）^2+4tx^2]/（2tx）=x-x^2+（1-t）x^3+（-1+3t）x*4+。。。，符号Motzkin多项式的o.g.fA055151号，与一致A134264号h0=1，h1=-1，h2=-t，否则hn=0-汤姆·科普兰2016年1月21日
外径H（x，t）=x（1+tx）/[1-x（1+tx）]=x+（1+t）x^2+（1+2t）x*3+…=-L[Cinv（-tx）/t]，其中L（x）=x/（1+x），逆Linv（x）=x/（1-x），CinvA000108号然后Hinv（x，t）=-C[t Linv（-x）]/t=[-1+sqrt（1+4tx/（1+x））]/2t=x-（1+t）x^2+（1+2t+2t^2）x^3-（1+3t+6t^2+5t^3）x^4+。。。，已经签字了A098474号，背面为A124644号. -汤姆·科普兰，2016年1月25日
T（n，k）=GegenbauerC（k，（n+1）/2-k，1）-彼得·卢什尼2016年5月10日
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例子
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前几个斐波那契多项式（这里定义为F（0，x）=0，F（1，x）=1；F（n+1，x）=F（n，x）+x*F（n-1，x））是：
0: 0
1: 1
2: 1
3:1+x
4:1+2*x
5:1+3*x+x^2
6:（1+x）*（1+3*x）
7:1+5*x+6*x^2+x^3
8：（1+2*x）*（1+4*x+2*x^2）
9：（1+x）*（1+6*x+9*x^2+x^3）
10：（1+3*x+x ^2）*（1+5*x+5*x^2）
11:1+9*x+28*x^2+35*x^3+15*x^4+x^5
1
1
1 1
1 2
1 3 1
1 4 3
1 5 6 1
1 6 10 4
1 7 15 10 1
1 8 21 20 5
1 9 28 35 15 1
1 10 36 56 35 6
1 11 45 84 70 21 1
1 12 55 120 126 56 7（结束）
对于n=9和k=4，T（9,4）=C（5,4-丹尼斯·沃尔什2011年3月31日
当三角形的行显示为居中文本时，下降的对角线和为A005314号。前几个术语是row1=1=1；行2=1+1=2；行3=2+1=3；行4=1+3+1=5；行5=1+3+4+1=9；第6行=4+6+5+16；第7行=1+10+10+6+1=28；行8=1+5+20+15+7+1=49；第9行=6+15+35+21+81=86；行10=1+21+35+56+28+9+1=151-约翰·莫洛卡赫2013年7月8日
在这个例子中，你可以看到帕斯卡三角形的第n行是由T（n，0），T（n+1，1）。。。，T（2n-1，n-1），T（2n，n）-丹尼尔·福格斯2018年7月7日
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MAPLE公司
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a:=进程（n）局部k；[seq（二项式（n-k，k），k=0..楼层（n/2））]；结束；
T:=proc（n，k）：如果k<0或k>floor（n/2），则返回（0）fi:二项式（n-k，k）end:seq（seq（T（n，k），k=0..floor（n/2）），n=0..15）#约翰内斯·梅耶尔2013年8月26日
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数学
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（*第一：求和法*）表[系数列表[和[二项式[n-m+1，m]*x^m，{m，0，Floor[（n+1）/2]}]，x]，{n，0，12}](*罗杰·巴古拉2009年2月20日*）
（*秒：多项式递归法*）清除[L，p，x，n，m]；L[x，0]=1；L[x，1]=1+x；L[x_，n_]：=L[x，n-1]+x*L[x，n-2]；表[ExpandAll[L[x，n]]，{n，0，10}]；表[系数列表[ExpandAll[L[x，n]]，x]，{n，0，12}]；压扁[%](*罗杰·巴古拉2009年2月20日*）
（*中间选项显示下降对角线为A224838号*)列[表[二项式[n-m，m]，{n，0，25}，{m，0，Floor[n/2]}]，中心](*约翰·莫洛卡赫2013年7月26日*）
表[Select[CoefficientList[Fibonacci[n，x]，x]，Positive]//Reverse，{n，1，18}]//Flatten(*Jean-François Alcover公司2013年10月21日*）
系数列表[LinearRecurrence[{1，x}，{1+x，1+2x}(*埃里克·韦斯特因2017年4月7日*）
系数列表[表[x^（（n-1）/2）Fibonacci[n，1/Sqrt[x]]，{n，15}]，x]//展平(*埃里克·韦斯特因2017年4月7日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=如果（k<0||2*k>n，0，二项式（n-k，k））}；
对于（2..20）中的n：[组成（n，长度=m，min_part=2）.基数（）对于（1..n//2）中的m]#彼得·卢什尼2012年10月18日
（哈斯克尔）
a011973 n k=a011973_tabf！！n！！k个
a011973_当前n=a011973_tabf！！n个
a011973_tabf=zipWith（zipWitha007318）a025581_tabl a055087_tabf
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交叉参考
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关键词
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标签,容易的,非n,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A030528型
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| 行读取的三角形：a（n，k）=二项式（k，n-k）。 |
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+10
48
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1, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 3, 1, 0, 0, 3, 4, 1, 0, 0, 1, 6, 5, 1, 0, 0, 0, 4, 10, 6, 1, 0, 0, 0, 1, 10, 15, 7, 1, 0, 0, 0, 0, 5, 20, 21, 8, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 15, 35, 28, 9, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 6, 35, 56, 36, 10, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 21, 70, 84, 45, 11, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 7, 56, 126, 120, 55, 12, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1, 5
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评论
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符号三角矩阵a（n，m）*（-1）^（n-m）是三角加泰罗尼亚卷积矩阵的逆矩阵A033184号（n+1，m+1），n>=m>=0，带A033184号（n，m）：如果n<m，则=0。
Riordan阵列（1+x，x（1+x））。有符号三角形是Riordan数组（1-x，x（1-x）），与c（x），xc（xA000108号. -保罗·巴里，2005年2月2日[偏移量为0]
此外，a（n，k）=n的组成数为1和2的k部分。例如：a（6,4）=6，因为我们有2211、2121、2112、1221、1212和1122-Emeric Deutsch公司，2005年4月5日【参见MacMahon和Riordan-沃尔夫迪特·朗2023年7月27日]
a（n，k）是长度为n-1的二进制序列的数量，没有两个连续的0，正好是k-1 1。例如：a（6,4）=6，因为我们有01011，01101，01110，10101，10110，11010-杰弗里·克雷策2013年7月22日
镜像、移位斐波那契多项式A011973美元该项的多项式（如下所示）具有p（n，t）=t*[p（n-1，t）+p（n-2，t）]的性质。帕斯卡三角形的可加性(A007318号)反映在这些多项式的多项式中，如下面的示例部分所示，当下面的o.g.f.g（x，t）展开为序列x*（1+x）+t*[x*（l+x）]^2+t^2*[xx（1+x）]^3+。另请参见A053122号与Cartan矩阵的关系-汤姆·科普兰2014年11月4日
此条目的行显示为Copeland链接中显示的无穷小生成器的数组列-汤姆·科普兰2015年12月23日
对于n>=2，第n行也是（n-1）-路图P_{n-1}的顶点覆盖多项式的系数-埃里克·韦斯特因2017年4月10日
对于n>0，附加一个初始矩阵元素a_（0,0）=1和零列a_（n，0）=0，这些是从下到上读取莱布尼茨群L^（n）（1,1）的Maurer-Cartan形式矩阵数值系数的反对角线，列于Olver论文第9页），它是用（c）生成的exp[c.*M]^n=c_n和M是李无穷小生成元A218272型.参见。A011973美元.和A169803号. -汤姆·科普兰2018年7月2日
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参考文献
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P.A.MacMahon，《组合分析》，两卷（合订为一卷），切尔西出版公司，纽约，1960年，第一卷，编号124，第151页。
约翰·里奥登，《组合分析导论》，约翰·威利父子出版社，伦敦，1958年。等式（35），第124页，第11页。第154页。
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链接
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D.Merlini、R.Sprugnoli和M.C.Verri，正确生成树的代数2000年9月，凡尔赛数学和计算机科学座谈会。
D.Merlini、R.Sprugnoli和M.C.Verri，正确生成树的代数《数学与计算机科学》，数学趋势系列第127-139页的一部分。
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配方奶粉
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a（n，m）=2*（2*m-n+1）*a（n-1，m）/n+m*a（n-1，m-1）/n，n>=m>=1；a（n，m）：=0，n<m；a（n，0）：=0；a（1，1）=1。
第m列的总长度：（x*（1+x））^m。
作为偏移量为0的数字三角形，这是T（n，k）=Sum_{i=0..n}（-1）^（n+i）*二项式（n，i）*二项式（i+k+1，2k+1）。反对角和给出了Padovan序列A000931号（n+5）。的二项式逆变换A078812号（下三角矩阵的乘积）-保罗·巴里2004年6月21日
通用名称：（1+x）/（1-y*x-y*x^2）-杰弗里·克雷策，2013年7月22日[偏移量0][偏移量1:g.f.y:x*（1+x）*y/（1-x*（1'x）*y）中的行多项式-沃尔夫迪特·朗2023年7月27日]
O.g.f:g（x，t）=x*（1+x）/[1-t*x*（1+x）]=-P[Cinv（-x），t]，其中P（x，t）=x/（1+t*x）和CinvA000108号.
因此，Ginv（x，t）=-C[Pinv（-x，t）]={-1+sqrt[1+4*x/（1+t*x）]}/2，即-A124644号（-x，t）。
这将此数组置于一系列数组中，这些数组由P和C的组成及其倒数和t插值相关，例如A091867号和A104597号与加泰罗尼亚数、莫茨金数、精细数和斐波那契数相关。囊性纤维变性。A104597号（以t为单位移位的多项式）125145英镑,A146559号,A057078号,A000045号,A155020号,A125145号,A039717号,A001792号,A057862号,A011973美元,A115139号.（结束）
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例子
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三角形开始：
[ 1] 1
[ 2] 1 1
[ 3] 0 2 1
[ 4] 0 1 3 1
[ 5] 0 0 3 4 1
[ 6] 0 0 1 6 5 1
[ 7] 0 0 0 4 10 6 1
[ 8] 0 0 0 1 10 15 7 1
[ 9] 0 0 0 0 5 20 21 8 1
[10] 0 0 0 0 1 15 35 28 9 1
[11] 0 0 0 0 0 6 35 56 36 10 1
[12] 0 0 0 0 0 1 21 70 84 45 11 1
[13] 0 0 0 0 0 0 7 56 126 120 55 12 1
...
为了与其他多项式进行快速比较：
p（1，t）=1
p（2，t）=1+1 t
p（3，t）=0+2t+1 t^2
p（4，t）=0+1 t+3 t^2+1 t^3
p（5，t）=0+0+3t^2+4t^3+1t^4
p（6，t）=0+0+1 t^2+6 t^3+5 t^4+1 t^5
p（7，t）=0+0+0+4 t^3+10 t^4+6 t^5+1 t^6
p（8，t）=0+0+0+1 t^3+10 t^4+15 t^5+7 t^6+1 t^7
...
沿着列进行读取，得到Pascal三角形的行。（结束）
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MAPLE公司
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数学
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nn=10；系数列表[级数[（1+x）/（1-y x-y x ^2），{x，0，nn}]，{x、y}]//网格(*杰弗里·克雷策2013年7月22日*）
表[二项式[k，n-k]，{n，13}，{k，n}]//展平(*迈克尔·德弗利格2015年12月23日*）
系数列表[表[x^（n/2-1）斐波那契[n+1，Sqrt[x]]，{n，10}]，
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黄体脂酮素
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（岩浆）/*作为三角形*/[[二项式（k，n-k）：k in[1..n]]：n in[1..15]]//文森佐·利班迪2014年11月5日
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 3, 1, 9, 6, 1, 27, 27, 9, 1, 81, 108, 54, 12, 1, 243, 405, 270, 90, 15, 1, 729, 1458, 1215, 540, 135, 18, 1, 2187, 5103, 5103, 2835, 945, 189, 21, 1, 6561, 17496, 20412, 13608, 5670, 1512, 252, 24, 1, 19683, 59049, 78732, 61236, 30618, 10206, 2268
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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（3+x）^n展开式中系数的三角形。
另外：纯高尔顿板方案（3,1）。此外：具有点积（重叠）k的n维二元向量对的多重性（数量）。有2^n个=A000079号（n） 长度为n且2^（2n）=4^n的二进制向量=A000302号（n） 形成点积k=Sum{i=1..n}v[i]*u[i]的不同对之间，0<=k<=n。（由于点积是对称的，实际上只有2^n*（2^n-1）/2个不同的无序对。）-R.J.马塔尔2006年3月17日
T（i，j）是4个对象a，b，c，d的i置换数，允许重复，包含j a-零入侵拉霍斯，2007年12月21日
序列的反对角线被格式化为一个方形数组（参见示例部分），并用交替符号求和，得到斐波那契序列的二分，A001906号例如：81-（27-1）=55。应用于行的类似规则给出了A000079号. -马克·多尔斯2009年9月1日
T（n，k）=二项式（n，k）*3^（n-k），即[2n]的子集的数目，正好有k个对称对，其中，如果i+j=2n+1，[2n]中的元素i和j形成对称对。等价地，如果有n对情侣参加了一个提供门奖的（带票）活动，那么正好有k对情侣成为双优胜者的可能奖金分配数量为T（n，k）-丹尼斯·沃尔什，2012年2月2日
T（n，k）是{1,2，…，n}的子集的有序对（A，B）的数目，使得A和B的交集正好包含k个元素。例如，T（2,1）=6，因为我们有（{1}，{1}）；({1},{1,2}); ({2},{2}); ({2},{1,2}); ({1,2},{1}); ({1,2},{2}). 和{k=0..n}T（n，k）*k=A002697号（n） （见Ross La Haye的评论）-杰弗里·克雷策2013年9月4日
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链接
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配方奶粉
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（b^2）[i，j]的下三角的分子，其中b[i，j]=二项式（i-1，j-1）/2^（i-1），如果j<=i，则为0，如果j>i。
第（i，j）项为二项式（i，j）*3^（i-j）的三角形。
a（n，m）=4^（n-1）*和{j=m.n}b（n，j）*b（j，m）=3^（n-m）*二项式（n-1，m-1），n>=m>=1；a（n，m）：=0，n<m.第m列的G.f:（x/（1-3*x））^m（m倍卷积A000244号，3）的权力-沃尔夫迪特·朗2006年2月
G.f.：1/（1-x（3+y））。
a（n，k）=3*a（n-1，k）+a（n-1，k-1）-R.J.马塔尔，2006年3月17日
从形式主义A133314号，例如f.表示的行多项式A027465号是exp（x*t）*exp（3x）。逆矩阵行多项式的示例f.为exp（x*t）*exp（-3x）。矩阵的p次迭代给出了带有例如f.exp（x*t）*exp（p*3x）的矩阵。结果推广到用任意数字替换的3-汤姆·科普兰2008年8月18日
exp[x*z/（1-3z）]/（1-2z）=exp（3z D_z）e^（x*z）=exp（3D_x D_x）e^（z*x）
=（1 z ^2 z ^3…）H（1 x x ^2/2！x ^3/3！…）^T
=（1 x x ^2/2！x ^3/3！…）H^T（1 z ^2 z ^3…）^T=和{n>=0}（3z）^n L_n（-x/3），其中D是导数算子，L_nTom Copeland，2012年10月26日
例如，对于k列：x^k/k！*经验（3倍）-杰弗里·克雷策2013年9月4日
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例子
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示例：n=3提供2^3=8个不同的二进制向量（0,0,0），（0,0，1）。。。，(1,1,0), (1,1,1). 2^4=64对中的a（3,2）=9有重叠k=2:（0,1,1）*（0,1.1）=（1,0,1）x（1,0.1）=。
例如，T（2,1）＝6，因为{1,2,3,4}的6个子集正好有1个对称对，即{1,4}、{2,3}、{1,2,3}、{1,2,4}、{1,3,4}和{2,3,4}。
当前序列格式为三角形数组：
1
3 1
9 6 1
27 27 9 1
81 108 54 12 1
243 405 270 90 15 1
729 1458 1215 540 135 18 1
2187 5103 5103 2835 945 189 21 1
6561 17496 20412 13608 5670 1512 252 24 1
...
1
1 3
1 6 9
1 9 27 27
1 12 54 108 81
1 15 90 270 405 243
1 18 135 540 1215 1458 729
1 21 189 945 2835 5103 5103 2187
1 24 252 1512 5670 13608 20412 17496 6561
...
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
9 6 1 0 0 0 0 0 0 ...
27 27 9 1 0 0 0 0 ...
81 108 54 12 1 0 0 ...
243 405 270 90 15 1 ...
729 1458 1215 540 135 ...
2187 5103 5103 2835 ...
6561 17496 20412 ...
19683 59049 ...
59049 ...
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MAPLE公司
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对于从0到12的i，做seq（二项式（i，j）*3^（i-j），j=0。。i） od#零入侵拉霍斯2007年11月25日
矩阵（10，n->3^（n-1））#彼得·卢什尼2022年10月9日
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=polceoff（（3+x）^n，k）}/*迈克尔·索莫斯2002年2月14日*/
（哈斯克尔）
a027465 n k=a027465_tabl！！n！！k个
a027465_row n=a027465 _ tabl！！n个
a027465_tabl=迭代（\row->
zipWith（+）（map（*3）（row++[0]））（map（*1）（[0]++row））[1]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000244号,A007318号,A013610号,A013610号,A099097美元,A027471号,A027472号,A036216号,A036217号,A036219号,A036220型,A036221号,A036222号,A036223号.
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 1, 4, 4, 5, 10, 1, 6, 20, 6, 7, 35, 21, 1, 8, 56, 56, 8, 9, 84, 126, 36, 1, 10, 120, 252, 120, 10, 11, 165, 462, 330, 55, 1, 12, 220, 792, 792, 220, 12, 13, 286, 1287, 1716, 715, 78, 1, 14, 364, 2002, 3432, 2002, 364, 14, 15, 455, 3003, 6435, 5005, 1365, 105, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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评论
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另外，由于n个序列是C（n+1,2*k+1），所以n个序列的数为0,1，k个子序列的数是连续的01Roger Cuculiere（cuculier（AT）imaginet.fr），2002年11月16日
设T=tan x，则
tan x=T
tan 2x=2T/（1-T^2）
tan 3x=（3T-T^3）/（1-3T^2）
tan 4x=（4T-4T^3）/（1-6T^2+T^4）
tan 5x=（5T-10T^3+T^5）/（1-10T^2+5T^4）
tan 6x=（6T-20T^3+6T^5）/（1-15T^2+15T^4-T^6）
tan 7x=（7T-35T^3+21T^5-T^7）/（1-21T^2+35T^4-7T^6）
tan 8x=（8T-56T^3+56T^5-8T^7）/（1-28T^2+70T^4-28T^6+T^8）
tan 9x=（9T-84T^3+126T^5-36T^7+T^9）/（1-36T^2+126T*4-84T^6+9T^8）
…为了得到序列中的下一个，（tan 10x），将分子相加：
9….84….126….36….1以前的分子+
1….36….126….84….9前分母=
10..120……252……120…10=新分子
对于分母，添加：
……9…..84…126…36…1=前一分子+
1….36….126….84….9…=前分母=
1….45….210…210…45…1=新分母
（结束）
行多项式N（N，x）=和{k=0..floor（（N-1）/2）}T（N-1，k）*x^k，和D（N，x）=和}k=0.floor（N/2）}A034839号（n，k）*x^k，n>=1，满足递归n（n，x）=D（n-1，x）+n（n-1、x），D（n，x）=D。这是由于Pascal三角形A007318号重复发生。Q（n，x）：=tan（n*x）/tan（x）满足输入Q（1，x）=1和v=v（x）：=。这种递推是从tan（n*x）的加法定理得到的，其中n=1+（n-1）。因此Q（n，x）=n（n，-v（x））/D（n，-v（x）。这证明了加里·亚当森（Gary W.Adamson）的上述贡献。另请参见A220673型。这一计算是由托马斯·奥尔森（Thomas Olsen）的一封电子邮件引发的。Oliver/Prodinger和Ma引用了HAKEM Al Memo 239第16项中关于tan（x）的tan（n*x）公式-沃尔夫迪特·朗2013年1月17日
Narayana多项式的无穷小生成器（infinigen）A090181号/A001263号可以由该条目的行多项式P（n。生成的矩阵是中给出的解析插值矩阵表示的一个实例A145271号对于一般的二项式Sheffer多项式集A001263号和A119900个特别是Narayana多项式。给定行多项式的列向量V=（1，P（1，x）=2x，P（2，y）=3x+x^2，P（3，y）=4x+4x^2…），形成下三角矩阵M（n，k）=V（n-k，n-k），即将矩阵与对角线上及以下的所有矩阵对角乘以V的分量A132440号^转座=A218272型=D（表示o.g.f.s的导数）由M表示，即MD=M*D。（MD）^n*V/（n+1）第一行的非零分量！是第n个Narayana多项式-汤姆·科普兰2015年12月9日
二项式（n，2k+1）也是避免132和213两个具有k个峰值的排列数，即w[i]<w[i+1]>w[i+2]的位置-劳拉·普德威尔2018年12月19日
二项式（n，2k+1）也是避免123和132个k峰值的排列数，即w[i]<w[i+1]>w[i+2]的位置-劳拉·普德威尔2018年12月19日
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参考文献
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A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，同上136。
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链接
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M.Bukata、R.Kulwicki、N.Lewandowski、L.Pudwell、J.Roth和T.Wheeland，避免模式置换的统计分布，arXiv预印本arXiv:1812.07112[math.CO]，2018。
L.Carlitz和R.Scoville，零一序列与斐波那契数《斐波纳契季刊》，第15期（1977年），246-254页。
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配方奶粉
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T（n，k）=C（n+1,2k+1）=和{i=k.n.n-k}C（i，k）*C（n-i，k。
例如：1+（exp（x）*sinh（x*sqrt（y）））/sqrt（y）-弗拉德塔·乔沃维奇2005年3月20日
k列的O.g.f，k>=0：（1/（1-x）^2）*（x/（1-x，））^（2*k）。参见Emeric Deutsch给出的上述阵列的G.f-沃尔夫迪特·朗2013年1月18日
T（n，k）=（x^（2*k+1））*（（1+x）^n-（1-x）^n）/2-L.埃德森·杰弗里，2014年1月15日
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例子
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三角形开始：
1
2
3 1
4 4
5 10 1
6 20 6
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MAPLE公司
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数学
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u[1，x_]：=1；v[1，x_]：=1；z=12；
u[n，x_]：=u[n-1，x]+x*v[n-1、x]
v[n，x_]：=u[n-1，x]+v[n-1、x]
cu=表[系数列表[u[n，x]，x]、{n，1，z}]；
cv=表[系数列表[v[n，x]，x]，{n，1，z}]；
表[二项式[n+1，2*k+1]，{n，0，20}，{k，0，Floor[n/2]}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2018年3月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）对于（n=0，20，对于（k=0，floor（n/2），print1（二项式（n+1，2*k+1），“，”））\\G.C.格鲁贝尔，2018年3月6日
（岩浆）/*作为三角形*/[[二项式（n+1，2*k+1）：k in[0..Floor（n/2）]]：n in[0..20]]//G.C.格鲁贝尔，2018年3月6日
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交叉参考
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关键词
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非n,标签,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A102426号
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| 由给出由F（0，x）=0，F（1，x）=1，F（n，x）=F（n-1，x）+x*F（n-2，x）定义的多项式系数的行读取的三角形。 |
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+10
21
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0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 3, 4, 1, 1, 6, 5, 1, 4, 10, 6, 1, 1, 10, 15, 7, 1, 5, 20, 21, 8, 1, 1, 15, 35, 28, 9, 1, 6, 35, 56, 36, 10, 1, 1, 21, 70, 84, 45, 11, 1, 7, 56, 126, 120, 55, 12, 1, 1, 28, 126, 210, 165, 66, 13, 1, 8, 84, 252, 330, 220, 78, 14, 1, 1, 36, 210, 462, 495, 286, 91, 15, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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F（n）+2x*F（n-1）给出Lucas多项式（参见。A034807号). - 马克西姆·克里昆（Krikun（AT）iecn.u-nancey.fr），2007年6月24日
在初始0之后，这些是斐波那契多项式的非零系数；请参阅Mathematica部分-克拉克·金伯利2013年10月10日
除了符号和指数偏移外，Coxeter群A_n的Coxeter邻接矩阵的特征多项式的系数与第二类Chebyshev多项式有关（参见Damianou链接第19页）-汤姆·科普兰2014年10月11日
除了初始零之外，这些是Olver论文第9页上给出的Leibniz群L^（n）（1,1）的Maurer-Cartan形式矩阵的数值系数从下到上读取的反对偶，该矩阵生成为exp[c.*M]，其中（c）^n=c_n和M是Lie无穷小生成器A218272型.反向A011973美元. -汤姆·科普兰2018年7月2日
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参考文献
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Dominique Foata和Guo-Niu Han，《多元正切和正割q导数多项式》，手稿，2012年3月21日。
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链接
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H.-H.Chern、H.-K.Hwang和T.-H.Tsai，餐桌上随意安排不友好的座位，arXiv预印本arXiv:1406.0614[math.PR]，2014。
Dominique Foata和Guo-Niu Han，多元正切和正割q导数多项式《莫斯科组合数学与数论杂志》，第2卷，第3期，2012年，第34-84页，[第232-282页]。
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配方奶粉
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或者，当n是偶数或奇数时：T（n-2，k）+T（n-1，k-1）=T（n，k），T
T（n，k）=二项式（地板（n/2）+k，地板（（n-1）/2-k））-保罗·巴里，2005年6月22日
从示例中的第二个多项式开始，偏移量=0，P（n，t）=Sum_{j=0..n}，二项式（n-j，j）*x^j，约定1/k！对于k=-1，-2，…，为零，。。。，即1/k！=lim{c->0}1/（k+c）-汤姆·科普兰2014年10月11日
O.g.f.：（x+x^2-x^3）/（1-（2+t）*x^2+x^4）=（x^2（偶数部分）+x*（1-x^2）（奇数部分）/（1-x*2+t。
递归关系：
A） p（n，t）=p（n-1，t）+p（n-2，t），n=2,4,6,8，。。。
B） p（n，t）=t*p（n-1，t）+p（n-2，t），对于n=3,5,7，。。。
C） n=4,6,8，…时，a（n，k）=a（n-2，k）+a（n-1，k），。。。
D） n=3,5,7，…时，a（n，k）=a（n-2，k）+a（n-1，k-1），。。。
关系A推广到n=1,2,3，…的MV（n，t；r）=P（2n+1，t）+r r（2n，t），。。。（参见。A078812号和A085478号)是Andre-Jeannine第229页上广义Morgan-Voyce多项式的生成关系，例如，对于n=4,6,8，…，MV（2，t；r）=p（5，t）+r*p（4，t）=（1+3t+t^2）+r*（2+t）=。
奇偶多项式也出现在Trzaska和Ferri中。
去掉初始值0并以初始值m=0重新诱导，得到下面的行多项式Fb（m，t）=p（n+1，t），其中o.g.f.g（t，x）/x从Fb（0，t）=1，Fb（1，t）=1，Fb。
然后，o.g.f.x/g（x，t）=（1-（2+t）*x^2+x^4）/（1+x-x^2）生成多项式序列IFb（t），使得卷积和{k=0..n}IFb（n-k，t）Fb（k，t。这些线性多项式具有基本的斐波那契数A000045号作为一个整体因素：
IFb（0，t）=1
IFb（1，t）=-1
IFb（2，t）=-t
IFb（3，t）=-1（1-t）
IFb（4，t）=2（1-t）
IFb（5，t）=-3（1-t）
IFb（6，t）=5（1-t）
IFb（7，t）=-8（1-t）
IFb（8，t）=13（1-t）
... .
（结束）
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例子
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前几个多项式是：
0
1
1
x+1
2*x+1
x^2+3*x+1
3*x^2+4*x+1
------------------
[n] 以下为：
0: 0
1: 1
2: 1
3: 1 1
4: 2 1
5: 1 3 1
6: 3 4 1
7: 1 6 5 1
8: 4 10 6 1
9: 1 10 15 7 1
10: 5 20 21 8 1
11: 1 15 35 28 9 1
12: 6 35 56 36 10 1
13: 1 21 70 84 45 11 1
（结束）
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数学
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连接[{0}，表[Select[CoefficientList[Fibonacci[n，x]，x](*克拉克·金伯利，2013年10月10日，稍作修改罗伯特·威尔逊v2017年5月3日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0]cat[二项式（地板（n/2）+k，地板（（n-1）/2-k））：k in[0..Floor（（n-1）/2）]，n in[0..17]]//G.C.格鲁贝尔2019年10月13日
（PARI）F（n）=如果（n==0，0，如果（n=1，1，F（n-1）+x*F（n-2））；
tabf（nn）=用于（n=0，nn，打印（Vec（F（n）））\\米歇尔·马库斯2020年2月10日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A181289号
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| 行读取的三角形：T（n，k）是长度为k（0<=k<=n）的n的2个成分的数量。 |
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+10
11
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1, 0, 2, 0, 3, 4, 0, 4, 12, 8, 0, 5, 25, 36, 16, 0, 6, 44, 102, 96, 32, 0, 7, 70, 231, 344, 240, 64, 0, 8, 104, 456, 952, 1040, 576, 128, 0, 9, 147, 819, 2241, 3400, 2928, 1344, 256, 0, 10, 200, 1372, 4712, 9290, 11040, 7840, 3072, 512, 0, 11, 264, 2178, 9108, 22363
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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n的2-组成是一个有两行的非负矩阵，使得每列至少有一个非零条目，其条目之和为n。2-组成的长度是列的数量。
R（t，z）=（1-z）^2/（（1+t）*（1-z。。。给出的行反转多项式A181289号其中G（t，z）=R（1/t，z）/t。
结合面体面多项式的无穷小生成器（infinigen）A086810美元/A033282号，表示为递减幂，（对偶单形复数表示为递增幂）可以由该项的行多项式P（n，t）形成。这种infinigen出现在A145271号对于一般的二项Sheffer多项式集。这个特定的infinigen在A086810美元.给定行多项式的列向量V=（P（0，t）=1，P（1，y）=2t，P（2，y）=3t+4t^2，P（3，y）=4t+12t^2+8t^3，…），形成下三角矩阵M（n，k）=V（n-k，n-k），即将矩阵与对角线上及以下的所有矩阵对角乘以V的分量A132440号^转座=A218272型=D（表示o.g.f.s的导数）乘以M，即MD=M*D。（MD）^n*V/（n+1）！是第n个面多项式-汤姆·科普兰2015年12月11日
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链接
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G.Castiglione、A.Frosini、E.Munarini、A.Restivo和S.Rinaldi，L-凸多面体的组合方面《欧洲联合期刊》28（2007），第6期，1724-1741。
Y-h.郭，一些n色合成，J.国际顺序。15（2012）12.1.2，等式（11）。
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配方奶粉
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T（n，k）=和{j=0..k}（-1）^j*2^（k-j）*二项式（k，j）*二项式（n+k-j-1，2k-1）（0<=k<=n）。
G.f.：G（t，x）=（1-x）^2/（（1-x）^2-t*x（2-x））。
列k的G.f=x^k*（2-x）^k/（1-x）^{2k}（k>=1）（我们有一个Riordan数组）。
由数字u_{n，k}=T（n，k）满足的递归可以在Castiglione等人的参考文献中找到。
T（n，k）=2*T（n-1，k）+2*T（n-1，k-1）-T（n-2，k）-T-菲利普·德尔汉姆2013年11月29日
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例子
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三角形开始：
1;
0, 2;
0, 3, 4;
0, 4, 12, 8;
0, 5, 25, 36, 16;
0, 6, 44, 102, 96, 32;
0, 7, 70, 231, 344, 240, 64;
0, 8, 104, 456, 952, 1040, 576, 128;
0, 9, 147, 819, 2241, 3400, 2928, 1344, 256;
0, 10, 200, 1372, 4712, 9290, 11040, 7840, 3072, 512;
0, 11, 264, 2178, 9108, 22363, 34332, 33488, 20224, 6912, 1024;
|
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MAPLE公司
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T：=proc（n，k），如果k<=n，则求和（（-1）^j*2^（k-j）*二项式（k，j）*二项式（n+k-j-1，2*k-1），j=0。。k） else 0 end if end proc：对于从0到10的n，执行seq（T（n，k），k=0。。n） 结束do；#以三角形形式生成序列
PMatrix（10，n->n+1）#彼得·卢什尼2022年10月19日
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数学
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表[和[（-1）^j*2^（k-j）二项式[k，j]二项式[n+k-j-1，2k-1]，{j，0，k}]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*迈克尔·德弗利格2015年12月11日*）
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A169803号
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| 行读取的三角形：T（n，k）=二项式（n+1-k，k）（n>=0，0<=k<=n）。 |
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+10
10
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1, 1, 1, 1, 2, 0, 1, 3, 1, 0, 1, 4, 3, 0, 0, 1, 5, 6, 1, 0, 0, 1, 6, 10, 4, 0, 0, 0, 1, 7, 15, 10, 1, 0, 0, 0, 1, 8, 21, 20, 5, 0, 0, 0, 0, 1, 9, 28, 35, 15, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 10, 36, 56, 35, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 11, 45, 84, 70, 21, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 12, 55, 120, 126, 56, 7, 0, 0, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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如果k<0或k>n+1-k，则T（n，k）=0。
T（n，k）是长度为n、权重为k且不包含一对相邻1的二进制向量的数量。
{1,2，…，n}的稀疏子集（或分散子集）是从不包含两个连续元素的子集。T（n，k）是大小为k的{1,2，…，n}的稀疏子集的数目。例如，对于n=4和k=2，我们有{1,2,3,4}的3个稀疏2-子集：13，14，24。（结束）
作为三角形，第2*n-1行由Morgan-Voyce多项式B（n，x）的系数组成，A172431号，和第2*n行到Morgan-Voyce多项式b（n，x）的系数，A054142号.
除了符号和指数偏移外，Coxeter群A_n的Coxeter邻接矩阵的特征多项式的系数与第二类Chebyshev多项式有关（参见Damianou链接第19页）-汤姆·科普兰2014年10月11日
帕斯卡矩阵的反对角线A007318号自下而上阅读，省略第一个反对角线。这些也是Olver论文第9页所示莱布尼茨群L^（n）（1,1）的Maurer-Cartan形式矩阵的数值系数从上到下读取的反对偶（省略第一个反对偶），该矩阵生成为exp[c.*M]，其中（c）^n=c_n，M是李无穷小生成器A218272型。反向嵌入A102426号. -汤姆·科普兰2018年7月2日
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链接
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E.Munarini、N.Zagaglia Salvi、，分散的子集，《离散数学》267（2003），213-228。
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例子
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三角形开始：
[1]
[1, 1]
[1, 2, 0]
[1, 3, 1, 0]
[1, 4, 3, 0, 0]
[1, 5, 6, 1, 0, 0]
[1, 6, 10, 4, 0, 0, 0]
[1, 7, 15, 10, 1, 0, 0, 0]
[1, 8, 21, 20, 5, 0, 0, 0, 0]
[1, 9, 28, 35, 15, 1, 0, 0, 0, 0]
[1, 10, 36, 56, 35, 6, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 11, 45, 84, 70, 21, 1, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 12, 55, 120, 126, 56, 7, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 13, 66, 165, 210, 126, 28, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 14, 78, 220, 330, 252, 84, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 15, 91, 286, 495, 462, 210, 36, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 16, 105, 364, 715, 792, 462, 120, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 17, 120, 455, 1001, 1287, 924, 330, 45, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 18, 136, 560, 1365, 2002, 1716, 792, 165, 10, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 19, 153, 680, 1820, 3003, 3003, 1716, 495, 55, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 20, 171, 816, 2380, 4368, 5005, 3432, 1287, 220, 11, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
...
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黄体脂酮素
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（Maxima）create_list（二项式（n-k+1，k），n，0，20，k，0，n）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年5月24日*/
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交叉参考
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关键词
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经核准的
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A121448号
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| 按行读取的三角形：T（n，k）是具有n条边和k个顶点的二叉树的数量，其阶数为1（n>=0，k>=0）。二叉树是一棵有根树，其中每个顶点最多有两个子节点，顶点的每个子节点被指定为其左或右子节点。 |
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+10
三
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1, 0, 2, 1, 0, 4, 0, 6, 0, 8, 2, 0, 24, 0, 16, 0, 20, 0, 80, 0, 32, 5, 0, 120, 0, 240, 0, 64, 0, 70, 0, 560, 0, 672, 0, 128, 14, 0, 560, 0, 2240, 0, 1792, 0, 256, 0, 252, 0, 3360, 0, 8064, 0, 4608, 0, 512, 42, 0, 2520, 0, 16800, 0, 26880, 0, 11520, 0, 1024, 0, 924, 0, 18480, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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移位的o.g.f.是OG（x，t）=[1-2tx-sqrt[（1-2tx）^2-4x^2]/（2x）=x+2t x^2+（1+4t^2）x^3+。。。在成分逆OGinv（x，t）=x/（1+2tx+x^2）的情况下A053117号（mod标志）。
对于x>0并选择正平方根，OG（x^2，t）=H（x，t）=x^2+2t x^4+（1+4t^2）x^6+。。。具有组成逆Hinv（x，t）=sqrt[x/（1+2tx+x^2。A008316型)乘以sqrt（x）。
一般来说，GB（x，t，b）=[x/（1-2tx+x^2）]^b是Gegenbauer多项式乘以x^b的生成器，对于x>0的正根，关于原点的成分逆GBinv（x，t，b）=OG（x^（1/b），-t）。囊性纤维变性。A097610号.
（结束）
z1=OG（x，t）是二次多项式Q（z；z1（x，t），z2（x，d））=（zz1）（zz2）=z^2-（z1+z2）z+（z1*z2）=z^2-e1z+e2=z^2-[（1-2tx）/x]z+1的x=0时消失的零点，其中e1和e2是两个不定项的初等对称多项式。
另一个零由z2（x，t）=[1-2tx+sqrt[（1-2tx）^2-4x^2]/（2x）=（1-2tf）/x-z1（x，t）给出。
这两个是勒让德规范形y^2=z（zz1）（zz2）中椭圆曲线的零点。（2016年2月13日添加。见Landweber等人，第14页。囊性纤维变性。A097610号.)
（结束）
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=2^k*二项式（n+1，k）二项式[n+1-k，（n-k）/2）/（n+1），如果n-k是偶数；否则，T（n，k）=0。G.f.G=G（t，z）满足G=1+2tzG+z^2*G^2。
以下是来自A097610号其中h1＝2t，h2＝1，并且MT（n，h1，h2）＝MT（n，2t，1）和OG（x，t）如上所定义。
例如：M（x，t）=E^（2tx）AC（x）=exp[x MT（.，2t，1）]=exp[x P（.，t）]，其中AC（xexp（c.x）是A126120号.
P（n，t）=MT（n，2t，1）=（c.+2t）^n=Sum_{k=0..n}二项式（n，k）c（n-k）（2t）^k与c（k）=A126120号（k） ●●●●。P（n，t+s）=（c.+2t+2s）^n=（P（.，t）+2s）。
P（n，t）=t^n FC（n，c./t）=t^n（2+c./tA038207号也就是说，该条目的行多项式可以作为反面多项式的本影合成，加泰罗尼亚数为A000108号.
该项的行多项式P（n，t）的升降算子为L=（1/2）d/dt=（1/2）d和R=2t+dlog{AC（L）}/dL=2t+Sum_{n>=0}b（n）L^（2n+1）/（2n+1）！=2t+L-L^3/3！+5 L^5/5！-。。。b（n）=（-1）^nA180874号（n+1）。
设CP（n，t）=P（n+1，t），CP（0，t）=0。那么CP（n，t）的无穷小生成器是g（x）d/dx，其中g（x，x）=1/[dOGinv（x，t）/dx]=x^2/[（OGinv，x，t！在x=0时计算的x给出了行多项式CP（n，t），即exp[x g（u）d/du]u | _（u=0）=OG（x，t）=1/[1-x P（.，t）]。囊性纤维变性。A145271号.
g（x）=1+4吨x+（3+4吨）x^2+8吨x^3+4（1+t^2）x^4+8吨x ^5+4（1+t ^2）x ^6+8吨×^7+。。。具有向量V=（1，4t，3+4t，8t，4（1+t^2），8t、4（1+t^2，8t…）的重复系数。形成下三角矩阵U，所有的都在对角线上和下面。将U的第n对角线乘以V（n），得到矩阵VU，其中VU（n，k）=V（n-k）。那么（1,0,0,0，…）[VU*DM]^n/n！（0,1,0,0，..）^T=CP（n，T）=P（n-1，T），对于n>0，DM为矩阵A218272型表示幂级数的微分。
（结束）
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例子
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T（2,2）=4，因为用L（R）表示从顶点到左（右）子节点的边，我们有路径：LL、LR、RL和RR。
三角形开始：
1;
0,2;
1,0,4;
0,6,0,8;
2,0,24,0,16;
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MAPLE公司
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T： =proc（n，k），如果n-k mod 2=0，则2^k*二项式（n+1，k）*二项法（n+1-k，（n-k）/2）/（n+1）其他0 fi结束：对于从0到12的n，do seq（T（n，k），k=0..n）od；#以三角形形式生成序列
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数学
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nn=10；删除[系数列表[系列[（1-2x y-（（-4x^2+（1-2xy）^2））^（1/2））/（2x），{x，0，nn}]，{x、y}]，1]//网格(*杰弗里·克雷策2013年2月20日*）
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交叉参考
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