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A03867 Pascal三角形行中奇数项的三角形。 二十二
1, 2, 3,1, 4, 4,5, 10, 1,6, 20, 6,7, 35, 21,1, 8, 56,56, 8, 9,84, 126, 36,1, 10, 120,252, 120, 10,11, 165, 462,330, 55, 1,330, 55, 1,γ,y,γ,y,γ,γ,γ,γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、2

评论

此外,n个数为0、1的n个序列与连续01的k个子序列是相同的,因为这个数是C(n+1,2*k+ 1)。- Roger Cuculiere(Cuululiat(AT)IMANITIO.FR),11月16日2002

加里·W·亚当森,10月17日2008:(开始)

收到从草本植物

让t=Tax x,然后

TAN x= T

TAN 2x= 2T/(1 -T ^ 2)

TAN 3X=(3T- T^ 3)/(1~3T^ 2)

TAN 4x=(4T-4T^ 3)/(1 -6T^ 2+T^ 4)

TAN 5X=(5T- 10T^ 3 +T^ 5)/(1 -10T^ 2 +5T^ 4)

TAN 6X=(6T- 20T^ 3 +6T^ 5)/(1 -15T ^ 2 +15T ^ 4 -T ^ 6)

TAN 7X=(7T- 35T^ 3 +21T^ 5 -T^ 7)/(1 -21T^ 2 +35T^ 4~7T^ 6)

TA8X=(8T -56T ^ 3 +56T ^ 5~8T^ 7)/(1—28 t^ 2+70t^ 4~28 t^ 6+t^ 8)

TAN 9x=(9T-84T^ 3 +126T^ 5 -36t^ 7 +t^ 9)/(1 - 36 t^ 2 +126t^ 4 -84t^ 6 +9t^ 8)

为了获得系列中的下一个,(TAN10X),为分子添加:

9…84…126…36…1以前的分子+

1…36…126…84…9以前的分母= 9

10…120…252…120…10 =新分子

对于分母添加:

…9…84…126…36…1 =以前的分子+

1…36…126…84…9…=前分母=

1…45…210…210…45…1=新分母

…分子在哪里=A03867分母=A031439

(结束)

列k是列2k和2k+1的总和。A000 7318. -菲利普德勒姆11月12日2008

三角形,具有省略,由(2,1/2,1/2,0, 0, 0,0, 0, 0,0,…)δ(0, 1 / 2,-1/2,0, 0, 0,0, 0, 0,0,…)给出,其中δ是定义在A084938. -菲利普德勒姆12月12日2011

行多项式n(n,x)=SuMu{{=0…层((n-1)/2)} t(n-1,k)*x^ k,d(n,x)=SuMu{{k=0…楼(n/2)}。A031439(n,k)*x^ k,n>=1,满足递归n(n,x)=d(n-1,x)+n(n-1,x),d(n,x)=d(n-1,x)+x*n(n-1,x),具有n(1,x)=1=d(1,x)。这是因为Pascal triangleA000 7318复发。q(n,x):= TaN(n*x)/TaN(x)满足递归q(n,x)=(1 +q(n-1,x)/(1 -v(x)*q(n-1,x))),其中输入q(1,x)=1,v= v(x):=(谭(x))^ 2。这一递归是由n=1+(n-1)的TaN(n*x)的加法定理得到的。因此Q(n,x)=n(n,-v(x))/d(n,-v(x))。这证明了Gary W. Adamson的贡献。也见A22067. 这个计算是由Thomas Olsen的电子邮件驱动的。奥利弗/普丁格和MA参考Hakm Al备忘录239,项目16,谭(N*X)公式的谭(X)。-狼人郎1月17日2013

Narayana多项式的无穷小生成器(无穷大)A090181/A000 1263可以由这个条目的行多项式p(n,y)构成。得到的矩阵是一个实例的矩阵表示的解析无穷大提出A14527关于二项式Seffer-多项式和In的一般集A000 1263A190000具体用于纳拉亚纳多项式。给定行多项式的列向量V=(1,p(1,x)=2x,p(2,y)=3x+x^ 2,p(3,y)=4x+4x^ 2,…),形成下三角矩阵M(n,k)=v(nk,n- k),即对角线乘以对角线上的所有矩阵,并用V的分量乘以下面的矩阵,乘以矩阵MD。A132440转置=A218227=D(表示O.G.F.S的导数)由M,即MD=M*D。第一行(MD)^ n*v/(n+1)的非消失分量;是第n个纳拉亚纳多项式。-汤姆·科普兰,十二月09日2015

这个条目的对角线是A07812(也移动了A128908未签名的A053122嵌入A030528A102426A098925A109466A09865等价地,反对角线。A07812是行的A03867. -汤姆·科普兰12月12日2015

二项式(n,2k+ 1)也是具有k峰的132和213的排列的数目,即具有W[i] <W[i+5]>W[i+2 ]的位置。-劳拉普德威尔12月19日2018

二项式(n,2k+ 1)也是具有k峰的123和132的排列的数目,即具有W[i] <W[i+5]>W[i+2 ]的位置。-劳拉普德威尔12月19日2018

推荐信

A. T. Benjamin和J. J. Quinn,确凿的证据:组合证明的艺术,M.A.A. 2003,ID,136。

链接

G. C. Greubel表n,a(n)为前100行,扁平化

M. Bukata,R. Kulwicki,N. Lewandowski,L. Pudwell,J. Roth,T. Wheeland,模式避免排列的统计分布,ARXIV预告ARXIV:1812.07112 [数学,CO],2018。

L. Carlitz和R. Scoville零一序列与斐波那契数,斐波那契季刊,15(1977),246—254。

麻省理工学院,关于TAN(NX)评价的一些二项式系数,ARXIV预告ARXIV:1205.0735 [数学,CO],2012。-来自斯隆10月13日2012

K. Oliver和H. Prodinger,高斯超几何函数的连续分数展开和切线函数的新应用,南非皇家学会学报,第76卷(2012),151-154,[多伊]PDF. -来自斯隆,03月1日2013

Eric Weisstein的数学世界,切线[来自埃里克·W·韦斯斯坦10月18日2008

公式

T(n,k)=C(n+1,2k+ 1)=SUMU{{I= K.N-K} C(I,K)*C(N-I,K)。

E.g.f.:1 +(Exp(x)*Snh(x*SqRT(y)))/qRT(y)。-瓦拉德塔约霍维奇3月20日2005

G.f.:1((1-z)^ 2-t*z ^ 2)。-埃米里埃德奇,APR 01 2005

t(n,k)=SuMu{{j=0…n}A031439(j,k)。-菲利普德勒姆5月18日2005

佩尔(n+1)=A000 0129(n+1)=SuMu{{K=0…n} t(n,k)* 2 ^ k=(1/n!)SuMu{{K=0…n}A131980(n,k)* 2 ^ k。汤姆·科普兰11月30日2007

t(n,k)=A000 7318(n,2k)+A000 7318(n,2k+1)。-菲利普德勒姆11月12日2008

对于k,k>0:(1/(1-x)^ 2)*(x/(1-x))^(2×k)。请参阅由Emier-DutsCh给出的上述阵列的G.F.-狼人郎1月18日2013

t(n,k)=(x^(2×k+ 1))*((1+x)^ n-(1-x)^ n)/2。-埃德森杰弗里1月15日2014

例子

三角形开始:

3 1

4 4

5 10 10

6 20 20

-菲利普德勒姆12月12日2011

枫树

SEQ(Seq(二项式(n+1, 2×k+ 1),k=0…楼层(n/2)),n=0…14);埃米里埃德奇,APR 01 2005

Mathematica

u [ 1,x]:=1;v〔1,x}〕:=1;z=12;

u [ n],x]:=u [ n 1,x] +x*v[n,1,x]

V[n],x[]:= u [n 1,x] +v[n- 1,x]

Cu=表[系数列表[U[n,x],x],{n,1,z }];

表格[Cu](*)A031439作为三角形*)

CV=表[系数列表[V[n,x],x],{n,1,z }];

表格[CV](*)A03867作为三角形*)

(*)克拉克·金伯利2月18日2012*)

表[二项式[n+1*k+1 ],{n,0, 20 },{k,0,底[n/4] }}/ /平坦(*)格鲁贝尔,MAR 06 2018*)

黄体脂酮素

(PARI)为(n=0, 20,(k=0,地板(n/2),Primt1(二项式(n+1, 2×k+1),””))格鲁贝尔06三月2018

(岩浆)/*作为三角形*/ [ [二项式(n+1, 2×k+ 1):k在[0…层(n/2)] ]:n在[0…20 ]中;格鲁贝尔06三月2018

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 0129A000 7318A031439A03867A084938A131980A22067.

囊性纤维变性。A000 1263A090181A190000A132440A14527.

囊性纤维变性。A030528A053122A07812A09865A098925A102426A109466A128908A218227.

语境中的顺序:A324336 A32472 A98637*A323 893 A329 721 A1937

相邻序列:A03864 A03865 A03866*A0348 68 A0348 A034070

关键词

诺恩塔布容易

作者

斯隆

扩展

更多条款埃米里埃德奇,APR 01 2005

地位

经核准的

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最后修改了12月12日0:24 EST 2019。包含329947个序列。(在OEIS4上运行)