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来自问候语整数序列在线百科全书!)
A034867号 帕斯卡三角形行中奇数项的三角形。 22
1、2、3、1、4、4、5、10、1、6、20、6、7、35、21、1、8、56、56、8、9、84、126、36、1、10、120、252、120、10、11、165、462、330、55、1、12、220、792、792、220、12、13、286、1287、1716、715、78、1、14、364、3432、2002、364、14、15、455、3003、6435、5005、1365、105、1 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,2个

评论

还有0,1的n个序列的个数的三角形,其中k个子序列是连续的01,因为这个数是C(n+1,2*k+1)。-Roger Cuculiere(cuculier(AT)imaginet.fr),2002年11月16日

加里·W·亚当森2008年10月17日:(开始)

接收自赫伯康恩:

设T=tan x,则

tan x=T

tan 2x=2T/(1-T^2)

tan 3x=(3T-T^3)/(1-3T^2)

tan 4x=(4T-4T^3)/(1-6T^2+T^4)

tan 5x=(5T-10T^3+T^5)/(1-10T^2+5T^4)

tan 6x=(6T-20T^3+6T^5)/(1-15T^2+15T^4-T^6)

tan 7x=(7T-35T^3+21T^5-T^7)/(1-21T^2+35T^4-7T^6)

tan 8x=(8T-56T^3+56T^5-8T^7)/(1-28T^2+70T^4-28T^6+T^8)

tan 9x=(9T-84T^3+126T^5-36T^7+T^9)/(1-36T^2+126T^4-84T^6+9T^8)

... 要得到系列中的下一个(tan 10x),分子加上:

9….84….126….36….1先前分子+

1….36….126….84….9先前分母=

10..120….252…120…10=新分子

分母加上:

……9…..84…126…36…1=上一分子+

1…36…126…84…9。。。。=前分母=

1….45….210…210…45…1=新分母

…分子=A034867号,分母=A034839号

(结束)

k列是第2k列和第2k+1列之和A007318型. -菲利普·德尔哈姆2008年11月12日

三角形,省略零,由(2,-1/2,1/2,0,0,0,0,0,0,…)DELTA(0,1/2,-1/2,0,0,0,0,0,…),其中DELTA是中定义的运算符A084938号. -菲利普·德尔哈姆2011年12月12日

行多项式N(N,x)=和{k=0..floor((N-1)/2)}T(N-1,k)*x^k,D(N,x)=和{k=0..floor(N/2)}A034839号(n,k)*x^k,n>=1,满足n(n,x)=D(n-1,x)+n(n-1,x),D(n,x)=D(n-1,x)+x*n(n-1,x),输入n(1,x)=1=D(1,x)。这是由于帕斯卡三角形A007318型复发。Q(n,x):=tan(n*x)/tan(x)满足递归Q(n,x)=(1+Q(n-1,x)/(1-v(x)*Q(n-1,x)),输入Q(1,x)=1,v(x):=(tan(x))^2。这个递推是由tan(n*x)的加法定理得到的,使用n=1+(n-1)。因此Q(n,x)=n(n,-v(x))/D(n,-v(x))。加里的贡献证明了以上的贡献。另请参见A220673号. 这一计算是由托马斯·奥尔森的一封电子邮件激发的。Oliver/Prodinger和Ma参考了HAKEM Al Memo 239第16项,关于tan(n*x)公式的tan(x)。-狼牙2013年1月17日

Narayana多项式的无穷小生成元(infinigen)A090181号/A001263可由该条目的行多项式P(n,y)构成。得到的矩阵是中所示分析infinigens的矩阵表示的一个实例A145271对于一般的二项式Sheffer多项式集和inA001263A119900年特别是对于Narayana多项式。给定行多项式的列向量V=(1,P(1,x)=2x,P(2,y)=3x+x^2,P(3,y)=4x+4x^2,…),形成下三角矩阵M(n,k)=V(n-k,n-k),即将矩阵与对角线上及以下的所有矩阵对角线相乘,乘以V的分量,形成矩阵MDA132440^转置=A218272年=D(表示o.g.f.s的导数),即MD=M*D(MD)第一行的非消失分量^n*V/(n+1)!是第n个Narayana多项式。-汤姆·科普兰2015年12月9日

这个条目的对角线是A078812号(也转移了邮编:A128908没有签名A053122型,嵌入到A030528号,A102426型,A098925号,A109466号,A092865号). 相当于A078812号是一排排的A034867号. -汤姆·科普兰2015年12月12日

二项式(n,2k+1)也是避免具有k峰的132和213的置换数,即w[i]<w[i+1]>w[i+2]的位置。-劳拉·普德威尔2018年12月19日

二项式(n,2k+1)也是避免具有k峰的123和132的置换数,即w[i]<w[i+1]>w[i+2]的位置。-劳拉·普德威尔2018年12月19日

参考文献

A、 T.Benjamin和J.J.Quinn,《真正重要的证明:组合证明的艺术》,M.A.A.2003,id.136。

链接

G、 C.格雷贝尔,前100行的n,a(n)表,展平

M、 Bukata,R.Kulwicki,N.Lewandowski,L.Pudwell,J.Roth和T.Wheeland,避免排列的统计分布,arXiv预印本arXiv:1812.07112[math.CO],2018年。

五十、 卡里茨和R.斯科维尔,零一序列与Fibonacci数《斐波纳契季刊》,第15期(1977年),246-254页。

S、 -硕士,与tan(nx)计算有关的一些二项式系数,arXiv预印本arXiv:1205.0735[math.CO],2012年。-从N、 斯隆2012年10月13日

K、 Oliver和H.Prodinger,Gauss超几何函数的连分式展开和切线函数的新应用,南非皇家学会会刊,第76卷(2012),151-154,[内政部],[PDF格式]. -从N、 斯隆2013年1月3日

埃里克·韦斯坦的数学世界,切线[来自埃里克·W·维斯坦,2008年10月18日]

公式

T(n,k)=C(n+1,2k+1)=和{i=k..n-k}C(i,k)*C(n-i,k)。

E、 g.f.:1+(exp(x)*sinh(x*sqrt(y)))/平方英尺(y)。-弗拉德塔·乔沃维奇2005年3月20日

G、 f.:1/((1-z)^2-t*z^2)。-德国金刚砂2005年4月1日

{0A034839号(j,k)。-菲利普·德尔哈姆2005年5月18日

佩尔(n+1)=A000129号(n+1)=和{k=0..n}T(n,k)*2^k=(1/n!)和{k=0..n}邮编:A131980(n,k)*2^k-汤姆·科普兰2007年11月30日

T(n,k)=A007318型(2千牛顿)+A007318型(n,2k+1)。-菲利普·德尔哈姆2008年11月12日

O、 k列的g.f,k>=0:(1/(1-x)^2)*(x/(1-x))^(2*k)。参见上面Emeric Deutsch给出的该数组的G.f。-狼牙2013年1月18日

T(n,k)=(x^(2*k+1))*((1+x)^n-(1-x)^n)/2。-五十、 埃德森·杰弗瑞2014年1月15日

例子

三角形起点:

1

3 1个

4 4个

5 10 1

6 20 6

-菲利普·德尔哈姆2011年12月12日

枫木

seq(seq(二项式(n+1,2*k+1),k=0..floor(n/2)),n=0..14#德国金刚砂2005年4月1日

数学

u[1,x_9]:=1;v[1,x_9]:=1;z=12;

u[n,x_u]:=u[n-1,x]+x*v[n-1,x]

v[n,x_x]:=u[n-1,x]+v[n-1,x]

cu=表[系数列表[u[n,x],x],{n,1,z}];

表格(*A034839号三角形*)

cv=表[CoefficientList[v[n,x],x],{n,1,z}];

表格(*A034867号三角形*)

(*克拉克·金伯利2012年2月18日*)

Table[二项式[n+1,2*k+1],{n,0,20},{k,0,Floor[n/2]}]//展平(*G、 格瑞贝尔2018年3月6日*)

黄体脂酮素

(PARI)对于(n=0,20,对于(k=0,floor(n/2),print1(二项式(n+1,2*k+1),“,”)\\G、 格瑞贝尔2018年3月6日

(岩浆)/*呈三角形*/[二项式(n+1,2*k+1):k in[0..Floor(n/2)]:n in[0..20]]//G、 格瑞贝尔2018年3月6日

交叉引用

囊性纤维变性。A000129号,A007318型,A034839号,A034867号,A084938号,邮编:A131980,A220673号.

囊性纤维变性。A001263,A090181号,A119900年,A132440,A145271.

囊性纤维变性。A030528号,A053122型,A078812号,A092865号,A0925年,A102426型,A109466号,邮编:A128908,A218272年.

上下文顺序:A324336型 A324752飞机 A298637号*A323893型 A329721型 A193790号

相邻序列:A034864号 A034865号 A034866号*A034868号 A034869号 A034870号

关键字

,塔夫,容易的

作者

N、 斯隆

扩展

更多条款来自德国金刚砂2005年4月1日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年8月6日19:52。包含336256个序列。(运行在oeis4上。)