%I#102 2023年3月7日11:06:14

%S 1,2,3,1,4,4,5,10,1,6,20,6,7,35,21,1,8,56,56,8,9,84126,36,1,10120，

%电话：252120、10、11165462330、55、1、1222079279220、12、132861287，

%电话：1716715,78,1,14364200234322002364,14,154553003643550051365105,1

%N帕斯卡三角形行中奇数项的三角形。

%C也是由0，1的n个序列与连续01的k个子序列组成的三角形，因为这个数字是C（n+1,2*k+1）Roger Cuculiere（cuculier（AT）imaginet.fr），2002年11月16日

%C From_Gary W.Adamson_，2008年10月17日：（开始）

%C从Heb Conn_接收：

%C设T=tan x，则

%C tan x=T

%C tan 2x=2T/（1-T^2）

%C tan 3x=（3T-T^3）/（1-3T^2）

%C tan 4x=（4T-4T^3）/（1-6T^2+T^4）

%C tan 5x=（5T-10T^3+T^5）/（1-10T^2+5T^4）

%C tan 6x=（6T-20T^3+6T^5）/（1-15T^2+15T^4-T^6）

%C tan 7x=（7T-35T^3+21T^5-T^7）/（1-21T^2+35T^4-7T^6）

%C tan 8x=（8T-56T^3+56T^5-8T^7）/（1-28T^2+70T^4-28T^6+T^8）

%C tan 9x=（9T-84T^3+126T^5-36T^7+T^9）/（1-36T^2+126T^4-84T^6+9T^8）

%C。。。要得到序列中的下一个（tan 10x），请将分子相加：

%C 9….84….126….36….1前面的分子+

%C 1….36….126….84….9前分母=

%C 10..120….252…120…10=新分子

%C对于分母，添加：

%C。。。。。。9…..84…126…36…1=前一分子+

%C 1….36….126….84….9…=前分母=

%C 1….45….210…210…45…1=新分母

%C。。。其中分子=A034867，分母=A034839

%C（结束）

%C第k列是A007318第2k列和第2k+1列的总和_Philippe Deléham_，2008年11月12日

%C三角形，省略零，由（2，-1/2，1/2，0，0，O，0，0,0，0_Philippe Deléham，2011年12月12日

%C行多项式N（N，x）=和{k=0..floor（（N-1）/2）}T（N-1，k）*x^k，和D（N，x）=和}k=0.floor（N/2）}A034839（N，k）*x^k D（1，x）。这是由于Pascal三角形A007318重复出现。Q（n，x）：=tan（n*x）/tan（x）满足输入Q（1，x）=1和v=v（x）：=。这种递推是从tan（n*x）的加法定理得到的，其中n=1+（n-1）。因此Q（n，x）=n（n，-v（x））/D（n，-v（x）。这证明了加里·亚当森（Gary W.Adamson）的上述贡献。另见A220673。这一计算是由托马斯·奥尔森（Thomas Olsen）的一封电子邮件引发的。Oliver/Prodinger和Ma引用了HAKEM Al Memo 239第16项中关于tan（x）的tan（n*x）公式_Wolfdieter Lang，2013年1月17日

%C Narayana多项式A090181/A001263的无穷小生成器（infinigen）可以由该条目的行多项式P（n，y）形成。所得矩阵是A145271中给出的一般二项式Sheffer多项式集以及A001263和A119900中特别针对Narayana多项式的解析插值矩阵表示的一个实例。给定行多项式的列向量V=（1，P（1，x）=2x，P（2，y）=3x+x^2，P（3，y）=4x+4x^2…），形成下三角矩阵M（n，k）=V（n-k，n-k），即将矩阵与对角线上和下面的所有矩阵对角乘以V的分量。通过将A132440^Transpose=A218272=D（表示o.g.f.s的导数）乘以M，即MD=M*D，形成矩阵MD。（MD）^n*V/（n+1）第一行的非零分量！是第n个Narayana多项式_Tom Copeland_ 2015年12月9日

%C该条目的对角线为A078812（也有移位的A128908和无符号的A053122，嵌入到A030528、A102426、A098925、A109466、A092865中）。等价地，A078812的反对偶是A034867的行_Tom Copeland_ 2015年12月12日

%C二项式（n，2k+1）也是避开132和213的排列数，具有k个峰值，即w[i]<w[i+1]>w[i+2].-_劳拉·普德维尔，2018年12月19日

%C二项式（n，2k+1）也是避免123和132的排列数，具有k个峰值，即w[i]<w[i+1]>w[i+2].-_劳拉·普德维尔，2018年12月19日

%D.A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证明：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，同上，第136页。

%H G.C.Greubel，n表，前100行，a（n），扁平</a>

%H Jean-Luc Baril和JoséLuis Ramírez，<a href=“https://arxiv.org/abs/2302.12741“>加泰罗尼亚语单词的下降分布，避免有序关系对</a>，arXiv:2302.12741[math.CO]，2023。

%H M.Bukata、R.Kulwicki、N.Lewandowski、L.Pudwell、J.Roth和T.Wheeland，<a href=“https://arxiv.org/abs/1812.07112“>模式避免排列的统计分布</a>，arXiv预印本arXiv:1812.07112[math.CO]，2018。

%H L.Carlitz和R.Scoville，<a href=“http://www.fq.math.ca/Scanned/15-3/carlitz1.pdf“>零一序列和斐波那契数</a>，《斐波那奇季刊》，15（1977），246-254。

%H S.-M.Ma，<a href=“http://arxiv.org/abs/1205.0735“>关于与tan（nx）评估相关的一些二项式系数</a>，arXiv预印本arXiv:1205.0735[math.CO]，2012。-发件人：N.J.A.Sloane，2012年10月13日

%H.K.Oliver和H.Prodinger，高斯超几何函数的连续分式展开和切线函数的新应用，南非皇家学会学报，第76卷（2012），151-154，<a href=“http://dx.doi.org/10.1080/0035919X.2012.727363“>[DOI]</a>，<a href=”http://math.sun.ac.za/~hproding/pdfiles/Avery-contribution-2012年7月.pdf“>[pdf]

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/Tangent.html“>Tangent[摘自_Eric W.Weisstein_，2008年10月18日]

%F T（n，k）=C（n+1,2k+1）=和{i=k.n.n-k}C（i，k）*C（n-i，k。

%F例如：1+（exp（x）*sinh（x*sqrt（y）））/sqrt（y）.-_Vladeta Jovovic_，2005年3月20日

%胎龄：1/（（1-z）^2-t*z^2）.-_Emeric Deutsch_，2005年4月1日

%F T（n，k）=和{j=0..n}A034839（j，k）.-_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2005年5月18日

%F Pell（n+1）=A000129（n+1

%F T（n，k）=A007318（n，2k）+A007318n，2k+1）_Philippe Deléham，2008年11月12日

%F O.g.F表示第k列，k>=0:（1/（1-x）^2）*（x/（1-x））^（2*k）。参见Emeric Deutsch给出的上述阵列的G.f_Wolfdieter Lang，2013年1月18日

%F T（n，k）=（x^（2*k+1））*（（1+x）^n-（1-x）^n）/2.-_L.Edson Jeffery，2014年1月15日

%e三角形开始：

%第1页

%e 2个

%e 3 1

%e 4 4

%e 5 10 1

%e 6 20 6

%e-菲律宾，2011年12月12日

%p seq（seq（二项式（n+1,2*k+1），k=0..层（n/2）），n=0..14）；#_Emeric Deutsch，2005年4月1日

%tu[1，x_]：=1；v[1，x_]：=1；z=12；

%t u[n，x_]：=u[n-1，x]+x*v[n-1、x]

%tv[n，x_]：=u[n-1，x]+v[n-1、x]

%t cu=表[系数列表[u[n，x]，x]、{n，1，z}]；

%t表格[cu]（*A034839作为三角形*）

%t cv=表[系数列表[v[n，x]，x]，{n，1，z}]；

%t表格[cv]（*A034867作为三角形*）

%t（*_百灵金伯利，2012年2月18日*）

%t表[二项式[n+1，2*k+1]，{n，0,20}，{k，0，Floor[n/2]}]//Flatten（*_G.C.Greubel_，2018年3月6日*）

%o（PARI）代表（n=0,20，代表（k=0，楼层（n/2），打印1（二项式（n+1,2*k+1），“，”））

%o（岩浆）/*作为三角形*/[[二项式（n+1,2*k+1）：k in[0..Floor（n/2）]]：n in[0..20]]；//_G.C.Greubel，2018年3月6日

%Y参见A000129、A007318、A034839、A034867、A084938、A131980、A220673。

%Y参见A001263、A090181、A119900、A132440、A145271。

%Y参见A030528、A053122、A078812、A092865、A098925、A102426、A109466、A128908、A218272。

%K non，tabf，简单

%0、2

%A _N.J.A.斯隆_

%E更多术语摘自德国电子报，2005年4月1日