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| 091894加元 |
| 按行读取的三角形：T（n，k）是半长n的Dyck路径数，具有k个ddu（此处u=（1,1）和d=（1，-1））。 |
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20
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1, 1, 2, 4, 1, 8, 6, 16, 24, 2, 32, 80, 20, 64, 240, 120, 5, 128, 672, 560, 70, 256, 1792, 2240, 560, 14, 512, 4608, 8064, 3360, 252, 1024, 11520, 26880, 16800, 2520, 42, 2048, 28160, 84480, 73920, 18480, 924, 4096, 67584, 253440, 295680, 110880, 11088, 132
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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半长n的Dyck路径数，其中k uu的中点在偶数高度。例如：T（4,1）=6，因为我们有u（uu）dudd、u（uuu）uddd、udu。行总和是加泰罗尼亚数字(A000108号). T（2n+1，n）=A000108号（n） （加泰罗尼亚语数字）。和{k>=0}k*T（n，k）=二项式（2n-2，n-3）=A002694号（n-1）。
有时称为Touchard分布（以Touchard的加泰罗尼亚数字标识命名）。T（n，k）=具有k个深内部顶点的2n条边上的完整二叉树的数量（深内部意味着您必须遍历至少2条边才能到达一个叶子）=具有2个子节点的完整补集的k个顶点的n-1条边上二叉树数量-大卫·卡伦2004年7月19日
T（n，k）=n条边上有k条多产边的有序树的数量。多产边是其子顶点至少有两个子顶点的边。例如，当n=3时，从根部向下绘制有序树，/|\没有多产边，并且只有一棵多产边的树的形状是倒Y，因此T（3,1）=1。
证明：考虑由Emeric Deutsch记录的以下双射，从n条边上的有序树到Dyck n条路。对于给定的有序树，按预定顺序遍历树（从根顺序遍历）。对于超出度r的每个节点，都有对应的r步向上，然后是1步向下；没有与最后一片叶子对应的东西。该双射将多产边发送到长度>=2的非初始上升点，即DUU。然后反转生成的Dyck n路径，使多产边对应于DDU。（结束）
T（n，k）是长度为n的Łukasiewicz路径的数量，具有从偶数级开始的k个下降步骤（1，-1）。长度n的Łukasiewicz路径是第一象限中从（0,0）到（n，0）的路径，对任何正整数k使用上升步长（1，k）、水平步长（1,0）和下降步长（1-1）（参见R.P.Stanley，《枚举组合数学》，第2卷，剑桥大学出版社，1999年，第223页，练习6.19w；这些整数是步长的斜率）。示例：T（3,1）=1，因为我们有U（2）（D）D，其中U（2）=（1,2），D=（1，-1），从偶数水平开始的下降步长显示在括号之间。第n行包含上限（n/2）项（n>=1）-Emeric Deutsch公司2005年1月6日
具有n-1条边和k+1片叶子的二叉树的数量（二叉树是一棵有根树，其中每个顶点最多有两个子节点，每个顶点的子节点被指定为其左或右子节点）-Emeric Deutsch公司2006年7月31日
具有2n条边和k+1个顶点的完整二叉树的数量，这两个二叉树都是叶子的子代（n>=1；完整二叉树指每个顶点都有0或两个子代的根树）-Emeric Deutsch公司2006年12月26日
具有n条边和k个跳跃的有序树的数量。在有序树的预排序遍历中，从较深级别的节点到严格较高级别的节点的任何转换都称为跳跃-Emeric Deutsch公司2007年1月18日
该数组还根据峰值数（即位置w[i-1]<w[i]>w[i+1]）计算231个无效排列。例如，123、213、312和321没有峰值，而132有一个峰值。还要注意T（n，k）=2^（n-1-2*k）*A055151号（n-1，k）-凯尔·彼得森2013年8月2日
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参考文献
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T.K.Petersen，《欧拉数字》，Birkhauser，2015年，第4.3节。
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链接
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Jean-Luc Baril、Pamela E.Harris、Kimberly J.Harry、Matt McClinton和JoséL.Ramírez，用加泰罗尼亚语枚举跑步、山谷和高峰，arXiv:2404.05672[math.CO]，2024。见第7页。
Michael Bukata、Ryan Kulwicki、Nicholas Lewandowski、Lara Pudwell、Jacob Roth、Teresa Wheeland、，避免模式置换的统计分布，arXiv:1812.07112[math.CO]，2018年。
科林·德芬特，后期订单前置图像，arXiv:1604.01723[math.CO]，2016年。
科林·德芬特，置换类的堆叠排序前象，arXiv:1809.03123[math.CO]，2018年。
科林·德芬特，计算三层有序排列，arXiv:1903.09138【math.CO】，2019年。
Emeric Deutsch公司，Dyck路径枚举，离散数学。，204、1999、167-202（见第192-193页）。。
约翰·里奥丹，加泰罗尼亚括号注释阿默尔。数学。《月刊》，第80卷，第8期（1973年），第904-906页。
A.Sapounakis、I.Tasoulas和P.Tsikouras，计算Dyck路径中的字符串，离散数学。，307 (2007), 2909-2924.
林阳和杨胜良，有序树中的保护枝，J.数学。研究（2023）第56卷，第1期，第1-17页。
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公式
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T（n，k）=2^（n-2*k-1）*二项式（n-1,2*k）*二项式（2*k，k）/（k+1），T（0,0）=1，对于0<=k<=楼层（（n-1）/2）。
G.f.：G=G（t，z）满足：t*z*G^2-（1-2*z+2*t*z）*G+1-z+t*z=0。
如果我们从数据中删除第一个1，这些就是多项式p（n）=2^n*超几何（[（1-n）/2，-n/2]，[2]，x）的系数-彼得·卢什尼2018年1月23日
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例子
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T（4,1）=6，因为我们有uduu（ddu）d、uu（ddu）dud、uuu（addu）dd、uu。
三角形开始：
1;
1;
2;
4, 1;
8, 6;
16, 24, 2;
32, 80, 20;
64、240、120、5；
128, 672, 560, 70;
256, 1792, 2240, 560, 14;
...
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MAPLE公司
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a:=proc（n，k），如果n=0且k=0，则1 elif n=0，然后0，否则2^（n-2*k-1）*二项式（n-1，2*k）*二项式（2*k，k）/（k+1）fi-end:1，seq（a（n，k），k=0..（n-1）/2），n=1..15）；
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数学
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091894加元[n_]：=前缀[Table[CoefficientList[2^i（1-z）^（（2i+3）/2）Hypergeometric2F1[（i+3
连接[{1}，选择[Flatten[表[2^（n-2k-1）二项式[n-1，2k]二项式[2k，k]/（k+1），{n，20}，{k，0，n}]]，#=0&]] (*哈维·P·戴尔2012年3月5日*）
p[n]：=2^n超几何2F1[（1-n）/2，-n/2，2，x]；扁平[Join[{{1}}，Table[CoefficientList[p[n]，x]，{n，0，12}]](*彼得·卢什尼，2018年1月23日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=如果（n<1，n==0&&k==0，polceoff（polceof（serreverse（x/（1+2*x*y+x^2）+x*O（x^n）），n），n-1-2*k））}/*迈克尔·索莫斯，2006年9月25日*/
（GAP）T:=级联（[1]，平面（列表（[1..13]，n->列表（[0..Int（（n-1）/2）]，k->2^（n-2*k-1）*二项式（n-1，2*k）*二项式（2*k，k）/（k+1））））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年11月29日
（Sage）[1]+[2^（n-2*k-1）*二项式（n-1，2*k）*二项式（2*k，k）/（k+1）for k in（0..floor（（n-1）/2））]for n in（1..12）]#G.C.格鲁贝尔2018年11月30日
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交叉参考
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关键字
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非n,标签,改变
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作者
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状态
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经核准的
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