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问候整数序列的在线百科全书!)
A013609 (1+2×x)^ n展开中的系数三角形 五十三
1, 1, 2,1, 4, 4,1, 6, 12,8, 1, 8,24, 32, 16,1, 10, 40,80, 80, 32,1, 12, 60,160, 240, 192,64, 1, 14,84, 280, 560,672, 448, 128,672, 448, 128,γ,y,γ,y,γ,γ,γ,γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、3

评论

T(n,k)是从(0,0)到(n,k)的具有阶梯(1,0)和两种步骤(1,1)的格子路径数。具有步骤(1,0)和S类型的步骤(1,1)的路径数对应于(1 +s*x)^ n的展开。乔尔格阿尔恩特,朱尔01 2011

行中的和A0461616. -Lior庄园4月24日2004

第二类切比雪夫多项式的无符号系数的平方阵。-菲利普德勒姆8月12日2005

行给出了n-立方体中k个单数的数目。例如,1, 6, 12、8显示3-立方体有1个体积、6个面、12个边和8个顶点。-约书亚祖克,军05 2006

(i,j)次项是二项式(i,j)* 2 ^ j的三角形。

带偏移量[1,1],具有双倍数的三角形,2×A(n,m),枚举长度为m的非零整数项ni i满足满足和(i ni i*)=n=n的例子,例n=4,m=2:[1,3],[3,1],[2,2]各在2 ^ 2=4签名版本:2×A(4,2)=2×6=12。m(行和的2×A(n,m))的和给出了2×3 ^(n-1),n>=1。参见W. Lang评论和K. A. Meissner参考A024023. -狼人郎1月21日2008

第n行的三角形=最左边的非零项的x^ n,其中x =无限对角线矩阵与(1,1,1,…)在主对角线和(2,2,2,…)在次对角线。-加里·W·亚当森7月19日2008

Pascal三角形矩阵平方根的分子A000 7318其中第n行的分母设置为2 ^ n。杰拉尔德麦加维8月20日2009

约翰内斯·梅杰,9月22日2010:(开始)

三角形和(参见)A180662对于它们的定义,链接PelJubsAl三角形,其镜像是A038 207,有二十四个不同的序列;参见交叉参考。

鉴于这个事实,这个三角形可以很好地称为Pel-JoopsAl三角形。A000 0129(KN21)是佩尔数和A000 1045(KN11)雅各布斯数。

(结束)

T(n,k)等于{0,1,2}具有n- k零点的n长字的数目。-米兰扬吉克7月24日2015

推荐信

B. N. Cyvin等,具有五边形和七边形的未支化的CaCon密度多边形系统的异构体计数,匹配,第34号(OCT 1996),pp.109~121。

G. Hotz,Zur-Reukuton冯SaltkkRePiulMoimin Him BLIKIK AUF EN VelWunDon在El的RekCutoMuton。Datenverarbeitung,福尔奇5(1960),第21-27页。

链接

诺伊,行n=0…50的三角形,扁平化

H. J.兄弟,Pascal棱镜:补充材料,PDF版本.

John Cartan卡坦氏三角显示与n-立方体的关系。

J. Goldman,J. Haglund,广义Rook多项式J. Combin。理论A91(2000),509530,1ROUK系数K K ROOK在2XN板上,所有高度2。

W. G. Harter网络中多维对称性的表示J. Math。物理,15(1974),2016-2021。

D. A. Zaitsev元胞自动机的广义邻域,理论计算机科学,666(2017),21-35。

公式

G.f.:1/(1××(1+2×y))。

T(n,k)=2 ^ k*二项(n,k)。

Bi2(n,k)=2×Bi2(n-1,k-1)+bn2(n-1,k)。-乔恩佩里11月22日2005

行和是3 ^ n=A000 0244(n)。-乔尔格阿尔恩特,朱尔01 2011

T(n,k)=SuMu{{i=n.k.n} C(i,nk)*c(n,i)。-米尔卡梅尔卡4月28日2012

E.g.f.:EXP(2*y*x+x)。-杰弗里·克里茨11月12日2012

Riordan阵列(x/(1 -x)),2×x/(1 -x)。EXP(2×x)*E.G.F.对于行n=E.G.F.用于对角线n。例如,对于n=3,我们有EXP(2×x)*(1 + 6×x+12×x^ 2/2)!+ 8×x ^ 3/3!=1+8×x+40×x ^ 2/2!+ 160×x ^ 3/3!+ 560×x ^ 4/4!+…相同的性质对于形式的Riordan阵列(f(x),2×x/(1 -x))更普遍地持有。-彼得巴拉12月21日2014

t(n,k)=Suthi{{j=0…k}(- 1)^(k- j)*二项式(n,k)*二项式(k,j)* 3 ^ j。科洛索夫佩特罗1月28日2019

例子

三角形开始:

1;

1, 2;

1, 4, 4;

1, 6, 12、8;

1, 8, 24、32, 16;

1, 10, 40、80, 80, 32;

1, 12, 60、160, 240, 192、64;

1, 14, 84、280, 560, 672、448, 128;

1, 16, 112、448, 1120, 1792、1792, 1024, 256;

1, 18, 144、672, 2016, 4032、5376, 4608, 2304、512;

1, 20, 180、960, 3360, 8064、13440, 15360, 11520、5120, 1024;

1, 22, 220、1320, 5280, 14784、29568, 42240, 42240、28160, 11264, 2048;

1, 24, 264、1760, 7920, 25344、59136, 101376, 126720、112640, 67584, 24576、4096;

1, 26, 312、2288, 11440, 41184、109824, 219648, 329472、366080, 292864, 159744、53248, 8192;

彼得巴拉,4月20日2012:(开始)

三角形可以写成矩阵乘积。A038 207*(签署版本)A013609

1…………1…………

(2…1…………1……2…………

4…4…1…………1…-4…4……

8…12…6…1……-1…6…-12…8……

16,32,24,8,1,1,-8,24,-32,16。

…………

(结束)

枫树

BI2: = PROC(n,k)选项记住;如果k<0或k> n,则0 elIF k=0,则1个其他2×b2(n-1,k-1)+bn2(n-1,k);斯隆,军01 2009

Mathematica

[表] [系数]列表[(1 + 2×x)^ n,x ],{n,0, 10 }] ] [〔1;;59〕〕让弗兰5月17日2011*)

BIOMIIALROW[N],KY],TY]:=和[二项式[n,k]*二项式[k,j] *(-1)^(k- j)*t^ j,{j,0,k}];列[表[BiMiMiLaLe[n,k,3 ],{n,0, 10 },{k,0,n},中心](*)科洛索夫佩特罗1月28日2019*)

黄体脂酮素

(哈斯克尔)

A013609 N=A013609Y列表!n!

A013609yList= CONTATA $迭代([ 1, 2 ] *)〔1〕

实例num a= > num [a]

弗罗明特克

(p:ps)+(q:qs)=p+q:PS+QS

PS+QS= PS+QS

(p:ps)*qs′(q:qs)=p*q:p*qs′+[p] *qs

* *=[]

——莱因哈德祖姆勒,APR 02 2011

(哈斯克尔)

A013609 N K= A013609A Tabl!!!K!

A013609Y行n=A013609A Tabl!n!

A013609Atabl =迭代(\行-ZIPOFF(+)([ 0 ] ++行)$

ZIPOFF(+)([ 0 ] ++行)(行++〔0〕)〔1〕

——莱因哈德祖姆勒,7月22日2013,2月27日2013

(PARI)/*与A092566但是使用*/

步骤= [〔1, 0〕,〔1, 1〕,〔1, 1〕〕;/*注双[ 1, 1 ] */

Joerg Arndt,JUL 01,2011 *//

(极大)a(n,k):=COEFF(展开((1+2×x)^ n),x^ k);

CuraTyLead(A(n,k),n,0, 6,k,0,n);伊曼纽勒穆纳里尼11月21日2012

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 7318A013610等。

出现在A16780A1675 91. -约翰内斯·梅杰11月23日2009

约翰内斯·梅杰,9月22日2010:(开始)

三角形和(见注释):A000 0244(ROW1);A000 0 12(ROW2);A000 1045(KN11);A02664(KN12);4A011377(KN13);A000 0129(KN21);A094706(KN22);A09625(KN23);A000 1653(KN3);A000 785(KN4);A0461717(FI1);A000 7051(FI2);A07949(CA1);A000 8998(Ca2);A180675(CA3);A092467(CA4);A052442(GI1);A000 8999(GI2);A180667(GI3);A18067(GI4);A140413(ZE1);A18067(ZE2);A07117(ZE3);A055 588(ZE4)。

(结束)

囊性纤维变性。A1057A11568.

语境中的顺序:A304623 A133544 A3038*A1545 58 A220836 A000 857

相邻序列:A013606 A013607 A013608*A013610 A013611 A013612

关键词

塔布诺恩容易

作者

斯隆

地位

经核准的

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最后修改了8月20日23时38分EDT 2019。包含326155个序列。(在OEIS4上运行)