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| 151139英镑 |
| 与加泰罗尼亚数生成函数的整数幂相关的多项式系数数组A000108号. |
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22
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1, 1, 1, -1, 1, -2, 1, -3, 1, 1, -4, 3, 1, -5, 6, -1, 1, -6, 10, -4, 1, -7, 15, -10, 1, 1, -8, 21, -20, 5, 1, -9, 28, -35, 15, -1, 1, -10, 36, -56, 35, -6, 1, -11, 45, -84, 70, -21, 1, 1, -12, 55, -120, 126, -56, 7, 1, -13, 66, -165, 210, -126, 28, -1, 1, -14, 78, -220, 330, -252, 84, -8, 1, -15, 91, -286, 495, -462, 210, -36, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,6
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评论
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行长度的顺序是[1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6，…]=A008619号（n-1），n>=1。
行和给出周期6序列[1，1，0，-1，-1，0，…]=A010892号（n-1），n>=1。
m列序列（带前导零）的o.g.f.为（（-1）^m）*x^（2*m+1）/（1-x）^（m+1）。
行多项式为P（n，x）：=和{m=0..天花板（n/2）-1}a（n，m）*x^m=（sqrt（x）^（n-1））*S（n-1,1/sqrtA049310型.
这些多项式出现在公式1/c（x）^n=P（n+1，x）-x*P（n，x）*c（xA000108号（加泰罗尼亚语数字）。参见W.Lang参考文献，等式（1）和（2），第408页，其中p（n，x）：=p（-n，x）。
这些多项式也出现在公式c（x）^n=（-P（n-1，x）+P（n，x）*c（xA000108号（加泰罗尼亚数字）。参见W.Lang参考，等式（1），其中P（n，x）：=P（-n，x）。
当偏移量n>=0时，该数组a（n，m）与切比雪夫s多项式的行反向系数表一致，没有零散。请参见A049310型对于增加x次幂的S（n，x）系数表。
以该序列为系数的多项式形成了所谓的“加泰罗尼亚多项式”集合，这是在考虑将迭代生成函数方案“拟合”到加泰罗尼亚序列的问题时进行的计算产生的。相邻的一对构成一阶线性递归的基础，该递归通过一系列迭代生成函数（Z[x]中的多项式），在“失败”之前生成预定数量的加泰罗尼亚数字-参见《实用数学》中的Clapperton等人2008参考，其中还列出了加泰罗尼亚多项式的一些基本数学性质（主要基于与之相关的狄克逊多项式和切比雪夫多项式的现有结果）-彼得·杰·拉科姆2008年9月16日
在Clapperton等人2008年国会数值论文中，提出了一类由加泰罗尼亚多项式满足的新的非线性恒等式。它们源于Householder对一般寻根公式的特殊情况的代数实现，其中经典的O（2）Newton-Raphson和O（3）Halley算法是特殊情况。还讨论了加泰罗尼亚多项式在形成加泰罗尼亚语序列o.g.f.的Padé逼近中的作用-彼得·杰·拉科姆2008年11月2日
这些多项式出现在以下语句中：（i）P（k+1，x）/P（k+2，x）是所有高度最多为k的有序树（Dyck路径）的g.f；（ii）x^k/（P（k+1，x）*P（k+2，x））是所有高度为k的有序树（Dyck路径）的g.f.。参见de Bruijn等人、Kreweras、Sedgewick和Flajolet（第258页）以及Flajolet-Sedgewick（第326页）的参考文献-Emeric Deutsch公司2011年6月16日
由S（n，x）=和{m=0..floor（n/2）}a（n+1，m）*x^（n-2*m）给出，n>=0。这个公式是众所周知的，可以用二项式系数的递推公式从S递推公式中得到证明-沃尔夫迪特·朗2016年2月1日
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参考文献
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J.A.Clapperton、P.J.Larcombe和E.J.Fennessey，关于整数序列和加泰罗尼亚多项式的迭代生成函数，《实用数学》，77（2008），3-33。
J.A.Clapperton、P.J.Larcombe、E.J.Fennessey和P.Levrie，加泰罗尼亚多项式和Padé近似的一类自恒等式，国会数值，189（2008），77-95。
N.G.deBruijn、D.E.Knuth和S.O.Rice，《种植的梧桐树的平均高度》，载于：图论与计算（编辑：T.C.Read），学术出版社，纽约，1972年，第15-22页。
R.Sedgewick和P.Flajolet，《算法分析导论》，Addison-Wesley，Reading，MA，1996年。
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链接
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朱利奥·塞尔拜（Giulio Cerbai）、安德斯·克莱森（Anders Claesson）和卢卡·费拉里（Luca Ferrari），限制堆栈的堆栈排序，arXiv:1907.08142[cs.DS]，2019年。
菲利普·弗拉乔莱和罗伯特·塞奇威克，分析组合数学剑桥大学出版社，2009年。
Atsushi Komaba、Hisashi Johno和Kazunori Nakamoto，一种新的基于重叠系数的两样本检验统计方法，arXiv:2206.03166[math.ST]，2022年。
G.Kreweras，细分市场调查《巴黎高等教育学院》，第15号，巴黎，1970年，第3-41页。
Peter J.Larcombe和Eric J.Fennessey，一类特殊多项式族的非线性恒等式，斐波纳契夸脱。52（2014），第1期，75-79。提到这个序列。
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配方奶粉
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a（n，m）=（（-1）^（m））*二项式（n-1-m，m），n>=1，m=0..上限（n/2）-1。
a（n，m）=[x^m]P（n，x），n>=1，m=0..上限（n/2）-1，P（n、x）根据切比雪夫s多项式给出。
P（n，x）=（u^（2*n）-v^（2%n））/（u^2-v^2），其中u和v由u^2+v^2=1和u*v=sqrt（x）定义。例如：P（3，x）=（u^6-v^6）/（u^2-v^2）=u^4+u^2*v^2+v^4=1-x-Emeric Deutsch公司2011年6月16日
G.f.：1/（1-x+y*x^2）=R（0）/2，其中R（k）=1+1/（1-（2*k+1-x*y）*x/（（2*k+2-x*y）*x+1/R（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月9日
T（n，k）=GegenbauerC（k，（n+1）/2-k，-1）），假设以三角形（0,0）为基础-彼得·卢什尼2016年5月10日
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例子
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不规则三角形a（n，m）开始于：
n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1: 1
2: 1
3: 1 -1
4: 1 -2
5: 1 -3 1
6: 1 -4 3
7: 1 -5 6 -1
8:1-6 10-4
9: 1 -7 15 -10 1
10: 1 -8 21 -20 5
11: 1 -9 28 -35 15 -1
12: 1 -10 36 -56 35 -6
13: 1 -11 45 -84 70 -21 1
14: 1 -12 55 -120 126 -56 7
15:1-13 66-165 210-126 28-1
16: 1 -14 78 -220 330 -252 84 -8
17: 1 -15 91 -286 495 -462 210 -36 1
18: 1 -16 105 -364 715 -792 462 -120 9
19: 1 -17 120 -455 1001 -1287 924 -330 45 -1
20: 1 -18 136 -560 1365 -2002 1716 -792 165 -10
1/c（x）=P（2，x）-x*P（1，x）*c（x）=1-x*c（x），o.g.f.为A000108号（加泰罗尼亚语）。
1/c（x）^2=P（3，x）-x*P（2，x）*c（x。
c（x）^2=（-P（1，x）+P（2，x）*c（x。
c（x）^3=（-P（2，x）+P（3，x）*c。
P（3，x）=1-x=x*S（2,1/sqrt（x）），切比雪夫S（2，y）=U（2，y/2）=y^2-1。
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MAPLE公司
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seq（seq（（-1）^k*二项式（n-k，k），k=0..层（n/2）），n=0..16）#彼得·卢什尼2016年5月10日
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数学
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p[x_，n]：=p[x，n]=p[x，n-1]+x*p[x、n-2]；
p[x_，-1]=p[x，0]=1；p[x，1]=1+x；
压扁[表[系数列表[p[-x，n-1]，x]，{n，0，16}]]
压扁[Map[系数列表[#，x]&，表[Sum[二项式[t-i，i]x^（i）（-1）^i，{i，0，t}]，{t，1，15}]](*里戈伯托·弗洛雷斯2022年8月28日*）
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黄体脂酮素
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（Python）
导入数学
L1=[math.comb（t-i，i）*（-1）**i表示范围（16）中的t，表示范围（t）中的i]
L1=列表（过滤器（（0））__ne__，L1））
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交叉参考
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关键字
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作者
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