搜索: a048793-编号:a048792
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0, 1, 4, 5, 256, 257, 260, 261, 67108864, 67108865, 67108868, 67108869, 67109120, 67109121, 67109124, 67109125, 1208925819614629174706176, 1208925819614629174706177, 1208925819614629174706180, 1208925819614629174706181, 1208925819614629174706432
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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链接
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配方奶粉
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a(3^n)=2^(3^n-1)。
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例子
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术语及其二进制展开式和二进制索引开始于:
0: 0 ~ {}
1: 1 ~ {1}
4: 100 ~ {3}
5: 101 ~ {1,3}
256:100000000到{9}
257:100000001至{1,9}
260: 100000100 ~ {3,9}
261: 100000101 ~ {1,3,9}
67108864: 100000000000000000000000000 ~ {27}
67108865: 100000000000000000000000001 ~ {1,27}
67108868: 100000000000000000000000100 ~ {3,27}
67108869: 100000000000000000000000101 ~ {1,3,27}
67109120: 100000000000000000100000000 ~ {9,27}
67109121: 100000000000000000100000001 ~ {1,9,27}
67109124: 100000000000000000100000100 ~ {3,9,27}
67109125: 100000000000000000100000101 ~ {1,3,9,27}
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数学
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选择[Range[0,10000],IntegerQ[Log[3,Times@@Join@@Position[Reverse[IntegerDigits[#,2]],1]]&]
(*第二个节目*)
{0}~连接~数组[FromDigits[Reverse@ReplacePart[ConstantArray[0,Max[#]],Map[#->1&,#]](*迈克尔·德弗利格2023年12月29日*)
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 1, 2, 2, 1, 3, 5, 2, 1, 3, 3, 6, 2, 1, 6, 3, 3, 7, 2, 1, 6, 11, 7, 3, 8, 2, 1, 4, 11, 11, 8, 3, 9, 2, 1, 4, 4, 27, 13, 9, 3, 10, 2, 1, 4, 4, 4, 38, 15, 10, 3, 11, 2, 1, 4, 14, 4, 4, 51, 17, 11, 3, 12, 2, 1, 12, 14, 18, 9, 4, 66, 19, 12, 3, 13, 2, 1, 12, 12, 18, 14, 10, 4, 83, 21, 13, 3, 14, 2, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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2,2
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评论
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A(n,k)是最小的m,使得m包含k中活动位(加1)的base-n展开式作为子串。
最短超串问题是,给定一组字符串S,找出包含S的每个元素作为子串的最短字符串。此数组中包含了此问题的所有可能解决方案。k的值表示字符串的集合(其中有效位表示以n为基数的字符串)。非数字字符串(或初始值为0的数字字符串)的k值是通过将每个字符映射到一个唯一的值1到n,从基数n+1转换,从每个字符中减去1,将2提高到每个字符的幂,然后对结果求和来生成的。以n+1为基数的A(n+1,k)是最短的超弦。以n为基数的数字字符串的k值(不带首字母0)是通过将2提高到每个值的幂,然后将结果相加而生成的。以n为基数的A(n,k)是最短的超弦。
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链接
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Theodoros P.Gevezes和Leonidas S.Pitsoulis,最短超弦问题《科学与工程优化》,施普林格出版社,2014年,189-227页。
马蒂亚斯·恩格尔(Matthias Englert)、尼古拉·马塔基斯(Nicolaos Matsakis)和帕维尔·维塞尔(Pavel Vesel),使用重叠长度比循环分类改进最短超弦的近似保证,arXiv:2111.03968[cs.DS],2021。
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配方奶粉
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A(n,2^k)=k+1。
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例子
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7的二进制展开式是111。这意味着第7列的base-n展开式将包含1、2和3的base-n展开式作为子字符串。所以A(6,7)=123_6(因为这是那些数值最低的数字的排列),123_6=51_10。
再举一个例子,10的二进制展开式是1010,因此第10列将包含2和4的base-n展开式作为子字符串。所以A(7,10)=24_7(因为这是最小值的排列),24_7=18_10。此外,经常会有两个或多个子字符串重叠。例如,作为11_2的最后一个数字的A(2,7)=110_2=6与10_2的第一个数字相同,并且1是这两个数字的子串。
方形阵列开始于:
n\k |1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
===+==========================================
2 | 1 2 2 3 3 6 6 4 4 4 ...
3 | 1 2 5 3 3 11 11 4 4 14 ...
4 | 1 2 6 3 7 11 27 4 4 18 ...
5 | 1 2 7 3 8 13 38 4 9 14。。。
6 | 1 2 8 3 9 15 51 4 10 16。。。
7 | 1 2 9 3 10 17 66 4 11 18 ...
8 | 1 2 10 3 11 19 83 4 12 20 ...
9 | 1 2 11 3 12 21 102 4 13 22 ...
10 | 1 2 12 3 13 23 123 4 14 24 ...
11 | 1 2 13 3 14 25 146 4 15 26 ...
..
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黄体脂酮素
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(PARI)A351289型(n,k)=if(hammingweight(k)==1,return(logint(k,2)+1),my(OverSumBase(X)=fold((X,y)->my(B1=数字(X,n),B2=数字(y,n)),b=select(z->B1[#B1-(z-1)..#B1]=B2[1..z],[1..min(#B1,#B2)]));从数字(concat(B1,B2[如果(#b,vecmax(b)+1,1)..#B2]),n),Vec(X)),K=选择(z->bittest(K,z-1),[1..logint(K,2)+1]),V=应用(X->my(X=如果(X,数字(X,n)),[0]);setbinop((y,z)->从数字(X[y.z],n),[1..#X]),K),W=选择(X->my(L=列表(V));listpop(L,setsearch(K,X))!集合搜索(集合(concat(L)),X),K),P1);如果(#W==1,返回(W[1]),vecmax(K)<n,返回(从数字(Set(K),n)),对于perm(W,p,my(p=OverSumBase(p));如果(P1,如果(P1>P,P1=P),P1=P));打印(P1);返回(P1))
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 4, 8, 12, 16, 32, 64, 128, 144, 256, 288, 512, 576, 1024, 2048, 3072, 4096, 8192, 16384, 32768, 32800, 33024, 33056, 65536, 65600, 66048, 66112, 131072, 132096, 133120, 134144, 262144, 266240, 524288, 528384, 786432, 790528, 1048576, 1056768, 2097152
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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链接
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例子
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术语及其二进制展开式和二进制索引开始于:
1: 1 ~ {1}
2: 10 ~ {2}
4: 100 ~ {3}
8: 1000 ~ {4}
12: 1100 ~ {3,4}
16:10000至{5}
32:100000至{6}
64: 1000000 ~ {7}
128: 10000000 ~ {8}
144: 10010000 ~ {5,8}
256: 100000000 ~ {9}
288: 100100000 ~ {6,9}
512: 1000000000 ~ {10}
576: 1001000000 ~ {7,10}
1024: 10000000000 ~ {11}
2048: 100000000000 ~ {12}
3072: 110000000000 ~ {11,12}
4096: 1000000000000 ~ {13}
8192: 10000000000000 ~ {14}
16384: 100000000000000 ~ {15}
32768: 1000000000000000 ~ {16}
32800: 1000000000100000 ~ {6,16}
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数学
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bix[n_]:=连接@@Position[Reverse[IntegerDigits[n,2]],1];
选择[Range[1000],SameQ@@Total/@bix/@bix[#]&]
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交叉参考
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参见。A035470型,A038041号,A237258号,A320324型,A321453型,A321455型,A326518型,A336137型,A371783飞机,A371791飞机,A371796.
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关键词
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非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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A005940号
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| Doudna序列:以二进制形式写入n-1;a(n)中素数(k)的幂是1的幂,其后是k-10的幂。 (原名M0509)
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+10 491
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1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 8, 7, 10, 15, 12, 25, 18, 27, 16, 11, 14, 21, 20, 35, 30, 45, 24, 49, 50, 75, 36, 125, 54, 81, 32, 13, 22, 33, 28, 55, 42, 63, 40, 77, 70, 105, 60, 175, 90, 135, 48, 121, 98, 147, 100, 245, 150, 225, 72, 343, 250, 375, 108, 625, 162, 243, 64, 17, 26, 39
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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这个不规则的表可以表示为二叉树。左边的每个孩子都可以通过应用A003961号给父母,右边的每个孩子都是通过双倍的父母获得的:
1
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...................2...................
3 4
5......../ \........6 9......../ \........8
/ \ / \ / \ / \
/ \ / \ / \ / \
/ \ / \ / \ / \
7 10 15 12 25 18 27 16
11 14 21 20 35 30 45 24 49 50 75 36 125 54 81 32
等。
(完)
每一项都有与其指数相同的偶数部分(相当于相同的二元估值)。
使用Antti Karttunen 2014年评论中描述的树:
(完)
根据库茨(1981)的说法,他是从美国数学家拜伦·利昂·麦卡利斯特(1929-2017)那里得知这个序列的,他将这个序列的发明归因于20世纪50年代中期威斯康星州大学一位名叫杜德纳(名字叫保罗?)的研究生-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月17日
替代(递归)定义:如果n是2的幂,则a(n)=n。否则,如果2^j是2的最大幂,但不超过n,并且如果k=n-2^j,则a。
示例:使用n=77=2^6+13的递归。a(13)=25,因为11是最小的奇素数m,所以m*a(13。(完)
当通过将a(2*n-1)中的所有素数(k)^e替换为素数(k-1)^e进行变换时,奇数对分返回a(n),从而返回序列-大卫·詹姆斯·桑莫尔2022年9月28日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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迈克尔·德弗利格(Michael De Vlieger),第6排Doudna树图如评论中所述。
罗纳德·库茨,两个不寻常的序列,《两年制大学数学期刊》,第12卷,第5期(1981年),第316-319页。
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配方奶粉
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a(n)=f(n-1,1,1)
其中f(n,i,x)=x,如果n=0,
=f(n/2,i+1,x),如果n>0是偶数
否则=f((n-1)/2,i,x*素数(i))。(完)
将此序列的起始偏移量0版本定义为:
b(0)=1,b(1)=2,[基本情况]
然后用递推法计算其余部分:
或
也可以定义为相关排列的组合:
(完)
发件人安蒂·卡图恩2014年12月21日至2015年1月4日:(开始)
(完)
(完)
a(2n)=2*a(n),或者通常a(2^k*n)=2^k*a(n)-阿米拉姆·埃尔达尔2022年10月3日
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例子
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设c_i=n-1的二进制展开式中右边有i0的1的个数,设p(j)=j-th素数。那么a(n)=产品_ip(i+1)^c_i。
如果n=9,n-1是1000,c3=1,a(9)=p(4)^1=7。
如果n=10,n-1=1001,c0=1,c2=1,a(10)=p(1)*p(3)=2*5=10。
如果n=11,n-1=1010,c1=1,c2=1,a(11)=p(2)*p(3)=15。(完)
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MAPLE公司
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f:=proc(n,i,x)选项记忆;如果n=0,则x;elif类型(n,‘偶数’)然后是procname(n/2,i+1,x);else进程名((n-1)/2,i,x*ithprime(i));结束条件:;结束进程:
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数学
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f[n_]:=块[{p=Partition[Split[Join[InterDigits[n-1,2],{2}]],2]},Times@@Flatten[Table[q=Take[p,-i];素数[Count[Flatten[q],0]+1]^q[[1,1]],{i,Length[p]}]];表[f[n],{n,67}](*Robert G.Wilson诉2005年2月22日*)
表[Times@@Prime/@(Join@@Position[Reverse[IntegerDigits[n,2]],1]-范围[DigitCount[n,2,1]]+1),{n,0,100}](*古斯·怀斯曼2022年12月28日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)A005940号(n) ={my(p=2,t=1);n--;直到(!n\=2,n%2&&(t*=p)|p=nextprime(p+1));t}\\M.F.哈斯勒,2010年3月7日;2014年8月29日更新
(PARI)a(n)=我的(p=2,t=1);对于(i=0,指数(n),如果(位测试(n,i),t*=p,p=下一素数(p+1));t吨\\查尔斯·格里特豪斯四世2021年11月11日
(哈斯克尔)
a005940 n=f(n-1)1其中
f 0 y=y
fxyi|m==0=fx'y(i+1)
|m==1=f x’(y*a000040 i)i
其中(x',m)=divMod x 2
(方案,带有Antti Karttunen的IntSeq-library的备忘录宏定义)
(定义(A005940号n) (A005940关闭0(-n 1));;off=1版本,使用三种不同的offset-0实现中的任意一种:
(定义(A005940off0 n)(秒((<=n 2)(+1 n))(偶数?n)(A003961号(A005940off0(/n 2)))(其他(*2(A00594 off0(/(-n 1)2))
(定义(A005940off0 n)(让循环((n n)(i 1)(x 1))(秒((0?n)x)(偶数?n)(循环(/n 2)(+i 1)x))(其他(循环(/(-n 1)2)i(*x(A000040型i) ))
(Python)
从sympy导入质数
导入数学
定义A(n):返回n-2**int(math.floor(math.log(n,2)))
def b(n):如果n<2,则返回n+1 else素数(1+(len(bin(n)[2:])-bin(n)[2]。count(“1”))*b(A(n))
打印([b(n-1)表示范围(1101)中的n)]#因德拉尼尔·戈什2017年4月10日
(Python)
从数学导入prod
从itertools导入累加
从集合导入计数器
从sympy导入质数
定义A005940号(n) :return prod(计数器中a和b的质数(len(a)+1)**b(累加(bin(n-1)[2:].split('1')[:0:-1])).items())#柴华武2023年3月10日
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交叉参考
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另请参阅A000142号,A001511号,A002450型,A112798号,A252463型,A252464号,A252745型,A252750型,A324054,A324106型,A323505型,A323508型.
参见。A106737号,A290077型,A323915型,A324052型,A324054,A324055型,A324056型,A324057型,A324058型,A324114型,A324335型,A324340型,324348英镑,A324349型对于应用于该序列(即由其排列)的各种理论数列。
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关键词
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作者
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扩展
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由添加的二叉树图解和关键字选项卡安蒂·卡图恩2014年12月21日
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状态
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经核准的
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A066099美元
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| 按行读取的三角形,其中第n行以相反的字典顺序列出了n的组成。 |
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+10 386
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1, 2, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 4, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 5, 4, 1, 3, 2, 3, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 6, 5, 1, 4, 2, 4, 1, 1, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 4, 2, 3
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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组成部分(对于固定n)的表示是部件列表,单个组成部分(对相同n)之间的顺序是(列表-)颠倒的词典;参见示例奥马尔·波尔. -乔格·阿恩特2013年9月3日
将中的每个术语分解A057335美元; 序列记录结果指数的值。它还遍历所有可能的多集数字排列。
参见序列13.63万加元对于另一个版本,其中每个组合的术语串联成一个单一整数:(0、1、2、11、3、21、12、111…)。这也显示了如何从二进制数中获得项A007088号参见阿诺德的第一个例子-M.F.哈斯勒2015年8月29日
列表中的第k个组合是通过在k的反向二进制展开中取1的位置集,在0前面加上前缀,取第一个差,然后再次反转来获得的。这被描述为OEIS中使用的标准顺序,尽管姐妹顺序A228351号有时也被认为是规范的。这两个序列都定义了非负整数和整数组合之间的双射对应关系-古斯·怀斯曼2020年5月19日
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准局,应用数学。系列55,第十次印刷,1972年[替代扫描副本]。
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配方奶粉
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例子
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A057335号开始于1 2 4 6 8 12 18 30 16 24 36。。。这样我们就可以写作了
1 2 1 3 2 1 1 4 3 2 2 1 1 1 1 ...
. . 1 . 1 2 1 . 1 2 1 3 2 1 1 ...
. . . . . . 1 . . . 1 . 1 2 1 ...
. . . . . . . . . . . . . . 1 ...
-这里的列给出了三角形的行,三角形从
1
2; 1 1
三;2 1; 1 2; 1 1 1
4; 3 1; 2 2; 2 1 1; 1 3; 1 2 1; 1 1 2; 1 1 1 1
...
第25行与Quet数162=2^1*3^3*5^1相关联,因此有序素数签名的指数构成向量(1,3,1)。遵循中描述的方法A108730号我们从每个单元格中减去一,得到(0,2,0),即11001中每个1后面的0(数字25的二进制表示)-阿尔福德·阿诺德2006年3月5日
初始术语说明:
-----------------------------------
n j图表组成j
-----------------------------------
. _
1 1 |_| 1;
_
2 1 | _| 2,
2 2 |_|_| 1, 1;
. _ _ _
3 1 | _| 3,
3 2 | _|_| 2, 1,
3 3 | | _| 1, 2,
3 4|_|_|_|1,1,1;
._ _ __
4 1 | _| 4,
4 2 | _|_| 3, 1,
4 3 | | _| 2, 2,
4 4 | _|_|_| 2, 1, 1,
4 5 | | _| 1, 3,
4 6 | | _|_| 1, 2, 1,
4 7 | | | _| 1, 1, 2,
4 8 |_|_|_|_| 1, 1, 1, 1;
.
(完)
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数学
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表[FactorInteger[Apply[Times,Map[Prime,Accumulate@IntegerDigits[n,2]]][[All,-1]],{n,41}]//展平(*迈克尔·德弗利格2017年7月11日*)
stc[n_]:=差异[Prepend[Join@@Position[Reverse[IntegerDigits[n,2]],1],0]]//反向;
表[stc[n],{n,0,20}]//展平(*古斯·怀斯曼2020年5月19日*)
表[Reverse@LexicographicSort@Flatten[Permutations/@Partitions[n],1],{n,10}]//Flatten(*埃里克·韦斯特因2023年6月26日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)arow(n)={局部(v=向量(n),j=0,k=0);
而(n>0,k++;如果(n%2==1,v[j++]=k;k=0);n=2);
(哈斯克尔)
a066099=(!!)a066099列表
a066099_list=连接a0660999_tabf
a066099_tabf=映射a066099行[1..]
a066099_row n=反向$a228351_row n
--(每一个组成部分都是一行)
(圣人)
def a_row(n):返回列表(反转(组成(n)))
展平([a _范围(1,6)中n的低(n)])#彼得·卢什尼,2018年5月19日
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交叉参考
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有关标准成分的其他交叉参考,请参阅链接。
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关键词
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容易的,美好的,非n,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A019565号
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| 无平方数按其素因式分解按字典顺序排序(因子按降序书写)。a(n)=I}素数(k+1)中的Product_{k,其中I是I}2^k中n=Sum_{k中非零二进制数字的索引集。 |
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+10 316
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1, 2, 3, 6, 5, 10, 15, 30, 7, 14, 21, 42, 35, 70, 105, 210, 11, 22, 33, 66, 55, 110, 165, 330, 77, 154, 231, 462, 385, 770, 1155, 2310, 13, 26, 39, 78, 65, 130, 195, 390, 91, 182, 273, 546, 455, 910, 1365, 2730, 143, 286, 429, 858, 715, 1430, 2145, 4290
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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因为a(n)切换n的奇偶性,所以既没有不动点,也没有任何奇数长度的循环。
推测:不存在任何长度的有限循环。我对这个猜想的依据是:这个序列中的任何有限循环,如果存在这样的循环,那么必须至少有一个成员出现在A285319型,这些术语似乎已经很少见了。此外,任何这样的数字n除了应满足A019565号(n) <同时A048675号^{k} (n)是无平方的,不仅对于k=0,1,而且对于所有k>=0。由于平均只有6/(Pi^2)=0.6079的概率……在A048675号是平方自由的,即所有元素都是平方自由(这是A019565号-周期)很快就会变得微不足道,尤其是A048675号边界不是很紧(至少在最初,许多轨道似乎都在飞速发展)。我还假设n的二进制展开式和A048675号(n) (除了它们的最低有效位),或者,就这一点而言,在它们的素因式分解之间。
此外,n的二元指数的Heinz数,其中序列(y_1,…,y_k)的Heinx数是素数(y_1**素数(yk)和数字的二进制索引(A048793号)是1在其反向二进制展开中的位置-古斯·怀斯曼2022年12月28日
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链接
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配方奶粉
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a(n)=f(n,1,1),f(x,y,z)=如果x>0,则f(floor(x/2),y*prime(z)^(xmod2),z+1),否则y-Reinhard Zumkeller公司2010年3月13日
a(n)=a(2^x)*a(2*y)*a素数(x+1)*素数(y+1)*素(z+1)*。。。,其中n=2^x+2^y+2^z+-本尼迪克特·欧文2016年7月24日
发件人安蒂·卡图恩2017年4月18日和2017年6月18日:(开始)
(完)
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例子
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5=2^2+2^0,e_1=2,e_2=0,素数(2+1)=素数(3)=5,素(0+1)=素(1)=2,因此a(5)=5*2=10。
此序列被视为一个三角形,其行的长度为1、1、2、4、8、16…:
1;
2;
3, 6;
5、10、15、30;
7、14、21、42、35、70、105、210;
11, 22, 33, 66, 55, 110, 165, 330, 77, 154, 231, 462, 385, 770, 1155, 2310;
...
(完)
初始术语如下所示,等同于其素因子的乘积,以显示字典顺序。我们从1开始,因为1被视为空乘积,空列表按字典顺序排在第一位。
n个(n)
0 1 = .
1 2 = 2.
2 3 = 3.
3 6 = 3*2.
4 5 = 5.
5 10 = 5*2.
6 15 = 5*3.
7 30 = 5*3*2.
8 7 = 7.
9 14 = 7*2.
10 21 = 7*3.
11 42 = 7*3*2.
12 35 = 7*5.
(完)
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MAPLE公司
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a: =proc(n)局部i,m,r;m: =n;r: =1;
对于i,当m>0时,如果irem(m,2,'m')=1,则do
则r:=r*ithprime(i)fiod;第页
结束时间:
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数学
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Do[m=1;o=1;k1=k;当[k1>0时,k2=Mod[k1,2];如果[k2\[等于]1,m=m*素数[o]];k1=(k1-k2)/2;o=o+1];打印[m],{k,0,55}](*雷舟(Lei Zhou)2005年2月15日*)
表[Times@@Prime@Flatten@Position[#,1]和@Reverse@IntegerDigits[n,2],{n,0,55}](*迈克尔·德弗利格2016年8月27日*)
b[0]:={1};b[n]:=压扁[{b[n-1],b[n-1]*素[n]}];
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=因子回归(vecextract(素数(logint(n+!n,2)+1),n))\\M.F.哈斯勒,2011年3月26日,2014年8月22日更新,2018年3月1日更新
(哈斯克尔)
a019565 n=产品$zipWith(^)a000040_list(a030308_row n)
(Python)
从运算符导入mul
从functools导入reduce
从sympy导入质数
返回reduce(mul,(prime(i+1)for i,v in enumerate(bin(n)[:1:-1])if v=='1')如果n>0 else 1
(方案)(定义(A019565号n) (让循环((n n)(i 1)(p 1))(cond((0?n)p)(奇数?n)(循环(/(-n 1)2)(+1 i)(*p(A000040型i) ))(否则(回路(/n 2)(+1 i)p));;(只需要实现A000040型对于质数。)-安蒂·卡图恩2017年4月20日
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交叉参考
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参见。A007088号,A030308号,A000040型,A013929号,A005117号,A103785号,A103786号,A110765号,A064273号,A246353型,283475英镑,A283477号,A285319型,2008年3月31日,A285332型,A288569型,A293442型.
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关键词
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作者
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扩展
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Klaus-R.Löffler修正的定义,2014年8月20日
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状态
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经核准的
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A029931号
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| 如果2n=总和2^e_i,a(n)=总和e_i。 |
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+10 302
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0, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11, 9, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12, 10, 11, 12, 13, 13, 14, 15, 16, 11, 12, 13, 14, 14, 15, 16, 17, 15, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 21, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 11, 12, 13, 14, 14, 15, 16
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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以2为基数写n,n=总和b(i)*2^(i-1),然后a(n)=总和b-贝诺伊特·克洛伊特2002年6月9日
也是n的二进制指数之和,其中n的二进制索引(A048793号)是1在其反向二进制展开中的任何位置。例如,11的二进制索引是{1,2,4},因此a(11)=7-古斯·怀斯曼2024年5月22日
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链接
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J.-P.Allouche和J.Shallit,k-正则序列的环,理论计算机科学。,98(1992年),163-197,不包括10。另请参见内政部.
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配方奶粉
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通用公式:(1/(1-x))*Sum_{k>=0}(k+1)*x^2^k/(1+x^2*k)-拉尔夫·斯蒂芬2003年6月23日
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例子
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14=8+4+2,因此a(7)=3+2+1=6。
成分编号11为2,1,1;1*2+2*1+3*1=7,所以a(11)=7。
三角形开始于:
0
1
2 3
3 4 5 6
18的反向二进制展开为(0,1,0,0,1),1位于位置{2,5},因此a(18)=2+5=7-古斯·怀斯曼2019年7月22日
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MAPLE公司
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火腿重量:=n->加(i,i=换算(n,基数,2)):
a:=proc(n)选项记忆`如果`(n=0,0,
ifelse(n::偶数,a(n/2)+汉明重量(n/2,a(n-1)+1))结束:
seq(a(n),n=0..78)#彼得·卢什尼2021年10月30日
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数学
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黄体脂酮素
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(PARI)对于(n=0,100,l=长度(二进制(n));打印1(总和(i=1,l,分量(二进制(n),i)*(l-i+1)),“,”)
(哈斯克尔)
a029931=总和。zip带有(*)[1..]。a030308_低
(Python)
定义A029931号(n) :return sum(i if j==“1”else 0 for i,j in enumerate(bin(n)[:1:-1],1))#柴华武,2022年12月20日
(C#)
ulong结果=0,计数器=1;
而(n>0){
如果(n%2==1)
结果+=计数器;
计数器++;
n/=2;
}
返回结果;
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A048675号
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| 如果n=p_i^e_i*…*p_k^e_k,p_i<…<p_k素数(其中p_i=素数(i)),则a(n)=(1/2)*(e_i*2^i+…+e_k*2^k)。 |
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+10 241
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0, 1, 2, 2, 4, 3, 8, 3, 4, 5, 16, 4, 32, 9, 6, 4, 64, 5, 128, 6, 10, 17, 256, 5, 8, 33, 6, 10, 512, 7, 1024, 5, 18, 65, 12, 6, 2048, 129, 34, 7, 4096, 11, 8192, 18, 8, 257, 16384, 6, 16, 9, 66, 34, 32768, 7, 20, 11, 130, 513, 65536, 8, 131072, 1025, 12, 6, 36, 19
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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满足a(n)=a的本原完全可加整数序列(A225546型(n) ),n>=1。通过本原,我们的意思是,如果b是另一个这样的序列,那么有一个整数k,使得b(n)=k*a(n)对于所有n>=1-彼得·穆恩2020年2月3日
如果整数分区y的二进制秩由Sum_i2^(y_i-1)给出,并且Heinz数是Product_i素数(y_iA048793号(二进制索引),并且将多集m取为Product_i素数(m_i)的函数是A112798号(主要指数)-古斯·怀斯曼2024年5月22日
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链接
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配方奶粉
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a(1)=0,a(n)=1/2*(e1*2^i1+e2*2^i2+…+ez*2^iz)如果n=p_{i1}^e1*p_{i2}^e2**p{iz}^ez,其中pi是第i素数。(例如p_1=2,p_2=3)。
a(p^e)=e*2^(PrimePi(p)-1)的总加性,其中PrimePi(n)=A000720号(n) ●●●●。[注释中添加了缺失因子e安蒂·卡图恩2015年7月29日]
其他身份。对于所有n>=0:
(完)
发件人安蒂·卡图恩,2020年2月2日至25日,2021年2月1日:(开始)
对于n>=2:
对于n>=1,以下链保持不变:
(完)
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例子
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30: {1,2,3}
40: {1,1,1,3}
54: {1,2,2,2}
72: {1,1,1,2,2}
96: {1,1,1,1,1,2}
128: {1,1,1,1,1,1,1}
(完)
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MAPLE公司
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n素数:=proc(n)局部i;如果(isprime(n)),那么对于i从1到1000000,如果(ithprime(i)=n),那么返回(i);fi;od;否则返回(0);fi;结束;#n素数(2)=1,n素数A049084号.
A048675号:=proc(n)局部s,d;s:=0;对于ifactors(n)[2]中的d做s:=s+d[2]*(2^(n素数(d[1])-1));od;申报表;结束;
#更简单的替代方案
f: =n->添加(2^(数字理论:-pi(t[1])-1)*t[2],t=ifactors(n)[2]):
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数学
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黄体脂酮素
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(方案,带有备忘录-宏定义,两个备选方案)
(PARI)a(n)=我的(f=系数(n));和(k=1,#f~,f[k,2]*2^素数(f[k、1]))/2\\米歇尔·马库斯2016年10月10日
(PARI)
\\以下程序从Hans Havermann准备的因式分解文件中重建术语(例如为了检查目的):
v048675sigs=readvec(“a048675.txt”);
A048675号(n) =如果(n<=2,n-1,my(prsig=v048675sig[n],ps=prsig[1],es=prsig[2]);触头(i=1,#ps,ps[i]^es[i])\\安蒂·卡图恩2020年2月2日
(Python)
来自sympy导入因子primepi
定义a(n):
如果n==1:返回0
f=因子(n)
返回和(f中i的[f[i]*2**(素数pi(i)-1))
打印([a(n)代表范围(1,51)中的n])#因德拉尼尔·戈什2017年6月19日
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交叉参考
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满足a(f(n))=g(n)的序列对(f,g),可能有偏移量变化:(A000203号,A331750型), (A005940号,A087808号), (A007913号,A248663型), (A007947号,A087207号), (A097248号,A048675号), (A206296型,A000129号), (A248692型,A056239号), (A283477号,A005187号), (A284003型,A006068号), (2001年2月,A028362号), (A285102型,A068052号), (2014年2月,A001065号), (A318834型,A051953号), (A319991型,A293897型), (A319992型,A293898型), (A320017型,A318674型), (A329352型,A069359号), (A332461型,156552英镑), (A332462型,156552英镑), (A332825型,A000010号)而且很明显(A163511号,A135529号).
二进制索引:
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A333489型
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| 对k进行编号,使标准顺序中的第k个成分是反运行的(没有相邻的相等部分)。 |
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+10 142
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0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 17, 18, 20, 22, 24, 25, 32, 33, 34, 37, 38, 40, 41, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 76, 77, 80, 81, 82, 88, 89, 96, 97, 98, 101, 102, 104, 105, 108, 109, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 137, 140, 141
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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|
|
抵消
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1,3
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|
评论
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n的合成是一个有限的正整数序列与n相加。第k个合成按标准顺序(第k行A066099美元)通过在k的反向二进制展开中取1的位置集,在0前面加上前缀,取第一个差分,然后再次反转,即可获得。
|
|
链接
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|
例子
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序列和相应的组成开始:
0: () 33: (5,1) 70: (4,1,2)
1: (1) 34: (4,2) 72: (3,4)
2: (2) 37: (3,2,1) 76: (3,1,3)
4: (3) 38: (3,1,2) 77: (3,1,2,1)
5: (2,1) 40: (2,4) 80: (2,5)
6: (1,2) 41: (2,3,1) 81: (2,4,1)
8: (4) 44: (2,1,3) 82: (2,3,2)
9: (3,1) 45: (2,1,2,1) 88: (2,1,4)
12: (1,3) 48: (1,5) 89: (2,1,3,1)
13: (1,2,1) 49: (1,4,1) 96: (1,6)
16:(5)50:(1,3,2)97:(1,5,1)
17: (4,1) 52: (1,2,3) 98: (1,4,2)
18: (3,2) 54: (1,2,1,2) 101: (1,3,2,1)
20: (2,3) 64: (7) 102: (1,3,1,2)
22: (2,1,2) 65: (6,1) 104: (1,2,4)
24: (1,4) 66: (5,2) 105: (1,2,3,1)
25: (1,3,1) 68: (4,3) 108: (1,2,1,3)
32:(6)69:(4,2,1)109:(1,2,1,2,1)
|
|
数学
|
stc[n_]:=差异[Prepend[Join@@Position[Reverse[InterDigits[n,2]],1],0]]//反转;
选择[范围[0100]!匹配Q[stc[#],{___,x_,x_
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A333217飞机
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| 对k进行编号,使标准顺序的第k个组合覆盖正整数的初始区间。 |
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+10 141
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0, 1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 26, 27, 29, 30, 31, 37, 38, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 50, 52, 53, 54, 55, 58, 59, 61, 62, 63, 75, 77, 78, 83, 85, 86, 87, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 101, 102, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 114, 116, 117, 118
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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标准顺序的第k个成分(第k行,共A066099美元)通过在k的反向二进制展开中取1的位置集,在0前面加上前缀,取第一个差分,然后再次反转,即可获得。
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链接
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例子
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术语序列和相应的组成开始于:
0: () 37: (3,2,1) 75: (3,2,1,1)
1: (1) 38: (3,1,2) 77: (3,1,2,1)
3: (1,1) 41: (2,3,1) 78: (3,1,1,2)
5: (2,1) 43: (2,2,1,1) 83: (2,3,1,1)
6: (1,2) 44: (2,1,3) 85: (2,2,2,1)
7: (1,1,1) 45: (2,1,2,1) 86: (2,2,1,2)
11: (2,1,1) 46: (2,1,1,2) 87: (2,2,1,1,1)
13: (1,2,1) 47: (2,1,1,1,1) 89: (2,1,3,1)
14: (1,1,2) 50: (1,3,2) 90: (2,1,2,2)
15: (1,1,1,1) 52: (1,2,3) 91: (2,1,2,1,1)
21:(2,2,1)53:(1,2,2,1)92:(2,1,1,3)
22: (2,1,2) 54: (1,2,1,2) 93: (2,1,1,2,1)
23: (2,1,1,1) 55: (1,2,1,1,1) 94: (2,1,1,1,2)
26: (1,2,2) 58: (1,1,2,2) 95: (2,1,1,1,1,1)
27: (1,2,1,1) 59: (1,1,2,1,1) 101: (1,3,2,1)
29: (1,1,2,1) 61: (1,1,1,2,1) 102: (1,3,1,2)
30: (1,1,1,2) 62: (1,1,1,1,2) 105: (1,2,3,1)
31:(1,1,1,1,1)63:(1,1,1,1,1,1)106:(1,2,2,2)
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数学
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normQ[m]:=或[m=={},并集[m]==范围[Max[m]]];
stc[n_]:=差异[Prepend[Join@@Position[Reverse[IntegerDigits[n,2]],1],0]]//反向;
选择[Range[0,100],normQ[stc[#]]&]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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