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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A000720 素数<=3,有时称之为素数。。。
(原M0256 N0090)
1402
1、1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、4、4、4、5、5、5、6、6、6、6、7、7、7、8、8、8、8、8、8、8、8、9、9、9、9、9、9、10、10、10、11、11、11、11、11、11、11、11、11、11、11、11、11、11、11、11、11、11、11、11、11、11、11、11、12、12、12、12、12、12、12、12、12、13、14、14、15、15、15、15、15、15、15、16、16、16、16、16、16、16、17、17、18、18、18、18、18、18、18、19 21,21,21 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,3

评论

部分和A010051型(素数的特征函数)。-杰里米·加德纳2002年8月13日

π(n)和素数(n)是反函数:a(A000040号(n) )和nA000040号(n) 最小的数字是A000040号(a(m))=A000040号(n) 一。A000040号(a(n))=n当(且仅当)n是素数。-乔纳森·桑多2004年12月27日

请参阅中提到的其他参考和链接A143227号. -乔纳森·桑多2008年8月3日

等于三角形的行和邮编:A143538. -加里·W·亚当森2008年8月23日

a(n)=A036234号(n) -1。-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年3月23日

N越大越好的一个下界是至少有T个素数小于N,其中递归函数T是:T=N-N*Sum{i=0..T(sqrt(N))}A005867号(一)/A002110型(i) 一。-本保罗瑟斯顿2010年8月23日

将2n划分为两个部分的最小部分素数。-韦斯利·伊万受伤了2013年7月20日

相当于黎曼假设:abs(a(n)-li(n))<sqrt(n)*log(n)/(8*Pi),对于n>=2657,其中li(n)是对数积分(Lowell-Schoenfeld)。-伊利亚·古特科夫斯基2016年7月5日

参考文献

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Wolfram研究所,pi(n)的前50个值

“索引”的核心项目

公式

素数定理给出了渐近表达式a(n)~n/log(n)。

对于x>1,pi(x)<(x/log x)*(1+3/(2 logx))。对于x>=59,pi(x)>(x/log x)*(1+1/(2 logx))。[罗瑟和肖恩菲尔德]

对于x>=355991,pi(x)<(x/log(x))*(1+1/log(x)+2.51/(log(x))^2)。对于x>=599,pi(x)>(x/log(x))*(1+1/log(x))。[杜萨特]

当x>=55时,x/(log(x)+2)<pi(x)<x/(log(x)-4)。[罗瑟]

n>1时,194年A138(n) <=a(n)<=A138195号(n) (柴比雪夫,1850年)。-莱因哈德·祖姆凯勒2008年3月4日

对于n>=33,a(n)=1+和{j=3..n}((j-2)!-j*地板((j-2)!/j) )(Hardy和Wright);对于n>=1,a(n)=n-1+Sum{j=2..n}(floor((2-Sum{i=1..j}(floor(j/i)-floor((j-1)/i))(Ruiz and Sondow 2000)。-贝诺伊特·克罗伊特2003年8月31日

a(n)=A001221型(A000142号(n) )。-贝诺伊特·克罗伊特2005年6月3日

G、 f.:和{p素数}x^p/(1-x)=b(x)/(1-x),其中b(x)是A010051型. -富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2006年6月15日

恩里克·佩雷斯·赫雷罗,2010年7月12日:(开始)

a(n)=和{i=2..n}层((i+1)/A000203型(i) )。

a(n)=和{i=2..n}层(A000010号(n) /(i-1))。

a(n)=和{i=2..n}层(2/A000005号(n) )。(结束)

设pf(n)表示整数n的素因子集,然后a(n)=卡(pf(n!/楼层(n/2)!)。-彼得·卢什尼2011年3月13日

a(n)=-和{p<=n}mu(p)。-韦斯利·伊万受伤了2013年1月4日

a(n)=(1/2)*和{p<=n}(mu(p)*d(p)*σ(p)*phi(p))+和{p<=n}p^2。-韦斯利·伊万受伤了2013年1月4日

a(1)=0,然后,对于所有k>=1,重复kA001223号(k) 时代。-让·克里斯托夫·赫维2013年10月29日

a(n)=n/(log(n)-1-和{k=1..m}邮编:A233824(k) /log(n)^k+O(1/log(n)^{m+1}))表示m>0。-乔纳森·桑多2013年12月19日

a(n)=A001221型(A003418号(n) )。-埃里克·德斯比厄2014年5月1日

a(n)=和{j=2..n}H(-sin^2(Pi*(Gamma(j)+1)/j)),其中H(x)是重边阶跃函数,取H(0)=1。-克沙夫·拉格哈万2016年6月18日

a(A014076号(n) )=(1/2)*(A014076号(n) +1)-n+1。-克里斯托弗·海林2017年3月3日

史蒂文·福斯特·克拉克2018年9月25日:(开始)

a(n)=和{m=1..n}邮编:A143519(m) *楼层(n/m)。

a(n)=和{m=1..n}A001221型(米)*A002321(楼层(n/m))其中A002321()是Mertens函数。

a(n)=和{m=1..n}|邮编:A143519(m) |*A002819号(楼层(n/m))其中A002819号()是Liouville-Lambda求和函数,| x |是x的绝对值。

a(n)=和{m=1..n}邮编:A137851(m) /m*H(floor(n/m)),其中H(n)=和{m=1..n}1/m是调和数函数。

a(n)=和{m=1..log_2(n)}A008683号(米)*A025528号(楼层(n^(1/m)))其中A008683号()是Moebius-mu函数,并且A025528号()是素数幂函数。

(结束)

例子

有3个素数<=6,即2、3和5,所以pi(6)=3。

枫木

有(numtheory);A000720:=π;[顺序(A000720(i) 50..1,1)];

数学

A000720[n_]:=PrimePi[n];表格[A000720[n] ,{n,1100}]

数组[PrimePi[#]&,100]

累加[Table[Boole[PrimeQ[n]],{n,100}]](*哈维·P·戴尔2015年1月17日*)

黄体脂酮素

(平价)A000720=矢量(100,n,Ω(n!))\\仅供说明;更好地使用A000720=primepi

(PARI)向量(300,j,primepi(j))\\乔尔阿恩特2008年5月9日

(平价)A000720(n) =matsize(系数(n!))[1] \\仅供说明。-巴克科林2013年3月11日

(Sage)[范围(1,79)中n的素数_pi(n)]#泽伦瓦拉乔斯2009年6月6日

(岩浆)[#PrimesUpTo(n):n in[1..200]]//布鲁诺·贝尔塞利2011年7月6日

(哈斯克尔)

a000720 n=a000720\U列表!!(n-1)

a000720 U列表=扫描1(+)a010051 U列表--莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月15日

蟒蛇

来自sympy import primepi

对于范围(1100)中的n:print(primepi(n),end=',')#斯佩齐亚2018年11月30日

交叉引用

囊性纤维变性。A048989号,A000040号,A132090型,邮编:A137588,邮编:A139328,A104272,A143223,A143224号,A143225,A143226号,A143227号.

囊性纤维变性。邮编:A143538,A036234号,A033844号,A034387号,A034386号,邮编:A179215,A010051型,A212210号-A212213号,邮编:A233824,A056171号,A304483型.

囊性纤维变性。A099802型:素数<=2n。

囊性纤维变性。A060715型:n到2n之间的素数(不包括)。

囊性纤维变性。A035250型:n到2n之间的素数(包括n和2n)。

囊性纤维变性。A038107型:素数<n^2。

囊性纤维变性。A014085型:介于n^2和(n+1)^2之间的素数。

囊性纤维变性。A007053号:素数<=2^n。

囊性纤维变性。A036378号:2,2^n<p<=2^(n+1)幂之间的素数p。

囊性纤维变性。A006880型:素数<10^n。

囊性纤维变性。A006879号:n位素数。

囊性纤维变性。A033270:奇数素数<=n。

关于a(n)的大值列表,请参见,例如。,A005669号(n)=A000720(A002386号(n) ),甲14935(n)=A000720(A205827号(n) )。

上下文顺序:A237819号 A0827年 邮编:A139789*A230980 A070549号 A255574号

相邻序列:A000717号 A000718号 A071009号*A000721号 A0722号 A000723号

关键字

,核心,容易的,美好的

作者

N、 斯隆

扩展

其他链接由莱克莱·比达西2003年12月23日

编辑M、 哈斯勒,2018年4月27日和(恢复链接)2018年12月21日

状态

经核准的

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