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问候整数序列的在线百科全书!)
A000 0720 Pi(n),素数为n= n,有时称为PrimePi(n),以区别于3.14159…
(原M0256 N00 90)
一千二百五十七
0, 1, 2、2, 3, 3、4, 4, 4、4, 5, 5、6, 6, 6、6, 7, 7、8, 8, 8、8, 9, 9、9, 9, 9、9, 10, 10、11, 11, 11、11, 11, 11、11, 11, 11、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、γ、y、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,3

评论

部分和A010051(素数的特征函数)。-杰瑞米加德纳8月13日2002

Pi(n)和素数(n)是反函数:a(A000 000(n)=n和A000 000(n)是m的最小数A000 000(a(m))=A000 000(n)。A000 000(a(n))=nif(且仅当)n是素数。-乔纳森·索道12月27日2004

参见附加引用和链接中提到的A14327. -乔纳森·索道,八月03日2008

等于三角形的行和A143538. -加里·W·亚当森8月23日2008

A(n)=A03623(n)- 1。-雅罗斯拉夫克利泽克3月23日2009

n越大越好的下界是至少有n个素数小于n,其中递归函数t是:t= n- n*SuMu{{i=0…t(qRT(n))}。A000 5867(i)A1002110(i)。-本·保罗·瑟斯顿8月23日2010

2n的分区数与最小部分素数正好两个部分。-卫斯理伊凡受伤7月20日2013

相当于黎曼假设:ABS(A(n)-Li(n))<SqRT(n)*log(n)/(8×pi),对于n>=2657,其中Li(n)是对数积分(Lowell Schoenfeld)。-伊利亚古图科夫基,朱尔05 2016

推荐信

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J. Barkley Rosser和Lowell Schoenfeld素数函数的近似公式(从一些带注释的复印件中扫描一些关键页面)。

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M. R. Watkins素数定理(部分参考文献)

Eric Weisstein的数学世界,素数计数函数

维基百科素数定理.

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沃尔夫拉姆研究π(n)的前50个值

“核心”序列的索引条目

公式

素数定理给出了渐近表达式A(n)~n/log(n)。

对于x>1,π(x)<(x/log x)*(1+3/(2 log x))。对于x>=59,π(x)>(x/log x)*(1+1/(2 log x))。[ Rosser和舍恩菲尔德]

对于x>=355991,π(x)<(x/log(x))*(1+1/log(x)+2.51/(log(x))^ 2)。对于x>=599,π(x)>(x/log(x))*(1+1/log(x))。[杜萨特]

对于x>=55,x/(log(x)+ 2)< pi(x)<x/(log(x)- 4)。[ Rosser ]

对于n>1,A138194(n)<=a(n)<A138195(n)(Tschebyscheff,1850)。-莱因哈德祖姆勒04三月2008

对于n>=33,A(n)=1+SuMu{{j=3…n}((J-2)!-J*楼层((J-2)!n)=1,a(n)=n- 1+SuMu{{j=2…n}(地板(2 - SUM{{i=1…J}(地板(J/I)-地板((J-1)/I))/J))(鲁伊斯和Sangdou-2000)。-班诺特回旋曲8月31日2003

A(n)=A000 1221A000 0142(n)。-班诺特回旋曲,军03 2005

G.f.:Suthi{{Prime } x^ p/(1-x)=b(x)/(1-x),其中B(x)是G.F.A010051. -富兰克林·T·亚当斯·沃特斯6月15日2006

恩里克·P·雷兹·埃雷罗,7月12日2010:(开始)

A(n)=SuMu{{i=2…n}楼层((i + 1)/A000 0203(i)

A(n)=SuMu{{i=2…n}楼层(A000 000(n)/(I-1)。

A(n)=SuMu{{i=2…n}楼层(2/A000 00 05(n)。(结束)

让PF(n)表示整数n的素因子集合,然后A(n)=卡(PF(n)!/楼层(N/2)!-彼得卢斯尼3月13日2011

A(n)=SuMu{{P<=n}亩(p)。-卫斯理伊凡受伤,04月1日2013

a(n)=(1/2)*SuMu{{P<=n}(μ(p)*d(p)*sigma(p)*φ(p))+ SuMu{{P<=n} p^ 2。-卫斯理伊凡受伤,04月1日2013

A(1)=0,然后,对于所有k>=1,重复kA000 1223(k)次。-让克里斯多夫10月29日2013

a(n)=n/(log(n)- 1 - SuMu{{k=1…m })A2438(k)/log(n)^ k+O(1/log(n)^ m+1 })m>0。-乔纳森·索道12月19日2013

A(n)=A000 1221A000 318(n)。-埃里克·德斯鲍克斯01五月2014

A(n)=SuMu{{j=2…n} H(-SiN ^ 2(π*(γ(j)+ 1)/j)),其中H(x)是HeaviSe阶跃函数,取H(0)=1。-克沙夫拉格万6月18日2016

A(A014076(n)=(1/2)*A014076(n)+1)-n+1。-克里斯托弗黑灵03三月2017

史提芬福斯特克拉克,9月25日2018:(开始)

A(n)=SuMu{{m=1…n}A143519(m)*楼层(N/M)。

A(n)=SuMu{{m=1…n}A000 1221(m)*A000(楼层(N/M))A000()是梅顿函数。

A(n)=SuMu{{m=1…n}A143519(m)* *A000 819(楼层(N/M))A000 819()是Liouvilleλ函数,X是X的绝对值。

A(n)=SuMu{{m=1…n}A137851(m)/m*h(楼层(n/m)),其中H(n)=SuMu{{m=1…n} 1/m是调和数函数。

A(n)=SUMY{{M=1…Log2(n)}A000 868(m)*A025528(地板(n(1/m)))A000 868()是莫比乌斯-穆函数;A025528()是素数幂函数。

(结束)

例子

有3个素数<=6,即2, 3和5,所以PI(6)=3。

枫树

用(纽曼理论);A000 0720=π;[SEQ ]A000 0720(i)i=1…50);

Mathematica

A000 0720[n]:= PrimePi [n];表[]A000 0720[n],{n,1, 100 }

数组[PrimePi],[S](100)

累加[表[Boo[Primeq[n] ],{n,100 }] ](*)哈维·P·戴尔1月17日2015*)

黄体脂酮素

(帕里)A000 0720=向量(100,n,ω(n!))仅用于说明;更好地使用A000 0720普里皮普

(PARI)向量(300,j,PrimePi(j))乔尔格阿尔恩特09五月2008

(帕里)A000 0720(n)= MatSead(因子(n!))〔1〕仅作说明。-柯林巴克3月11日2013

(SAGE)[在XrA射界(1, 79)]中的n的PrimeOyπ(n)零度拉霍斯,军06 2009

(岩浆)[α] PrimeSuto(n):n(1…200)];布鲁诺·贝塞利,朱尔06 2011

(哈斯克尔)

A000 0720 N=A000 0720i列表!(N-1)

A000 0720A列表= SCALL1(+)A010051列表莱因哈德祖姆勒9月15日2011

(蟒蛇)

从症状导入

对于n的范围(1, 100):打印(PrimePi(n),结尾=′,′)斯蒂法诺斯皮齐亚11月30日2018

交叉裁判

囊性纤维变性。A089899A000 000A132090A1375 88A139328A104227A14323A1432A1432A14326A14327.

囊性纤维变性。A143538A03623A0338 44A034A034A179215A010051A212210-A212213A2438A056171A30483.

囊性纤维变性。A09802素数<=2n。

囊性纤维变性。A060715n和2n之间的素数(排他性)。

囊性纤维变性。A035250n和2n之间的素数(包括)。

囊性纤维变性。A038 107素数<n ^ 2。

囊性纤维变性。A014085N^ 2和(n+1)^ 2之间的素数的数目。

囊性纤维变性。A000 7053素数=2 ^ n。

囊性纤维变性。A036788在2, 2 ^ n<P<2 ^(n+1)的幂之间的素数p。

囊性纤维变性。A000 68 80素数<10 ^ n。

囊性纤维变性。A000 68 79n位数的素数。

囊性纤维变性。A033 270奇数素数<=n。

对于a(n)的大值的列表,参见A00 5659(n)=A000 0720A000(n)A214935(n)=A000 0720A205827(n)。

语境中的顺序:A37819 A082447 A13997*A230980 A07054 A2555 74

相邻序列:A000 0717 A000 0718 A000 0719*A000 0721 A000 0722 A000 0723

关键词

诺恩核心容易

作者

斯隆

扩展

附加链接由莱克拉吉贝达西12月23日2003

被编辑哈斯勒4月27日2018和(链接恢复)12月21日2018

地位

经核准的

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