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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A000720号 pi(n),素数<=n。有时称为PrimePi(n。。。
(原名M0256 N0090)
1695
0, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 21, 21 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,3

评论

的部分总和A010051型(素数的特征函数)-杰里米·加德纳2002年8月13日

pi(n)和素数(n)是反函数:a(A000040型(n) )=n和A000040型(n) 是最小的数字m,因此A000040型(a(m))=A000040型(n) ●●●●。A000040型(a(n))=n,如果(且仅当)n是素数-乔纳森·桑多2004年12月27日

请参阅中提到的其他参考和链接A143227号. -乔纳森·桑多2008年8月3日

等于三角形的行和A143538号. -加里·亚当森2008年8月23日

a(n)=A036234号(n) -1-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年3月23日

N越大越好的一个下限是至少有T个素数小于N,其中递归函数T是:T=N-N*Sum_{i=0..T(sqrt(N))}A005867号(i)/A002110号(i) ●●●●-本·保罗·瑟斯顿2010年8月23日

将2n划分为两个部分的数量,其中两个部分为素数最小的部分-韦斯利·伊万·赫特2013年7月20日

等效于黎曼假设:abs(a(n)-li(n))<sqrt(n)*log(n)/(8*Pi),对于n>=2657,其中li(n)是对数积分(Lowell Schoenfeld)-伊利亚·古特科夫斯基2016年7月5日

Hardy-Littlewood的第二个猜想是,对于整数x和最小值为{x,y}>=2的y,π(x)+pi(y)>=pi(x+y),已知它适用于足够大的(x,y)(Udrescu 1975)。2021年,M.Visser发布了一份(尚未经过同行审查)证据-彼得·卢什尼2021年1月12日

参考文献

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链接

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Wolfram研究公司,pi(n)的前50个值.

“核心”序列的索引项

配方奶粉

素数定理给出了a(n)~n/log(n)的渐近表达式。

对于x>1,pi(x)<(x/log x)*(1+3/(2 log x))。对于x>=59,pi(x)>(x/log x)*(1+1/(2 log x))。[Rosser和Schoenfeld]

对于x>=355991,pi(x)<(x/log(x。对于x>=599,pi(x)>(x/log(x。[杜萨特]

对于x>=55,x/(log(x)+2)<pi(x,<x/(对数(x)-4)。[罗瑟]

对于n>1,A138194号(n) <=a(n)<=A138195号(n) (切比雪夫,1850)-莱因哈德·祖姆凯勒2008年3月4日

对于n>=33,a(n)=1+和{j=3..n}((j-2)!-j*地板((j-2)/j) )(哈代和赖特);对于n>=1,a(n)=n-1+总和{j=2..n}(floor(2-总和{i=1..j}(loor(j/i)-地板(j-1)/i))(Ruiz和Sondow 2000)-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月31日

a(n)=A001221号(A000142号(n) )-贝诺伊特·克洛伊特2005年6月3日

G.f.:和{p素数}x^p/(1-x)=b(x)/(1-xA010051型. -富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年6月15日

发件人恩里克·佩雷斯·埃雷罗2010年7月12日:(开始)

a(n)=总和{i=2..n}层((i+1)/A000203号(i) )。

a(n)=总和{i=2..n}层(A000010号(n) /(i-1))。

a(n)=总和{i=2..n}层(2/A000005号(n) )。(结束)

设pf(n)表示整数n的素因子集,则a(n)=card(pf(n!/floor(n/2)!)-彼得·卢什尼2011年3月13日

a(n)=-总和{p<=n}μ(p)-韦斯利·伊万·赫特2013年1月4日

a(n)=(1/2)*Sum_{p<=n}(mu(p)*d(p)*sigma(p)*1phi(p-韦斯利·伊万·赫特2013年1月4日

a(1)=0,然后,对于所有k>=1,重复kA001223号(k) 次-Jean-Christophe Hervé2013年10月29日

a(n)=n/(log(n)-1-和{k=1..m}A233824型(k) /log(n)^k+O(1/log(n-乔纳森·桑多2013年12月19日

a(n)=A001221号(A003418号(n) )-埃里克·德斯比亚2014年5月1日

a(n)=总和{j=2..n}H(-sin^2(Pi*(Gamma(j)+1)/j)),其中H(x)是Heaviside阶跃函数,取H(0)=1-凯沙夫·拉加万2016年6月18日

一个(A014076号(n) )=(1/2)*(A014076号(n) +1)-n+1-克里斯托弗·海林2017年3月3日

发件人史蒂文·福斯特·克拉克2018年9月25日:(开始)

a(n)=和{m=1..n}A143519号(m) *地板(n/m)。

a(n)=和{m=1..n}A001221号(米)*A002321号(楼层(n/m)),其中A002321号()是Mertens函数。

a(n)=和{m=1..n}|A143519号(m) |*A002819号(楼层(n/m)),其中A002819号()是Liouville Lambda求和函数,|x|是x的绝对值。

a(n)=和{m=1..n}A137851号(m) /m*H(楼层(n/m)),其中H(n)=和{m=1..n}1/m是调和数函数。

a(n)=和{m=1..log_2(n)}A008683号(米)*A025528号(楼层(n^(1/m)),其中A008683号()是Moebius mu函数A025528号()是素数幂计数函数。

(结束)

求和{k=2..n}1/a(k)~(1/2)*log(n)^2+O(log(n))(de Koninck and Ivić,1980)-阿米拉姆·埃尔达尔2021年3月8日

例子

有3个素数<=6,即2、3和5,所以pi(6)=3。

MAPLE公司

带有(数字理论);A000720号:=π;[顺序(A000720号(i) ,i=1..50)];

数学

A000720号[n_]:=PrimePi[n];表[A000720号[n] ,{n,1100}]

数组[PrimePi[#]&,100]

累加[Table[Boole[PrimeQ[n]],{n,100}]](*哈维·P·戴尔2015年1月17日*)

黄体脂酮素

(PARI)A000720号=向量(100,n,ω(n!))\\仅供说明;更好的使用A000720号=素数

(PARI)向量(300,j,素数(j))\\乔格·阿恩特2008年5月9日

(PARI)A000720号(n) =材料尺寸(系数(n!))[1]\\仅供说明-科林·巴克2013年3月11日

(鼠尾草)[范围(1,79)中n的prime_pi(n)]#零入侵拉霍斯,2009年6月6日

(岩浆)[1..200]]中的[#PrimesUpTo(n):n//布鲁诺·贝塞利2011年7月6日

(哈斯克尔)

a000720 n=a000720_列表!!(n-1)

a000720_list=扫描1(+)a010051_list--莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月15日

(Python)

从sympy导入primepi

对于范围(1100)中的n:打印(primepi(n),end=',')#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年11月30日

交叉参考

囊性纤维变性。A048989号,A000040型,A132090型,A137588型,A139328号,A104272号,A143223号,A143224号,A143225号,A143226号,A143227号.

囊性纤维变性。A143538号,A036234号,A033844号,A034387号,A034386号,A179215号,A010051型,A212210型-A212213型,A233824型,A056171号,A304483型.

囊性纤维变性。A099802号:素数<=2n。

囊性纤维变性。A060715号:n到2n之间的素数(不含)。

囊性纤维变性。A035250型:n和2n(含)之间的素数。

囊性纤维变性。A038107号:素数<n^2。

囊性纤维变性。A014085号:n^2和(n+1)^2之间的素数。

囊性纤维变性。A007053号:素数<=2^n。

囊性纤维变性。A036378号:2的幂之间的素数p,2^n<p<=2^(n+1)。

囊性纤维变性。A006880型:素数<10^n。

囊性纤维变性。A006879号:n位数的素数。

囊性纤维变性。A033270型:奇数素数<=n。

有关a(n)的大值列表,请参见,例如。,A005669号(n) =a(A002386号(n) ),A214935型(n) =a(A205827型(n) )。

上下文中的序列:A237819号 A082447号 A139789号*A230980型 A070549号 A255574型

相邻序列:A000717号 A000718号 A000719号*A000721号 A000722号 A000723号

关键词

非n,核心,容易的,美好的

作者

N.J.A.斯隆

扩展

其他链接由贡献Lekraj Beedassy公司2003年12月23日

编辑人M.F.哈斯勒,2018年4月27日和2018年12月21日(恢复链接)

状态

经核准的

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