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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A248663型 n的无平方部分素因子的二进制编码。 35
0, 1, 2, 0, 4, 3, 8, 1, 0, 5, 16, 2, 32, 9, 6, 0, 64, 1, 128, 4, 10, 17, 256, 3, 0, 33, 2, 8, 512, 7, 1024, 1, 18, 65, 12, 0, 2048, 129, 34, 5, 4096, 11, 8192, 16, 4, 257, 16384, 2, 0, 1, 66, 32, 32768, 3, 20, 9, 130, 513, 65536, 6, 131072, 1025, 8, 0, 36, 19 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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1,3
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a(n)的二进制数字编码A007913号(n) ,其中右边的第i个数字是1当且仅当素数(i)除A007913号(n) ,否则为0-罗伯特·伊斯雷尔,2015年1月12日
旧名称:a(1)=0;一个(A000040型(n) )=2^(n-1),a(n*m)=a(n)XOR a(m)。
XOR是按位异或运算(A003987号).
对于自然数k,a(k^2)=0。
等价地,右边的第i个二进制数字是1 iff素数(i)除以n的奇数次,否则为零-伊桑·贝尔2016年10月15日
当具有非负整数系数的多项式用n的素因式分解编码时(例如A206296型160443元,方案说明见A206284号),然后A048675美元(n) 给出了x=2时该多项式的求值。这个序列在其他方面是相似的,除了多项式是在字段GF(2)上计算的,这也意味着它的所有系数基本上都是模2的约简-安蒂·卡图恩2015年12月11日
无平方数字(A005117号)给出位置k,其中a(k)=A048675美元(k) ●●●●-安蒂·卡图恩2016年10月29日
发件人彼得·穆恩,2021年6月7日:(开始)
当我们用非负整数系数对多项式进行编码时安蒂·卡图恩上面,多项式加法用整数乘法表示,乘法用A297845型(.,.),该序列表示GF(2)[x]中多项式的满射半环同态(按照A048720型). 这个同态对加法运算的映射是序列定义的一部分:“a(n*m)=a(n)XOR a(m)”。乘法的映射由(A297845型(n,k))=A048720型(a(n)、a(k))。
在相关方面,A329329型将不同多项式集的表示定义为正整数,即GF(2)[x,y]中的多项式。
让P_n(x,y)表示所表示的多项式,如329329美元,n>=1。如果用0代替P_n(x,y)中的y,我们得到一个多项式P'_n(x,y)(当然,在其中y没有出现),它等价于GF(2)[x]中的多项式P'nn(x)。a(n)是P'_n(x)的整数编码(如A048720型).
如上所述,该序列表示另一个满射同态,即多项式环之间的同态A329329型(.,.)/A059897号(.,.)和A048720型(.,.)/A003987号(.,.)作为各自的环操作。
a(n)可以组成=A048675美元(A007913号(n) )以及A007913号(.)分量对应于上述两个同态的各自多项式域上的不同操作。在第一个同态中,系数被约化为模2;在第二种情况下,用0代替y。这在示例中进行了说明。
(结束)
链接
埃里克·魏斯坦的数学世界,无方形零件
维基百科,多项式环
配方奶粉
a(1)=0;对于n>1,如果n是素数,a(n)=2^(A000720号(n) -1),否则为(A020639号(n) )异或a(A032742号(n) )。[在定义之后。]-安蒂·卡图恩2015年12月11日
对于n>1,这简化为:a(n)=2^(A055396美元(n) -1)“异或”(A032742号(n) )。[地点A055396美元(n) 给出最小素数除以n的指数A032742号(n) 给出了n的最大真除数A048675美元.]
其他身份和观察结果。对于所有n>=0:
a(n)=A048672号(A100112号(A007913号(n) )-彼得·卡吉2015年12月10日
发件人安蒂·卡图恩,2015年12月11日,2016年9月19日和10月27日,2021年2月15日:(开始)
a(n)=a(A007913号(n) )。[结果仅取决于n的平方自由部分。]
a(n)=A048675美元(A007913号(n) )。
一个(A206296型(n) )=A168081美元(n) ●●●●。
一个(160443元(n) )=A264977号(n) ●●●●。
一个(A265408型(n) )=A265407型(n) ●●●●。
一个(A275734型(n) )=A275808型(n) ●●●●。
一个(A276076型(n) )=A276074型(n) ●●●●。
一个(A283477号(n) )=A006068号(n) ●●●●。
(结束)
发件人彼得·穆恩2021年1月9日和2021年4月20日:(开始)
a(n)=A007814号(A225546型(n) )。
一个(A019565号(n) )=n;A019565号(a(n))=A007913号(n) ●●●●。
一个(A003961号(n) )=2*a(n)。
一个(A297845型(n,k))=A048720型(a(n)、a(k))。
一个(329329美元(n,k))=A048720型(a(n)、a(k))。
一个(A059897号(n,k))=A003987号(a(n)、a(k))。
一个(A331590型(n,k))=a(n)+a(k)。
一个(A334747飞机(n) )=a(n)+1。
(结束)
例子
a(3500)=a(2^2*5^3*7)=a。
发件人彼得·穆恩,2021年6月7日:(开始)
下表中的示例说明了此序列表示的同态(多项式结构之间)。
行的交错显示了映射n->A007913号(n) ->A048675美元(A007913号(n) )=a(n)与编码多项式有关,因为并非所有编码在每个阶段都相关。
有关每个多项式编码的解释,请参阅相关列标题中引用的序列。(另请注意A007913号生成无平方数,通过这些编码,所有无平方数都表示N[x]和GF(2)[x,y]中的等价多项式。)
|<-----编码多项式----->|
n个A007913号(n) a(n)|n[x]GF(2)[x,y]GF(二)[x]|
--------------------------------------------------------------
24 x+3 x+y+1
6 x+1 x+1
3 x+1
--------------------------------------------------------------
36个2x+2个xy+y
1 0 0
0 0
--------------------------------------------------------------
60 x ^2+x+2 x ^2+x+y
15 x ^2+x x ^2+x
6 x ^2+x
--------------------------------------------------------------
90 x^2+2x+1 x^2+xy+1
10 x ^2+1 x ^2+1
5 x ^2+1
--------------------------------------------------------------
此序列是A019565号.A019565号(.)将a(n)映射到A007913号(n) 对于所有n,有效地将上述映射的第二阶段从n反向到a(n)。因此,根据这里使用的编码,A019565号(.)表示将GF(2)[x]中的多项式分别映射为N[x]和GF(2中)[x,y]中的等价多项式的两个内射同态中的每一个。
(结束)
MAPLE公司
f: =程序(n)
局部F,F;
F: =选择(t->t[2]::奇数,ifactors(n)[2]);
加(2^(数字理论:-pi(f[1])-1),f=f)
结束进程:
seq(f(i),i=1..100)#罗伯特·伊斯雷尔2015年1月12日
数学
a[1]=0;a[n_]:=a[n]=如果[PrimeQ@n,2^(PrimePi@n-1),BitX或[a[#],a[n/#]]&@FactorInteger[n][1,1]]];数组[a,66](*迈克尔·德弗利格2016年9月16日*)
黄体脂酮素
(红宝石)
需要“prime”
定义f(n)
a=0
reverse_primes=素数.each(n).to_a.reverse
reverse_primes.each do|prime|
a≤1
当n%质数==0时
n/=质数
a^=1
结束
结束
结束
(方案,带有备忘录-宏定义)
(定义(A248663型n) (秒((=1n)0)((=1(A010051型n) )(A000079号(- (A000720号n) 1))(其他(A003987bi(A248663型(A020639号n) )(A248663型(A032742号n) );;其中A003987bi按位-XOR计算,如下所示A003987号.
;; 或者:
(定义(A248663型n) (条件((=1n)0)(其他(A003987bi(A000079号(- (A055396美元n) 1))(A248663型(A032742号n) ))
;;安蒂·卡图恩2015年12月11日
(PARI)A248663型(n) =向量和(应用(p->2^(素数pi(p)-1),因子(核心(n))[,1]))\\安蒂·卡图恩2021年2月15日
(哈斯克尔)
导入数据。位(xor)
a248663=foldr(xor)0。地图(\i->2^(i-1))。a112798_低
--彼得·卡吉2016年9月16日
(Python)
从症状导入因子int,素数pi
从sympy.theory.factor导入核心
定义a048675(n):
f=因子(n)
如果n==1,则返回0(对于f中的i,返回[f[i]*2**(primepi(i)-1))
定义a(n):返回a048675(核心(n))打印[a(n#因德拉尼尔·戈什2017年6月21日
交叉参考
的左反转A019565号.
用于表示此序列中各术语之间关系的其他序列:A003961号A007913号A331590型A334747飞机.
另请参阅A099884号A277330型.
A087207号是与OR类似的序列。
A000290型给出了零的位置。
关键词
非n基础
作者
彼得·卡吉2015年1月11日
扩展
新名称来自彼得·穆恩2023年11月1日
状态
已批准

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上次修改时间:美国东部夏令时2024年3月29日04:59。包含371264个序列。(在oeis4上运行。)