G、 f.:乘积{m>=1}(1+x^m)=1/积{m>=0}(1-x^(2m+1))=Sum{k>=0}积{i=1..k}x^i/(1-x^i)=Sum{n>=0}x^(n*(n+1)/2)/乘积{k=1..n}(1-x^k)。
G、 f.:Sum{n>=0}x^n*乘积{k=1..n-1}(1+x^k)=1+和{n>=1}x^n*乘积{k>=n+1}(1+x^k)-乔尔阿恩特2011年1月29日
积{k>=1}(1+x^(2k))=和{k>=0}x^(k*(k+1))/积{i=1..k}(1-x^(2i))-Euler(Hardy和Wright,定理346)。
渐近性:a(n)~exp(Pi l\u n/sqrt(3))/(4 3^(1/4)l_n^(3/2)),其中l_n=(n-1/24)^(1/2)(Ayoub)。
对于n>1,a(n)=(1/n)*和{k=1..n}b(k)*a(n-k),其中a(0)=1,b(n)=A000593号(n) =n的奇数因子之和;囊性纤维变性。A000700美元. -弗拉德塔·乔沃维奇2002年1月21日
a(n)=t(n,0),t定义见A079211.
a(n)=和{k=0..n-1}A117195年(n,k)=A117192年(n)+A117193号(n) n>0时-莱因哈德·祖姆凯勒2006年3月3日
a(n)=A026837号(n)+A026838号(n)=A118301年(n)+A118302年(n) ;a(A001318型(n) )=A051044号(n) ;a(A090864号(n) )=A118303年(n) 一-莱因哈德·祖姆凯勒2006年4月22日
1/chi(-x)=chi(x)/chi(-x^2)=f(-x)/phi(x)=f(x)/phi(-x^2)=psi(x)/f(-x^2)=f(-x^2)/f(-x)=f(-x^4)/psi(-x),其中phi()、psi()、chi()、f()是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯2011年3月12日
G、 f.是满足f(-1/(1152t))=2^(-1/2)/f(t)的周期1傅里叶级数,其中q=exp(2pi i t)-迈克尔·索莫斯2007年8月16日
q^(-1/24)*eta(q^2)/eta(q)的展开式。
q^(-1/24)2^(-1/2)f2(t)的展开式,其幂为q=exp(2πi t),其中f2()是韦伯函数-迈克尔·索莫斯2007年10月18日
给定g.f.A(x),则B(x)=x*A(x^3)^8满足0=f(B(x(x),B(x^2)),其中f(u,v)=v-u^2+16*u*v^2-迈克尔·索莫斯2005年5月31日
给定g.f.A(x),则B(x)=x*A(x^8)^3满足0=f(B(x(x),B(x^3)),其中f(u,v)=(u^3-v)*(u+v^3)-9*u^3*v^3-迈克尔·索莫斯2008年3月25日
来自Evangelos Georgiadis,Andrew V.Sutherland,Kiran S.Kedlaya(麻省理工学院埃戈尔)。edu),2009年3月3日:(开始)
a(0)=1;a(n)=2*(和{k=1..floor(sqrt(n))}(-1)^(k+1)a(n-k^2))+西格玛(n),其中sigma(n)=(-1)^j如果(n=(j*(3*j+1))/2或n=(j*(3*j-1))/2),否则西格玛(n)=0(更简单:sigma=A010815型). (结束)
从加里·W·亚当森2009年6月13日:(开始)
乘积g.f.=(1/(1-x))*(1/(1-x^3))*(1/(1-x^5))*…;=(1,1,1,…)*
(1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,…)*(1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,…)=
a*b*c*。。。其中a,a*b,a*b*c。。。汇聚到A000009号:
1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,…=a*b公司
1,1,1,2,2,3,4,4,5,6,…=a*b*c公司
1,1,1,2,2,3,4,5,6,7,…=a*b*c*d
1,1,1,2,2,3,4,5,6,8,…=a*b*c*d*e
1,1,1,2,2,3,4,5,6,8,…=a*b*c*d*e*f
...(参见A000041号). (结束)
a(A004526号(n) )=邮编:A172033(n) 一-莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月23日
a(n)=P(n)-P(n-2)-P(n-4)+P(n-10)+P(n-14)+…+(-1)^m P(n-2p_m)+。。。,其中P(n)是配分函数(A000041号)p峎m=m(3m-1)/2是第m个广义五边形数(A001318型). -杰罗姆·马林凡特2011年2月16日
a(n)=A054242(n,0)=A201377号(n,0)-莱因哈德·祖姆凯勒2011年12月2日
G、 f.:1/2(-1;x){inf}其中(a;q)_k是q-Pochhammer符号-弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2013年4月24日
更精确的渐近性:a(n)~exp(Pi*sqrt((n-1/24)/3))/(4*3^(1/4)*(n-1/24)^(3/4))*(1+(Pi^2-27)/(24*Pi*sqrt(3*(n-1/24))+(Pi^4-270*Pi^2-1215)/(3456*Pi^2*(n-1/24)))-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年11月30日
a(n)=A067661号(n)+A067659号(n) 一。狼牙2016年1月18日
从瓦茨拉夫·科特索维奇2016年5月29日:(开始)
a(n)~exp(Pi*sqrt(n/3))/(4*3^(1/4)*n^(3/4))*(1+(π/(48*sqrt(3))-(3*sqrt(3))/(8*Pi))/sqrt(n)+(Pi^2/13824-5/128-45/(128*Pi^2))/n)。
a(n)~exp(Pi*sqrt(n/3)+(Pi/(48*sqrt(3))-3*sqrt(3)/(8*Pi))/sqrt(n)-(1/32+9/(16*Pi^2))/n)/(4*3^(1/4)*n^(3/4))。
(结束)
a(n)=A089806号(n)*A010815型(楼层(n/2))+a(n-1)+a(n-2)-a(n-5)-a(n-7)+a(n-12)++A057077号(m-1)*a(n)-A001318型(m) )+。。。,其中n>A001318型(m) 一-格沃格·马亚基安2016年7月7日
a(n)~Pi*BesselI(1,Pi*sqrt((n+1/24)/3))/sqrt(24*n+1)-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年11月8日
a(n)=A000041号(n)-A047967号(n) 一-R、 J.马萨2017年11月20日
和{n>=1}1/a(n)=A237515型. -阿米拉姆埃尔达2020年11月15日
从彼得·巴拉2021年1月15日:(开始)
G、 f.:(1+x)*和{n>=0}x^(n*(n+3)/2)/乘积{k=1..n}(1-x^k)=
(1+x)*(1+x^2)*Sum{n>=0}x^(n*(n+5)/2)/乘积{k=1..n}(1-x^k)=(1+x)*(1+x^2)*(1+x^3)*和{n>=0}x^(n*(n+7)/2)/积{k=1..n}(1-x^k)=。。。。
G、 f.:(1/2)*和{n>=0}x^(n*(n-1)/2)/积{k=1..n}(1-x^k)=
(1/2)*1/(1+x)*Sum{n>=0}x^((n-1)*(n-2)/2)/乘积{k=1..n}(1-x^k)=(1/2)*1/((1+x)*(1+x^2))*和{n>=0}x^((n-2)*(n-3)/2)/乘积{k=1..n}(1-x^k)=。。。。
G、 f.:四、四、四、一、一、二、三、四、三、三、三、三、三、三、三、三、一、一、五、二、二、五、一、一、一、一、二、五、一、一、一、一、一、一、一、一、一、一、一、一、三、三、三、三、三、一、一、三、三、三、三、一、一、三、三、三、三、三、四、四、一、三、三、四、一、一、一、三、三、三、三、三、三、三、五、三、三、五、三、三、三、三、三、三、一、三、一、一、一、一、一、一、一、一、一、一、一、一、一、x^(2*k))=1/((1-x)*(1-x^3)*(1-x^5))*和{n>=0}x^(7*n)/积{k=1..n}(1-x^(2*k))=。。。。(结束)
从彼得·巴拉2021年2月2日:(开始)
G、 f.:A(x)=和{n>=0}x^(n*(2*n-1))/乘积{k=1..2*n}(1-x^k)。(在McLaughlin等人,第1.3节,条目7中设置z=x和q=x^2。)
类似地,A(x)=和{n>=0}x^(n*(2*n+1))/乘积{k=1..2*n+1}(1-x^k)。(结束)
a(n)=A001227号(n)+A238005型(n)+A238006号(n) 一-R、 J.马萨2021年9月8日
G、 f.:A(x)=exp(和{n>=1}x^n/(n*(1-x^(2*n)))=exp(Sum{n>=1}(-1)^(n+1)*x^n/(n*(1-x^n)))-彼得·巴拉2021年12月23日
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