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提示
来自问候语整数序列在线百科全书!)
A000009号 乘积{m>=1}(1+x^m)的展开;n的分片数;n的奇数。
(原M0281 N0100)
897
1、1、1、2、2、3、4、5、6、8、10、12、15、18、22、27、32、38、46、54、64、76、89、104、122、142、165、192、222、256、296、340、390、448、512、585、668、760、864、982、1113、1260、1426、1610、1816、2048、2304、2590、2910、3264、3658、4097、4582、5120、5718、6378 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,4个

评论

分成不同部分的分区有时称为“严格分区”。

用m级台阶、奇数级台阶(或不同尺寸的台阶)爬上楼梯的不同方法的数量,其中顺序无关,且对每一步的数量或大小没有其他限制,则为x^m系数。

Ramanujanθ函数:f(q)(参见邮编:A121373),φ(q)(A000122号),磅/平方英寸(q)(A010054型),池(q)(A000700美元).

n的异部分片数=n的奇部分片数是由Euler得到的。

双射:给定n=l1*1+l2*3+l3*5+l7*7+…,将一个分区分成奇数部分,将每个li写成二进制,li=2^a1+2^a2+2^a3+。。。其中aj是不同的,那么展开n=(2^a1*1+…)*1+。。。通过去掉括号,我们可以把一个分区分成不同的部分。对于相反的操作,只需将任何偶数拆分为两半,直到没有偶数。

周期2序列的欧拉变换[1,0,1,0,…]。-迈克尔·索莫斯2002年12月16日

不同部分和的数目1+[1,2]+[1,3]+[1,4]+…,其中[1,x]表示选择。E、 g,a(6)=4,我们可以写1+1+1+1+1+1+2+3,1+2+1+1+1+1,1+1+3+1。-乔恩·佩里2003年12月31日

a(n)是x_j分成至多j个部分的次数之和,其中j是第j个三角形数的索引,n-T(j)=x_j;a(12)=分成<=4部分的12-T(4)=2+分割成<=3部分12-T(3)=6+分割成<=2部分12-T(2)=9+分割成12-T的1部分(1)=11=(2)(11)+(6)(51)(42)(411)(33)(321)(222)+(9)(81)(72)(63)(54)+(11)=2+7+5+1=15。-乔恩·佩里2004年1月13日

n的分区数,如果k是最大的部分,则所有部分1..k都存在。-乔恩·佩里2005年9月21日

有n条边的连通阈值图的数目。-Michael D.Barrus(mbarrus2(AT)uiuc.edu),2007年7月12日

从偏移量1开始=三角形的行和A146061号以及A000700美元开始:(1,0,1,-1,1,-1,1,-2,2,-2,2,-3,3,-3,4,-5,…)。-加里·W·亚当森2008年10月26日

n的分区数,其中最大的部分出现奇数次,其他部分出现偶数次。(这种隔板是奇数部分隔墙的对偶。)-大卫·瓦瑟曼2009年3月4日

等于A035363号卷曲A010054型. 平方卷积A000009号=A022567号=A000041号卷曲A010054型.A000041号=A000009号卷曲A035363号. -加里·W·亚当森2009年6月11日

考虑到n的所有划分为不同的部分:有A140207号(n) 最大大小的分区A003056型(n) ,和A051162(n) 是这些分区中出现的最大数。-莱因哈德·祖姆凯勒2009年6月13日

a(A004526号(n) )=邮编:A172033(n) 一。-莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月23日

等于三角形的左边框A0602号从偏移量1开始。-加里·W·亚当森2010年3月13日

a(n)=A054242(n,0)=A201377号(n,0)。-莱因哈德·祖姆凯勒2011年12月2日

最大部分出现一次的n+1对称单峰合成数。也是n的对称单峰合成数,其中最大部分出现奇数次。-乔尔阿恩特2013年6月11日

因为对于这些分区,1,2。。。是0或1(j^0意味着j部分不存在),我们可以把这些分区称为“费米子分区”。这些部分是水平,也就是正整数,占据数要么是0,要么是1(就像泡利的排除原理)。费米子态由n的这些分划表示-狼牙2014年5月14日

n划分为偶数个、奇数个不同部分的数目如A067661号分别是A067659号. -狼牙2016年1月18日

只包含奇数部分的分区集在comments to中描述的乘积下形成了一个幺半群A000041号. -理查德·洛克·彼得森2018年8月16日

Ewell(1973)给出了一些重复出现的例子。-N、 斯隆2020年1月14日

参考文献

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“核心”序列的索引项

公式

G、 f.:乘积{m>=1}(1+x^m)=1/积{m>=0}(1-x^(2m+1))=Sum{k>=0}积{i=1..k}x^i/(1-x^i)=Sum{n>=0}x^(n*(n+1)/2)/乘积{k=1..n}(1-x^k)。

G、 {1{1>{ux>{1}积{ux>=1}n=1}。-乔尔阿恩特2011年1月29日

积{k>=1}(1+x^(2k))=和{k>=0}x^(k*(k+1))/积{i=1..k}(1-x^(2i))-Euler(Hardy和Wright,定理346)。

渐近性:a(n)~exp(Pi l\u n/sqrt(3))/(4 3^(1/4)l_n^(3/2)),其中l_n=(n-1/24)^(1/2)(Ayoub)。

对于n>1,a(n)=(1/n)*和{k=1..n}b(k)*a(n-k),其中a(0)=1,b(n)=A000593号(n) =n的奇数除数之和;cf。A000700美元. -弗拉德塔·乔沃维奇2002年1月21日

定义为t(t,n)A079211.

a(n)=和{k=0..n-1}A117195年(n,k)=A117192年(n)+A117193号(n) n>0时。-莱因哈德·祖姆凯勒2006年3月3日

a(n)=A026837号(n)+A026838号(n)=A118301号(n)+A118302年(n) ;a(A001318型(n) )=A051044号(n) ;a(A090864号(n) )=A118303年(n) 一。-莱因哈德·祖姆凯勒2006年4月22日

1/chi(-x)=chi(x)/chi(-x^2)=f(-x)/phi(x)=f(x)/phi(-x^2)=psi(x)/f(-x^2)=f(-x^2)/f(-x)=f(-x^4)/psi(-x),其中phi()、psi()、chi()、f()是Ramanujanθ函数。-迈克尔·索莫斯2011年3月12日

G、 f.是满足f(-1/(1152t))=2^(-1/2)/f(t)的周期1傅里叶级数,其中q=exp(2pi i t)。-迈克尔·索莫斯2007年8月16日

q^(-1/24)*eta(q^2)/eta(q)的展开式。

q^(-1/24)2^(-1/2)f2(t)的展开式,其幂为q=exp(2πi t),其中f2()是韦伯函数。-迈克尔·索莫斯2007年10月18日

给定g.f.A(x),则B(x)=x*A(x^3)^8满足0=f(B(x(x),B(x^2)),其中f(u,v)=v-u^2+16*u*v^2。-迈克尔·索莫斯2005年5月31日

给定g.f.A(x),则B(x)=x*A(x^8)^3满足0=f(B(x(x),B(x^3)),其中f(u,v)=(u^3-v)*(u+v^3)-9*u^3*v^3。-迈克尔·索莫斯2008年3月25日

来自Evangelos Georgiadis,Andrew V.Sutherland,Kiran S.Kedlaya(egeorg(AT)mit.edu),2009年3月3日:(开始)

a(0)=1;a(n)=2*(和{k=1..floor(sqrt(n))}(-1)^(k+1)a(n-k^2))+西格玛(n),其中sigma(n)=(-1)^j,如果(n=(j*(3*j+1))/2或n=(j*(3*j-1))/2),否则sigma(n)=0(更简单:sigma=A010815型). (结束)

加里·W·亚当森2009年6月13日开始

乘积g.f.=(1/(1-x))*(1/(1-x^3))*(1/(1-x^5))*…;=(1,1,1,…)*

(1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,…)(1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,…)=

a*b*c*。。。其中a,a*b,a*b*c,…收敛到A000009号:

1,1,2,2,2,3,3,3,…4,。。。=a*b

1,1,1,2,2,3,4,4,5,…6,。。。=a*b*c

1,1,2,2,3,4,5,6,…7,。。。=a*b*c*d

…1,2,2,…1,2,2,。。。=a*b*c*d*e

1,1,2,2,3,4,5,6,…8,。。。=a*b*c*d*e*f

…(参见A000041号). (结束)

a(n)=P(n)-P(n-2)-P(n-4)+P(n-10)+P(n-14)+。。。+(-1)^m P(n-2p_m)+…,其中P(n)是配分函数(A000041号)p峎m=m(3m-1)/2是第m个广义五边形数(A001318型). -杰罗姆·马林凡特2011年2月16日

G、 f.:1/2(-1;x){inf}其中(a;q)_k是q-Pochhammer符号。-弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2013年4月24日

更精确的渐近性:a(n)~exp(Pi*sqrt((n-1/24)/3))/(4*3^(1/4)*(n-1/24)^(3/4))*(1+(Pi^2-27)/(24*Pi*sqrt(3*(n-1/24))+(Pi^4-270*Pi^2-1215)/(3456*Pi^2*(n-1/24)))。-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年11月30日

瓦茨拉夫·科特索维奇2016年5月29日:(开始)

a(n)~exp(Pi*sqrt(n/3))/(4*3^(1/4)*n^(3/4))*(1+(π/(48*sqrt(3))-(3*sqrt(3))/(8*Pi))/sqrt(n)+(Pi^2/13824-5/128-45/(128*Pi^2))/n)。

a(n)~exp(Pi*sqrt(n/3)+(Pi/(48*sqrt(3))-3*sqrt(3)/(8*Pi))/sqrt(n)-(1/32+9/(16*Pi^2))/n)/(4*3^(1/4)*n^(3/4))。

(结束)

a(n)=A089806号(n)*A010815型(楼层(n/2))+a(n-1)+a(n-2)-a(n-5)-a(n-7)+a(n-12)+。。。+A057077号(m-1)*a(n)-A001318型(m) )+…,其中n>A001318型(m) 一。-格沃格·马亚基安2016年7月7日

a(n)~Pi*BesselI(1,Pi*sqrt((n+1/24)/3))/sqrt(24*n+1)。-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年11月8日

a(n)=A000041号(n)-A047967号(n) 一。-R、 J.马萨2017年11月20日

和{n>=1}1/a(n)=A237515型. -阿米拉姆埃尔达2020年11月15日

彼得·巴拉202年1月15日:(开始)

G、 f.:(1+x)*和{n>=0}x^(n*(n+3)/2)/乘积{k=1..n}(1-x^k)=

(1+x)*(1+x^2)*Sum{n>=0}x^(n*(n+5)/2)/乘积{k=1..n}(1-x^k)=(1+x)*(1+x^2)*(1+x^3)*和{n>=0}x^(n*(n+7)/2)/积{k=1..n}(1-x^k)=。。。。

G、 f.:(1/2)*和{n>=0}x^(n*(n-1)/2)/积{k=1..n}(1-x^k)=

(1/2)*1/(1+x)*Sum{n>=0}x^((n-1)*(n-2)/2)/乘积{k=1..n}(1-x^k)=(1/2)*1/((1+x)*(1+x^2))*和{n>=0}x^((n-2)*(n-3)/2)/乘积{k=1..n}(1-x^k)=。。。。

G、 f.:四、四、四、一、一、二、三、四、三、三、三、三、三、三、三、三、一、一、五、二、二、五、一、一、一、一、二、五、一、一、一、一、一、一、一、一、一、一、一、一、三、三、三、三、三、一、一、三、三、三、三、一、一、三、三、三、三、三、四、四、一、三、三、四、一、一、一、三、三、三、三、三、三、三、五、三、三、五、三、三、三、三、三、三、一、三、一、一、一、一、一、一、一、一、一、一、一、一、一、x^(2*k))=1/((1-x)*(1-x^3)*(1-x^5))*和{n>=0}x^(7*n)/积{k=1..n}(1-x^(2*k))=。。。。(结束)

例子

G、 f.=1+x+x^2+2*x^3+2*x^4+3*x^5+4*x^6+5*x^7+6*x^8+8*x^9+。。。

G、 f.=q+q^25+q^49+2*q^73+2*q^97+3*q^121+4*q^145+5*q^169+。。。

把n分成不同的部分(参见A118457号)对于小n为:

1: 1

2: 二

3: 3,21

4: 4,31

5: 5、41、32

6: 6、51、42、321

7: 7、61、52、43、421

8: 8、71、62、53、521、431

...

莱因哈德·祖姆凯勒2009年6月13日:(开始)

a(8)=6,A140207号(8) ={5+2+1,4+3+1}=2,A003056型(8) =3,A051162(8) =5;

a(9)=8,A140207号(9) ={6+2+1,5+3+1,4+3+2}=3,A003056型(9) =3,A051162(9) =6;

a(10)=10,A140207号(10) ={4+3+2+1}=1,A003056型(10) =4,A051162(10) =4。(结束)

枫木

N:=100;t1:=系列(mul(1+x^k,k=1..N),x,N);A000009号:=过程(n)系数(t1,x,n);结束;

规范:=[P,{P=PowerSet(N),N=Sequence(Z,card>=1)}]:[seq(combstruct[count](spec,size=N),N=0..58)];

spec:=[P,{P=PowerSet(N),N=Sequence(Z,card>=1)}]:combstruct[allstructs](spec,size=10);#获取N=10的实际分区

A000009号:=过程(n)

局部x,m;

乘积(1+x^m,m=1..n+1);

展开(%);

系数(%,x,n);

结束过程:#R、 J.马萨2016年6月18日

#或者:

简化(展开(QDifferenceEquations:-QPochhammer(-1,x,99)/2,x)):

序号(系数(%,x,n),n=0..55#彼得·卢什尼2016年11月17日

数学

PartitionsQ[范围[0,60]](*哈维戴尔,2009年7月27日*)

a[n_u]:=系列系数[乘积[1+x^k,{k,n}],{x,0,n}](*迈克尔·索莫斯2011年7月6日*)

a[n_u]:=系列系数[1/Product[1-x^k,{k,1,n,2}],{x,0,n}](*迈克尔·索莫斯2011年7月6日*)

a[n_9]:=带[{t=Log[q]/(2pi I)},系列系数[q^(-1/24)DedekindEta[2t]/dededekindeta[t],{q,0,n}]](*迈克尔·索莫斯2011年7月6日*)

a[n_]:=系列系数[1/QPochhammer[x,x^2],{x,0,n}](*迈克尔·索莫斯2013年5月24日*)

a[n}:=SeriesCoefficient[Series[qsupergeometricpfq[{q},{qx},q,-qx],{q,0,n}]/。x->1,{q,0,n}](*迈克尔·索莫斯2014年3月4日*)

a[n_]:=系列系数[q超几何pfq[{},{},q,-1]/2,{q,0,n}](*迈克尔·索莫斯2014年3月4日*)

nmax=60;系数列表[Exp[Sum[(-1)^(k+1)/k*x^k/(1-x^k),{k,1,nmax}]],{x,0,nmax}],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年8月25日*)

nmax=100;poly=ConstantArray[0,nmax+1];poly[[1]]=1;poly[[2]]=1;Do[Do[poly[[j+1]]+=poly[[j-k+1]],{j,nmax,k,-1}];,{k,2,nmax}];poly(*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年1月14日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polcoeff(prod(k=1,n,1+x^k,1+x*O(x^n))}/*迈克尔·索莫斯1999年11月17日*/

(PARI){a(n)=my(a);如果(n<0,0,a=x*O(x^n);polcoeff(eta(x^2+a)/eta(x+a),n))};

(PARI){a(n)=my(c);对于部分(p=n,如果(n<1 | | p[1]<2,c++;对于(i=1,#p-1,如果(p[i+1]>p[i]+1,c--“break))));c}/*迈克尔·索莫斯2017年8月13日*/

(PARI)lista(nn)={q='q+O('q^nn);Vec(eta(q^2)/eta(q))}\\阿尔图阿尔坎2018年3月20日

(MAGMA)系数(&*[1+x^m:m in[1..100]])[1..100],其中x是多项式环(Integers()).1;//Sergei Haller(Sergei(AT)Sergei Haller.de),2006年12月21日

(哈斯克尔)

导入Data.MemoCombinators(memo2,integral)

a000009 n=a000009_列表!!n

a000009_list=地图(pM 1)[0..]其中

pM=memo2积分p

p?0=1

p k m | m<k=0

|否则=pM(k+1)(m-k)+pM(k+1)m

--莱因哈德·祖姆凯勒2015年9月9日,2013年11月5日

(Maxima)num_distinct_分区(60,列表)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2014年2月24日*/

(马克西玛)

h(n):=如果oddp(n)=真,则1或0;

S(n,m):=若n=0则1 else若n<m则0 else若n=m则h(n)else和(h(k)*S(n-k,k),k,m,n/2)+h(n);

名单(S(n,1),n,0,27)/*弗拉基米尔·克鲁基宁2014年9月7日*/

(SageMath)#使用[EulerTransform from邮编:A166861]

a=二进制递归序列(0,1)

b=欧拉变换(a)

打印([b(n)表示范围(56)内的n)#彼得·卢什尼2020年11月11日

交叉引用

除第一项外,等于A052839号-1。一排排A053632号收敛到这个序列。当约化模2等于A010815型. 奇数项的位置由A001318型.

a(n)=和{n=1..m}A097306号(n,m),n的分块数为m个奇数部分的三角形的行和。

囊性纤维变性。A000726号,A001935型,A001318型,A035959号,A219601年,A035985号,A000041号,A000700美元,A003724号,A004111号,A007837号,A010815型,A035294号,A068049号,A078408号,A081360型,A088670号,A109950型,A109968号,A132312号,A146061号,A035363号,A010054型,A057077号,A089806号,A091602号,A237515型,A118457号(隔墙),A118459号(分区长度),A015723号(零件总数),A230957号(布斯特罗登变换)。

囊性纤维变性。A167377号(补充)。

囊性纤维变性。A067659号奇数个零件,A067661号(偶数个零件)。

r=2到12的r-正则分区数:A000009号,A000726号,A001935型,A035959号,A219601年,A035985号,邮编:A261775,A104502,邮编:A261776,A328545飞机,A328546飞机.

上下文顺序:A034321 A034320型 A058703号*A081360型 A117409年 A092833号

相邻序列:A000006号 A000007号 A000008号*A000010号 A000011号 A000012号

关键字

,核心,容易的,美好的,改变

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2021年1月26日21:19。包含340443个序列。(运行在oeis4上。)