A000009-OEIS公司

抵消

0,4

分成不同部分的分区有时称为“严格分区”。

爬上m级楼梯的不同方法的数量，采取奇数大小的步骤（或采取不同大小的步骤），其中顺序无关，并且对每个步骤的数量或大小没有其他限制，则为x^m系数。

Ramanujanθ函数：f（q）（参见A121373号)，φ（q）(A000122号)，磅/平方英寸（q）(A010054号)，chi（q）(A000700型).

将n划分为不同部分的数量=将n划分成奇数部分的数量是由于Euler。

双射：给定n=L1*1+L2*3+L3*5+L7*7+。..，一个分成奇数部分的分区，将每个Li写为二进制，Li=2^a1+2^a2+2^a3+。..其中aj都不同，然后展开n=（2^a1*1+…）*1+。…通过去掉括号，我们将一个分区分成不同的部分。对于反向操作，只需将任何偶数拆分为两半，直到没有剩余的偶数。

周期2序列[1,0,1,0，…]的欧拉变换。 -迈克尔·索莫斯2002年12月16日

不同部分和的数目1+[1,2]+[1,3]+[1,4]+。..，其中[1，x]表示选择。例如，a（6）=4，因为我们可以写1+1+1+1+1，1+2+3，1+2+1+1，1+1+3+1。 -乔恩·佩里，2003年12月31日

a（n）是将x_j划分为最多j个部分的次数之和，其中j是第j个三角形数的索引，n-T（j）=x_j。例如：；a（12）=划分成<=12-T（4）的4部分=2+划分成<=12-T（3）的3部分=6+划分成≤12-T（2）的2部分=9+划分成12-T（1）的1部分=11=（2）（11）+（6）（51）（42）（411）（33）（321）（222）+（9）（81）（72）（63）（54）+（11）=2+7+5+1=15。 -乔恩·佩里2004年1月13日

n的分区数，其中如果k是最大部分，则所有部分1..k都存在。 -乔恩·佩里2005年9月21日

杰克·格雷尔（Jack Grahl）和富兰克林·亚当斯（Franklin T.Adams-Waters）通过观察“无间隙”分区的费雷斯对偶保证有不同的部分，证明了乔恩·佩里（Jon Perry）的这一主张；由于Ferrers对偶是对合，这在两组分区之间建立了双射。 -艾伦·C·韦克斯勒2021年9月28日

具有n条边的连接阈值图的数量。-Michael D.Barrus（mbarrus2（AT）uiuc.edu），2007年7月12日

从偏移量1开始=三角形的行和A146061号和INVERT变换A000700型开始：（1，0，1，-1，1，-1，1，-2，2，-2，-3，3，-3，4，-5，…）。 -加里·亚当森2008年10月26日

n个分区的数量，其中最大部分出现奇数次，所有其他部分出现偶数次。（此类分区是带有奇数部分的分区的对偶。）-大卫·沃瑟曼2009年3月4日

等于A035363号与…卷曲A010054号.卷积平方A000009号=A022567美元=A000041号与…卷曲A010054号.A000041号=A000009号与…卷曲A035363号. -加里·亚当森2009年6月11日

将n的所有分区考虑为不同的部分：A140207号（n）最大大小的分区A003056号（n）、和A051162号（n）是这些分区中出现的最大数量。 -莱因哈德·祖姆凯勒，2009年6月13日

等于三角形的左边框A091602型从偏移量1开始。 -加里·亚当森2010年3月13日

最大部分出现一次的n+1对称单峰组合数。n的对称单峰组合数，其中最大部分出现奇数次。 -乔格·阿恩特2013年6月11日

因为对于这些分区，部分1、2、的指数。..是0或1（j^0意味着部分j不存在），可以将这些分区也称为“费米子分区”。这些部分是能级，即正整数，占领数是0或1（就像泡利的排除原理）。“费米子态”由n的这些分区表示-沃尔夫迪特·朗2014年5月14日

仅包含奇数部分的分区集在注释中描述的产品下形成幺半群A047993号. -理查德·洛克·彼得森2018年8月16日

Ewell（1973）给出了一些复发病例。 -N.J.A.斯隆2020年1月14日

a（n）等于集合{1,2，…，n+1}的置换数p，用一行符号表示为p=p_1p_2…p_（n+1），满足p_，在满足p（i+1）-pi<=1，1<=i<=4的5个字母上的16个排列中，正好有两个主指数为4的排列，即53412和23451。因此a（4）=2。请参阅中的Bala链接A007318号作为证据。 -彼得·巴拉2022年3月30日

推测：每个正整数n都可以写成a_1+。..+a_k，其中a_1，。..，a_k是严格的分区数（即当前序列的项），没有人将其相除。已验证n=1..1350。 -孙志伟2023年4月14日

猜想：对于每个大于7的整数，a（n）不除p（n）、p（nA000041号。已验证n到10^5。 -孙志伟2023年5月20日[验证n<=2*10^6。 -瓦茨拉夫·科特索维奇2023年5月23日]

欧拉五边形数定理给出了g.f.乘积_｛k>=0｝1+x^k=乘积_｛k>=0｝1-x^k+2*x^k==乘积_｛k>=0｝1-x^k==Sum_｛k in Z｝（-1）^k*x^（k*（3*k-1）/2）（mod 2）。因此，对于某些整数k，a（n）是奇数，当n=k*（3*k-1）/2时，即当n是广义五边形数A001318年. -彼得·巴拉2025年1月7日

参考文献

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“核心”序列的索引项

配方奶粉

G.f.：产品{m>=1}（1+x^m）=1/Product{m>=0}（1-x^（2m+1））=Sum{k>=0{产品{i=1..k}x^i/（1-x ^i）=Sum{n>=0neneneep x^。

通用公式：和{n>=0}x^n*Product_{k=1..n-1}（1+x^k）=1+Sum_{n>=1}x^n*积{k>=n+1}（1+x^k）。 -乔格·阿恩特2011年1月29日

Product_{k>=1}（1+x^（2k））=Sum_{k>=0}x^。

渐近：a（n）~exp（Pi l_n/sqrt（3））/（4 3^（1/4）l_n^（3/2）），其中l_n=（n-1/24）^（1/2）（Ayoub）。

对于n>1，a（n）=（1/n）*Sum_{k=1..n}b（k）*a（n-k），其中a（0）=1，b（n）=A000593号（n） =n的奇数因子之和；囊性纤维变性。A000700型. -弗拉德塔·乔沃维奇2002年1月21日

a（n）=t（n，0），t定义见A079211号.

a（n）=和{k=0..n-1}A117195号（n，k）=A117192号（n）+A117193号（n）对于n>0。 -莱因哈德·祖姆凯勒2006年3月3日

a（n）=A026837号（n）+A026838号（n）=A118301号（n）+A118302号（n）；一个(A001318号（n））=A051044号（n）；一个(A090864号（n））=A118303号（n） ●●●●。 -莱因哈德·祖姆凯勒2006年4月22日

1/chi（-x）=chi（x）/chi（-x^2）=f（-x”）/phi（x”）=f“x”/phi。 -迈克尔·索莫斯2011年3月12日

G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（1152 t））=2^（-1/2）/f（t），其中q=exp（2 Pi it）。 -迈克尔·索莫斯2007年8月16日

q^（-1/24）*eta（q^2）/eta（q）的q次幂展开。

q^（-1/24）2^（-1-2）f2（t）的展开式为q=exp（2 Pi it）的幂，其中f2（）是韦伯函数。 -迈克尔·索莫斯2007年10月18日

给定g.f.A（x），则B（x）=x*A（x^3）^8满足0=f（B（x，B（x^2）），其中f（u，v）=v-u^2+16*u*v^2。 -迈克尔·索莫斯2005年5月31日

给定g.f.A（x），则B（x）=x*A（x^8）^3满足0=f（B（x，B（x^3）），其中f（u，v）=（u^3-v）*（u+v^3）-9*u^3*v^3。 -迈克尔·索莫斯2008年3月25日

来自Evangelos Georgiadis、Andrew V.Sutherland、Kiran S.Kedlaya（egeorg（AT）mit.edu），2009年3月3日：（开始）

a（0）=1；a（n）=2*（总和{k=1..floor（sqrt（n））}（-1）^（k+1）a（n-k^2））+σ=A010815号).（结束）

发件人加里·亚当森，2009年6月13日：（开始）

乘积g.f.=（1/（1-x））*（1/。..; = (1,1,1,...)*

(1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,...)*(1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,...) * ...; =

a、b、c、。..其中a、a*b、a*b*c、。..收敛到A000009号:

1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, ...=a*b

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, ...=a*b*c

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...=a*b*c*d

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, ...=a*b*c*d*e

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, ...=a*b*c*d*e*f

…（参见中的类似示例A000041号).（结束）

一个(A004526号（n））=A172033号（n） ●●●●。 -莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月23日

a（n）=P（n）-P（n-2）-P。..+（-1）^m P（n-2p_m）+。..，其中P（n）是配分函数(A000041号)而pm=m（3m-1）/2是第m个广义五边形数(A001318年). -杰罗姆·马伦芬特，2011年2月16日

a（n）=A054242号（n，0）=A201377号（n，0）。 -莱因哈德·祖姆凯勒2011年12月2日

G.f.：1/2（-1；x）_{inf}，其中（a；q）_k是q-Pochhammer符号。 -弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月24日

更精确的渐近性：a（n）~exp（Pi*sqrt（（n-1/24）/3））/（4*3^（1/4）*（n-1/24^（3/4））*（1+（Pi^2-27）/（24*Pi*squart（3*（n-1/4）））+（Pi*4-270*Pi^2-1215）/（3456*Pi^2*（n-1/2））））。 -瓦茨拉夫·科特索维奇2015年11月30日

a（n）=A067661号（n）+A067659号（n） ●●●●。沃尔夫迪特·朗2016年1月18日

发件人瓦茨拉夫·科特索维奇2016年5月29日：（开始）

a（n）~exp（Pi*sqrt（n/3））/（4*3^（1/4）*n^（3/4））*（1+（Pi/（48*sqrt（3））-（3*sqert（3）/（8*Pi））/sqrt（n）+（Pi^2/13824-5/128-45/（128*Pi^2））/n）。

a（n）~exp（Pi*sqrt（n/3）+（Pi/（48*sqort（3））-3*sqert（3）/（8*Pi））/sqrt（n）-（1/32+9/（16*Pi^2））/n）/（4*3^（1/4）*n^（3/4）））。

（结束）

a（n）=A089806号（n）*A010815号（地板（n/2））+a（n-1）+a。.. +A057077号（m-1）*a（n-A001318号（m））+。..，其中n>A001318号（m） ●●●●。 -格沃格·瓦亚基安（Gevorg Hmayakyan）2016年7月7日

a（n）~Pi*BesselI（1，Pi*sqrt（（n+1/24）/3））/sqrt（24*n+1）。 -瓦茨拉夫·科特索维奇2016年11月8日

a（n）=A000041号（n）-A047967号（n） ●●●●。 -R.J.马塔尔2017年11月20日

和{n>=1}1/a（n）=A237515型. -阿米拉姆·埃尔达尔2020年11月15日

发件人彼得·巴拉，2021年1月15日：（开始）

通用公式：（1+x）*Sum_{n>=0}x^（n*（n+3）/2）/Product_{k=1..n}（1-x^k）=

（1+x）*（1+x^2）*Sum_{n>=0}x^（n*（n+5）/2）/Product_{k=1..n}（1-x^k）=（1+x）*（1+x ^2）*（3+x^3）*Sum _{n>=0}x^。...

通用公式：（1/2）*Sum_{n>=0}x^（n*（n-1）/2）/Product_{k=1..n}（1-x^k）=

（1/2）*（1/（1+x））*Sum_{n>=0}x^（（n-1）*（n-2）/2）/Product_{k=1..n}（1-x^k）=（1/2）x（1/。...

G.f.：求和{n>=0}x^n/Product_{k=1..n}（1-x^（2*k））=（1/（1-x））*Sum_{n>=0.}x^（（1-x）*（1-x^3）*（1-x^5）））*Sum_{n>=0}x^（7*n）/Product_{k=1..n}（1-x^（2*k））=。…（结束）

发件人彼得·巴拉，2021年2月2日：（开始）

通用公式：A（x）=Sum_{n>=0}x^（n*（2*n-1））/Product_{k=1..2*n}（1-x^k）。（在Mc Laughlin等人（2019年ArXiv版本），第1.3节，标识7中设置z=x和q=x^2。）

类似地，A（x）=Sum_{n>=0}x^（n*（2*n+1））/Product_{k=1..2*n+1}（1-x^k）。（结束）

通用公式：A（x）=exp（和n>=1}x^n/（n*（1-x^（2*n））。 -彼得·巴拉2021年12月23日

和{n>=0}a（n）/exp（Pi*n）=exp（Pi/24）/2^（1/8）=A292820型. -西蒙·普劳夫2023年5月12日[证明：Sum_{n>=0}a（n）/exp（Pi*n）=phi（exp（-2*Pi））/phi Pi^（3/4）），见I.Mező，2013年的公式（14）和（13）。 -瓦茨拉夫·科特索维奇2023年5月12日]

a（2*n）=和{j=1..n}p（n+j，2*j）和a（2xn+1）=和}j=1..n+1}p（n+j，2*j-1），其中p（n，s）是n的分区数，正好有s个部分。 -格雷戈里·西蒙2023年8月30日

例子

G.f.=1+x+x^2+2*x^3+2*x^4+3*x^5+4*x^6+5*x^7+6*x^8+8*x^9+。..

G.f.=q+q^25+q^49+2*q^73+2*qq^97+3*q^121+4*q^145+5*q^169+。..

将n划分为不同的部分（请参见A118457号)对于小n为：

1: 1

2: 2

3: 3, 21

4: 4, 31

5: 5, 41, 32

6: 6, 51, 42, 321

7: 7, 61, 52, 43, 421

8: 8, 71, 62, 53, 521, 431

...

发件人莱因哈德·祖姆凯勒，2009年6月13日：（开始）

a（8）=6，A140207号(8)=#{5+2+1,4+3+1}=2,A003056号(8)=3,A051162号(8)=5;

a（9）=8，A140207号(9)=#{6+2+1,5+3+1,4+3+2}=3,A003056号(9)=3,A051162号(9)=6;

a（10）=10，A140207号(10)=#{4+3+2+1}=1,A003056号(10)=4,A051162号(10)=4.（结束）

MAPLE公司

N:=100；t1:=系列（mul（1+x^k，k=1..N），x，N）；A000009美元：=过程（n）系数（t1，x，n）；结束；

规范：=[P，{P=PowerSet（N），N=Sequence（Z，card>=1）}]：[seq（combstruct[count]（规范，大小=N），N=0..58）]；

规范：=[P，{P=PowerSet（N），N=Sequence（Z，card>=1）}]：combstruct[allstructs]（规范，大小=10）；#以获得n=10的实际分区

A000009号：=进程（n）

局部x，m；

乘积（1+x^m，m=1..n+1）；

膨胀（%）；

系数（%，x，n）；

结束进程：#R.J.马塔尔2016年6月18日

#或者：

简化（展开（QDifferenceEquations:-QPochhammer（-1，x，99）/2，x））：

seq（系数（%，x，n），n=0..55）； #彼得·卢什尼2016年11月17日

数学

分区Q[范围[0，60]]（*_哈维日，2009年7月27日*）

a[n_]：=系列系数[乘积[1+x^k，{k，n}]，{x，0，n}]； (*迈克尔·索莫斯2011年7月6日*）

a[n_]：=系列系数[1/乘积[1-x^k，{k，1，n，2}]，{x，0，n}]； (*迈克尔·索莫斯2011年7月6日*）

a[n_]：=使用[{t=Log[q]/（2Pi I）}，级数系数[q^（-1/24）DedekindEta[2t]/DedekindEta[t]，{q，0，n}]]； (*迈克尔·索莫斯2011年7月6日*）

a[n_]：=级数系数[1/QPochhammer[x，x^2]，{x，0，n}]； (*迈克尔·索莫斯2013年5月24日*）

a[n_]：=系列系数[系列[QHypergeometricPFQ[｛q｝，｛q x｝，q，-q x]，｛q，0，n｝]/。x->1，{q，0，n}]； (*迈克尔·索莫斯2014年3月4日*）

a[n_]：=级数系数[QHypergeometricPFQ[{}、{}，q，-1]/2，{q，0，n}]； (*迈克尔·索莫斯2014年3月4日*）

nmax=60；系数列表[级数[Exp[Sum[（-1）^（k+1）/k*x^k/（1-x^k），{k，1，nmax}]]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年8月25日*）

nmax=100；poly=常量数组[0，nmax+1]；聚[1]]=1；poly[2]]=1；Do[Do[poly[[j+1]]+=聚[[j-k+1]]，{j，nmax，k，-1}]；，{k，2，nmax}]；聚乙烯(*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年1月14日*）

黄体脂酮素

（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（prod（k=1，n，1+x^k，1+x*O（x^n）），n））}； /*迈克尔·索莫斯1999年11月17日*/

（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^2+a）/eta（x+a），n））}；

（PARI）{a（n）=my（c）；对于部分（p=n，如果（n<1|p[1]<2，c++；对于（i=1，#p-1，如果（p[i+1]>p[i]+1，c---；break））；c}； /*迈克尔·索莫斯2017年8月13日*/

（PARI）列表a（nn）={q='q+O（'q^nn）；向量（eta（q^2）/eta（q））}\\阿尔图·阿尔坎2018年3月20日

（岩浆）系数（&*[1+x^m:m in[1..100]]）[1..100]，其中x是多项式环（整数（））.1；//谢尔盖·哈勒（Sergei（AT）Sergei-Haller.de），2006年12月21日

（哈斯克尔）

导入数据。MemoCombinators（memo2，整数）

a000009 n=a000009_列表！！n个

a000009_list=映射（pM1）[0..]，其中

pM=memo2积分p

p _ 0=1

p k m | m<k=0

|否则=pM（k+1）（m-k）+pM（k+1）m

--莱因哈德·祖姆凯勒2015年9月9日，2013年11月5日

（最大值）num_distinct_partitions（60，list）； /*伊曼纽尔·穆纳里尼2014年2月24日*/

（最大值）

h（n）：=如果oddp（n）=真，则1为0；

S（n，m）：=如果n=0，则1 else如果n<m，则0 else如果n=m，则h（n）else和（h（k）*S（n-k，k），k，m，n/2）+h（n；

名单（S（n，1），n，0，27）； /*弗拉基米尔·克鲁奇宁2014年9月7日*/

（SageMath）#使用[EulerTransform来自A166861号]

a=二进制递归序列（0，1）

b=欧拉变换（a）

打印（[b（n）代表范围（56）中的n]）#彼得·卢什尼2020年11月11日

（Python）#使用A010815号

从functools导入lru_cache

从数学导入isqrt

@lru_cache（最大大小=无）

定义A000009号（n）：如果n==0，则返回1A010815号（n） +2*总和（（-1）**（k+1）*A000009号（n-k**2）对于范围（1，isqrt（n）+1）中的k）#柴华武，2021年9月8日

（朱莉娅）#使用A010815号

使用Memoize

@记忆功能A000009号（n）

n==0&&返回1

s=总和（（-1）^k*A000009号1中k的（n-k^2）：isqrt（n））

A010815号（n） -2*s

结束#彼得·卢什尼2021年9月9日

交叉参考

除第一项外，等于A052839号-1.以下行A053632号收敛到这个序列。当约化模2等于A010815号.奇数项的位置由A001318号.

a（n）=Sum_｛n=1..m｝A097306号（n，m），n分划成m个奇数部分的三角形的行和。

囊性纤维变性。A001318号,A000041号,A000700型,A003724号,A004111号,A007837号,A010815号,A035294号,A068049号,A078408号,A081360型,A088670型,A109950号,A109968号,2012年12月12日,A146061号,A035363号,A010054号,A057077号,A089806号,A091602型,A237515型,A118457号（分区），A118459号（分区长度），A015723号（零件总数），A230957型（boutrophedon变换）。

囊性纤维变性。A167377号（补语）。

囊性纤维变性。A067659号（零件奇数），A067661号（偶数个零件）。

r=2到12的r-规则分区数：A000009美元,A000726号,A001935号,A035959号,A219601型,A035985号,A261775型,A104502型,A261776型,A328545型,A328546型.

上下文中的序列：A034320型 A058703号 A347588型*A081360型 A117409号 A092833号

相邻序列：A000006号 A000007号 A000008号*A000010号 A000011号 A000012号

关键词

非n,核心,容易的,美好的,改变

作者

N.J.A.斯隆

状态

经核准的