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| A000009号 |
| 产品扩展{m>=1}（1+x^m）；将n划分为不同部分的分区数；将n划分为奇数部分的数目。
（原名M0281 N0100）
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1463
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1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 22, 27, 32, 38, 46, 54, 64, 76, 89, 104, 122, 142, 165, 192, 222, 256, 296, 340, 390, 448, 512, 585, 668, 760, 864, 982, 1113, 1260, 1426, 1610, 1816, 2048, 2304, 2590, 2910, 3264, 3658, 4097, 4582, 5120, 5718, 6378
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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分成不同部分的分区有时称为“严格分区”。
爬上m级楼梯的不同方法的数量，采取奇数大小的步骤（或采取不同大小的步骤），其中顺序无关，并且对每个步骤的数量或大小没有其他限制，则为x^m系数。
将n划分为不同部分的数量=将n划分为奇数部分的数量的结果是由欧拉引起的。
双射：给定n=L1*1+L2*3+L3*5+L7*7+。。。，一个奇数部分的分区，用二进制写每个Li，Li=2^a1+2^a2+2^a3+。。。其中aj都不同，然后展开n=（2^a1*1+…）*1+。。。通过移除括号，我们可以将分区划分为不同的部分。对于反向操作，只需将任何偶数拆分为两半，直到没有剩余的偶数。
周期2序列[1,0,1,0，…]的欧拉变换-迈克尔·索莫斯2002年12月16日
不同部分和数1+[1,2]+[1,3]+[1,4]+。。。，其中[1，x]表示选择。例如，a（6）=4，因为我们可以写1+1+1+1+1，1+2+3，1+2+1+1，1+1+3+1-乔恩·佩里2003年12月31日
a（n）是将x_j划分为最多j个部分的次数之和，其中j是第j个三角形数的索引，n-T（j）=x_j。例如：；a（12）=划分成<=12-T（4）的4部分=2+划分成<=12-T（3）的3部分=6+划分成≤12-T（2）的2部分=9+划分成12-T（1）的1部分=11=（2）（11）+（6）（51）（42）（411）（33）（321）（222）+（9）（81）（72）（63）（54）+（11）=2+7+5+1=15-乔恩·佩里2004年1月13日
n的分区数，其中如果k是最大部分，则所有部分1..k都存在-乔恩·佩里2005年9月21日
杰克·格雷尔（Jack Grahl）和富兰克林·亚当斯（Franklin T.Adams-Waters）通过观察“无间隙”分区的费雷斯对偶保证有不同的部分，证明了乔恩·佩里（Jon Perry）的这一主张；由于Ferrers对偶是对合，这在两组分区之间建立了双射-艾伦·C·韦克斯勒2021年9月28日
具有n条边的连接阈值图的数量Michael D.Barrus（mbarrus2（AT）uiuc.edu），2007年7月12日
n个分区的数量，其中最大部分出现奇数次，所有其他部分出现偶数次。（此类分区是带有奇数部分的分区的对偶。）-大卫·沃瑟曼2009年3月4日
最大部分出现一次的n+1对称单峰组合数。n的对称单峰组合数，其中最大部分出现奇数次-乔格·阿恩特2013年6月11日
因为对于这些分区，第1、2、…部分的指数。。。或者是0或1（j^0表示没有j部分），我们可以将这些分区称为“费米子分区”。部分是级别，也就是正整数，占用数是0或1（就像泡利的排除原理）。“费米子态”由n的这些分区表示-Wolfdieter Lang公司2014年5月14日
Ewell（1973）给出了一些复发病例-N.J.A.斯隆，2020年1月14日
a（n）等于集合{1,2，…，n+1}的置换数p，用一行符号表示为p=p_1p_2…p_（n+1），满足p_，在满足p（i+1）-pi<=1，1<=i<=4的5个字母上的16个排列中，正好有两个主指数为4的排列，即53412和23451。因此a（4）=2。请参阅中的Bala链接A007318号作为证据-彼得·巴拉2022年3月30日
猜想：每个正整数n都可以写成a_1+…+a_k，其中a_1，。。。，ak是严格的分区数（即当前序列的项），没有人将其相除。已验证n=1..1350-孙志伟2023年4月14日
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参考文献
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Mohammad K.Azarian，《爬楼梯问题的概括》，《数学与计算机教育》，第31卷，第1期，第24-28页，1997年冬季。数学教育数据库（Zentralblatt MATH，1997c.01891）。
Mohammad K.Azarian，《爬楼梯问题的一般化II》，《密苏里数学科学杂志》，第16卷，第1期，2004年冬季，第12-17页。Zentralblatt MATH，Zbl 1071.05501。
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链接
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詹姆斯·麦克劳林（James Mc Laughlin）、安德鲁·希尔斯（Andrew V.Sills）和彼得·齐默（Peter Zimmer），Rogers Ramanujan Slater类型恒等式《电子组合数学杂志》，DS15，1-59，2008年5月31日；另请参见arXiv版本，arXiv:1901.00946[math.NT]，2019年。
唐纳德·纽曼，问题研讨会第18页；93;102-3探针。93 Springer-Verlag NY 1982年。
邱·D·阮（Hieu D.Nguyen）和道格拉斯·塔加特（Douglas Taggart），挖掘OEIS：十个实验推测, 2013. 提到这个序列。
Kimeu Arphaxad Ngwava、Nick Gill和Ian Short，对称群的幂零覆盖，arXiv:2005.13869[math.GR]，2020年。
杨明嘉（Mingjia Yang）和多伦·齐尔伯格（Doron Zeilberger），受限分区的系统计数，arXiv:1910.08989[数学.CO]，2019年。
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配方奶粉
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G.f.：产品{m>=1}（1+x^m）=1/Product{m>=0}（1-x^（2m+1））=Sum{k>=0{产品{i=1..k}x^i/（1-x ^i）=Sum{n>=0neneneep x^。
通用公式：和{n>=0}x^n*Product_{k=1..n-1}（1+x^k）=1+Sum_{n>=1}x^n*积{k>=n+1}（1+x^k）-乔格·阿恩特2011年1月29日
Product_{k>=1}（1+x^（2k））=Sum_{k>=0}x^。
渐近：a（n）~exp（Pi l_n/sqrt（3））/（4 3^（1/4）l_n^（3/2）），其中l_n=（n-1/24）^（1/2）（Ayoub）。
1/chi（-x）=chi（x）/chi（-x^2）=f（-x”）/phi（x”）=f“x”/phi-迈克尔·索莫斯2011年3月12日
G.f.是满足f（-1/（1152t））=2^（-1/2）/f（t）的周期1傅立叶级数，其中q=exp（2pi i t）-迈克尔·索莫斯2007年8月16日
q^（-1/24）*eta（q^2）/eta（q）的q次幂展开。
q^（-1/24）2^（-1-2）f2（t）的展开式为q=exp（2 Pi it）的幂，其中f2（）是韦伯函数-迈克尔·索莫斯2007年10月18日
给定g.f.A（x），则B（x）=x*A（x^3）^8满足0=f（B（x，B（x^2）），其中f（u，v）=v-u^2+16*u*v^2-迈克尔·索莫斯2005年5月31日
给定g.f.A（x），则B（x）=x*A（x^8）^3满足0=f（B（x，B（x^3）），其中f（u，v）=（u^3-v）*（u+v^3）-9*u^3*v^3-迈克尔·索莫斯2008年3月25日
来自Evangelos Georgiadis、Andrew V.Sutherland、Kiran S.Kedlaya（egeorg（AT）mit.edu），2009年3月3日：（开始）
a（0）=1；a（n）=2*（总和{k=1..floor（sqrt（n））}（-1）^（k+1）a（n-k^2））+σ=A010815号). （结束）
乘积g.f.=（1/（1-x））*（1/（1-x^3））*（1/（1-x^5））*…；=(1,1,1,...)*
(1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,...)*(1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,...) * ...; =
a*b*c*。。。其中a，a*b，a*b*c。。。汇聚到A000009号以下为：
1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, ... = a*b类
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, ... = a、b、c
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... = a、b、c、d
1，1，1，2，2，3，4，5，6，8，…=a、b、c、d、e
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, ... = a*b*c*d*e*f
G.f.：1/2（-1；x）_{inf}，其中（a；q）_k是q-Pochhammer符号-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月24日
更精确的渐近性：a（n）~exp（Pi*sqrt（（n-1/24）/3））/（4*3^（1/4）*（n-1/24^（3/4））*（1+（Pi^2-27）/（24*Pi*squart（3*（n-1/4）））+（Pi*4-270*Pi^2-1215）/（3456*Pi^2*（n-1/2））））-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年11月30日
a（n）~exp（Pi*sqrt（n/3））/（4*3^（1/4）*n^（3/4））*（1+（Pi/（48*sqort（3））-（3*sqert（3）/（8*Pi））/sqrt（n）+（Pi^2/13824-5/128-45/（128*Pi^2））/n）。
a（n）~exp（Pi*sqrt（n/3）+（Pi/（48*sqort（3））-3*sqert（3）/（8*Pi））/sqrt（n）-（1/32+9/（16*Pi^2））/n）/（4*3^（1/4）*n^（3/4）））。
（结束）
a（n）~Pi*BesselI（1，Pi*sqrt（（n+1/24）/3））/sqrt（24*n+1）-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年11月8日
G.f.：（1+x）*Sum_｛n>=0｝x^（n*（n+3）/2）/Product_｛k=1..n｝（1-x^k）=
（1+x）*（1+x^2）*Sum_{n>=0}x^（n*（n+5）/2）/Product_{k=1..n}（1-x^k）=（1+x）*（1+x^2。。。。
通用公式：（1/2）*Sum_{n>=0}x^（n*（n-1）/2）/Product_{k=1..n}（1-x^k）=
（1/2）*（1/（1+x））*Sum_{n>=0}x^（（n-1）*（n-2）/2）/Product_{k=1..n}（1-x^k）=（1/2）x（1/。。。。
G.f.：求和{n>=0}x^n/Product_{k=1..n}（1-x^（2*k））=（1/（1-x））*Sum_{n>=0.}x^（（1-x）*（1-x^3）*（1-x^5）））*Sum_{n>=0}x^（7*n）/Product_{k=1..n}（1-x^（2*k））=。。。。（结束）
通用公式：A（x）=Sum_{n>=0}x^（n*（2*n-1））/Product_{k=1..2*n}（1-x^k）。（在Mc Laughlin等人，第1.3节，条目7中设置z=x和q=x^2。）
类似地，A（x）=Sum_{n>=0}x^（n*（2*n+1））/Product_{k=1..2*n+1}（1-x^k）。（结束）
通用公式：A（x）=exp（和n>=1}x^n/（n*（1-x^（2*n））-彼得·巴拉2021年12月23日
和{n>=0}a（n）/exp（Pi*n）=exp（Pi/24）/2^（1/8）=A292820型. -西蒙·普劳夫2023年5月12日[证明：Sum_{n>=0}a（n）/exp（Pi*n）=phi（exp（-2*Pi））/phi Pi^（3/4）），见I.Mező，2013年的公式（14）和（13）-瓦茨拉夫·科特索维奇2023年5月12日]
a（2*n）=和{j=1..n}p（n+j，2*j）和a（2xn+1）=和}j=1..n+1}p（n+j，2*j-1），其中p（n，s）是n的分区数，正好有s个部分-格雷戈里·西蒙，2023年8月30日
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例子
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G.f.=1+x+x^2+2*x^3+2*x^4+3*x^5+4*x^6+5*x^7+6*x^8+8*x^9+。。。
G.f.=q+q^25+q^49+2*q^73+2*q*97+3*q^121+4*q^145+5*q^169+。。。
1: 1
2: 2
3: 3, 21
4: 4, 31
5:5、41、32
6: 6, 51, 42, 321
7: 7, 61, 52, 43, 421
8: 8, 71, 62, 53, 521, 431
...
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MAPLE公司
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N:=100；t1:=系列（mul（1+x^k，k=1..N），x，N）；A000009号：=过程（n）系数（t1，x，n）；结束；
规范：=[P，{P=PowerSet（N），N=Sequence（Z，card>=1）}]：[seq（combstruct[count]（规范，大小=N），N=0..58）]；
规范：=[P，{P=PowerSet（N），N=Sequence（Z，card>=1）}]：combstruct[allstructs]（规范，大小=10）；#得到n=10的实际分区
局部x，m；
乘积（1+x^m，m=1..n+1）；
扩展（%）；
系数（%，x，n）；
#或者：
简化（展开（QDifferenceEquations:-QPochhammer（-1，x，99）/2，x））：
seq（系数（%，x，n），n=0..55）#彼得·卢什尼2016年11月17日
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数学
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分区Q[范围[0，60]]（*_哈维日，2009年7月27日*）
a[n_]：=系列系数[乘积[1+x^k，{k，n}]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月6日*）
a[n_]：=系列系数[1/乘积[1-x^k，{k，1，n，2}]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月6日*）
a[n_]：=使用[{t=Log[q]/（2Pi I）}，级数系数[q^（-1/24）DedekindEta[2t]/DedekindEta[t]，{q，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月6日*）
a[n_]：=级数系数[1/QPochhammer[x，x^2]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2013年5月24日*）
a[n_]：=级数系数[Series[QHypergeometricPFQ[{q}，{qx}，q，-qx]，{q，0，n}]/。x->1，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年3月4日*）
a[n_]：=系列系数[QHypergeometricPFQ[｛｝，｛｝，q，-1]/2，｛q，0，n｝]；(*迈克尔·索莫斯2014年3月4日*）
nmax=60；系数列表[级数[Exp[Sum[（-1）^（k+1）/k*x^k/（1-x^k），{k，1，nmax}]]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年8月25日*）
nmax=100；poly=常量数组[0，nmax+1]；聚[1]]=1；poly[2]]=1；Do[Do[poly[[j+1]]+=聚[[j-k+1]]，{j，nmax，k，-1}]，{k，2，nmax}]；聚乙烯(*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年1月14日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（prod（k=1，n，1+x^k，1+x*O（x^n）），n））}/*迈克尔·索莫斯，1999年11月17日*/
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^2+a）/eta（x+a），n））}；
（PARI）{a（n）=my（c）；对于部分（p=n，如果（n<1|p[1]<2，c++；对于（i=1，#p-1，如果（p[i+1]>p[i]+1，c---；break））；c}/*迈克尔·索莫斯2017年8月13日*/
（PARI）列表a（nn）={q='q+O（'q^nn）；向量（eta（q^2）/eta（q））}\\阿尔图·阿尔坎2018年3月20日
（岩浆）系数（&*[1+x^m:m in[1..100]]）[1..100]，其中x是多项式环（整数（））。1；//谢尔盖·哈勒（Sergei（AT）Sergei-Haller.de），2006年12月21日
（哈斯克尔）
导入数据。MemoCombinators（memo2，整数）
a000009 n=a000009_列表！！n个
a000009_list=映射（pM 1）[0..]其中
pM=memo2积分p
p _ 0=1
p k m | m<k=0
|否则=pM（k+1）（m-k）+pM（k+1）m
（最大值）num_distinct_partitions（60，list）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2014年2月24日*/
（最大值）
h（n）：=如果oddp（n）=真，则1为0；
S（n，m）：=如果n=0，则1 else如果n<m，则0 else如果n=m，则h（n）else和（h（k）*S（n-k，k），k，m，n/2）+h（n；
a=二进制递归序列（0，1）
b=欧拉变换（a）
打印（[b（n）代表范围（56）中的n]）#彼得·卢什尼2020年11月11日
从functools导入lru_cache
从数学导入isqrt
@lru_cache（最大大小=无）
使用Memoize
n==0&&返回1
s=总和（（-1）^k*A000009号1中k的（n-k^2）：isqrt（n））
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交叉参考
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a（n）=和{n=1..m}A097306号（n，m），n分划成m个奇数部分的三角形的行和。
囊性纤维变性。A001318号,A000041号,A000700型,A003724号,A004111号,A007837号,A010815号,A035294号,A068049号,A078408年,A081360型,A088670型,A109950号,A109968号,A132312号,A146061号,A035363号,A010054号,A057077号,A089806号,A091602型,2015年2月3755日,A118457号（分区），A118459号（分区长度），A015723号（零件总数），A230957型（boutrophedon变换）。
r=2到12的r-规则分区数：A000009号,A000726号,A001935号,A035959号,A219601型,A035985号,A261775型,A104502型,A261776型,A328545型,A328546型.
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关键字
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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