0,4个

分成不同部分的分区有时称为“严格分区”。

用m级台阶、奇数级台阶（或不同尺寸的台阶）爬上楼梯的不同方法的数量，其中顺序无关，且对每一步的数量或大小没有其他限制，则为x^m系数。

Ramanujanθ函数：f（q）（参见邮编：A121373)，φ（q）(A000122号)，磅/平方英寸（q）(A010054型)，池（q）(A000700美元).

n的异部分片数=n的奇部分片数是由Euler得到的。

双射：给定n=L1*1+L2*3+L3*5+L7*7+…，将一个分区分成奇数部分，将每个Li写成二进制，Li=2^a1+2^a2+2^a3+…其中aj都是不同的，然后展开n=（2^a1*1+…）*1+…通过去掉方括号，我们将一个分区分成不同的部分。对于相反的操作，只需将任何偶数拆分为两半，直到没有偶数。

周期2序列的欧拉变换[1,0,1,0，…]-迈克尔·索莫斯2002年12月16日

不同部分和的数目1+[1,2]+[1,3]+[1,4]+…，其中[1，x]表示选择。E、 g，a（6）=4，我们可以写1+1+1+1+1+1+2+3，1+2+1+1+1+1，1+1+3+1-乔恩·佩里2003年12月31日

a（n）是x_j分成至多j个部分的次数之和，其中j是第j个三角形数的索引，n-T（j）=x_j。例如；a（12）=分成<=4部分的12-T（4）=2+分割成<=3部分12-T（3）=6+分割成<=2部分12-T（2）=9+分割成12-T的1部分（1）=11=（2）（11）+（6）（51）（42）（411）（33）（321）（222）+（9）（81）（72）（63）（54）+（11）=2+7+5+1=15-乔恩·佩里2004年1月13日

n的分区数，如果k是最大的部分，则所有部分1..k都存在-乔恩·佩里2005年9月21日

杰克·格雷尔和富兰克林·T·亚当斯·沃特斯通过观察“无间隙”隔板的费雷尔对偶保证有不同的部分来证明乔恩·佩里的这一主张；由于Ferrers对偶是对合，因此在两组分区之间建立了一个双射-艾伦·C·韦克斯勒2021年9月28日

有n个边的连通阈值图的个数迈克尔·D·巴鲁斯（工商管理硕士）。2007年7月12日

从偏移量1开始=三角形的行和A146061号以及A000700美元开始：（1，0，1，-1，1，-1，1，-2，2，-2，2，-3，3，-3，4，-5，…）-加里·W·亚当森2008年10月26日

n的分区数，其中最大的部分出现奇数次，其他部分出现偶数次。（这种隔板是奇数部分隔墙的对偶。）-大卫·瓦瑟曼2009年3月4日

等于A035363号卷曲A010054型.卷积平方A000009号=A022567号=A000041号卷曲A010054型.A000041号=A000009号卷曲A035363号. -加里·W·亚当森2009年6月11日

考虑到n的所有划分为不同的部分：有A140207号（n） 最大大小的分区A003056型（n） ，和A051162（n） 是这些分区中出现的最大数-莱因哈德·祖姆凯勒2009年6月13日

等于三角形的左边框A091602号从偏移量1开始-加里·W·亚当森2010年3月13日

最大部分出现一次的n+1对称单峰合成数。也是n的对称单峰合成数，其中最大部分出现奇数次-乔尔阿恩特2013年6月11日

因为对于这些分划，1，2，…部分的指数要么是0，要么是1（j^0意味着没有j部分），我们可以把这些分划称为“费米子分划”。这些部分是水平，也就是正整数，占据数要么是0，要么是1（就像泡利的排除原理）。费米子态由n的这些分划表示-狼牙2014年5月14日

只包含奇数部分的分区集在comments to中描述的乘积下形成了一个幺半群A000041号. -理查德·洛克·彼得森2018年8月16日

Ewell（1973）给出了一些重复出现的例子-N、 斯隆2020年1月14日

a（n）等于集合{1,2，…，n+1}的置换数p，用单行表示法写成p=p_1p_2…p_1（n+1），满足p_（i+1）-p_i<=1，即从左到右读时，其最大索引maj（p）：=Sum{p_pi>p_1}i等于n。例如，在满足p_（i+1）-p_i<=1，1<=i<=4的5个字母上的16个置换中，正好有两个主索引为4的置换，即5 3 4 1 2和2 3 4 5 1。因此a（4）=2。请参阅中的Bala链接A007318型作为证据-彼得·巴拉2022年3月30日

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“核心”序列的索引项

G、 f.：乘积{m>=1}（1+x^m）=1/积{m>=0}（1-x^（2m+1））=Sum{k>=0}积{i=1..k}x^i/（1-x^i）=Sum{n>=0}x^（n*（n+1）/2）/乘积{k=1..n}（1-x^k）。

G、 f.：Sum{n>=0}x^n*乘积{k=1..n-1}（1+x^k）=1+和{n>=1}x^n*乘积{k>=n+1}（1+x^k）-乔尔阿恩特2011年1月29日

积{k>=1}（1+x^（2k））=和{k>=0}x^（k*（k+1））/积{i=1..k}（1-x^（2i））-Euler（Hardy和Wright，定理346）。

渐近性：a（n）~exp（Pi l\u n/sqrt（3））/（4 3^（1/4）l_n^（3/2）），其中l_n=（n-1/24）^（1/2）（Ayoub）。

对于n>1，a（n）=（1/n）*和{k=1..n}b（k）*a（n-k），其中a（0）=1，b（n）=A000593号（n） =n的奇数因子之和；囊性纤维变性。A000700美元. -弗拉德塔·乔沃维奇2002年1月21日

a（n）=t（n，0），t定义见A079211.

a（n）=和{k=0..n-1}A117195年（n，k）=A117192年（n）+A117193号（n） n>0时-莱因哈德·祖姆凯勒2006年3月3日

a（n）=A026837号（n）+A026838号（n）=A118301年（n）+A118302年（n） ；a(A001318型（n） ）=A051044号（n） ；a(A090864号（n） ）=A118303年（n） 一-莱因哈德·祖姆凯勒2006年4月22日

1/chi（-x）=chi（x）/chi（-x^2）=f（-x）/phi（x）=f（x）/phi（-x^2）=psi（x）/f（-x^2）=f（-x^2）/f（-x）=f（-x^4）/psi（-x），其中phi（）、psi（）、chi（）、f（）是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯2011年3月12日

G、 f.是满足f（-1/（1152t））=2^（-1/2）/f（t）的周期1傅里叶级数，其中q=exp（2pi i t）-迈克尔·索莫斯2007年8月16日

q^（-1/24）*eta（q^2）/eta（q）的展开式。

q^（-1/24）2^（-1/2）f2（t）的展开式，其幂为q=exp（2πi t），其中f2（）是韦伯函数-迈克尔·索莫斯2007年10月18日

给定g.f.A（x），则B（x）=x*A（x^3）^8满足0=f（B（x（x），B（x^2）），其中f（u，v）=v-u^2+16*u*v^2-迈克尔·索莫斯2005年5月31日

给定g.f.A（x），则B（x）=x*A（x^8）^3满足0=f（B（x（x），B（x^3）），其中f（u，v）=（u^3-v）*（u+v^3）-9*u^3*v^3-迈克尔·索莫斯2008年3月25日

来自Evangelos Georgiadis，Andrew V.Sutherland，Kiran S.Kedlaya（麻省理工学院埃戈尔）。edu），2009年3月3日：（开始）

a（0）=1；a（n）=2*（和{k=1..floor（sqrt（n））}（-1）^（k+1）a（n-k^2））+西格玛（n），其中sigma（n）=（-1）^j如果（n=（j*（3*j+1））/2或n=（j*（3*j-1））/2），否则西格玛（n）=0（更简单：sigma=A010815型). （结束）

从加里·W·亚当森2009年6月13日：（开始）

乘积g.f.=（1/（1-x））*（1/（1-x^3））*（1/（1-x^5））*…；=（1,1,1，…）*

（1,0,0,1,0,0,1,0,0,1，…）（1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1，…）=

a*b*c*…其中a，a*b，a*b*c，…收敛到A000009号:

1，1，1，2，2，2，3，3，3，4，…=a*b

1，1，1，2，2，3，4，4，5，6，…=a*b*c

1，1，1，2，2，3，4，5，6，7，…=a*b*c*d

1，1，1，2，2，3，4，5，6，8，…=a*b*c*d*e

1，1，1，2，2，3，4，5，6，8，…=a*b*c*d*e*f

…（参见A000041号). （结束）

a(A004526号（n） ）=邮编：A172033（n） 一-莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月23日

a（n）=P（n）-P（n-2）-P（n-4）+P（n-10）+P（n-14）+…+（-1）^m P（n-2p_m）+…，其中P（n）是配分函数(A000041号)p峎m=m（3m-1）/2是第m个广义五边形数(A001318型). -杰罗姆·马林凡特2011年2月16日

a（n）=A054242（n，0）=A201377号（n，0）-莱因哈德·祖姆凯勒2011年12月2日

G、 f.：1/2（-1；x）{inf}其中（a；q）_k是q-Pochhammer符号-弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2013年4月24日

更精确的渐近性：a（n）~exp（Pi*sqrt（（n-1/24）/3））/（4*3^（1/4）*（n-1/24）^（3/4））*（1+（Pi^2-27）/（24*Pi*sqrt（3*（n-1/24））+（Pi^4-270*Pi^2-1215）/（3456*Pi^2*（n-1/24）））-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年11月30日

a（n）=A067661号（n）+A067659号（n） 一。狼牙2016年1月18日

从瓦茨拉夫·科特索维奇2016年5月29日：（开始）

a（n）~exp（Pi*sqrt（n/3））/（4*3^（1/4）*n^（3/4））*（1+（π/（48*sqrt（3））-（3*sqrt（3））/（8*Pi））/sqrt（n）+（Pi^2/13824-5/128-45/（128*Pi^2））/n）。

a（n）~exp（Pi*sqrt（n/3）+（Pi/（48*sqrt（3））-3*sqrt（3）/（8*Pi））/sqrt（n）-（1/32+9/（16*Pi^2））/n）/（4*3^（1/4）*n^（3/4））。

（结束）

a（n）=A089806号（n）*A010815型（楼层（n/2））+a（n-1）+a（n-2）-a（n-5）-a（n-7）+a（n-12）++A057077号（m-1）*a（n）-A001318型（m） ）+…，其中n>A001318型（m） 一-格沃格·马亚基安2016年7月7日

a（n）~Pi*BesselI（1，Pi*sqrt（（n+1/24）/3））/sqrt（24*n+1）-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年11月8日

a（n）=A000041号（n）-A047967号（n） 一-R、 J.马萨2017年11月20日

和{n>=1}1/a（n）=A237515型. -阿米拉姆埃尔达2020年11月15日

从彼得·巴拉2021年1月15日：（开始）

G、 f.：（1+x）*和{n>=0}x^（n*（n+3）/2）/乘积{k=1..n}（1-x^k）=

（1+x）*（1+x^2）*和{n>=0}x^（n*（n+5）/2）/乘积{k=1..n}（1-x^k）=（1+x）*（1+x^2）*（1+x^3）*和{n>=0}x^（n*（n+7）/2）/积{k=1..n}（1-x^k）=。。。。

G、 f.：（1/2）*和{n>=0}x^（n*（n-1）/2）/乘积{k=1..n}（1-x^k）=

（1/2）*（1/（1+x））*和{n>=0}x^（（n-1）*（n-2）/2）/乘积{k=1..n}（1-x^k）=（1/2）*（1/（（1+x）*（1+x^2））*和{n>=0}x^（（n-2）*（n-3）/2）/乘积{k=1..n}（1-x^k）=。。。。

G、 f.：总{n>=0}x ^ n/产品{k=1..n}（1-x ^（2*k）））=（1/（1-x））*总和{n>=0}x ^（3*n/n）/产品{k=1.n}（1-x ^（2*k））（1/（1（1-x）*（1-x ^（1×3）））（1/（（1-x）*（1-x ^ 3））））*Sum{n>=0}0}x ^（5*n）的产品{k=1.n{k=1.n}n}1.n}产品}k=1.n（1-x^（2*k））=（1/（（1-x）*（1-x^3）*（1-x^5））*和{n>=0}x^（7*n）/积{k=1..n}（1-x^（2*k））=…..（结束）

从彼得·巴拉2021年2月2日：（开始）

G、 f.：A（x）=和{n>=0}x^（n*（2*n-1））/乘积{k=1..2*n}（1-x^k）。（在McLaughlin等人，第1.3节，条目7中设置z=x和q=x^2。）

类似地，A（x）=和{n>=0}x^（n*（2*n+1））/乘积{k=1..2*n+1}（1-x^k）。（结束）

a（n）=A001227号（n）+A238005型（n）+A238006号（n） 一-R、 J.马萨2021年9月8日

G、 f.：A（x）=exp（和{n>=1}x^n/（n*（1-x^（2*n）））=exp（Sum{n>=1}（-1）^（n+1）*x^n/（n*（1-x^n）））-彼得·巴拉2021年12月23日

G、 f.=1+x+x^2+2*x^3+2*x^4+3*x^5+4*x^6+5*x^7+6*x^8+8*x^9+。。。

G、 f.=q+q^25+q^49+2*q^73+2*q^97+3*q^121+4*q^145+5*q^169+。。。

把n分成不同的部分（参见A118457号)对于小n为：

1： 1

2： 二

3： 3，21

4： 4，31

5： 5、41、32

6： 6、51、42、321

7： 7、61、52、43、421

8： 8、71、62、53、521、431

...

从莱因哈德·祖姆凯勒2009年6月13日：（开始）

a（8）=6，A140207号（8） ={5+2+1,4+3+1}=2，A003056型（8） =3，A051162（8） =5；

a（9）=8，A140207号（9） ={6+2+1,5+3+1,4+3+2}=3，A003056型（9） =3，A051162（9） =6；

a（10）=10，A140207号（10） ={4+3+2+1}=1，A003056型（10） =4，A051162（10） =4.（结束）

N:=100；t1：=系列（mul（1+x^k，k=1..N），x，N）；A000009号：=过程（n）系数（t1，x，n）；结束；

规范：=[P，{P=PowerSet（N），N=Sequence（Z，card>=1）}]：[seq（combstruct[count]（spec，size=N），N=0..58）]；

规范：=[P，{P=PowerSet（N），N=Sequence（Z，card>=1）}:combstruct[allstructs]（spec，size=10）；#得到n=10的实际分区

A000009号：=过程（n）

局部x，m；

乘积（1+x^m，m=1..n+1）；

展开（%）；

系数（%，x，n）；

结束过程：#R、 J.马萨2016年6月18日

#或者：

简化（展开（QDifferenceEquations:-QPochhammer（-1，x，99）/2，x））：

序号（系数（%，x，n），n=0..55#彼得·卢什尼2016年11月17日

PartitionsQ[范围[0，60]]（*哈维戴尔，2009年7月27日*）

a[n_u]：=系列系数[乘积[1+x^k，{k，n}]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月6日*）

a[n_u]：=系列系数[1/Product[1-x^k，{k，1，n，2}]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月6日*）

a[n_9]：=带[{t=Log[q]/（2pi I）}，系列系数[q^（-1/24）DedekindEta[2t]/dededekindeta[t]，{q，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月6日*）

a[n_]：=系列系数[1/QPochhammer[x，x^2]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2013年5月24日*）

a[n}：=SeriesCoefficient[Series[qsupergeometricpfq[{q}，{qx}，q，-qx]，{q，0，n}]/。x->1，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年3月4日*）

a[n_]：=系列系数[q超几何pfq[{}，{}，q，-1]/2，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年3月4日*）

最大值=60；系数列表[系列[Exp[Sum[（-1）^（k+1）/k*x^k/（1-x^k），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年8月25日*）

nmax=100；poly=ConstantArray[0，nmax+1]；聚[[1]]=1；聚[[2]]=1；Do[Do[poly[[j+1]]+=poly[[j-k+1]]，{j，nmax，k，-1}]，{k，2，nmax}]；聚乙烯(*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年1月14日*）

（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polcoeff（prod（k=1，n，1+x^k，1+x*O（x^n））}/*迈克尔·索莫斯1999年11月17日*/

（PARI）{a（n）=my（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polcoeff（eta（x^2+a）/eta（x+a），n））}；

（PARI）{a（n）=my（c）；对于部分（p=n，如果（n<1 | | p[1]<2，c++；对于（i=1，#p-1，如果（p[i+1]>p[i]+1，c--“break））））；c}/*迈克尔·索莫斯2017年8月13日*/

（PARI）lista（nn）={q='q+O（'q^nn）；Vec（eta（q^2）/eta（q））}\\阿尔图阿尔坎2018年3月20日

（Magma）系数（&*[1+x^m:m in[1..100]]）[1..100]，其中x是多项式环（Integers（））。1、 //谢尔盖·哈勒。de），2006年12月21日

（哈斯克尔）

导入数据。MemoCombinators（memo2，积分）

a000009 n=a000009_列表！！n

a000009_list=地图（pM 1）[0..]其中

pM=memo2积分p

p？0=1

p k m | m<k=0

|否则=pM（k+1）（m-k）+pM（k+1）m

--莱因哈德·祖姆凯勒2015年9月9日，2013年11月5日

（Maxima）num_distinct_分区（60，列表）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2014年2月24日*/

（马克西玛）

h（n）：=如果oddp（n）=真，则1或0；

S（n，m）：=若n=0则1 else若n<m则0 else若n=m则h（n）else和（h（k）*S（n-k，k），k，m，n/2）+h（n）；

名单（S（n，1），n，0，27）/*弗拉基米尔·克鲁基宁2014年9月7日*/

（SageMath）#使用[EulerTransform from邮编：A166861]

a=二进制递归序列（0，1）

b=欧拉变换（a）

打印（[b（n）表示范围（56）内的n）#彼得·卢什尼2020年11月11日

（Python）使用A010815型

从functools导入lru\u缓存

从数学导入isqrt

@lru_缓存（maxsize=无）

定义A000009号（n） ：如果n==0，则返回1A010815型（n） +2*总和（（-1）**（k+1）*A000009号（n-k**2）适用于范围（1，isqrt（n）+1））#柴华武2021年9月8日

（朱莉娅）使用A010815型

使用Memoize

@记忆功能A000009号（n）

n==0返回1

s=总和（（-1）^k*A000009号（n-k^2）对于1中的k:isqrt（n）

A010815型（n） -2秒

结束#彼得·卢什尼2021年9月9日

除第一项外，等于A052839号-1.一排排A053632号收敛到这个序列。当约化模2等于A010815型.奇数项的位置由A001318型.

a（n）=和{n=1..m}A097306号（n，m），n的分块数为m个奇数部分的三角形的行和。

囊性纤维变性。A001318型,A000041号,A000700美元,A003724号,A004111号,A007837号,A010815型,A035294号,A068049号,A078408号,A081360型,A088670号,A109950型,A109968号,A132312号,A146061号,A035363号,A010054型,A057077号,A089806号,A091602号,A237515型,A118457号（隔墙），A118459号（分区长度），A015723号（零件总数），A230957号（布氏变换）。

囊性纤维变性。A167377号（补充）。

囊性纤维变性。A067659号（奇数个零件），A067661号（偶数个零件）。

r=2到12的r-正则分区数：A000009号,A000726号,A001935型,A035959号,A219601年,A035985号,邮编：A261775,A104502,邮编：A261776,A328545飞机,A328546飞机.

上下文顺序：A034320型 A058703号 A347588飞机*A081360型 A117409年 A092833号

相邻序列：A000006号 A000007号 A000008号*A000010号 A000011号 A000012号

不,核心,容易的,美好的

N、 斯隆

经核准的