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A018819年 |
| 二元配分函数:将n分为2次方的次数。 |
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126
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1, 1, 2, 2, 4, 4, 6, 6, 10, 10, 14, 14, 20, 20, 26, 26, 36, 36, 46, 46, 60, 60, 74, 74, 94, 94, 114, 114, 140, 140, 166, 166, 202, 202, 238, 238, 284, 284, 330, 330, 390, 390, 450, 450, 524, 524, 598, 598, 692, 692, 786, 786, 900, 900, 1014, 1014, 1154, 1154, 1294, 1294
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,3
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评论
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在这些分区中,只有一个分区具有所有不同的项,因为每个数字都可以表示为2的不同幂之和。
a(n)是n的“非均匀”分区数,即分区n=p_1+p_2+…+p_k,1<=p_1<=p_2<=…<=p_k和p_1+p_2+…+p_i<=p_{i+1}表示所有1<=i<k-N.J.A.斯隆,2003年11月30日
通常,OEIS不包括这样的序列,其中每个术语都是重复的,但由于其重要性,这一个例外。未重复的序列A000123号是主条目。
1+[1,*2]+[1、*2]+……的不同部分和数。。。,其中[1,*2]表示可以加1或乘2。例如,a(6)=6,因为我们有6=1+1+1+1+1+1=(1+1)*2+1=1=1*2*2+1=(1+1+1)*2=1*2+1+1=;例如,这是6=1+1+1+1+1=2+2+1+1=4+1+1=2+2+2+2+2=2+1+1=4+2-乔恩·佩里2004年1月1日
n的分区数p,使得p生成的成分数为奇数。有关证据,请参阅Alekseyev和Adams-Waters链接-弗拉德塔·乔沃维奇2007年8月6日
n的分区数(p_1、p_2、…、p_k),p_1>=p_2>=…>=p_k,这样对于每个i,p_i>=p_{i+1}+…+p_k.-John MCKAY(MCKAY(AT)encs.concordia.ca),2009年3月6日(这些是作为非递增列表的“非平滑”分区)。
等于卷积平方根A171238号: (1, 2, 5, 8, 16, 24, 40, 56, 88, ...). -加里·亚当森2009年12月5日
设B=序列的第n次卷积幂,C=B的充气变量。看来B/C=二项式序列开始(1,n,…)。示例:序列的第三卷积幂为(1,3,9,19,42,78,146,…),C=(1,0,3,0,9,0,19,…)。则B/C=(1、3、6、10、15、21…)-加里·亚当森2016年8月15日
矩阵幂M^k作为n-->inf的极限产生等于序列的单列向量,其中M是以下生成矩阵:
1,0,0,0,0。。。
1, 0, 0, 0, 0, ...
1, 1, 0, 0, 0, ...
1, 1, 0, 0, 0, ...
1, 1, 1, 0, 0, ...
1, 1, 1, 0, 0, ...
1, 1, 1, 1, 0, ...
1, 1, 1, 1, 0, ...
1, 1, 1, 1, 1, ...
…(结束)
a(n)是n的“非借用”分区数,这意味着从较大部分减去较小部分的二进制减法永远不需要位置值借用-大卫·V·费尔德曼2020年1月29日
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链接
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菲利普·比安,Laver表和组合,arXiv:1810.00548[math.CO],2018年。提到这个序列。
Peter J.Cameron、Firdous Ee Jannat、Rajat Kanti Nath和Reza Sharafdini,群的共轭类图综述,arXiv:2403.09423[math.GR],2024年。
菲利普·弗拉乔莱和罗伯特·塞奇威克,分析组合数学, 2009; 参见第48、581页。
Michael D.Hirschhorn和James A.Sellers,m-ary分区的不同视图《澳大利亚法学联合会》,第30卷(2004年),193-196年。
乔纳森·乔丹和理查德·索斯韦尔,再生图的进一步性质《应用数学》,第1卷第5期,2010年,第344-350页。doi:10.4236/am.2010.15045.-发件人N.J.A.斯隆2013年2月3日
靖国神社和巴夫洛斯·泽米亚斯,关于m元分区数《代数与离散数学》,第19卷(2015年)。第1号,第67-76页。
Apisit Pakapongpun和Thomas Ward,功能轨道计数,J.国际顺序。,12(2009)09.2.4,示例25。
David Ruelle,动态zeta函数和转移算子,通知Amer。数学。Soc.,49(2002年第8期),887-895;见第888页。
N.J.A.Sloane和James A.Sellers,关于非折叠分区,arXiv:math/0312418[math.CO],2003年。
N.J.A.Sloane和James A.Sellers,关于非折叠分区,离散数学。,294 (2005), 259-274.
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配方奶粉
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a(2m+1)=a(2米),a(2米=a(2m-1)+a(m)。证明:如果n是奇数,则有一部分大小为1;去掉它会得到n-1的分区。如果n是偶数,要么有大小为1的部分,去掉它就得到n-1的分区,否则所有部分都是大小均匀的,每个部分除以2就得到n/2的分区。
G.f.:1/产品{j>=0}(1-x^(2^j))。
如果n=0,a(n)=1;如果n>0,Sum_{j=0..floor(n/2)}a(j)-大卫·W·威尔逊2007年8月16日
G.f.A(x)满足A(x^2)=(1-x)*A(x-迈克尔·索莫斯2003年8月25日
G.f.A(x)满足0=f(A(x,A(x^2),A(x ^4)),其中f(u,v,w)=u^2*w-2*u*v^2+v^3-迈克尔·索莫斯2005年4月10日
G.f.A(x)满足0=f(A(x,x),A(x^2),A-迈克尔·索莫斯2006年10月15日
设A(x)乘以g.f.,B(x)=A(x^k),然后0=B*((1-A)^k-(-A)^k)+(-A)^k,请参见fxtbook链接-乔格·阿恩特2012年12月17日
G.f.:Product_{n>=0}(1+x^(2^n))^(n+1),请参阅fxtbook链接-乔格·阿恩特2014年2月28日
通用公式:1+Sum_{i>=0}x^(2^i)/Product_{j=0..i}(1-x^-伊利亚·古特科夫斯基2017年5月7日
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例子
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G.f.=1+x+2*x ^2+2*x^3+4*x ^4+4*x^5+6*x ^6+6*x^7+10*x ^8+。。。
a(4)=4:分区是4,2+2,2+1+1,1+1+1。
a(7)=6:分区是4+2+1,4+1+1+1,2+2+2+1,2=2+1+1,2+1+1+1,1+1+1+1。
10的a(10)=14二进制分区是(按字典顺序)
[ 1] [ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ]
[ 2] [ 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ]
[ 3] [ 2 2 1 1 1 1 1 1 ]
[ 4] [ 2 2 2 1 1 1 1 ]
[ 5] [ 2 2 2 2 1 1 ]
[ 6] [ 2 2 2 2 2 ]
[ 7] [ 4 1 1 1 1 1 1 ]
[ 8] [ 4 2 1 1 1 1 ]
[ 9] [ 4 2 2 1 1 ]
[10] [ 4 2 2 2 ]
[11] [ 4 4 1 1 ]
[12] [ 4 4 2 ]
[13] [ 8 1 1 ]
[14] [ 8 2 ]
11的a(11)=14个二进制分区是通过将1附加到列表中的每个分区而获得的。
10的a(10)=14个非压缩分区是(按字典顺序)
[ 1] [ 6 3 1 1 ]
[ 2] [ 6 3 2 ]
[ 3] [ 6 4 1 ]
[ 4] [ 6 5 ]
[ 5] [ 7 2 1 1 ]
[ 6] [ 7 2 2 ]
[ 7] [ 7 3 1 ]
[ 8] [ 7 4 ]
[ 9] [ 8 2 1 ]
[10] [ 8 3 ]
[11] [ 9 1 1 ]
[12] [ 9 2 ]
[13] [10 1]
[14] [ 11 ]
通过在列表中每个分区的第一部分加上1,可以得到11的a(11)=14个非等分分区。
(结束)
a(10)=14个10的非借用分区是(按字典顺序)
[ 1] [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]
[ 2] [2 2 2 2 2]
[ 3] [3 1 1 1 1 1 1 1]
[ 4] [3 3 1 1 1 1]
[ 5] [3 3 2 2]
[ 6] [3 3 3 1]
[ 7] [5 1 1 1 1 1]
[ 8] [5 5]
[ 9] [6 2 2]
[10] [6 4]
[11] [7 1 1 1]
[12] [7 3]
[13] [9 1]
[14] [10]
通过在每个分区(如果有的话)的第一个偶数部分加1或在最后一个部分后面加1,可以得到a(11)=14个11的非借用分区。
(结束)
例如,4的五个分区按非递增顺序写为[1、1、1、1]、[2、1和1]、[2]、2]、[3]、1]和[4]。最后四个满足条件,a(4)=4。下面的Maple程序对较小的n值进行了验证。
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MAPLE公司
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with(组合);N: =8;a: =数组(1..N);c: =数组(1..N);
对于从1到n的n,做p:=分区(n);np:=nops(p);t: =0;
对于s到np,dor:=p[s];r: =排序(r,`>`);nr:=nops(r);j: =1;
#而j<nr和r[j]>和(r[k],k=j+1…nr)做j:=j+1;od;编号给予A040039号
而j<nr和r[j]>=sum(r[k],k=j+1.nr)do j:=j+1;od;编号给予A018819年
如果j=nr,则t:=t+1;光纤;a[n]:=t;od;编号约翰·麦凯
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数学
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最大值=59;a[0]=a[1]=1;a[n_?奇数Q]:=a[n]=a[n-1];a[n_?EvenQ]:=a[n]=a[n-1]+a[n/2];表[a[n],{n,0,max}]
(*或*)系数列表[系列[1/产品[(1-x^(2^j))),{j,0,Log[2,max]//天花板}],{x,0,max}],x](*Jean-François Alcover公司,2011年5月17日,2014年2月17日更新*)
a[n_]:=如果[n<1,Boole[n==0],a[n]=a[n-1]+如果[EvenQ@n公司,a[商[n,2],0]];(*迈克尔·索莫斯2022年5月4日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){n=15;v=矢量(n);对于(i=1,n,v[i]=矢量(2^(i-1)v[i][j]<=n,c[v[i][j]]++));c}/*乔恩·佩里*/
(PARI){a(n)=my(a,m);如果(n<1,n==0,m=1;a=1+O(x);而(m<=n,m*=2;a=subst(a,x,x^2)/(1-x));波尔科夫(a,n))}/*迈克尔·索莫斯2003年8月25日*/
(PARI){a(n)=如果(n<1,n==0,如果(n%2,a(n-1),a(n/2)+a(n-1))}/*迈克尔·索莫斯2003年8月25日*/
(哈斯克尔)
a018819 n=a018819_列表!!n个
a018819_list=1:f(尾部a008619_list),其中
f(x:xs)=(sum$take x a018819_list):f xs
(哈斯克尔)
导入数据。列表(穿插)
a018819=(a018819_列表!!)
a018819_list=1:1:(<*>)(zipWith(+))(散布0)(尾部a018819 _ list)
(Python)
从functools导入lru_cache
@lru_cache(最大大小=无)
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交叉参考
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囊性纤维变性。A023893号,A062051型,A105420号,A131995号,A040039号,A018819年,A088567号,A089054号,A115361年,A168261号,A171238号,A179051号,A008619号.
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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