搜索： a144706-编号：a144707
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A039599号
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| 根据切比雪夫多项式U_n（x），由x的幂展开三角形的偶数列构成的三角形。 |
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+10
133
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1, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 9, 5, 1, 14, 28, 20, 7, 1, 42, 90, 75, 35, 9, 1, 132, 297, 275, 154, 54, 11, 1, 429, 1001, 1001, 637, 273, 77, 13, 1, 1430, 3432, 3640, 2548, 1260, 440, 104, 15, 1, 4862, 11934, 13260, 9996, 5508, 2244, 663, 135, 17, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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T（n，k）是从（0,0）到（n，n）的晶格路径数，步骤E=（1,0）和n=（0,1），它们接触但不穿过x-y=k线，且仅位于该线上方；例如：T（3,2）=5，因为我们有EENNNE，EENNEN，EENENN，ENEENN，NEEENN-菲利普·德尔汉姆2005年5月23日
半长n且k向下返回x轴的Grand Dyck路径数。（半长n的Grand Dyck路径是半平面x>=0中的路径，从（0,0）开始，到（2n，0）结束，由步骤u=（1,1）和d=（1，-1）组成）。例如：T（3,2）=5，因为我们有u（d）uud（d），uud-Emeric Deutsch公司2006年5月6日
三角形也可以由M^n*[1,0,0,0，0,0,1,0，0，0…]生成，其中M是无限三对角矩阵，所有1位于上对角线和次对角线中，[1,2,2,2,2,2，2，2…]位于主对角线-菲利普·德尔汉姆2007年2月26日
该三角形属于由以下定义的三角形族：T（0,0）=1，T（n，k）=0，如果k<0或如果k>n，T。其他三角形是通过为（x，y）选择不同的值而产生的：
从（0，0）到（2n，2k）的2n步数，由步长u=（1，1）和d=（1，-1）组成，路径保持在非负象限。例如：T（3,0）=5，因为我们有uuuddd、uududd、ududud、uduudd、uuddud；T（3,1）=9，因为我们有uuudd、uuuddu、uudud、ududuu、uuduud、uduudu、uudduu、uduuudu；T（3,2）=5，因为我们有uuuuu d，uuuudu，uuuduu，uuduuu；T（3,3）=1，因为我们有uuuuu-菲利普·德尔汉姆2007年4月16日、17日、18日
设a_m的和{n>=0}a（n）*x^n=（1+x）/（1-mx+x^2）=o.g.f.，则和{k=0..n}T（n，k）*a（k）=（m+2）^nA099493号,A033999号,A057078号,A057077美元,A057079号,A005408号,A002878号,A001834号,A030221号,A002315号,A033890型,A057080号,A057081号,A054320美元,A097783号,A077416号,A126866号,A028230型,A161591号，对于m分别为-3、-2、-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15-菲利普·德尔汉姆2009年11月16日
Kn11、Kn12、Fi1和Fi2三角形和用三个序列连接上述三角形；请参阅交叉参考。有关这些三角和的定义，请参见A180662号. -约翰内斯·梅耶尔，2011年4月20日
4^n=（第n行项）点（第一个n+1个奇数整数项）。例如：4^4=256=（14，28，20，7，1）点（1，3，5，7，9）=（14+84+100+49+9）=256-加里·亚当森，2011年6月13日
由前n行定义的系数为n个方程组的线性方程组求解具有n=2n+1条边的正多边形的对角线长度；常数c^0、c^1、c^2。。。位于右侧，其中c=2+2*cos（2*Pi/N）。示例：取与9边形（非边形）相关的前4行，N=2*4+1；其中c=2+2*cos（2*Pi/9）=3.5320888……方程为（1,0,0,0）=1；（1,1,0,0）=c；（2,3,1,0）=c^2；（5,9,5,1）=立方。解为1、2.53208…、2.87938…和1.87938。。。；边=1的9边（非边）的四个不同对角线长度。（参见中的注释A089942号它使用类似的运算，但c=1+2*cos（2*Pi/9）。）-加里·亚当森，2011年9月21日
在Andrew Lobb之后，也称为Lobb数，是加泰罗尼亚数的自然推广，由L（m，n）=（2m+1）*二项式（2n，m+n）/（m+n+1）给出，其中n>=m>=0。对于m=0，我们得到第n个加泰罗尼亚数。请参阅添加的参考-贾扬达·巴苏2013年4月30日
T（n，k）=A053121号（2*n，2*k）。T（n，k）出现在代数数rho（n）的（2*n）次幂的公式中：=2*cos（Pi/n）=R（n，2），根据单位圆（长度单位1）内切的规则n-gon中的奇数诱导对角线/边长比R（n、2*k+1）=S（2*k，rho（n））。S（n，x）是切比雪夫S多项式（参见A049310型):
ρ（N）^（2*N）=和{k=0..N}T（N，k）*R（N，2*k+1），N>=0，在N>=1中相同。有关证据，请参阅2013年9月21日的评论A053121号注意，如果R（N，j）的j>delta（N），代数数rho（N）的次数（参见A055034号)，出现。
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第796页。
T.Myers和L.Shapiro，序列1、5、22、93、386的一些应用。。。Dyck小路和整齐的树木，众议员。，204 (2010), 93-104.
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
Jonathan E.Beagley和Paul Drube，Tableau反演的组合数学，电子。J.Combina.，22（2015），#P2.44。
安德鲁·洛布，推导第n个加泰罗尼亚数《数学公报》，第83卷，第496号（1999年3月），第109-110页。
Pedro J.Miana、Hideyuki Ohtsuka和Natalia Romero，加泰罗尼亚三角数的幂和，arXiv:1602.04347[math.NT]，2016（见2.8）。
阿萨纳西奥斯·帕普利斯，一种新的拉普拉斯变换反演方法，夸脱。申请。数学。，第14卷，第4期（1957年），405-414:124。[注意：有一个打字错误]
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配方奶粉
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T（n，k）=C（2*n-1，n-k）-C（2*n-1，n-k-2），n>=1，T（0,0）=1。
T（n，k）=（2*k+1）*二项式（2*n，n-k）/（n+k+1）。
G.f.：G（t，z）=1/（1-（1+t）*z*C），其中C=（1-sqrt（1-4*z））/（2*z）是加泰罗尼亚函数。（结束）
T（n，k）=C（2*n，n-k）*（2*k+1）/（n+k+1）。总和（k>=0；T（n，k）*T（m，k）=A000108号（n+m））；A000108号：加泰罗尼亚语的数字。
T（n，0）=A000108号（n） ；如果k>n，T（n，k）=0；对于k>0，T（n，k）=和{j=1..n}T（n-j，k-1）*A000108号（j） ●●●●。
对于k列的G.f:Sum_{n>=0}T（n，k）*x^n=x^k*C（x）^（2*k+1），其中C（xA000108号（n） *x^n是加泰罗尼亚数字的g.f，A000108号.
如果n<0或n<k，T（0，0）=1，T（n，k）=0；T（n，0）=T（n-1,0）+T（n-1，1）；对于k>=1，T（n，k）=T（n-1，k-1）+2*T（n-1，k）+T（n-l，k+1）。
三角形T（n，k）=（-1）^（n+k）*二项式（n+k，2*k）=*A085478号（n，k）。
和{k=0..n}（2*k+1）*T（n，k）=4^n。
和{k>=h}T（n，k）=二项式（2n，n-h）。
和{k=0..n}T（n，k）*（-1）^k=A000007号（n） ●●●●。
和{k=0..n}T（n，k）*（-2）^k=（-1）^n*A064310号（n） ●●●●。
求和{k=0..n}T（n，k）*sin（（2*k+1）*x）=sin（x）*（2*cos（x））^（2*n）。
T（n，n-k）=和{j>=0}（-1）^（n-j）*A094385号（n，j）*二项式（j，k）。
如果求和{k>=0}a（k）*x^k=（1+x）/（x^2-m*x+1），则求和{k=0..n}T（n，k）*a（k）=（m+2）^n。
和{k=0..n}T（n，k）*k^2=A000531号（n） ，对于n>=1。
（结束）
T（n，k）=和{j=0..k}二项式（k+j，2j）*（-1）^（k-j）*A000108号（n+j）-保罗·巴里2011年2月17日
求和{k=0..n}T（n，k）*（2*k+1）^2=（4*n+1）*二项式（2*n，n）-沃纳·舒尔特2015年7月22日
求和{k=0..n}T（n，k）*（2*k+1）^3=（6*n+1）*4^n-沃纳·舒尔特2015年7月22日
Sum_｛k=0..n｝（-1）^k*T（n，k）*（2*k+1）^（2*m）=0表示0<=m<n（另请参见A160562号). -沃纳·舒尔特2015年12月3日
T（n，k）=GegenbauerC（n-k，-n+1，-1）-GegenbauerC-（n-k-1，-n+1、-1）-彼得·卢什尼2016年5月13日
T（n，n-3）=n*（2*n-1）*（2*n-5）/3-R.J.马塔尔2019年1月30日
T（n，n-4）=n*（n-1）*（2*n-1）x（2*n-7）/6-R.J.马塔尔2019年1月30日
T（n，n-5）=n*（n-1）*（2*n-1）x（2*n-3）*（2*n-9）/30-R.J.马塔尔2019年1月30日
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示例
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三角形T（n，k）开始于：
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0: 1
1比1 1
2: 2 3 1
3: 5 9 5 1
4: 14 28 20 7 1
5:42 90 75 35 9 1
6: 132 297 275 154 54 11 1
7: 429 1001 1001 637 273 77 13 1
8: 1430 3432 3640 2548 1260 440 104 15 1
9: 4862 11934 13260 9996 5508 2244 663 135 17 1
生产矩阵开始
1, 1,
1, 2, 1,
0, 1, 2, 1,
0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 2, 1,
0,0,00,0,1,2,1（结束）
ρ（N）=2*cos（Pi/N）幂的示例：
n=2:rho（n）^4=2*R（n，1）+3*R（n，3）+1*R（n，5）=
2+3*S（2，rho（N））+1*S（4，rho。对于N=4（只有一条明显对角线的正方形），度数△（4）=2，因此R（4，3）和R（4,5）可以减少，即分别为R（4,1）=1和R（4]，5）=-R（4,1）=-1。因此，ρ（4）^4=（2*cos（Pi/4））^4=2+3-1=4。（结束）
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MAPLE公司
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T： =（n，k）->（2*k+1）*二项式（2*n，n-k）/（n+k+1）：对于从0到12的n，do seq（T（n，k），k=0..n）od；#以三角形形式生成序列#Emeric Deutsch公司2006年5月6日
T:=proc（n，k）选项记忆；如果k=n，则1 elif k>n，则0 elif k=0，则T（n-1，0）+T
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..9）od#彼得·卢什尼2023年2月14日
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数学
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表[Abs[Differences[Table[二项式[2n，n+i]，{i，0，n+1}]]，{n，0，7}]//展平(*杰弗里·克雷策2011年12月18日*）
连接[{1}，扁平[Table[二项式[2n-1，n-k]-二项式[2]，{n，10}，{k，0，n}]](*哈维·P·戴尔2011年12月18日*）
压扁[表[二项式[2*n，m+n]*（2*m+1）/（m+n+1），{n，0，9}，{m，0，n}]](*贾扬达·巴苏2013年4月30日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）#L.Seidel的算法（1877）
#打印三角形的前n行
D=[0]*（n+2）；D[1]=1
b=正确；h=1
对于范围（2*n-1）中的i：
如果b：
对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]+=D[k-1]
h+=1
其他：
对于范围（1，h，1）中的k：D[k]+=D[k+1]
如果b：打印（[D[z]代表（1..h-1）中的z）
b=非b
（岩浆）/*作为三角形*/[[二项式（2*n，k+n）*（2*k+1）/（k+n+1）：k in[0..n]]：n in[0..15]]//文森佐·利班迪，2015年10月16日
（PARI）a（n，k）=（2*n+1）/（n+k+1）*二项式（2*k，n+k）
三角行（n）=对于（x=0，n-1，对于（y=0，x，print1（a（y，x），“，”））；打印（“”）
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 5, 5, 3, 1, 0, 14, 14, 9, 4, 1, 0, 42, 42, 28, 14, 5, 1, 0, 132, 132, 90, 48, 20, 6, 1, 0, 429, 429, 297, 165, 75, 27, 7, 1, 0, 1430, 1430, 1001, 572, 275, 110, 35, 8, 1, 0, 4862, 4862, 3432, 2002, 1001, 429, 154, 44, 9, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,8
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评论
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加泰罗尼亚卷积三角形；k列的g.f.：（x*c（x））^k和c（x）g.fA000108号（加泰罗尼亚数字）。
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链接
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A.Robertson、D.Saracino和D.Zeilberger，精细限制排列，arXiv:math/0203033[math.CO]，2002年。
L.W.Shapiro、S.Getu、W.-J.Woan和L.C.Woodson，Riordan集团，离散应用数学。，34 (1991), 229-239.
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配方奶粉
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T（n，k）=二项式（2n-k-1，n-k）*k/n，对于n>0的0<=k<=n；T（0，0）=1；如果k>0，T（0，k）=0。
T（0，0）=1；如果n>0，T（n，0）=0；如果k>0，T（0，k）=0；对于k>0和n>0：T（n，k）=Sum{j>=0}T（n-1，k-1+j）。
和{j>=0}T（n+j，2j）=二项式（2n-1，n），n>0。
求和{j>=0}T（n+j，2j+1）=二项式（2n-2，n-1），n>0。
和{k>=0}T（n，k）*x^（n-k）=C（x，n）；C（x，n）是广义加泰罗尼亚数。
G.f.：和{n>=0，k>=0}T（n，k）*x^k*z^n=1/（1-x*z*c（z））其中c（zA000108号. -迈克尔·索莫斯，2022年10月1日
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示例
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三角形开始：
1;
0, 1;
0, 1, 1;
0, 2, 2, 1;
0, 5, 5, 3, 1;
0, 14, 14, 9, 4, 1;
0, 42, 42, 28, 14, 5, 1;
0, 132, 132, 90, 48, 20, 6, 1;
生产阵列是
0, 1,
0, 1, 1,
0, 1, 1, 1,
0，1，1，1，1，
0, 1, 1, 1, 1, 1,
0, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
0，1，1，1,1,1,1,1（结束）
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MAPLE公司
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如果n=0，则
1;
elif k<0或k>n那么
0;
其他的
二项式（2*n-k-1，n-k）*k/n；
结束条件：；
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数学
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黄体脂酮素
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（马格玛）
A106566号：=func<n，k|n eq 0选择1 else（k/n）*二项式（2*n-k-1，n-k）>；
（鼠尾草）
定义A106566号（n，k）：如果（n==0）else（k/n）*二项式（2*n-k-1，n-k），则返回1
（PARI）{T（n，k）=如果（k<=0||k>n，n==0&k==0，二项式（2*n-k，n）*k/（2*n-k））}/*迈克尔·索莫斯2022年10月1日*/
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交叉参考
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k=0，1，2，…时的列k。。。，13:A000007号,A000108号,A000108号,A000245型,A002057号,A000344号,A003517号,A000588号,A003517号,A001392号,A003518元,A000589号,A003519号,A000590型
-11≤x≤10的广义加泰罗尼亚数C（x，n）：A064333号,A064332号,A064331号,A064330号,A064329号,A064328美元,A064327号,A064326号,A064325号,A064311号,A064310号,A000012号,A000108号,A064062号,A064063号,A064087号,A064088号,A064089号,A064090号,A064091号,A064092号,A064093号.
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关键词
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作者
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扩展
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经核准的
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(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,9
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评论
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三角形T（n，k），0<=k<=n，按行读取，由[0，-1，1，0，0，0,0，0A084938号.
多项式的系数数组Chebyshev_U（n，sqrt（x）/2）*（sqert（x））^n-保罗·巴里2009年9月28日
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链接
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配方奶粉
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数字三角形T（n，k）=（-1）^（n-k）*二项式（k，n-k）。
和{k=0..n}T（n，k）*x^（n-k）=A053404号（n） ，A015447号（n） ，A015446号（n） ，A015445号（n） ，A015443号（n） ，A015442号（n） ，A015441号（n） ，A015440号（n） ，A006131号（n） ，A006130型（n） ，A001045号（n+1），A000045号（n+1），A000012号（n） ，A010892号（n） ，107920英镑（n+1），A106852号（n） ，A106853号（n） ，A106854号（n） ，A145934号（n） ，145976英镑（n） ，A145978号（n） ，A146078号（n） ，A146080型（n） ，A146083号（n） ，A146084号（n） 对于x=-12，-11，-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12-菲利普·德尔汉姆2008年10月27日
和{k=0..n}T（n，k）*x^k=A000007号（n） ，A010892号（n） ，A099087号（n） ，A057083美元（n） ，A001787号（n+1），A030191号（n） ，A030192号（n） ，A030240美元（n） ，A057084号（n） ，A057085号（n+1），A057086号（n） x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10-菲利普·德尔汉姆2008年10月28日
G.f.：1/（1-y*x+y*x^2）-菲利普·德尔汉姆2011年12月15日
T（n，k）=T（n-1，k-1）-T（n-2，k-1-菲利普·德尔汉姆2012年2月15日
求和{k=0..n}T（n，k）*x^（n-k）=F（n+1，-x），其中F（n，x）是x中定义的第n个斐波那契多项式A011973号. -菲利普·德尔汉姆2013年2月22日
对于T（0,0）=0，下面的有符号三角形具有o.g.f.g（x，T）=[T*x（1-x）]/[1-T*x（1x）]=L[T*Cinv（x）]，其中L（x）=x/（1-xA000108号，因此逆o.g.f.是Ginv（x，t）=C[Linv（x）/t]=[1-sqrt[1-4*x/（t（1+x））]/2（参见。A124644号和A030528型). -汤姆·科普兰2016年1月19日
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示例
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行开始：
1;
0, 1;
0，-1，1；
0, 0, -2, 1;
0, 0, 1, -3, 1;
0, 0, 0, 3, -4, 1;
0, 0, 0, -1, 6, -5, 1;
0, 0, 0, 0, -4, 10, -6, 1;
0, 0, 0, 0, 1, -10, 15, -7, 1;
0, 0, 0, 0, 0, 5, -20, 21, -8, 1;
0, 0, 0, 0, 0, -1, 15, -35, 28, -9, 1;
生产阵列是
0、1，
0, -1, 1,
0, -1, -1, 1,
0, -2, -1, -1, 1,
0, -5, -2, -1, -1, 1,
0, -14, -5, -2, -1, -1, 1,
0, -42, -14, -5, -2, -1, -1, 1,
0, -132, -42, -14, -5, -2, -1, -1, 1,
0、-429、-132、-42、-14、-5、-2、-1、-1、1（结束）
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数学
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黄体脂酮素
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（岩浆）/*作为三角形*/[[（-1）^（n-k）*二项式（k，n-k）：k in[0..n]]：n in[0..15]]//文森佐·利班迪2016年1月14日
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交叉参考
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作者
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经核准的
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0, 1, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1536, 3072, 6144, 12288, 24576, 49152, 98304, 196608, 393216, 786432, 1572864, 3145728, 6291456, 12582912, 25165824, 50331648, 100663296, 201326592, 402653184, 805306368, 1610612736, 3221225472
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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a（n）是使gcd（2^x，x-phi（x））=2^n的最小数x。如果cototent被totiten替换，则类似值不同：A053576号.
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链接
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配方奶粉
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通用公式：x*（1+4*x）/（1-2*x）=x/（1-6*x/（1+4**x））-迈克尔·索莫斯2012年6月15日
起始（1，6，12，24，48，…）=[1，5，1，5，1,5，…]的二项式变换-加里·亚当森，2007年11月18日
a（n）=（-6*n+16）*a（n-1）+2*Sum_{k=1..n-1}a（k）*a-迈克尔·索莫斯2011年7月23日
a（n）=3*2^（n-1）-（3/2）*[n=0]-2*[n=1]-G.C.格鲁贝尔2021年4月27日
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示例
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G.f.=x+6*x^2+12*x^3+24*x^4+48*x^5+96*x^6+192*x^7+384*x^8+。。。
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MAPLE公司
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0，1，seq（3*2^（n-1），n=2..40）#G.C.格鲁贝尔2021年4月27日
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数学
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表[3*2^（n-1）-（3/2）*Boole[n==0]-2*Boole[n==1]，{n，0，40}](*G.C.格鲁贝尔2021年4月27日*）
加入[｛0，1｝，嵌套列表[2#&，6，30]](*哈维·P·戴尔2024年1月22日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0，1]cat[&+[3*二项式（n，k）：k in[0..n]]：n in[1..30]]//克劳斯·布罗克豪斯2009年12月2日
（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<1，0，a=向量（n）；a[1]=1；对于（k=2，n，a[k]=（-6*k+16）*a[k-1]+2*和（j=1，k-1，a[j]*a[k]）；a[n]）}/*迈克尔·索莫斯2011年7月23日*/
（Sage）[0,1]+[3*2^（n-1）对于（2..40）]中的n#G.C.格鲁贝尔2021年4月27日
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非n,容易的
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经核准的
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1, -18, -252, -2376, -19440, -147744, -1073088, -7558272, -52068096, -352719360, -2358180864, -15600273408, -102308769792, -666095394816, -4310029025280, -27740914089984, -177729924169728, -1134086182797312, -7210756923457536
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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通用：（1-30*x）/（1-6*x）^2。
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数学
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表[6^n（1-4n），{n，0，20}](*哈维·P·戴尔2011年4月1日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（1-4*n）*6^n:n in[0..30]]//G.C.格鲁贝尔2022年6月16日
（SageMath）[（1-4*n）*6^n代表n in（0..30）]#G.C.格鲁贝尔2022年6月16日
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1, 7, 21, 70, 245, 882, 3234, 12012, 45045, 170170, 646646, 2469012, 9464546, 36402100, 140408100, 542911320, 2103781365, 8167621770, 31762973550, 123708423300, 482462850870, 1883902560540, 7364346373020
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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a（n）=（7*C（2n，n）-5*0^n）/2。
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非n
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1, 8, 24, 80, 280, 1008, 3696, 13728, 51480, 194480, 739024, 2821728, 10816624, 41602400, 160466400, 620470080, 2404321560, 9334424880, 36300541200, 141381055200, 551386115280, 2153031497760
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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非n
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