搜索: a245031-编号:a245051
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A000217号
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| 三角数:a(n)=二项式(n+1,2)=n*(n+1)/2=0+1+2+…+n.(名词)。 (原名M2535 N1002)
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+10 4577
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0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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也称为T(n)或C(n+1,2)或二项式(n+1,2)(首选)。
广义六角形数:n*(2*n-1),n=0,+-1,+-2,+-3。。。广义k边形数是第二个k边形数和交错的k边形数的正项,k>=5。在这种情况下,k=6-奥马尔·波尔2011年9月13日和2012年8月4日
n+1,K_{n+1}阶完整图的边数。
在n个字母的字符串中插入一对括号的合法方法的数量。例如,三个字母有六种写法:(a)bc,(ab)c,(abc),a(b)c,a(bc),ab(c)。证明:有C(n+2.2)方法可以选择括号的位置,但其中n+1是非法的,因为括号是相邻的。囊性纤维变性。A002415号.
对于n>=1,a(n)也是n+2次非奇异曲线的亏格,如费马曲线x^(n+2)+y^(n+2)=1.-艾哈迈德·法尔斯(ahmedfares(AT)my_deja.com),2001年2月21日
根据哈纳克定理(1876),n阶非奇异曲线的分支数有界于a(n)-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月29日
双n多米诺骨牌中的瓷砖数量-斯科特·布朗2002年9月24日
n个不相同链接的链可以分解的方式数。这是基于蛋白质组学领域的一个类似问题:n个氨基酸残基的肽在质谱仪中被分解的方式的数量。一般来说,每个氨基酸的质量不同,所以AB和BC的质量不同-詹姆斯·雷蒙德2003年4月8日
三角数-奇数=移位三角数;1、3、6、10、15、21…-1, 3, 5, 7, 9, 11, ... = 0, 0, 1, 3, 6, 10, ... - Xavier Acloque,2003年10月31日[由更正德里克·奥尔2015年5月5日]
居中多边形数是[边数]的结果*A000217号+ 1]. 例如,中心五边形数(1,6,16,31,…)=5*(0,1,3,6,…)+1。居中七元数(1,8,22,43,…)=7*(0,1,3,6,…)+1.-Xavier Acloque,2003年10月31日
n+1平面相交形成的最大线数-罗恩·金2004年3月29日
避开模式132且正好有1个下降的[n]排列数-迈克·扎布罗基2004年8月26日
不允许使用长度为n-1、包含子字(0,1)、(0,2)和(1,2)的三进制字的数目-奥利维尔·杰拉德2012年8月28日
可以从集合{0,1,2,…,n}中选择两个不同的数字而不重复,或者,可以在集合{1,2,……,n{中选择二个不同数字并重复的方法。
据推测,只有1、6、120是三角形和阶乘的数字Christopher M.Tomaszewski(cmt1288(AT)comcast.net),2005年3月30日
每对相邻的项组成一个完美的正方形-扎克·塞多夫2006年3月21日
n+1个字母对称组中的转置数,即除两个元素外,其余元素都保持不变的排列数-杰弗里·克雷策2006年6月23日
对于rho(n):=exp(i*2*Pi/n)(1的n次方根),对于n>=1,rho(n)^a(n)=(-1)^(n+1)。只需使用琐碎性a(2*k+1)==0(mod(2*k+1))和a(2*k)==k(mod))。
a(n)是(a_1+a_2+a_3)^(n-1)展开式中的项数-塞尔吉奥·法尔孔2007年2月12日
a(n+1)是2个变量中n次完全齐次对称多项式的项数-理查德·巴恩斯2017年9月6日
等于半群PT_n\S_n的秩(生成集的最小基数),其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特2007年5月3日
a(n)给出了从三角形上的一个顶点到该顶点对面绘制cevian时发现的三角形总数,其中n=绘制的cevian数+1。例如,绘制1个cevian,n=1+1=2和a(n)=2*(2+1)/2=3,则图形中总共有3个三角形。如果从一个点到另一侧绘制2个cevians,则n=1+2=3和a(n)=3*(3+1)/2=6,则图中总共有6个三角形。-Noah Priluck(npriluck(AT)gmail.com),2007年4月30日
对于n>=1,a(n)是当项的顺序不同的表示被认为不同时,n-1可以写成三个非负整数之和的方式数。换句话说,对于n>=1,a(n)是方程x+y+z=n-1的非负积分解的个数-阿玛纳斯·穆尔西2001年4月22日(编辑:罗伯特·A·比勒)
a(n)是三维各向同性谐振子的能量为n+3/2的能级数(单位为h*f0,普朗克常数为h,振子频率为f0)。请参阅上文A.Murthy的评论:n=n1+n2+n3带有正整数并排序。o.g.f.的证明见A.Messiah参考-沃尔夫迪特·朗2007年6月29日
数字m>=0,使圆(sqrt(2m+1))-圆(squart(2m))=1。
数字m>=0,这样天花板(2*sqrt(2m+1))-1=1+地板(2*m2(2m))。
数字m>=0,使得fract(sqrt(2m+1))>1/2,fract(m2))<1/2,其中fract(x)是x的小数部分(即x-floor(x),x>=0)。(结束)
如果Y和Z是一个n集X的3个块,那么对于n>=6,a(n-1)是与Y和Z相交的X的(n-2)子集的数目-米兰Janjic2007年11月9日
循环赛中的比赛数量:n*(n-1)/2给出了n名球员所需的比赛数量。每个人都会和其他人比赛一次乔治·雷德(Georg Wrede),2008年12月18日
等效于连续四面体数的第一个差。请参阅A000292号.-Jeremy Cahill(jcahill(AT)inbox.com),2009年4月15日
交替幂和的一般公式是以瑞士-刀多项式P(n,x)表示的153641英镑2^(-n-1)(P(n,1)-(-1)^k P(n、2k+1))。因此a(k)=|2^(-3)(P(2,1)-(-1)^k P(2,2k+1))|-彼得·卢什尼2009年7月12日
a(n)是最小的数>a(n-1),使得gcd(n,a(n。如果n是奇数,则gcd是n;如果n是偶数,则为n/2-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2009年8月6日
弗洛伊德三角形右边的数字是1、3、6、10、15-保罗·穆贾迪2010年1月25日
更一般地说,a(2k+1)==j*(2j-1)(mod 2k+2j+1)和
a(2k)==[-k+2j*(j-1)](模2k+2j)。
列总和:
1 3 5 7 9 ...
1 3 5 ...
1 ...
...............
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1 3 6 10 15 ...
和{n>=1}1/a(n)^2=4*Pi^2/3-12=12小于半径为Pi^(1/3)的球体的体积。
(结束)
1/a(n+1),n>=0,具有例如f-2*(1+x-exp(x))/x^2和o.g.f.2*(x+(1-x)*log(1-x))/x^2(见斯蒂芬·克劳利公式行)-1/(2*a(n+1))是贝努利多项式系数的谢弗三角形的z序列1996年8月/A196839号. -沃尔夫迪特·朗2011年10月26日
(结束)
绘制三个点(0,0)、(a(n)、a(n+1))、(a+1)、a+2)以形成三角形。面积将为a(n+1)/2-J.M.贝戈2012年5月4日
以a(n)=n*(n+1)/2开头的四个连续三角形数之和减去2等于2*(n+2)^2。a(n)*a(n+2)/2=a(a(n+1)-1)-J.M.贝尔戈2012年5月17日
(a(n)*a(n+3)-a(n+1)*a-J.M.贝戈2012年5月18日
a(n)*a(n+1)+a(n+2)*a(n+3)+3=a(n^2+4*n+6)-J.M.贝戈2012年5月22日
一般来说,a(n)*a(n+1)+a(n+k)*a-查理·马里恩2012年9月11日
a(n)*a(n+3)+a(n+1)*a-J.M.贝戈2012年5月22日
一般来说,a(n)*a(n+k)+a(n+1)*a-查理·马里恩,2012年9月11日
a(n)*a(n+2)+a(n+1)*a-J.M.贝戈2012年5月22日
三个点(a(n)、a(n+1))、(a(n/1)、a-J.M.贝戈2012年5月23日
a(n)+a(n+k)=(n+k)^2-(k^2+(2n-1)*k-2n)/2。对于k=1,我们得到a(n)+a(n+1)=(n+1)^2(见下文)-查理·马里恩2012年10月2日
在n空间中,我们可以定义一个(n-1)非平凡的正交投影。例如,在3空间中有一个(2)=3(即点对线、点对平面、线对平面)-道格拉斯·拉蒂默2012年12月17日
对于n>=1,a(n)等于半群P_n\S_n的秩(生成集的最小基数)和幂等秩(幂等生成集的最小基数),其中P_n和S_n表示[n]上的分单半群和对称群。
对于n>=3,a(n-1)等于半群T_n\S_n的秩和幂等秩,其中T_n和S_n表示[n]上的完全变换半群和对称群。
(结束)
对于n>=3,a(n)等于半群PT_n\S_n的秩和幂等秩,其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特2013年1月15日
公式a(n)*a(n+4k+2)/2+a(k)=a(a(n+2k+1)-(k^2+(k+1)^2))是Bergot 2012年5月17日评论中公式a(n*a(n+2)/2=a(a+1)-1的推广-查理·马里恩2013年3月28日
对于奇数m=2k+1,我们有递归a(m*n+k)=m^2*a(n)+a(k)。推论:如果数字T在序列中,那么它就是9*T+1-Lekraj Beedassy公司2013年5月29日
欧拉在歌剧《Postuma》第87节中指出,只要T是三角形数,那么9*T+1、25*T+3、49*T+6和81*T+10也是三角形数。一般来说,如果T是三角形数,那么(2*k+1)^2*T+k*(k+1)/2也是三角形数-彼得·巴拉2015年1月5日
使用1/b和1/(b+2)将得到一个边为2*b+2、b^2+2*b和b^2+2*b+2的毕达哥拉斯三角形。设置b=n-1,得到一个边长为2*n、n^2-1和n^2+1的三角形。四分之一周长=a(n),对于n>1-J.M.贝戈2013年7月24日
a(n)=A028896号(n) /6,其中A028896号(n) =s(n)-s(n-1)是s(n)=n^3+3*n^2+2*n-8的第一个差值。s(n)可以解释为12个边长加上6个面面积加上n个X(n-1)X(n-2)矩形棱镜的体积之和-J.M.贝戈2013年8月13日
A_n型根系中的正根数(对于n>0)-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于k=1到n,k的第r次连续求和的公式是二项式(n+r,r+1)[H.W.Gould]-加里·德特利夫斯2014年1月2日
对于n>=3,a(n-2)是1,2,…,的置换数,。。。,n的上(1)-下(0)个元素的分布为0…011(n-3个零),或者相同,a(n-2)是上下系数{n,3}(参见A060351型). -弗拉基米尔·舍维列夫2014年2月14日
a(n)是对称n×n矩阵向量空间的维数-德里克·奥尔2014年3月29日
大小为2的{1,…,n+1}的Sidon子集的数目-卡尔·纳杰菲2014年4月27日
Vandermonde行列式V(x_1,x_2,…,x_n)定义中的因子数=Product_{1<=i<k<=n}x_i-x_k-汤姆·科普兰2014年4月27日
假设一个袋子包含一个(n)红色大理石和一个(n+1)蓝色大理石,其中a(n)、a(n+1)是连续的三角形数字。然后,对于n>0,随机选择两个弹珠并得到两个红色或两个蓝色的概率为1/2。一般来说,对于k>2,设b(0)=0,b(1)=1,对于n>1,b(n)=(k-1)*b(n-1)-b(n-2)+1。假设,对于n>0,一个袋子包含b(n)个红色大理石和b(n+1)个蓝色大理石。然后随机选择两个弹珠,得到两个红色或两个蓝色的概率为(k-1)/(k+1)。另请参见A027941号,A061278号,A089817号,A053142号,A092521号. -查理·马里恩2014年11月3日
设O(n)为长方形数n(n+1)=A002378美元和S(n)平方数n^2=A000290型(n) ●●●●。然后a(4n)=O(3n)-O(n),a(4n+1)=S(3n+1)-S(n),a(4n+2)=S(3n+2)-S(n+1),a(4n+3)=O(3n+2)-O(n)-查理·马里恩2015年2月21日
考虑将自然数从集合S=(1,2,3,…,n)分为若干部分。生成序列的签名的长度(顺序)由三角数给出。例如,对于n=10,签名长度为55-大卫·尼尔·麦格拉思2015年5月5日
a(n)将(n-1)个未标记对象的分区计算为三(3)个部分(标记为a、b、c),例如,a(5)=15表示(n-1”=4。这些是(aaaa)、(bbbb)、)、(英国广播公司)、(密件抄送)、(英国电视广播公司)-大卫·尼尔·麦格拉思2015年5月21日
推测:序列是指数n为代数曲线的正弦螺旋的亏格。值0对应于Bernoulli Lemniscate n=2的情况。所以推测的公式是(n-1)(n-2)/2-沃尔夫冈·廷特曼2015年8月2日
猜想:设m为任意正整数。然后,对于每个n=1,2,3,。。。集合{Sum{k=s..t}1/k^m:1<=s<=t<=n}具有基数a(n)=n*(n+1)/2;换句话说,所有1<=s<=t的和{k=s.t}1/k^m是两两不同的。(我通过计算机检查了这个猜想,没有发现反例。)-孙志伟2015年9月9日
对于n>=1,a(n)是n+4到n个部分的组成数,避免了第2部分-米兰Janjic2016年1月7日
假设您正在玩保加利亚纸牌(请参阅A242424型以及张伯伦和加德纳的书),如果n>0,则从一堆a(n)卡开始。那么,达到固定状态{n,n-1,…,1}所需的操作数是a(n-1)。例如,{6}->{5,1}->{4,2}->{3,2,1}. -查理·马里恩2016年1月14日
每个完美立方体都是两个连续三角形数的平方差。1^2-0^2 = 1^3, 3^2-1^2 = 2^3, 6^2-3^2 = 3^3. -米克尔·塞尔达2016年6月26日
对于n>1,a(n)=tau_n(k*),其中tau_n(k)是k的有序n分解数,k*是素数的平方。例如,tau_3(4)=tau_3(9)=tau_3(25)=tau _3(49)=6(参见A007425号)因为4、9、25和49的除数是6,a(3)=6-梅尔文·佩拉尔塔2016年8月29日
对常见的公式a(n)+a(n+1)=(n+1”)^2(2004年2月19日)和a(n”^2+a(n+1)^2=a((n+1+6a(k-1))-查理·马里恩2016年11月27日
a(n)也是具有n+4个顶点的多面体中可能的最大对角线数-弗拉基米尔·莱茨科2016年12月19日
对于n>0,2^5*(二项式(n+1,2))^2表示2*(2*n+1)^2个连续整数之和中的第一个整数,等于(2*n+1)^6-帕特里克·麦克纳布2016年12月25日
不大于n的正整数的有序三元组(a,b,c)的数量,使得a+b+c=2n+1-阿维埃尔·利维2017年2月13日
最多使用n种颜色的不等四面体面着色数,因此没有颜色只出现一次-大卫·纳辛2017年2月22日
a(n)是顶点位于(1,1)、(n+1,n+2)和((n+1)^2,(n+2)^2)的三角形的面积-阿特·贝克,2018年12月6日
对于n>0,a(n)是最小的k>0,因此n除以(1/a(1)+1/a(2)+…+的分子1/a(n-1)+1/k)。应该注意的是,1/1+1/3+1/6+…+2/(n(n+1))=2n/(n+1-托马斯·奥多夫斯基2019年8月4日
n-齐次超可解线排列中线数的上界(参见Dimca中的定理1.1)-斯特凡诺·斯佩齐亚2019年10月4日
对于n>0,a(n+1)是边长为n的三角形网格上的格点数量-韦斯利·伊万·赫特2020年8月12日
长度为n的字符串的非空子串的最大数目。
求和集A+A的最大基数,其中A是n个数字的集合。(结束)
a(n)是避免模式123、132和312的大小为n的停车功能的数量-劳拉·普德威尔2023年4月10日
假设平行画出两行,每行由n个均匀间隔的点组成。假设我们在两行的点之间画出直线。对于n>=1,a(n-1)是直线之间的最大可能相交数。等价地,[n]置换中的最大反转数-塞拉·弗里德2023年4月18日
以下等式补充了Bala评论(2015年1月5日)中的概括。(2k+1)^2*a(n)+a(k)=a((2k+1)*n+k)-查理·马里恩2023年8月28日
a(n)+a(n+k)+a。对于k=1,我们有a(n)+a(n+1)=(n+1”)^2-查理·马里恩2023年11月17日
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参考文献
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小埃德·佩格。,序列图片《数学游戏》专栏,2003年12月8日。
小埃德·佩格。,序列图片,数学游戏专栏,2003年12月8日[缓存副本,经许可(仅pdf)]
西蒙·普劳夫,盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》,1992年;arXiv:0911.4975【math.NT】,2009年。
大卫·G·拉德克利夫,三角数的乘积规则,arXiv:1606.05398[math.NT],2016年。
路易斯·曼努埃尔·里维拉,整数序列与k-交换置换,arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO],2014-2015。
肯尼思·罗斯,正方形和立方的第一个数字,数学。Mag.85(2012)36-42。doi:10.4169/math.mag.85.136。
Frank Ruskey和Jennifer Woodcock,集分区对的随机距离和块距离,《组合算法》,287-299,《计算讲义》。科学。,7056,斯普林格,海德堡,2011年。
克劳德·亚历山大·西蒙内蒂,一种新的数学符号:术语,arXiv:2005.00348[math.GM],2020年。
H.Stamm-Wilbrandt,帕斯卡三角形倒数之和[来自Wayback Machine的缓存副本]
T.Trotter,三角数的几个恒等式,J.Rec.数学。第6卷,第2期,1973年春季。[来自Wayback Machine的缓存副本]
米歇尔·沃尔德施米特,连续分数埃科尔·德雷切·CIMPA-Oujda,《名义应用研究》,2015年5月18日至29日:乌伊达(马洛克)。
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配方奶粉
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通用:x/(1-x)^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
例如:exp(x)*(x+x^2/2)。
a(n)=a(-1-n)。
a(n)=(-1)^n*Sum_{k=1..n}(-1)*k*k^2-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月29日
a(n+1)=(n+2)/n)*a(n),和{n>=1}1/a(n=2)-乔恩·佩里2003年7月13日
对于插值零,这是n*(n+2)*(1+(-1)^n)/16-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月19日
a(n+1)是n X n对称帕斯卡矩阵M_(i,j)=二项式(i+j+1,i)的行列式-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月19日
a(n)=((n+1)^3-n^3-1)/6.-Xavier Acloque,2003年10月24日
a(n)=a(n-1)+(1+sqrt(1+8*a(n-1)))/2。当取平方根的负分支时,此递归关系被反转,即a(n)被转换为a(n-1)而不是a(n+1)-卡尔·R·怀特2003年11月4日
a(n)=a(n-2)+2*n-1-保罗·巴里2004年7月17日
a(n)=平方(sqrt(和{i=1..n}和{j=1.n}(i*j)^3))=(和{i=1..n{和{j=1..n}和_{k=1..n}(i*j))^(1/6)-亚历山大·阿达姆丘克2004年10月26日
如果n是奇数,a(n)==1(mod n+2);如果n是偶数,a-乔恩·佩里2004年12月16日
a(0)=0,a(1)=1,a(n)=2*a(n-1)-a(n-2)+1-米克洛斯·克里斯托夫2005年3月9日
a(n)=地板((2*n+1)^2/8)-保罗·巴里2006年5月29日
a(n)^2+a(n+1)^2=a((n+1)^2)[R B Nelsen,Math Mag 70(2)(1997),第130页]-R.J.马塔尔2006年11月22日
a(n)*a(n+k)+a(n+1)*a。概括了2006年11月22日之前的公式[以及J.M.贝戈日期:2012年5月22日]-查理·马里恩2011年2月4日
(sqrt(8*a(n)+1)-1)/2=n.大卫·W·坎特雷尔(DWCantrell(AT)sigmaxi.net),2007年2月26日
多边形数的一般公式是P(k,n)=(k-2)*(n-1)n/2+n=n+(k-2*A000217号(n-1),对于n>=1,k>=3-奥马尔·波尔2008年4月28日和2013年3月31日
如果我们定义f(n,i,a)=Sum_{j=0..k-1}(二项式(n,k)*Stirling1(n-k,i)*Product_{j=0.0..k-1}(-a-j)),那么当n>=1时,a(n)=-f(n,n-1,1)-米兰Janjic2008年12月20日
4*a(x)+4*a(y)+1=(x+y+1)^2+(x-y)^2-弗拉基米尔·舍维列夫2009年1月21日
该序列逆的指数生成函数由和{m>=0}((Pochhammer(1,m)*Pochhamder(1,m))*x^m/(Pochharmer(3,m)*阶乘(m))=((2-2*x)*log(1-x)+2*x)/x^2给出,其n阶导数具有闭合形式,必须通过将极限取为x->0来计算。A000217号(n+1)=(lim_{x->0}d^n/dx^n((2-2*x)*log(1-x)+2*x)/x^2)+n*(对数(1-x)+对数(-1/(-1+x)))*(-x+1+n))/x^2))^-1-斯蒂芬·克劳利2009年6月28日
偏移量为1时,a(n)=楼层(n^3/(n+1))/2-加里·德特利夫斯2010年2月14日
a(n)=4*a(楼层(n/2))+(-1)^(n+1)*楼层(n+1,/2)-布鲁诺·贝塞利2010年5月23日
a(n)=3*a(n-1)-3*a(n-2)+a(n-3);a(0)=0,a(1)=1-马克·多尔斯2010年8月20日
a(n)+2*a(n-1)+a(n-2)=n^2+(n-1;和
a(n)+3*a(n-1)+3*a(n-2)+a(n-3)=n^2+2*(n-1。
一般来说,对于n>=m>2,求和{k=0..m}二项式(m,m-k)*a(n-k)=求和{k=0..m-1}二项式(m-1,m-1-k)*(n-k)^2。
a(n)-2*a(n-1)+a(n-2)=1,a。
通常,对于n>=m>2,Sum_{k=0..m}(-1)^k*二项式(m,m-k)*a(n-k)=0。
(结束)
对于n>0,a(n)=1/(积分_{x=0..Pi/2}4*(sin(x))^(2*n-1)*(cos(x),^3)-弗朗西斯科·达迪2011年8月2日
a(n)+a(a(n))+1=a(a(n)+1)-J.M.贝戈2012年4月27日
a(n)*a(n+1)=a(和{m=1..n}A005408号(m) )/2,对于n>=1。例如,如果n=8,则a(8)*a(9)=a(80)/2=1620-伊万·伊纳基耶夫2012年5月27日
通用公式:x*(1+3x+6x^2+…)=x*产品{j>=0}(1+x^(2^j))^3=x*A(x)*A(x^2)*A。。。,其中A(x)=(1+3x+3x^2+x^3)-加里·亚当森2012年6月26日
G.f.:G(0),其中G(k)=1+(2*k+3)*x/(2*k+1-x*(k+2)*(2*k+1)/(x*(k+2)+(k+1)/G(k+1)));(连分数,第3类,3步)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年11月23日
通用公式:x+3*x^2/(Q(0)-3*x)其中Q(k)=1+k*(x+1)+3*x-x*(k+1)*(k+4)/Q(k+1;(续分数)-谢尔盖·N·格拉德科夫斯基2013年3月14日
a(n)+a(n+1)+…+a(n+8)+6*n=a(3*n+15)-查理·马里恩2013年3月18日
a(n)+a(n+1)+…+a(n+20)+2*n^2+57*n=a(5*n+55)-查理·马里恩,2013年3月18日
当n>0时,3*a(n)+a(n-1)=a(2*n)-伊万·伊纳基耶夫2013年4月5日
一般来说,a(k*n)=(2*k-1)*a(n)+a((k-1)*n-1)-查理·马里恩2015年4月20日
此外,a(k*n)=a(k)*a(n)+a(k-1)*a-罗伯特·伊斯雷尔2015年4月20日
a(n+1)=det(二项式(i+2,j+1),1<=i,j<=n)-米尔恰·梅卡2013年4月6日
a(n)=地板(n/2)+天花板(n^2/2)=n-地板(n/2+)+地板(n^1/2)-韦斯利·伊万·赫特2013年6月15日
a(n)=楼面((n+1)/(exp(2/(n+1))-1))-理查德·福伯格2013年6月22日
和{n>=1}a(n)/n!=3*exp(1)/2 by the e.g.f.另请参见A067764号关于用这种方法计算的二项式系数的比率-理查德·福伯格2013年7月15日
和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=4*log(2)-2=0.7725887-理查德·福伯格2014年8月11日
2/(和{n>=m}1/a(n))=m,对于m>0-理查德·福伯格2014年8月12日
设O(n)为长方形数n(n+1)=A002378美元(n) 和S(n)平方数n^2=A000290型(n) ●●●●。然后a(n)+a(n+2k)=O(n+k)+S(k),a(n)+a(n+2k+1)=S(n+k+1)+O(k)-查理·马里恩2015年7月16日
下面是2006年11月22日公式A(n)^2+A(n+1)^2=A(n+1^2)的推广。设T(k,n)=a(n)+k。然后对于所有k,T(k、n)^2+T(k和n+1)^2=T(k(n+1))^2+2*k)-2*k-查理·马里昂2015年12月10日
Dirichlet g.f.:(zeta(s-2)+zeta(s-1))/2-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月26日
a(n)^2-a(n-1)^2=n^3-米克尔·塞尔达2016年6月29日
a(n)^2+a(n+3)^2+19=a(n^2+4*n+10)-查理·马里恩2016年11月23日
2*a(n)^2+a(n”)=a(n^2+n)-查理·马里恩2016年11月29日
通用公式:x/(1-x)^3=(x*r(x)*r(x^3)*r,其中r(x)=(1+x+x^2)^3=(1+3*x+6*x^2+7*x^3+6*x^4+3*x^5+x^6)-加里·亚当森2016年12月3日
a(n)=矩阵Q(n)的逆的元素之和,其中Q(n)有元素Q_i,j=1/(1-4*(i-j)^2)。因此,如果e=由1组成的适当大小的向量,那么a(n)=e’。Q(n)^-1.e-迈克尔·尤基什2017年3月20日
a(n)=和{k=1..n}(2*k-1)*(2*n-2*k-1)!!)/(2*k-2)*(2*n-2*k)!!)-迈克尔·尤基什2017年3月20日
求和{i=0..k-1}a(n+i)=(3*k*n^2+3*n*k^2+k^3-k)/6-克里斯托弗·霍尔,2019年2月23日
当n为奇数时,a(n)==0(mod n)(参见De Koninck参考)-伯纳德·肖特2020年1月10日
8*a(k)*a(n)+((a(k。当k=1时,这个公式简化为众所周知的公式8*a(n)+1=(2*n+1)^2-查理·马里恩2020年7月23日
a(k)*a(n)=Sum_{i=0..k-1}(-1)^i*a((k-i)*(n-i))-查理·马里恩2020年12月4日
产品{n>=1}(1+1/a(n))=cosh(sqrt(7)*Pi/2)/(2*Pi)。
产品{n>=2}(1-1/a(n))=1/3。(结束)
a(n)=和{k=1..2*n-1}(-1)^(k+1)*a(k)*a。例如,对于n=4,1*28-3*21+6*15-10*10+15*6-21*3+28*1=10-查理·马里恩2022年3月23日
2*a(n)=A000384号(n) 通常,如果P(k,n)=第n个k次方数,则(j+1)*a(n)=P(5+j,n)-n^2+(j+1-查理·马里恩2023年3月14日
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例子
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总尺寸:x+3*x^2+6*x^3+10*x^4+15*x^5+21*x^6+28*x^7+36*x^8+45*x*9+。。。
当n=3时,a(3)=4*3/2=6。
示例(a(4)=10):ABCD,其中a、B、C和D是链中的不同链接,或是肽中的不同氨基酸可能片段:a、B,C、D、AB、ABC、ABCD、BC、BCD、CD=10。
a(2):冬青树叶落在德川幕府,a(4):毕达哥拉斯四联中的分数,a(5):八球台球中的物体球-Bradley Klee公司,2015年8月24日
a(1)=1到a(5)=15个正整数的有序三元组加起来等于n+2(Beeler,McGrath,上文)如下。这些成分按A014311号.
(111) (112) (113) (114) (115)
(121) (122) (123) (124)
(211) (131) (132) (133)
(212) (141) (142)
(221) (213) (151)
(311) (222) (214)
(231) (223)
(312) (232)
(321) (241)
(411) (313)
(322)
(331)
(412)
(421)
(511)
(结束)
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MAPLE公司
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istriangular:=proc(n)局部t1;t1:=楼层(平方米(2*n));如果n=t1*(t1+1)/2,则返回true,否则返回false;结束条件:;终末程序#N.J.A.斯隆2008年5月25日
ZL:=[S,{S=Prod(B,B,B),B=Set(Z,1<=卡)},未标记]:
seq(combstruct[计数](ZL,大小=n),n=2..55)#零入侵拉霍斯2007年3月24日
isA000217:=进程(n)
issqr(1+8*n);
结束进程:#R.J.马塔尔2015年11月29日[这是Leonhard Euler在1765年《Vollständige Anleitung zur代数》第七章中提出的食谱。彼得·卢什尼2022年9月2日]
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数学
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数组[#*(#-1)/2&,54](*零入侵拉霍斯,2009年7月10日*)
折叠列表[#1+#2&,0,范围@50](*罗伯特·威尔逊v2011年2月2日*)
系数列表[级数[x/(1-x)^3,{x,0,50}],x](*文森佐·利班迪2014年7月30日*)
(*对于Mathematica 10.4+*)表[多边形编号[n],{n,0,53}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2016年8月27日*)
线性递归[{3,-3,1},{0,1,3},54](*罗伯特·威尔逊v,2016年12月4日*)
(*以下Mathematica程序由Steven J.Miller提供,用于测试序列是否为Benford。要测试不同的序列,只需更改一行即可。这强烈表明三角形数字不是Benford,因为输出的第二列和第三列不一致-N.J.A.斯隆2017年2月12日*)
fd[x_]:=楼层[10^Mod[Log[10,x],1]]
benfordtest[num_]:=模块[{},
对于[d=1,d<=9,d++,数字[d]=0];
对于[n=1,n<=num,n++,
{
d=fd[n(n+1)/2];
如果[d!=0,数字[d]=数字[d]+1];
}];
对于[d=1,d<=9,d++,数字[d]=1.0位[d]/num];
对于[d=1,d<=9,d++,
打印[d,“”,100.0位[d],“”、100.0日志[10,(d+1)/d]]];
];
本福德试验[20000]
表[Length[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n,{3}]],{n,0,15}](*古斯·怀斯曼2020年10月28日*)
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程序
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(PARI)列表(lim)=我的(v=列表(),n,t);而(t=n*n++/2)<=lim,listput(v,t));车辆(v)\\查尔斯·格里特豪斯四世2021年6月18日
(哈斯克尔)
a000217 n=a000217_列表!!n个
a000217_list=扫描1(+)[0..]--莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月23日
(岩浆)[0..60]]中的[n*(n+1)/2:n//布鲁诺·贝塞利2014年7月11日
(SageMath)[n*(n+1)/2表示n in(0..60)]#布鲁诺·贝塞利2014年7月11日
(Scala)(1至53).左图(0)(_+_)//霍斯特曼(2012),第171页
(Python)对于范围(0,60)中的n:打印(n*(n+1)/2,end=',')#斯特凡诺·斯佩齐亚,2018年12月6日
(Python)#用于计算序列的初始段,而不是
#孤立术语。如果在迭代中,行“x,y=x+y+1,y+1”
#被替换为“x,y=x+y+k,y+k”,然后得到图形数,
#对于k=0(自然A001477号),k=1(三角形),k=2(正方形),k=3(五边形),k=4(六边形)。
定义aList():
x、 y=1,1
产量0
为True时:
产量x
x、 y=x+y+1,y+1
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交叉参考
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的,改变
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作者
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已批准
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A001082号
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| 广义八角数:k*(3*k-2),k=0,+-1,+-2,+-3。。。 |
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+10 125
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0, 1, 5, 8, 16, 21, 33, 40, 56, 65, 85, 96, 120, 133, 161, 176, 208, 225, 261, 280, 320, 341, 385, 408, 456, 481, 533, 560, 616, 645, 705, 736, 800, 833, 901, 936, 1008, 1045, 1121, 1160, 1240, 1281, 1365, 1408, 1496, 1541, 1633, 1680, 1776, 1825, 1925, 1976
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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形式为3*m^2+2*m的数字,m是一个整数。
3*a(n)+1是一个完美的正方形。
a(n)mod 10属于周期序列:0,1,5,8,6,1,3,0,6,5,5,6,0,3,1,6,8,5,1,0-穆罕默德·布哈米达2009年9月4日
q的幂指数是五倍乘积恒等式的一种形式。(-x^-2+1)*q^0+(x^-3-x求和{n>=0}q^(3*n^2+2*n)*(x^(3+n)-x^-迈克尔·索莫斯2011年12月21日
偏移量0在这里也有效,所有其他广义k角数条目的偏移量为0(参见交叉引用)-奥马尔·波尔2013年1月12日
此外,丢番图方程x(x+3)+(x+1)(x+2)=(x+y)^2+(x-y)^2的x值-布鲁诺·贝塞利,2013年3月29日
数n,使得Sum_{i=1..n}2*i*(n-i)/n是一个整数(加数是i和n-i的调和平均数)-韦斯利·伊万·赫特2014年9月14日
恒等式和{n>=0}(q^n*Product_{k=1..n}(1-q^(2*k-1))中q的指数=1+q-q^5-q^8+q^16+q^21-++-彼得·巴拉2020年12月3日
乘积展开式中q的指数{n>=1}(1-q^(6*n))*(1+q^-彼得·巴拉2020年12月9日
乘积展开式q的指数{n>=1}(1-q^n)^2*(1-qq^(4*n))^2/(1-q^(2%n))=1-2*q+4*q^5-5*q^8+7*q^16-+。。。(五倍产品身份的结果)。序列系数是A001651号. -彼得·巴拉2021年2月16日
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链接
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配方奶粉
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a(n)=n*(3*n-4)/4,如果n是偶数,则为(n-1)*(3xn+1)/4。
a(n)=n^2-n-楼层(n/2)^2。
通用公式:和{n>=0}(-1)^n*[x^(a(2n+1))+x^(x^k-x^(2k))/1-。。。(连分数,其中k=1..inf)-保罗·D·汉纳2002年8月16日
外径:-x^2*(x^2+4*x+1)/((x-1)^3*(1+x)^2)-R.J.马塔尔2008年4月15日
a(n)=n^2+n个天花板(n/2)^2,偏移量为0,a(0)=0-加里·德特利夫斯2010年2月23日
a(n)=(6*n^2-6*n-1-(2*n-1)*(-1)^n)/8-卢斯·埃蒂纳2014年12月11日
和{n>=2}1/a(n)=(9+2*sqrt(3)*Pi)/12-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年10月5日
和{n>=2}(-1)^n/a(n)=3*log(3)/2-3/4-阿米拉姆·埃尔达尔2022年2月28日
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例子
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对于第九条注释:65位于序列中,因为65=13*(13+2)/3或65=-15*(-15+2)/3-布鲁诺·贝塞利2016年7月18日
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MAPLE公司
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seq(n^2+n-ceil(n/2)^2,n=0..51)#加里·德特利夫斯2010年2月23日
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数学
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表[If[EvenQ[n],n*(3*n-4)/4,(n-1)(3*n+1)/4],{n,100}]
线性递归[{1,2,-2,-1,1},{0,1,5,8,16},60](*哈维·P·戴尔2024年2月3日*)
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程序
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(PARI){a(n)=如果(n%2,(n-1)*(3*n+1)/4,n*(3*n-4)/4)};
(哈斯克尔)
a001082 n=a001082_list!!n个
a001082_list=扫描(+)0$tail a022998_list
(岩浆)[1..50]]中的[n^2-n-楼层(n/2)^2:n//韦斯利·伊万·赫特2014年9月14日
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交叉参考
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作者
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A029549号
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| a(n+3)=35*a(n+2)-35*a(n+1)+a(n),其中a(0)=0,a(1)=6,a(2)=210。 |
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+10 37
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0, 6, 210, 7140, 242556, 8239770, 279909630, 9508687656, 323015470680, 10973017315470, 372759573255306, 12662852473364940, 430164224521152660, 14612920781245825506, 496409142337836914550, 16863297918705209269200
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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三角数也是正音数。在准备中的一篇论文中,这些将被证明具有毕达哥拉斯式的联系Stuart M.Ellerstein(Ellerstein(AT)aol.com),2002年3月9日
换句话说,三角数是两个连续数的乘积。例如,a(2)=210:210是一个三角形数,它是两个连续数的乘积:14*15-Shyam Sunder古普塔2002年10月26日
给出sqrt(8)最佳有理逼近的级数系数。级数3-1/a(1)-1/a(2)-1/a-(3)-…的部分和。。。给出sqrt(8)=2sqrt的最佳有理逼近,它构成连分式的每秒收敛。相应的连分式是[2;1,4,1],[2;1,4,1,4,1],[2];1,4,1,4,1,4,1,4],[2,1,4,1,4,1,1,1]等等-吉恩·沃德·史密斯2006年9月30日
这是x(0)=0,y(0)=1,z(0)=1,a(0)=0.和x(1)=3,y(1)=4,z(1)=5,a(1)=0.的有序毕达哥拉斯三元组(x(n)*y(n)/2的区域序列-乔治·约翰逊2012年8月20日
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链接
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罗杰·B·纳尔逊,多边形数《数学杂志》,第89卷,第3期(2016年6月),第159-164页。
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配方奶粉
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通用系数:6*x/(1-35*x+35*x^2-x^3)=6*x/(1-x)*(1-34*x+x^2))。
a(n)=-3/16+((3+2*sqrt(2))/32)*(17+12*squart(2-吉恩·沃德·史密斯2006年9月30日
a(n)=(cosh((4*n+2)*log(1+sqrt(2)))-3)/16。
a(n)=天花板((3+2*sqrt(2))^(2n+1)-6)/32=地板((1/32)(1+sqrt[2)]^(4n+2))-蚂蚁王2010年12月13日
Sum_{n>=1}1/a(n)=3-2*sqrt(2)=A157259号- 4. -蚂蚁王2010年12月13日
a(n+2)=34*a(n+1)-a(n)+6-查理·马里恩2011年2月11日
a(n)=((3+2*sqrt(2))^(2*n+1)+(3-2*sqert(2)。
8*a(n)+1=(A002315号(n) )^2,4*a(n)+1=(A000129号(2*n+1))^2,32*a(n)^2+12*a(n+1)是完美正方形。
a(n+1)=17*a(n)+3+3*sqrt((8*a(n)+1)*(4*a(m)+1))。
a(n-1)=17*a(n)+3-3*sqrt((8*a(n)+1)*(4*a(n+1)))。
极限{n->infinity}a(n)/a(n-1)=17+12*sqrt(2)。
极限{n->infinity}a(n)/a(n-2)=(17+12*sqrt(2))^2=577+408*sqert(2)。
极限{n->infinity}a(n)/a(n-r)=(17+12*sqrt(2))^r。
极限{n->infinity}a(n-r)/a(n)=(17+12*sqrt(2))
a(n)=(Pell(2*n+1)^2-1)/4=(Q(4*n+2)-6)/32,其中Q(n)是Pell-Lucas数(A002203号). -G.C.格鲁贝尔2020年1月13日
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MAPLE公司
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选项记忆;
如果n<=1,则
op(n+1,[0,6]);
其他的
34*进程名(n-1)-进程名(n-2)+6;
结束条件:;
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数学
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表[楼层[(Sqrt[2]+1)^(4n+2)/32],{n,0,20}](*作者的原始程序,更正人雷·钱德勒2015年7月9日*)
系数列表[系列[6/(1-35x+35x^2-x^3),{x,0,14}],x]
交集[#,2#]和@表[二项式[n,2],{n,999999}](*高斯珀2010年2月7日*)
线性递归[{35,-35,1},{0,6,210},20](*哈维·P·戴尔2011年6月6日*)
(卢卡斯L[4范围[20]-2,2]-6)/32(*G.C.格鲁贝尔,2020年1月13日*)
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程序
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(Macsyma)(makelist(binom(n,2),n,1,999999),十字路口(%%,2*%%))/*高斯珀2010年2月7日*/
(哈斯克尔)
a029549 n=a029549_列表!!n个
a029549_list=[0,6210]++
zipWith(+)a029549_列表
(地图(*35)$尾部增量)
其中delta=zipWith(-)(尾部a029549_list)a029549_list
(PARI)连接(0,Vec(6/(1-35*x+35*x^2-x^3)+O(x^25))\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年6月13日
(Magma)R<x>:=PowerSeriesRing(整数(),25);[0]cat系数(R!(6/(1-35*x+35*x^2-x^3))//G.C.格鲁贝尔2018年7月15日
(标量)val-triNums=(0到39999).map(n=>(n*n+n)/2)
triNums.filter(_%2==0).filter(n=>(triNums.contains(n/2))//阿尔特阿隆索2020年1月12日
(鼠尾草)[(lucas_number2(4*n+2,2,-1)-6)/32代表(0..20)中的n]#G.C.格鲁贝尔2020年1月13日
(GAP)列表([0..20],n->(Lucas(2,-1,4*n+2)[2]-6)/32)#G.C.格鲁贝尔,2020年1月13日
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关键词
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非n,容易的
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作者
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A006454号
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| 丢番图方程的解:每个项是一个三角形数,每个项+1是一个正方形。 (原名M3004)
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0, 3, 15, 120, 528, 4095, 17955, 139128, 609960, 4726275, 20720703, 160554240, 703893960, 5454117903, 23911673955, 185279454480, 812293020528, 6294047334435, 27594051024015, 213812329916328, 937385441796000, 7263325169820735, 31843510970040003, 246739243443988680
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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另一种定义是:a(n)是三角形,a(n)/2是连续三角形数的调和平均值。请参阅的注释和公式部分A005563号,该序列是其子序列-拉斐·弗兰克2012年9月28日
和Sophie Germain三角数一样(A124174号),35=(a(n)-a(n-6))/(a(n-2)-a(n-4))-拉斐·弗兰克2012年9月28日
三角形数m,使得m+1是一个正方形-布鲁诺·贝塞利2014年7月15日
数字a(n)是三角数T(b(n)),其中b(n是序列A006451号(n) 使T(n)+1是一个正方形。
a(n)还给出了三阶Diophantine-Bachet-Mordell方程y^2=x^3+K的x解,其中y=T(b(n))*sqrt(T(b=A285955型(n) 且K=T(b(n))^2=A285985型(n) ,b(n)的三角数的平方=A006451号(n) ●●●●。
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参考文献
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爱德华·巴博(Edward J.Barbeau),《佩尔方程》(Pell’s Equation),纽约:斯普林格·弗拉格出版社,2003年,第17页,练习1.2。
Allan J.Gottlieb,《四条狗如何在田地里相遇》,《技术评论》,1973年7月/8月,第73-74页。
Vladimir Pletser,《关于大参数值的Bachet-Mordell方程的一些解》,2017年4月提交。
杰弗里·沙利特,个人沟通。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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Michael A.Bennett和Amir Ghadermarzi,莫代尔方程:一种经典方法,arXiv:1311.7077[math.NT],2013年。
西蒙·普劳夫,盖恩斯-奎尔克猜想的逼近,《魁北克大学论文》,1992年,arXiv:0911.4975[math.NT],2009年。
K.B.Subramaniam,几乎方形三角形数《斐波纳契季刊》,第37卷,第3期(1999年),第194-197页。
Eric Weistein的《数学世界》,莫代尔曲线.
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配方奶粉
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a(n)=35*(a(n-2)-a(n-4))+a(n-6)-拉斐·弗兰克,2012年9月28日
a(n)=(1/64)*((4+sqrt(2))*(1-(-1)^(n+1)*sqrt-拉斐·弗兰克2015年12月20日
由于b(n)=8*sqrt(T(b(n-2))+1)+b(n-4)=8*sqrtA006451号)并且a(n)=T(b(n))(这个序列),我们有:
a(n)=(8*sqrt((b(n-2)*(b(n-2)+1)/2)+1)+b(n-4))*。(结束)
G.f.:3*x*(1+4*x+x^2)/((1-x)*(1-6*x+x^2)*(1+6*x+x^2))。
当n>4时,a(n)=a(n-1)+34*a(n-2)-34*a(n-3)-a(n-4)+a(n-5)。
(结束)
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例子
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35*(528-15)+0=17955=a(6),
35*(4095-120)+3=139128=a(7),
35*(17955-528)+15=609960=a(8),
35*(139128-4095)+120=4726275=a(9)。(结束)
a(7)=139128和a(9)=4726275。
a(9)=(2*(sqrt(8*a(7)+1)-1)/2+3*sqrt。
a(9)=1/2*((3*(sqrt(8*a(7)+1)-1)/2+4*sqrt+4*sqrt(139128+1)+1)=4726275。(结束)
对于n=2,b(n)=5,a(n)=15
对于n=5,b(n)=90,a(n)=4095
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MAPLE公司
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重新启动:bm2:=-1:bm1:=0:bp1:=2:bp2:=5:print('0,0','1,3','2,15');对于从3到1000的n,做b:=8*sqrt((bp1^2+bp1)/2+1)+bm2;a: =b*(b+1)/2;打印(n,a);bm2:=bm1;bm1:=bp1;bp1:=bp2;bp2:=b;结束do:#弗拉基米尔·普列泽2017年4月30日
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数学
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线性递归[{1,34,-34,-1,1},{0,3,15,120,528},30](*哈维·P·戴尔2023年2月18日*)
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程序
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(岩浆)I:=[0,3,1512205284095];[n le 6选择I[n]其他35*(自我(n-2)-自我(n-4))+自我(n-6):[1..30]]中的n//文森佐·利班迪2015年12月21日
(PARI)连接(0,Vec(3*x*(1+4*x+x^2)/(1-x)*(1-6*x+x2)*(1+6*x+x^2))+O(x^30))\\科林·巴克2017年4月30日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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Larry Reeves(larryr(AT)acm.org)提供的更多术语,2001年2月7日
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状态
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已批准
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0, 8, 120, 1680, 23408, 326040, 4541160, 63250208, 880961760, 12270214440, 170902040408, 2380358351280, 33154114877520, 461777249934008, 6431727384198600, 89582406128846400, 1247721958419651008, 17378525011746267720, 242051628206028097080
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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序列列出了当(x+1)*(3*x+1)是正方形时的非负x解。当(x-1)*(3*x-1)为正方形时,正x解为A011922号. -布鲁诺·贝塞利2018年2月20日
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链接
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配方奶粉
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a(n)=14*a(n-1)-a(n-2)+8。
a(n)=((2+sqrt(3))*(7+4*sqrtJoseph Biberstine(jrbibers(AT)indiana.edu),2006年4月23日
总尺寸:-8*x^2/((x-1)*(x^2-14*x+1))。
a(n)=15*a(n-1)-15*a(n-2)+a(n-3)。(结束)
例如:(-4*exp(x)+(2+sqrt(3))*exp(7-4*sqrt(3))*x)+(2-sqrt(3))*exp((7+4*sqrt(3))*x))/6-伊利亚·古特科夫斯基2016年4月28日
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数学
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f[n_]:=完全简化[((Sqrt[3]+2)*(7+4*Sqrt[3])^n-(Sqrt[3]-2)(7-4Sqrt[2])^n-4)/6];数组[f,18,0](*Joseph Biberstine(jrbibers(AT)indiana.edu),2006年4月23日*)
静止[系数列表[级数[-8*x^2/((x-1)*(x^2-14*x+1)),{x,0,50}],x]](*G.C.格鲁贝尔2017年6月7日*)
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程序
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(PARI)x='x+O('x^50);concat([0],Vec(-8*x^2/((x-1)*(x^2-14*x+1)))\\G.C.格鲁贝尔2017年6月7日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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安德烈·杜杰拉(duje(AT)math.hr)
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状态
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已批准
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A029546号
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| 1/((1-x)*(1-34*x+x^2))的展开。 |
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+10 11
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1、35、1190、40426、1373295、46651605、1584781276、53835911780、1828836219245、62126595542551、2110475412227490、71694037420192110、2435486796874304251、82734857056306152425、2810549653117534878200、954759533489398797706376、324337186421088375138585
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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数字m使得r=24*m+1和2*r-1都是正方形-布鲁诺·贝塞利2014年7月17日
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链接
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配方奶粉
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当n>2时,a(n)=35*a(n-1)-35*a(n-2)+a(n-3)。
a(n)=((99-70*m2))*(17-12*m2)^n-6+(99+70*m2)*(17+12*sqrt(2))^n)/192。(结束)
a(n)=(Pell(2*n+3)^2-1)/24=(Q(4*n+6)-6)/192,其中Q(n)=Pell-Lucas数-G.C.格鲁贝尔2020年1月13日
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MAPLE公司
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seq(系数(级数(1/((1-x)*(1-34*x+x^2)),x,n+1),x、n),n=0..20)#G.C.格鲁贝尔2020年1月13日
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数学
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线性递归[{35,-35,1},{1,35,1190},20](*文森佐·利班迪2011年11月22日*)
表[(斐波那契[2*n+3,2]^2-1)/24,{n,0,20}](*G.C.格鲁贝尔,2020年1月13日*)
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程序
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(岩浆)I:=[1,35,1190];[n le 3选择I[n]else 35*自我(n-1)-35*自我(n-2)+自我(n-3):[1..20]]中的n//文森佐·利班迪2011年11月22日
(PARI)Vec(1/(1-35*x+35*x^2-x^3)+O(x^20))\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年9月23日
(鼠尾草)[(lucas_number2(4*n+6,2,-1)-6)/192表示n in(0..20)]#G.C.格鲁贝尔2020年1月13日
(GAP)列表([0..20],n->(Lucas(2,-1,4*n+6)[2]-6)/192)#G.C.格鲁贝尔2020年1月13日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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已批准
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0、40、3960、388080、38027920、3726348120、365144087880、35780394264160、3506113493799840、343563341998120200、33665701402321979800、3298895174085555900240、3232580613589821562433760、31675991118006165755988280、3103923871503245261930607720
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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斯洛文尼亚共和国第38届数学竞赛(1998年)三年级学生的问题1是证明,如果k是一个自然数,使得2*k+1和3*k+1是完美平方,那么k可以被40整除(见Crux Mathematicorum解的链接和2021年3月25日的公式)-伯纳德·肖特2021年3月25日
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链接
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约翰·艾伯特,佩尔方程《普特南实践》,2004年11月17日(1-2)。
R.S.Luthar,问题E2606阿默尔。数学。月刊,84(1977),823-824。
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配方奶粉
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外径:40*x/((1-x)*(1-98*x+x^2))。
当n>2时,a(n)=99*a(n-1)-99*a(n-2)+a(n-3)。
a(n)=(-10+(5-2*sqrt(6))*(49+20*sqert(6。(结束)
a(n)=5*(切比雪夫T(n,49)+48*ChebyshevU(n-1,48)-1)/12。
a(n)=4*切比雪夫U(n-1,5)*切比谢夫U(n,5)。(结束)
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MAPLE公司
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seq(系数(级数(40*x/(1-x)*(x^2-98*x+1)),x,n+1),x(n),n=0..15)#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年7月17日
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数学
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f[0]=0;f[1]=2;f[n]:=f[n]=10*f[n-1]-f[n-2];a[n]:=f[n]*f[n+1];
系数列表[级数[40x/((1-x)(1-98x+x^2)),{x,0,15}],x](*迈克尔·德弗利格2018年7月20日*)
表[5*(切比雪夫T[n,49]+48*ChebyshevU[n-1,49]-1)/12,{n,0,15}](*G.C.格鲁贝尔,2020年1月13日*)
线性递归[{99,-99,1},{0,40,3960},20](*哈维·P·戴尔2023年12月2日*)
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程序
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(PARI)concat(0,Vec(40*x/((1-x)*(1-98*x+x^2))+O(x^20))\\科林·巴克2017年3月23日
(GAP)a:=[0,403960];;对于[4..15]中的n,执行a[n]:=99*a[n-1]-99*a[n-2]+a[n-3];od;a#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年7月17日
(岩浆)I:=[0,403960];[n le 3选择I[n]else 99*Self(n-1)-99*Self-(n-2)+Self:n in[1..15]]//G.C.格鲁贝尔2020年1月13日
(Sage)[4*切比雪夫_U(n-1,5)*chebyshev_U(n,5)for n in(0..15)]#G.C.格鲁贝尔2020年1月13日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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弗雷德·施瓦布(fschwab(AT)nrao.edu)
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状态
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已批准
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A157879号
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| 扩展120*x^2/(-x^3+899*x^2-899*x+1)。 |
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+10 5
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0, 120, 107880, 96876240, 86994755760, 78121193796360, 70152745034375640, 62997086919675528480, 56571313901123590199520, 50800976886122064323640600, 45619220672423712639039059400, 40966009362859607827792751700720, 36787430788627255405645251988187280
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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该序列是涉及2个方程、3个序列a(n)、b(n)、c(n)和常数a的更一般问题的解的一部分:
A*c(n)+1=A(n)^2,
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链接
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配方奶粉
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G.f.:120*x^2/(-x^3+899*x^2-899*x+1)。
c(1)=0,c(2)=120,c(3)=899*c(2。
a(n)=-((449+120*sqrt(14))^-科林·巴克2016年7月25日
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数学
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系数列表[级数[120x^2/(-x^3+899x^2-899x+1),{x,0,30}],x](*或*)线性递归[{899,-899,1},{0,0,120},30](*哈维·P·戴尔2014年1月14日*)
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程序
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(PARI)连接(0,Vec(120*x^2/(-x^3+899*x^2-899*x+1)+O(x^20))\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年9月25日
(PARI)a(n)=圆形(-((449+120*sqrt(14))^(-n)*(-1+(449+220*squart(14\\科林·巴克2016年7月25日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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0, 56, 10920, 2118480, 410974256, 79726887240, 15466605150360, 3000441672282656, 582070217817684960, 112918621814958599640, 21905630561884150645256, 4249579410383710266580080, 824396499983877907565890320, 159928671417461930357516142056
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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链接
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配方奶粉
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总尺寸:56*x^2/(1-195*x+195*x^2-x^3)。
当n>3时,a(n)=195*a(n-1)-195*a(n-2)+a(n-3)。
a(n)=(-1)*((97+56*sqrt(3))^(-n)*。
(结束)
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例子
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3*56+1=13^2和4*56+1=15^2。
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MAPLE公司
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f: =proc(n)局部u;
u: =<<7,8>|<6,7>^n<1, -1>;
(u[1]^2-1)/3
结束过程:
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数学
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系数列表[系列[56 x/(1-195 x+195 x ^2-x ^3),{x,0,13}],x](*迈克尔·德弗利格2016年3月3日*)
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程序
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(PARI)isok(n)=发行方(3*n+1)&发行方(4*n+1\\米歇尔·马库斯2013年6月8日
(PARI)concat(0,Vec(56*x^2/((1-x)*(1-194*x+x^2))+O(x^20))\\科林·巴克2016年3月3日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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0, 5, 120, 2760, 63365, 1454640, 33393360, 766592645, 17598237480, 403992869400, 9274237758725, 212903475581280, 4887505700610720, 112199727638465285, 2575706229984090840, 59129043561995624040, 1357392295695915262085, 31160893757444055403920
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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安萨茨3*a(n)+1=a^2,7*a(n)+1=B^2等价于佩尔方程x^2-21*y^2=1(参见A077232号对于d=21),x=(21*a(n)+5)/2和y=a*B/2。
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链接
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配方奶粉
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a(n)=24*a(n-1)-24*a(n-2)+a(n-3)。
a(n)=((5+w)/2*((23+5*w)/2)^;其中w=sqrt(21)。[由更正凯文·莱德2020年9月11日]
总尺寸:5*x^2/((1-x)*(x^2-23*x+1))-R.J.马塔尔2009年7月10日
a(n)=23*a(n-1)-a(n-2)+5。
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MAPLE公司
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j: =0:对于从0到1000000的n,执行a:=sqrt(3*n+1):b:=sqrt(7*n+1):
如果(trunc(a)=a)和(trunc(b)=b),则j:=j+1:打印(j,n,a,b):结束,如果:
结束do:
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数学
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线性递归[{24,-24,1},{0,5,120},30](*哈维·P·戴尔2013年12月17日*)
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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