搜索： a030078-编号：a030078
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24, 40, 54, 56, 88, 104, 135, 136, 152, 184, 189, 232, 248, 250, 296, 297, 328, 344, 351, 375, 376, 424, 459, 472, 488, 513, 536, 568, 584, 621, 632, 664, 686, 712, 776, 783, 808, 824, 837, 856, 872, 875, 904, 999, 1016, 1029, 1048, 1096, 1107, 1112
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（4）=56，因为56=2*2*2*7。
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数学
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选择[Range[1500]，Sort[Transpose[FactorInteger[#]][[2]]]=={1，3}&]
模块[{upto=1200}，选择[（并集[Flatten[{#[1]]^3#[2]]，#[[1]]#[2]]^3}和/@子集[Prime[Range[upto/8]]，{2}]]），#<=upto&]](*哈维·P·戴尔2015年5月23日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（），t）；对于素数（p=2，（lim\2）^（1/3），t=p^3；对于素数（q=2，lim\t，如果（p==q，next）；列表（v，t*q））；向量排序（Vec（v））\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年7月20日
（PARI）是（n）=我的（f=系数（n）[，2]）；f==[3，1]~||f==[1，3]~\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年10月15日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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4, 5, 9, 14, 28, 36, 57, 67, 93, 139, 154, 210, 253, 272, 317, 396, 473, 504, 593, 658, 687, 792, 866, 979, 1141, 1229, 1270, 1356, 1397, 1496, 1849, 1947, 2111, 2159, 2457, 2514, 2695, 2880, 3007, 3204, 3398, 3473, 3828, 3904, 4047, 4121, 4583, 5061, 5228, 5309, 5474, 5743, 5832, 6269, 6543, 6816, 7107, 7197, 7488, 7686, 7784, 8295, 9029, 9248, 9354, 9568, 10351
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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根据定义，这是素数（n）^3以下的素数（n）的倍数（以及素数（n^2）以下的数字的倍数），这些数字的因子不小于素数（m）。也就是说，删除所有小于素数（n）的素数倍数后，余数仍在素数（n^2）^2之下，这是通过应用埃拉托斯特尼筛的前n-1步（当第一步是消除2的倍数时）完成的。这解释了第一个差异是a（n+1）-a（n）=A050216号（n） n>1时为-1，以及a（n）=A054272号（n） +2-M.F.哈斯勒2014年12月31日
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链接
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配方奶粉
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其他身份。对于所有n>=1：
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例子
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素数（1）=2是[1,8]范围内四次出现的最小素数因子（所有偶数<=8），因此a（1）=4。
素数（2）=3是[1,27]范围内五次（当n为：3,9,15,21,27时）的最小素数因子，因此a（2）=5。
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数学
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f[n_]：=计数[Range[Prime[n]^3]，x_/；最小[First/@FactorInteger[x]]==素数@n]；数组[f，16](*迈克尔·德弗利格2015年3月30日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）
对于（n=15001，写入（“b250474.txt”，n，“”，A250474型（n） ）；
\\以下程序反映了给定的求和公式，但远不是最优解：
分配（234567890）；
A020639号（n） =如果（1==n，n，vecmin（因子（n）[，1]）；
（方案）
（定义(A250474型n） （let loop（（k 2））（如果（not（prime？（A249821bi n k）））k（loop（+k 1）））；；这甚至更慢。A249821bi代码A249821号.
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000040型,A000879号,A001248号,A002110号,A005867号,A008683号,A008836号,A020639号,A030078型,A055396美元,A078898号,A249821号,A251721型,A251722型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A000578号
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| 立方体：a（n）=n^3。
（原名M4499 N1905）
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+10
1002
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0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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a（n）是接下来n个奇数的和；即，将奇数分组，使第n组包含如下n个元素：（1），（3，5），（7，9，11），（13，15，17，19），（21，23，25，27，29）。。。；然后每组总和=n^3=a（n）。每组的中位数=n^2=平均值。由于前n个奇数的和是n^2，这又证明了第n个部分和=（n（n+1）/2）^2-阿玛纳斯·穆尔西2002年9月14日
也构造了三基色四面体数（顶点结构7）（参见。A100175号=交替顶点）；结构正方形棱镜数（顶点结构7）（参见。A100177年=结构棱镜）；结构化六边形菱形数（顶点结构7）（参见。A100178号=交替顶点；A000447号=结构性钻石）；和结构化三角反菱形数（顶点结构7）（参见。A100188号=结构化防钻石）。囊性纤维变性。A100145号有关结构化多面体数的更多信息James A.Record（James.Record（AT）gmail.com），2004年11月7日
此多面体的Schlaefli符号：{4,3}。
画一个正六边形。在六边形的每一侧构造点，以便这些点将每一侧划分为大小相等的线段（即，每一侧上的中点或每一侧上放置的两个点将每侧划分为大小相同的三个线段，依此类推），对六边形的每一侧进行相同的构造，以便每一侧以相同的方式等分。用与多边形至少一侧平行的线将所有这些点相互连接。结果是六边形的三角形平铺，并创建了许多较小的规则六边形。该等式给出了找到的正六边形的总数，其中n=绘制的点数+1。例如，如果在每一侧绘制一个点，则n=1+1=2，a（n）=2^3=8，因此总共有8个正六边形。如果在每一侧画2个点，则n=2+1=3和a（n）=3^3=27，因此总共有27个正六边形Noah Priluck（npriluck（AT）gmail.com），2007年5月2日
丢番图方程的解：（X/Y）^2-X*Y=0的形式为：（n^3，n），其中n>=1。丢番图方程的解：（m^2）*（X/Y）^2k-XY=0的形式为：（m*n^（2k+1），m*n~（2k-1）），其中m>=1，k>=1和n>=1。丢番图方程的解：（m^2）*（X/Y）^（2k+1）-XY=0的形式为：（m*n^（k+1），m*n*k），其中m>=1，k>=1和n>=1-穆罕默德·布哈米达2007年10月4日
除了前两项外，该序列对应于C_{2n}的维纳指数，即2n个顶点上的循环（n>1）-K.V.Iyer公司2009年3月16日
椭圆曲线y^2=x^3-n的扭子群t的阶为t=2的数n-阿图尔·贾辛斯基，2010年6月30日
具有Pisano周期mod k长度的序列为1、2、3、4、5、6、7、8、3、10、11、12、13、14、15、16、17、6、19、20。。。对于k>=1，显然是乘法的，并且从A000027号每九个学期除以三。的立方变量A186646号. -R.J.马塔尔2011年3月10日
单边有n个原子的bcc（体心立方）菱形六面体中的原子数为n^3（T.P.Martin，原子壳层，等式（8））-布里吉特·斯特帕诺夫2011年7月2日
顶点位于（0，0），（t（n-1），t（n）），和（t（n，t（n-1））的三角形面积的两倍，其中t=A000217号是三角形数字-J.M.贝戈2013年6月25日
对于n>2，a（n）=顶点位于点（二项式（n，3）、二项式式（n+2,3））、二项式（n+1,3）、二项式（n+1,3-J.M.贝戈2014年6月14日
螺旋结S（4，k，（1,1，-1））的行列式。a（k）=det（S（4，k，（1,1，-1））-瑞安·斯蒂斯2014年12月14日
Senkereh平板电脑BM 92698显示了这个序列中最古老的一个例子，它以楔形文字显示了前32个术语-查尔斯·格里特豪斯四世2015年1月21日
我们从整数1、2、3…构造一个数字三角形。。。2*n-1如下。第一列包含所有整数1、2、3。。。2*n-1。接下来的每一列与前一列相同，但没有第一项和最后一项。最后一列只包含n。三角形中所有数字的和是n^3。
以下是n=4的示例，其中1+2*2+3*3+4*4+3*5+2*6+7=64=a（4）：
1
2 2
3 3 3
4 4 4 4
5 5 5
6 6
7
（完）
对于n>0，a（n）是n+11到n个部分（避开第2部分和第3部分）的组合数-米兰Janjic2016年1月7日
使用最多n种颜色的立方体的不等面着色数，每种颜色至少出现两次-大卫·纳钦2017年2月22日
考虑A={A，b，c}是一个有三个不同成员的集合。A的子集数是8，包括{A，b，c}和空集。这8个子集中的每个子集的数量为27。如果这样的迭代次数是n，那么子集的总数是a（n-1）-格雷戈里·西蒙2018年7月27日
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，雷丁，马萨诸塞州，1990年，第255页；第二。编辑，第269页。Worpitzky的身份（6.37）。
T.Aaron Gulliver，“整数立方体的序列”，《国际数学杂志》，4（2003），第5期，439-445。请参见http://www.m-hikari.com/z2003.html获取有关本期刊的信息。[我扩展了参考，使其更容易找到-N.J.A.斯隆2019年2月18日]
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
D.Wells，《你是数学家》，第238-241页，企鹅出版社1995年。
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链接
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N.Brothers、S.Evans、L.Taalman、L.Van Wyk、D.Witchzak和C.Yarnall，螺旋结密苏里州数学杂志。科学。，22 (2010).
R.K.盖伊，强大的小数定律阿默尔。数学。《95月刊》（1988），第8期，697-712。[带注释的扫描副本]
T.P.Martin，原子壳，物理。报告，273（1996），199-241，等式（8）。
小埃德·佩格。，序列图片《数学游戏》专栏，2003年12月8日。
小埃德·佩格。，序列图片，数学游戏专栏，2003年12月8日[缓存副本，经许可（仅pdf）]
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
肯尼思·罗斯，正方形和立方的第一个数字，数学。Mag.85（2012）36-42。doi:10.4169/math.mag.85.136。
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配方奶粉
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通用格式：x*（1+4*x+x^2）/（1-x）^4-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=lcm（n，（n-1）^2）-（n-1）^2。例如：lcm（1，（1-1）^2）-（1-1）^2=0，lcm（2，（2-1）^2-Mats Granvik公司2007年9月24日
开始（1，8，27，64，125，…），=[1，7，12，6，0，0，…]的二项式变换-加里·亚当森2007年11月21日
a（n）=二项式（n+2,3）+4*二项式。【立方体的Worpitzky恒等式。例如，见Graham等人，方程（6.37）-沃尔夫迪特·朗2019年7月17日]
a（n）=n+6*二项（n+1,3）=二项（n，1）+6*二项式（n+1，3）-罗恩·诺特2019年6月10日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）+6-蚂蚁王2013年4月29日
a（k）=det（S（4，k，（1,1，-1）））=k*b（k）^2，其中b（1）=1，b（2）=2，b（k-瑞安·斯蒂斯2014年12月14日
a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n3）-a（n-4）-乔恩·塔瓦萨尼，2016年2月21日
a（n）=n+和{j=0..n-1}和{k=1..2}二项式（3，k）*j^（3-k）-帕特里克·麦克纳布2016年3月28日
a（n）=n*二项式（n+1，2）+2*二项法（n+1、3）+二项式-托尼·福斯特三世2017年11月14日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=3*zeta（3）/4(A197070型). （完）
产品{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（3）*Pi/2）/Pi。
产品{n>=2}（1-1/a（n））=cosh（sqrt（3）*Pi/2）/（3*Pi）。（完）
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例子
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对于k=3，b（3）=2b（2）-b（1）=4-1=3，因此det（S（4,3，（1,1，-1））=3*3^2=27。
对于n=3，a（3）=3+（3*0^2+3*0+3*1^2+3*1*1+3*2^2+3*2）=27-帕特里克·麦克纳布2016年3月28日
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MAPLE公司
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isA000578:=进程（r）
局部p；
如果r=0或r=1，则
真；
其他的
ifactors（r）[2]中的p do
如果op（2，p）mod 3<>0，则
返回false；
结束条件：；
结束do：
真；
结束条件：；
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数学
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系数列表[级数[x（1+4x+x^2）/（1-x）^4，{x，0，45}]，x](*文森佐·利班迪2014年7月5日*）
累加[表[3n^2+3n+1，{n，0，20}]]（*或*）线性递归[{4，-6，4，-1}，{1，8，27，64}，20](*哈维·P·戴尔2018年8月18日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a000578=（^3）
a000578_list=0:1:8:zipWith（+）
（映射（+6）a000578_list）
（map（*3）$tail$zipWith（-）（tail a000578_list）a000578-list）
（岩浆）I:=[0,1,8,27]；[n le 4选择I[n]else 4*自我（n-1）-6*自我（n-2）+4*自我（n-3）-自我（n-4）：[1..45]]中的n//文森佐·利班迪2014年7月5日
（Python）
对于范围内的_（10**2）：
对于范围（3）中的i：
m[i+1]+=m[i]#柴华武2015年12月15日
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交叉参考
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（1/12）*t*（n^3-n）+n，对于t=2,4,6。。。给予A004006号,A006527号,A006003号,A005900型,A004068号,A000578号,A004126号,A000447号,A004188号,A004466号,A004467号,A007588号,A062025型,A063521号,A063522号,A063523号.
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的,复数
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 82, 83, 84, 85
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1, 2
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评论
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不满足较小数m的数n：对于所有k，kronecker（n，k）=kronecler（m，k）-迈克尔·索莫斯，2005年9月22日
立方体数的Schnirelmann密度为157/189（Orr，1969）-阿米拉姆·埃尔达尔2021年3月12日
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链接
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弗拉基米尔·舍维列夫，指数S-数的所有密度集，arXiv预印本，arXiv:1511.03860[math.NT]，2015。
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配方奶粉
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求和{n>=1}1/a（n）^s=zeta（s）/zeta（3*s），对于s>1-阿米拉姆·埃尔达尔2022年12月27日
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MAPLE公司
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isA004709:=进程（n）
局部p；
ifactors（n）[2]中的p do
如果op（2，p）>2，则
返回false；
结束条件：；
结束do：
真；
结束进程：
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数学
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选择[Range[6！]，FreeQ[FactorInteger[#]，{_，k_/；k>2}]&](*简·曼加尔丹，2014年5月7日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=局部（m，c）；如果（n<2，n==1，c=1；m=1；而（c<n，m++；如果（3>vecmax（因子（m）[，2]），c++））；m）}/*迈克尔·索莫斯2005年9月22日*/
（哈斯克尔）
a004709 n=a004709_列表！！（n-1）
a004709_list=过滤器（（==1）。a212793）[1..]
（Python）
从sympy.theory.factor导入核心
def ok（n）：返回核心（n，3）==n
打印（列表（过滤器（正常，范围（1，86）））#迈克尔·布拉尼基2021年8月16日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A000688号
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| n阶阿贝尔群的个数；n分解成素数幂的次数。
（原名M0064 N0020）
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+10
129
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1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 5, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 5, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 11, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 5, 5, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 7, 1, 2, 2, 4, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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等价地，具有n个共轭类的Abelian群的个数-迈克尔·索莫斯，2010年8月10日
a（n）仅取决于n的素数签名（参见。A025487号). 所以a（24）=a（375）因为24=2^3*3和375=3*5^3都有质数签名（3，1）。
还有n个元素是域的直积的环的数目；这些是n个元素没有幂零的交换环；同样地，交换环中每个元素x都有一个k>0，使得x^（k+1）=x-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年10月20日
此外，根据Molnár的一个定理（参见[Molnаr]），2*n+1阶（非同构）阿贝尔群的数量等于r^n通过交叉的非同构格Z分片的数量，其中“交叉”是r^n中的一个单位立方体，其在每个面上都附加了另一个单位立方（Z，r分别是整数和实数）。（参见[Horak]。）-L.埃德森·杰弗里2012年11月29日
Zeta（k*s）是数字的特征函数的Dirichlet生成函数，其为k次幂（k=1 inA000012号，k=2英寸A010052号，k=3英寸A010057号，参见arXiv:1106.4038第3.1节）。k上的无穷乘积（此处）是表示数n=product_i（b_i）^（e_i），其中所有指数e_i是不同的，且>=1。示例：a（n=4）=2:4^1=2^2。a（n=8）=3:8^1=2^1*2^2=2^3。a（n=9）=2:9^1=3^2。a（n=12）=2:12^1=3*2^2。a（n=16）=5:16^1=2*2^3=4^2=2^2*4^1=2^4。如果e_i是集合{1,2}，我们得到A046951号表示为数字和正方形乘积的表示数-R.J.马塔尔2016年11月5日
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参考文献
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史蒂文·芬奇，《数学常数》，剑桥，2003年，第274-278页。
D.S.Mitrinovic等人，《数论手册》，Kluwer，第XIII.12节，第468页。
J.S.Rose，群论课程，坎布。大学出版社，1978年，见第7页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
A.Speiser，《奥登农之神》，4。Auflage，Birkhäuser，1956年。
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链接
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Tak-Shing T.Chan和Y.-H.Yang，极n复和n双复奇异值分解与主成分追踪《IEEE信号处理汇刊》（2016年12月15日第24期第64卷）；DOI:10.1109/TSP.2016.261217。
B.Horvat、G.Jaklic和T.Pisanski，关于哈密顿群的个数，arXiv:math/0503183[math.CO]，2005年。
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配方奶粉
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与a（p^k）相乘=k的分区数=A000041号（k） ；如果（m，n）=1，则a（mn）=a（m）a（n）。
a（n）=产品{j=1..n（n）}A000041号（e（j）），n>=2，如果
n=乘积{j=1..n（n）}素数（j）^e（j），n（n=A001221号（n） ●●●●。参见Richert参考，引用A.Speiser关于有限群的书（德语，第51页，大写）-沃尔夫迪特·朗2011年7月23日
根据对称群的循环指数：Product_{q=1..m}[z^{v_q}]z（S_v）1/（1-z），其中v是n的素因式分解中任何素数的最大指数，v_q是素因子的指数，z（S_v）是v元素上对称群的周期指数-马尔科·里德尔2014年10月3日
Dirichlet g.f.：求和{n>=1}a（n）/n^s=Product_{k>=1}zeta（ks）[Kendall]-阿尔瓦尔·伊比亚斯2014年11月5日
渐近平均值：lim_{n->oo}（1/n）*Sum_{k=1..n}a（k）=A021002型.（结束）
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例子
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a（1）=1，因为平凡群{e}是唯一的1阶群，它是阿贝尔群；或者，因为将1分解为素数幂的唯一因子是空积。
对于任何素数p，a（p）=1，因为素数幂的唯一因式分解是p=p^1，并且（根据拉格朗日定理）只有一组素数阶p；它与（Z/pZ，+）同构，因此是阿贝尔的。
a（8）=3，因为8=2^3，因此a（8”=pa（3）=A000041号（3） 从分区（3）、（2，1）和（1，1，1）中取=3，得到8:8、4*2和2*2*2的3个因式分解。
a（36）=4，因为36=2^2*3^2，因此a（36）=pa（2）*pa（2）=4来自分区（2）和（1，1），导致36的4个因子分解：2^2*3^2，2^2*3^1*3^1，2^1*2^1*3^2和2^1*2^1*3^1*3^1。
（完）
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MAPLE公司
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with（combint）：readlib（ifactors）：对于n从1到120，do ans：=1：对于i从1到nops（ifactor（n）[2]），do ans：=ans*numbpart（ifacters（n）[2][i][2]）od:printf（`%d，`，ans）：od：#詹姆斯·塞勒斯2000年12月7日
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数学
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f[n_]：=次数@@分区P/@上次/@因子整数@n; 数组[f，107](*罗伯特·威尔逊v2006年9月22日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）A000688号（n） ={局部（f）；f=因子（n）；prod（i=1，矩阵大小（f）[1]，数字部分（f[i，2]））}\\迈克尔·B·波特2010年2月8日
（PARI）a（n）=my（f=因子（n）[，2]）；触头（i=1，#f，数字部分（f[i]））\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年4月16日
（鼠尾草）
定义a（n）：
F=系数（n）
返回prod（[number_of_partitions（F[i][1]）for i in range（len（F））]）
（哈斯克尔）
a000688=产品。地图a000041。a124010_低
（Python）
来自sympy import factorint，npartitions
从数学导入prod
定义A000688号（n） ：return prod（映射（npartitions，factorint（n）.values（）））#柴华武2022年1月14日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000001号,A021002型,A060689级,A000041号,A000961号,A001055号,A005361号,A034382号,A046054号,A046055型,A046056号,A046101号,A050360型,A055653号,A057521美元,A101872号（平分），A101876号（四边形），A124010型,A050361号,A051532号,A129667号（狄利克雷逆）。
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的,复数
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作者
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状态
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经核准的
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16, 81, 625, 2401, 14641, 28561, 83521, 130321, 279841, 707281, 923521, 1874161, 2825761, 3418801, 4879681, 7890481, 12117361, 13845841, 20151121, 25411681, 28398241, 38950081, 47458321, 62742241, 88529281, 104060401, 112550881, 131079601, 141158161
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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带5个除数的数字（1，p，p^2，p^3，p^4，其中p是第n个素数）-亚历山大·瓦恩伯格2006年1月15日
带p除数的第n个数等于第n个素数的幂p-1，其中p是素数-奥马尔·波尔2008年5月6日
偶数s的一般乘积公式为：product_{p=A000040型}（p^s-1）/（p^s+1）=2*Bernoulli（2s）/（二项式（2s，s）*Bernowli^2（s）），其中无穷乘积覆盖所有素数。这里，s=4，product_{n=1，2，…}（a（n）-1）/（a（n）+1）=6/7。在A030516型，其中s=6，比率的乘积为691/715。对于s=8，第8行A120458号相应的比值乘积为7234/7293-R.J.马塔尔2009年2月1日
除前三项外，所有其他项均与1 mod 240一致-罗伯特·伊斯雷尔2014年8月29日
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链接
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配方奶粉
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产品{n>=1}（1+1/a（n））=zeta（4）/zeta（8）=105/Pi^4(A157290型).
产品{n>=1}（1-1/a（n））=1/泽塔（4）=90/Pi^4(A215267型). （完）
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MAPLE公司
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映射（p->p^4，选择（i素数，[2，seq（2*i+1，i=1..100）]）#罗伯特·伊斯雷尔2014年8月29日
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数学
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
[p**4代表prime_range（100）中的p]
（岩浆）[1..100]]中的NthPrime（n）^4:n//文森佐·利班迪2011年4月22日
（哈斯克尔）
a030514=（^4）。阿000040
a030514_list=映射（^4）a000040_list
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 7, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, 3, 4, 5, 6, 2, 9, 2, 10, 4, 4, 4, 11, 2, 4, 4, 8, 2, 9, 2, 6, 6, 4, 2, 12, 3, 6, 4, 6, 2, 8, 4, 8, 4, 4, 2, 13, 2, 4, 6, 14, 4, 9, 2, 6, 4, 9, 2, 15, 2, 4, 6, 6, 4, 9, 2, 12, 7, 4, 2, 13, 4, 4, 4, 8, 2, 13, 4, 6, 4, 4, 4, 16, 2, 6, 6, 11, 2, 9, 2, 8, 9, 4, 2, 15, 2, 9, 4, 12, 2, 9, 4, 6, 6, 4, 4, 17
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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因此，这个序列（而不是A046523号)可用于查找a（n）的值仅依赖于n的素数签名的序列，即仅依赖n的因式分解中素数指数的多集。（End）
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链接
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配方奶粉
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（完）
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例子
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1有素数签名（），这是第一个不同的素数签名。因此，a（1）=1。
2具有素数签名（1），即（1）之后的第二个不同素数签名。因此，a（2）=2。
3有素数签名（1），2也是。因此，a（3）=a（2）=2。
4有素数签名（2），在（）和（1）之后是第三个不同的素数签名。因此，a（4）=3。（完）
对于n=2，A046523号（2） =2，这在（第一素数）之前从未遇到过，因此我们为（2）分配到目前为止未使用的最少的数字，即2，因此a（2）=2。
对于n=4，A046523号（4） =4，在（素数的第一个平方）之前没有遇到，因此我们为（4）分配到目前为止未使用的最少的数字，即3，因此a（4）=3。
对于n=5，A046523号（5） =2，因为在n=2时第一次遇到，所以我们设置a（5）=a（2）=2。
对于n=6，A046523号（6） =6，之前没有遇到过（第一个半素数pq具有不同的p和q），因此我们为（6）分配了迄今为止未使用的最少的数字，即4，因此a（6）=4。
对于n=8，A046523号（8） =8，在（素数的第一个立方体）之前没有遇到，因此我们为（8）分配到目前为止未使用的最少的数字，即5，因此a（8）=5。
对于n=9，A046523号（9） =4，与n=4时第一次遇到的情况一样，因此a（9）=3。
（完）
计算序列的算法的（粗略）描述：
假设我们想为[1..20]中的n计算a（n）。
我们设置了一个由20个元素组成的向量，值为0，数字m=1，这是我们尚未检查的最小值，c=0是我们迄今为止发现的不同素数签名的数量。
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
我们检查m的素数签名，看看它是（）。我们用1增加c，并将所有元素设为20，素数签名（）设为1。在此过程中，我们调整了m。这得出：
[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]. 我们没有检查的最小值是m=2。2具有质数签名（1）。我们用1增加c，并将所有元素设置为20，素数签名（1）为2。在此过程中，我们调整了m。这得出：
[1, 2, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0]
我们检查m=4的素数签名，发现其素数签名是（2）。我们用1增加c，并用素数签名（2）将所有数字设为20，设为3。这提供了：
[1, 2, 2, 3, 2, 0, 2, 0, 3, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0]
类似地，在m=6之后，我们得到
[1,2,2,3,2,4,2,0,3,4,2,2,0,2,4,1,4,4,0,2,0]，在m=8之后，我们得到：
[1,2,2,3,2,4,2,5,3,4,2,0,2,44,4,0,0,2,0]，在m=12之后，我们得到：
[1,2,2,3,2,4,2,5,3,4,2,6,2,4,4,0,2,6,2,0]，在m=16之后，我们得到：
[1,2,2,3,2,4,2,5,3,4,2,6,2,4,4,7,2,6,2,0]，在m=20之后，我们得到：
[1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 7, 2, 6, 2, 8]. 现在，m>20，所以我们停下来。（完）
上述方法效率低下，因为步骤“将所有元素a（n）设置为n=Nmax，素数签名s（n）=s[c]设置为c”需要将所有整数分解为Nmax（或至少将其签名计算后与s[c]进行比较）。在每m=1..Nmax上只运行一次，计算它的素数签名s（m），将它与它的“秩”（=列表的新大小）一起添加到有序列表中，并将该秩赋给a（m）会更有效。素数签名列表比[1..Nmax]短得多。还可以使用m’（m）：=带m素数签名的最小n（计算速度快于搜索签名）作为s（m）的代表，并设置a（m）:=a（m’（m））。那么，除了要计算的序列之外，只需要一个计数器（到目前为止看到的素数签名数）作为辅助变量就足够了-M.F.哈斯勒2019年7月18日
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MAPLE公司
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当地a046523，a；
从1开始
返回a；
返回-1；
结束条件：；
结束do：
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数学
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带有[｛nn＝120｝，函数[s，表[Position[按键@s，k_/；MemberQ[k，n]][[1，1]]，{n，nn}]]@Map[#1->#2&@@#&，Transpose@{Values@#，Keys@#}]&@PositionIndex@Table[Times@@MapIndexed[Prime[First@#2]^#1&，Sort[FactorInteger[n][[All，-1]]，Greater]]-Boole[n==1]，{n，nn}](*迈克尔·德弗利格，2017年5月12日，第10版*）
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黄体脂酮素
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（PARI）查找（ps，vps）={for（k=1，#vps，if（vps[k]==ps，return（k））；）；}
lisps（nn）=｛vps=[]；for（n=1，nn，ps=vecsort（因子（n）[，2]）；ips=查找（ps，vps）；if（！ips，vps=concat（vps，ps）；ips=#vps）；print1（ips，“，”）；｝\\米歇尔·马库斯2015年11月15日；编辑人M.F.哈斯勒2019年7月16日
（PARI）
rgs_transform（invec）={my（occurrences=Map（），outvec=vector（length（invec）），u=1）；对于（i=1，length，invec，if（mapisdefined（occurements，invec[i]），my（pp=mapget（occursions，invec[i]；
write_to_bfile（start_offset，vec，bfilename）={对于（n=1，长度（vec），write（bfilename，（n+start_offset）-1，“”，vec[n]）；}
写入to_b文件（1，rgs_transform（向量（100000，n，A046523号（n） ），“b101296.txt”）；
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交叉参考
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由该序列获得的值确定的等价类的有限个（>=2）的并集序列（即大卫·A·科内斯2017年5月12日配方奶粉）：A001358号(A001248号U型A006881号，值3和4），A007422号（值1、4、5），A007964号(2, 3, 4, 5),A014612美元(5, 6, 9),A030513型(4, 5),A037143号(1, 2, 3, 4),A037144号(1, 2, 3, 4, 5, 6, 9),A080258号(6, 7),A084116号(2, 4, 5),A167171号(2, 4),A217856型(6, 9).
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 5, 1, 6, 1, 7, 3, 8, 1, 9, 1, 10, 5, 11, 1, 12, 2, 13, 4, 14, 1, 15, 1, 16, 7, 17, 3, 18, 1, 19, 11, 20, 1, 21, 1, 22, 6, 23, 1, 24, 2, 25, 13, 26, 1, 27, 5, 28, 17, 29, 1, 30, 1, 31, 10, 32, 7, 33, 1, 34, 19, 35, 1, 36, 1, 37, 9, 38, 3, 39, 1, 40, 8, 41, 1, 42
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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链接
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配方奶粉
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其他身份。对于所有n>=1，以下条件成立：
对于所有w>=0，a（p{i}*p{j}*…*p{k}）=a（p_{i+w}*p_{j+w}*…*p_{k+w}）。
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数学
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a246277[n_Integer]：=模块[{f，p，a064989，a}，
f[x_]：=转置@FactorInteger[x] ；
p[x_]：=哪个[
x==1，1，
x＝＝2、1，
真，NextPrime[x，-1]]；
a064989[x_]：=次数@@Power[p/@第一[f[x]]，最后[f[x]]]；
a[1]=0；
a[x_]：=如果[EvenQ[x]，x/2，NestWhile[a064989，x，OddQ]/2]；
a/@范围[n]]；a246277【84】(*迈克尔·德弗利格，2014年12月19日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）
A064989号（n） ={my（f）；f=因子（n）；如果（n>1&&f[1,1]==2），f[1,2]=0）；对于（i=1，#f~，f[i，1]=precprime（f[i、1]-1））；因子回退（f）}；
（PARI）A246277号（n） =如果（1==n，0，my（f=因子（n），k=素数（f[1，1]）-1）；对于（i=1，#f~，f[i，1]=素数（素数pi（f[i），1]）-k）；factorback（f）/2）\\Antti Karttunen公司2022年4月30日
（方案）；；两种不同的变体，第二种使用记忆定义（macro）
（Python）
来自sympy import factor，prevprime
从运算符导入mul
从functools导入reduce
定义a064989（n）：
f=因子（n）
如果n==1，则返回1，否则减少（mul，[1 if i==2，则返回原素数（i）**f[i]表示f中的i）
定义a（n）：如果n==1，则返回0；如果n%2==0，则返回n//2；否则返回a（a064989（n））
打印（[a（n）代表范围（1101）中的n）]#因德拉尼尔·戈什2017年6月15日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000040型,A001222号,A001358号,A003961号,A055396美元,A064989号,A064216号,A243055型,A246272号,A249810型,A249820型,A249735型,A252463型.
此序列也用于定义以下排列：A246274号,A246276号,A246675型,246677英镑,A246683型,A249815型,A249817型(A249818型),A249823型,A249825型,A250244型,A250245型,A250247型,A250249型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A036966号
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| 3-full（或cube-full，或cubefull）数：如果素数p除以n，那么p^3也是如此。 |
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+10
83
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1, 8, 16, 27, 32, 64, 81, 125, 128, 216, 243, 256, 343, 432, 512, 625, 648, 729, 864, 1000, 1024, 1296, 1331, 1728, 1944, 2000, 2048, 2187, 2197, 2401, 2592, 2744, 3125, 3375, 3456, 3888, 4000, 4096, 4913, 5000, 5184, 5488, 5832, 6561, 6859, 6912, 7776, 8000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1, 2
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评论
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也称为幂ful_3数。
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参考文献
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M.J.Halm，《更多序列》，《可能性》83，2003年4月。
A.Ivic，《Riemann Zeta-Function》，纽约威利，1985年，见第407页。
E.Kraetzel，《格点》，Kluwer，第7章，第276页。
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链接
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配方奶粉
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x^5*y^4*z^3形式的数字。有一个x，y无平方和互质的唯一表示-查尔斯·格里特豪斯四世2022年1月12日
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MAPLE公司
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isA036966:=进程（n）
局部p；
ifactors（n）[2]中的p do
如果op（2，p）<3，则
返回false；
结束条件：；
结束do：
返回true；
结束进程：
选项记忆；
如果n=1，则
1 ;
其他的
对于来自procname（n-1）+1 do的a
如果是A036966（a），则
返回a；
结束条件：；
结束do：
结束条件：；
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数学
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选择[Range[28191]、Min[Table[#[[2]]、｛1｝]&&@FactorInteger[#]]>2&]
连接[{1}，选择[Range[8000]，最小[Transpose[FactorInteger[#]][[2]]>2&]](*哈维·P·戴尔2013年7月17日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
导入数据。集合（singleton、deleteFindMin、fromList、union）
a036966 n=a036966_列表！！（n-1）
a036966_list=1:f（singleton z）[1，z]z其中
f s q3s p3s’@（p3:p3s）
|m<p3=m:f（联合（fromList$map（*m）ps）s'）q3s p3s'
|否则=f（并集（fromList$map（*p3）q3s）s）（p3:q3）p3s
其中ps=a027748_低m
（m，s'）=删除查找最小值
（z:zs）=a030078_列表
（PARI）是（n）=n==1||vecmin（因子（n）[，2]）>2\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年9月17日
（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（），t）；对于（a=1，sqrtnint（lim\1,5），对于（b=1，sqltint（lim\ a^5,4），t=a^5*b^4；对于（c=1，sqrtnint（lim\t，3），listput（v，t*c^3））；集合（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年11月20日
（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（），t）；forsquarefree（a=1，sqrtnint（lim\1,5），my（a5=a[1]^5）；forsquarefree（b=1，sqrtnint（lim\a5,4），if（gcd（a[1]，b[1]）>1，next）；t=a5*b[1]^4；对于（c=1，sqrtnint（lim\t，3），listput（v，t*c^3））；集合（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2022年1月12日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A246278号
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| 素数移位数组：反对偶读取的平方数组：A（1，col）=2*col，对于行>1，A（row，col=A003961号（A（第1行，第1列））。 |
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+10
77
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2, 4, 3, 6, 9, 5, 8, 15, 25, 7, 10, 27, 35, 49, 11, 12, 21, 125, 77, 121, 13, 14, 45, 55, 343, 143, 169, 17, 16, 33, 175, 91, 1331, 221, 289, 19, 18, 81, 65, 539, 187, 2197, 323, 361, 23, 20, 75, 625, 119, 1573, 247, 4913, 437, 529, 29, 22, 63, 245, 2401, 209, 2873, 391, 6859, 667, 841, 31
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,1
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评论
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数组由反对偶函数读取：A（1,1）、A（1,2）、A。
此数组可以通过从数组中获取每第二列来获得42378英镑，从第2列开始。
大于1的自然数的置换。
每一列都在严格增长，同一列中的术语具有相同的主签名。
（完）
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链接
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配方奶粉
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A（1，col）=2*col，对于行>1，A（行，col=A003961号（A（第1行，第1列））。
作为其他类似序列的组合：
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例子
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数组的左上角：
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ...
3, 9, 15, 27, 21, 45, 33, 81, 75, ...
5, 25, 35, 125, 55, 175, 65, 625, 245, ...
7, 49, 77, 343, 91, 539, 119, 2401, 847, ...
11, 121, 143, 1331, 187, 1573, 209, 14641, 1859, ...
13, 169, 221, 2197, 247, 2873, 299, 28561, 3757, ...
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数学
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f[p_？素数Q]：=f[p]=素数[PrimePi@p+1]；f[1]=1；f[n_]：=f[n]=次数@@（f[First@#]^Last@#&）/@FactorInteger@n；块[{lim=12}，表[#[[n-k，k]]，{n，2，lim}，{k，n-1，1，-1}]&@NestList[Map[f，#]&，表[2k，{k、lim}]，lim]]//展平(*迈克尔·德弗利格2016年1月4日之后Jean-François Alcover公司在A003961号*)
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黄体脂酮素
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（方案）
（定义（A246278双列）（如果（=1行）（*2列）(A003961号（A246278bi（-行1）col）））
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交叉参考
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囊性纤维变性。A005940号,42378英镑,A246259号,A000040型,A002260号,A004736号,A003961号,A055396美元,A083221号,A114537号,A246277号（条款A348717飞机减半），A246675型,A246684型,A249818型,A252759型,A253515型.
通过将特定函数（括号中给出）应用于此数组的项而获得的数组。列单调增长的情况用*表示：A249822型(A078898号),A253551型(*A156552号),A253561型(*A122111号),A341605型(A017665号),A341606型(A017666号),人民币41607元(A006530号o（o）A017666号),416年(A341524飞机),A341626飞机(A341526飞机),A341627飞机(A341527飞机),A341628型(A006530号o（o）A341527飞机),A342674飞机(A341530型),A344027型(*A003415号，算术导数），A355924飞机(A342671型),A355925型(A009194号),A355926飞机(A355442型),A355927飞机（*西格玛），A356155型(*A258851型).
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关键词
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作者
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