A001694-OEIS公司

A001694号

幂数，定义（1）：如果素数p除以n，那么p^2也必须除以n（也称为平方、平方满、平方满或2幂数）。
（原名M3325 N1335）

438

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,2

形式a^2*b^3的数字，a>=1，b>=1。

换句话说，如果n的素因式分解是Product_k p_k^e_k，那么所有e_k都大于1。

对n进行编号，使之和{d|n}φ（d）*phi（n/d）*mu（d）>0；非零位置A300717型. -贝诺伊特·克洛伊特2002年11月30日

此序列在乘法运算下闭合。基本元素包括A168363号. -富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2011年5月30日

的补语A052485型. -Reinhard Zumkeller公司2011年9月16日

以k=0开头的小于或等于10^k的项数：1、4、14、54、185、619、2027、6553、21044、。..:18896年. -罗伯特·威尔逊v2014年8月11日

a（10^n）：1、49、3136、253472、23002083、2200079025、215523459072、21348015504200、2125390162618116、。.. . -罗伯特·威尔逊v2014年8月15日

对于m，a（m）mod素数（n）>0<A258599型（n）；一个(A258599型（n））=A001248号（n） =素数（n）^2。 -Reinhard Zumkeller公司2015年6月6日

发件人戴斯·麦克哈勒，2021年3月7日：（开始）

对于某些有限非交换环R，数字m是强大的当且仅当|R/Z（R）|=m。

对于某些有限幂零类二群G（参考Aine-Nishe），数字m是强大的当且仅当|G/Z（G）|=m。（结束）

对n进行编号，使之和{k=1..n}phi（gcd（n，k））*mu（gcd（n，k））>0。 -理查德·奥尔勒顿2021年5月9日

参考文献

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保罗·里本博伊姆（Paulo Ribenboim）、梅恩·扎伦（Meine Zahlen）和梅恩·弗伦德（Meine Freunde），2009年，施普林格（Springer），《波坦特·扎伦》（Potente Zahlene）9.1，第241-247页。

N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

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Gérald Tenenbaum，《分析和概率数论导论》，剑桥大学出版社，1995年，第54页，练习10（2015年第三版，第63页，练习70）。

链接

阿米拉姆·埃尔达尔，n=1..10000时的n，a（n）表（T.D.Noe的条款1..1000，G.C.Greubel的条款1001..5000）

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C.K.Caldwell，强大的数字.

陈子豪，幂数中的算术级数，J.国际顺序。第26卷（2023年），第23.1.1条。

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J.-M.de Konink、N.Doyon和F.Luca，二次多项式的强大值，J.国际顺序。14（2011），第11.3.3条。

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S.W.Golomb，强大的数字阿默尔。数学。月刊，第77卷（1970），848-852。

K.Schneider，PlanetMath.org，Squarefull编号.

V.Shevelev，S指数《算术学报》，第175卷（2016年），第385-395页。

D.Suryanarayana和R.Sita Rama Chandra Rao，平方-完整整数的分布《方舟材料》，第11卷，第1-2号（1973年），195-201年。

埃里克·魏斯坦的数学世界，强大的数字.

埃里克·魏斯坦的数学世界，方形.

维基百科，强大的数字.

与强大数相关的序列的索引项.

配方奶粉

A112526号（a（n））=1。 -Reinhard Zumkeller公司2011年9月16日

贝特曼和格罗斯瓦尔德证明了在x之前存在zeta（3/2）/zeta（3）x^{1/2}+zeta（2/3）/zetax^{1/3}+O（x^{1/16}）项；有关更精确的误差项，请参阅第5节。 -查尔斯·格里特豪斯四世2012年11月19日

a（n）=A224866号（n） -1。 -Reinhard Zumkeller公司，2013年7月23日

和{n>=1}1/a（n）=zeta（2）*zeta（3）/zeta（6）。 -伊凡·内雷廷2015年8月30日

和{n>=1}1/a（n）^s=zeta（2*s）*zeta（3*s）/zeta（6*s），s>1/2（Golomb，1970）。 -阿米拉姆·埃尔达尔2022年10月2日

例子

1是一个术语，因为对于每个素数p除以1，p^2也除以1。

2不是一个术语，因为2除以2，但2^2不是。

4是一个项，因为2是唯一除4的素数，2^2除4。 -N.J.A.斯隆2022年1月16日

枫木

isA001694:=ifactors（n）[2]中p的proc（n）do，如果op（2，p）=1，则返回false；结束条件：；结束do；返回true；结束过程：

A001694号：=proc（n）选项记忆；如果n=1，则为1；对于from procname（n-1）+1 do，如果isA001694（a），则返回a；结束条件：；结束do；结束条件：；结束进程：

序列(A001694号（n），n=1..20）； #R.J.马塔尔，2011年6月7日

数学

连接[{1}，选择[Range@1250，Min@FactorInteger[#][[All，2]]>1&]]

(*哈维·P·戴尔2011年9月18日；修改人罗伯特·威尔逊v2014年8月11日*）

最大值=10^3；并集@Flatten@表[a^2*b^3，{b，max^（1/3）}，{a，Sqrt[max/b^3]}](*罗伯特·威尔逊v2014年8月11日*）

nextPowerfulNumber[n_]：=块[{r=Range[Floor[1+n^（1/3）]]^3}，最小@选择[Sort[r*Floor[1+Sqrt[n/r]]^2]，#>n&]]；嵌套列表[nextPowerfulNumber，1，55](*罗伯特·威尔逊v2014年8月16日*）

黄体脂酮素

（PARI）是A001694（n）=n=系数（n）[，2]；对于（i=1，#n，如果（n[i]==1，返回（0））； 1 \\查尔斯·格里特豪斯四世2011年2月11日

（PARI）列表（lim，mn=2）=我的（v=列表（），t）；对于（m=1，sqrtnint（lim\1，3），t=m^3；对于（n=1，平方（lim\t），列表输入（v，t*n^2））；集合（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年7月31日；2015年9月22日编辑

（PARI）is=强大\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年11月13日

（哈斯克尔）

a001694 n=a001694_列表！！（n-1）

a001694_list=过滤器（（==1）。a112526）[1..]

--Reinhard Zumkeller公司2012年11月30日

（Python）

来自sympy导入因子

A001694号=[1]+[n代表范围（2，10**6）中的n，如果min（factorint（n）.values（））>1]

#柴华武，2014年8月14日

（Python）

从数学导入isqrt

来自sympy import mobius，integer_nthroot

定义A001694号（n）：

定义平方自由度（n）：

return int（范围（1，isqrt（n）+1）中k的总和（mobius（k）*（n//k**2））

定义平分（f，kmin=0，kmax=1）：

而f（kmax）>kmax:kmax<<=1

当kmax-kmin>1时：

kmid=kmax+kmin>>1

如果f（kmid）<=kmid：

kmax=kmid

其他：

kmin=kmid

返回kmax

定义f（x）：

c、 l=n+x，0

j=isqrt（x）

当j>1时：

k2=积分_节流（x//j**2，3）[0]+1

w=平方自由pi（k2-1）

c-=j*（w-l）

l、 j=w，isqrt（x//k2**3）

c-=平方自由π（整数_ntroot（x，3）[0]）-l

返回c

返回二分（f，n，n）#柴华武2024年9月9日

（鼠尾草）

斯隆。A001694号.list（54）#彼得·卢什尼2015年2月8日

交叉参考

不相交的结合A062503型和A320966型.

囊性纤维变性。A007532号（强大的数字，定义（2）），A005934号,A005188号,A003321号,A014576美元,A023052号（强大的数字，定义（3）），A046074号,A013929号,A076871号,A258599型,A001248号,A112526号,A168363号,A224866号,A261883型,A300717型.

囊性纤维变性。A052485型（补码），A076446号（第一个差异），A376361型,A376362型.

上下文中的序列：A339497飞机 A348121型 A080366*A377821型 A377846飞机 A317102型

相邻序列：A001691号 A001692号 A001693号*A001695号 A001696号 A001697号

关键词

非n,美好的,容易的

作者

N.J.A.斯隆

扩展

更多术语来自亨利·博托姆利2000年3月16日

定义扩展了乔纳森·桑多，2016年1月3日

状态

经核准的