0,5

通过定义a（-n）=-a（n），可以扩展为负数。

基于函数微分的乘积规则：对于函数f（x）和g（x），（fg）'=f'g+fg'。对于数字，（ab）'=a'b+ab'。这意味着1'=0-凯里·米切尔2004年3月18日

数x对素数p的导数为“dx/dp”=（x-x^p）/p，根据费马小定理，这是一个整数Alexandru Buium，2004年3月18日

关系（ab）'=a'b+ab'意味着1'=0，但它并不意味着p'=1表示p是素数。事实上，定义在素数上的任何函数f都可以唯一地扩展为满足此关系的整数上的函数：f（Product_i p_i^e_i）=（Product_ip_i*i*f（p_i）/p_i）-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年11月7日

请参见A131116号和A131117号记录值及其发生位置-莱因哈德·祖姆凯勒2007年6月17日

设n是k素数的多集P的乘积。考虑一个k维盒子，它的边是P的元素，那么这个盒子的（k-1）维曲面是2a（n）。例如，2a（25）=20，5 X 5正方形的周长。类似地，2a（18）=42，2 X 3 X 3盒子的表面积-大卫·W·威尔逊2011年3月11日

1911年6月，西班牙数学家若泽·明戈特·雪莱（JoséMingot Shelly）首次引入了算术导数n’，并在“格拉纳达州国家议会第二次会议”（Tercer Congreso Nacional para el Progreso de las Ciencias，Granada）上发表了“Una cuestión de la teoría de los nümeros”（参见Zentralblatt MATH的摘要链接），以及L.E.Dickson，数字理论史-乔治·巴尔扎罗蒂2013年10月19日

一个(A235991型（n） ）奇数；一个(A235992型（n） ）甚至-莱因哈德·祖姆凯勒2014年3月11日

顺序A157037号列出了带素数算术导数的数字，即此序列中素数的索引-M.F.哈斯勒2015年4月7日

也许是算术导数最简单的“自然延伸”，本着上述观点富兰克林·T·亚当斯-沃特斯（2006），是“基于pi的”版本，其中f（p）=primepi（p），参见序列A258851型当f被选为单位映射（在素数上）时，得到A066959号. -M.F.哈斯勒2015年7月13日

当n是复合的时，似乎a（n）有下界2*sqrt（n），当n是素数的平方时相等，而a（n）有上界（n/2）*（（log n）/（log 2）），当n是2的幂时相等-丹尼尔·福格斯2016年6月22日

G.Balzarotti，P.P.Lava，La derivata aritmetica，编辑U.Hoepli，米兰，2013年。

E.J.Barbeau，加拿大问题。数学。国会笔记，5（1973年4月第8号），6-7。

L.E.Dickson，《数字理论史》，第1卷，第19章，第451页，多佛版，2005年。（原著于1919年出版。）

A.M.Gleason等人，《威廉·洛厄尔·普特南数学竞赛：1938-1964年的问题和解决方案》，《数学》。《美国协会》，1980年，第295页。

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T.D.Noe，n=0..10000时的n，a（n）表

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P.Haukkanen、M.Mattila、J.K.Merikoski和T.Tossavainen，算术导数可以在非唯一分解域上定义吗？《整数序列杂志》，16（2013），#13.1.2.-发件人N.J.A.斯隆2013年2月3日

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琳达·韦斯特里克，数字导数的研究2003年西门子基金会竞赛和2004年英特尔科学人才搜索。

维基百科，算术导数

如果n=乘积p_i^e_i，a（n）=n*总和（e_i/p_i）。

a（m*p^p）=（m+a（m））*p^p，p素数：a（m*A051674号（k） ）=A129283号（米）*A051674号（k） ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2007年4月7日

对于n>1:a（n）=a(A032742号（n） ）*A020639号（n）+A032742号（n） ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2011年5月9日

a（n）=n*Sum_{p|n}v_p（n）/p，其中vp（n）是素数p除以n的最大幂-韦斯利·伊万·赫特2015年7月12日

对于n>=2，求和{k=2..n}[1/a（k）]=pi（n）=A000720号（n） ，其中[x]代表x的整数部分（参见K.T.Atanassov文章）-伊万·伊纳基耶夫2019年3月22日

发件人A.H.M.斯密茨2020年1月17日：（开始）

极限{n->无穷}（1/n^2）*Sum_{i=1..n}a（i）=A136141号/2.

极限{n->无穷}（1/n）*和{i=1..n}a（i）/i=A136141号.

a（n）=n当且仅当n=p^p，其中p是质数。（结束）

Dirichlet g.f.：zeta（s-1）*和{p素数}1/（p^s-p）[Haukkanen，Merikoski和Tossavainen]-塞巴斯蒂安·卡尔森2021年11月25日

发件人安蒂·卡图恩2021年11月25日：（开始）

a（n）=和{d|n}d*A349394飞机（n/d）。

对于所有n>=1，A322582型（n） <=a（n）<=A348507型（n） ●●●●。

如果n不是素数，那么a（n）>=2*sqrt（n），或者换句话说，对于所有k>=1，其中A002620型（n） +k不是素数，我们有一个(A002620型（n） +k）>n。[参见Ufnarovski和奥伦德，定理9，第（3）点。]

（结束）

6' = (2*3)' = 2'*3 + 2*3' = 1*3 + 2*1 = 5.

请注意，例如，2'+3'=1+1=2，（2+3）'=5'=1。所以'不是线性的。

G.f.=x^2+x^3+4*x^4+x^5+5*x^6+x^7+12*x^8+6*x^9+7*x^10+。。。

A003415号：=程序（n）局部B，m，i，t1，t2，t3；B:=1000000000039；如果n<=1，则返回（0）；fi；如果是质数（n），则返回（1）；fi；t1:=系数（B*n）；m：=nops（t1）；t2:=0；对于i从1到m做t3：=op（i，t1）；如果nops（t3）=1，则t2：=t2+1/op（t2）；否则t2：=t2+op（2，t3）/op（op（1，t2））；fiod:t2:=t2-1/B；n*t2；结束；

A003415号：=进程（n）

局部a，f；

a:=0；

对于ifactors（n）[2]中的f do

a:=a+op（2，f）/op（1，f）；

结束do；

不适用；

结束进程：#R.J.马塔尔2012年4月5日

a[n_]：=如果[Abs@n<2，0，n总计[#2/#1&@@@FactorInteger[Abs@n]]；(*迈克尔·索莫斯2011年4月12日*）

dn[0]=0；dn[1]=0；dn[n_？阴性]：=-dn[-n]；dn[n_]：=模[{f=Transpose[FactorInteger[n]]}，如果[PrimeQ[n]，1，Total[n*f[[2]]/f[[1]]]]；表[dn[n]，{n，0，100}](*T.D.诺伊2012年9月28日*）

（PARI）A003415号（n） ={局部（fac）；如果（n<1，0，fac=因子（n）；和（i=1，矩阵大小（fac，[1]，n*fac[i，2]/fac[i，1]））}/*迈克尔·波特2009年11月25日*/

（PARI）适用(A003415号（n） =向量（[n/f[1]*f[2]|f<-因子（n+！n）~]），[0..99]）\\M.F.哈斯勒，2013年9月25日，2019年11月27日更新

（PARI）A003415号（n） ={my（s=0，m=1，spf）；而（n>1，spf=A020639号（n） ；n/=spf；s+=m*n；m*=spf）；（s） ；}\\安蒂·卡图恩2021年3月10日

（哈斯克尔）

a003415 0=0

a003415 n=ad n a000040_list，其中

ad 1=0

ad n ps'@（p:ps）

|n<p*p=1

|r>0=ad n ps

|否则=n’+p*ad n’ps’，其中

（n’，r）=divMod n p

--莱因哈德·祖姆凯勒2011年5月9日

（Magma）Ad:=func<h|h*（&+[分解（h）[i][2]/分解（h；[n le 1选择0 else Ad（n）：n in[0..80]]//布鲁诺·贝塞利2013年10月22日

（Python）

来自sympy导入因子

定义A003415号（n） ：

如果n>1，则返回和（[int（n*e/p）for p，e in factorint（n）.items（）]），否则为0

#柴华武2014年8月21日

（鼠尾草）

定义A003415号（n） ：

F=[]，如果n==0，其他系数（n）

返回n*sum（f为g/f，f为g）

[A003415号（n） 对于范围（79）内的n#彼得·卢什尼2014年8月23日

（间隙）

A003415号：=串联（[0，0]，列表（列表（[2..10^3]，因子），

i->乘积（i）*总和（i，j->1/j））#穆尼鲁·A·阿西鲁2017年8月31日

囊性纤维变性。A086134号（n’的最小素因子）。

囊性纤维变性。A086131号（n’的最大素因子）。

囊性纤维变性。A068719号（2n的导数）。

囊性纤维变性。A068720型（n^2的导数）。

囊性纤维变性。A068721号（n^3的导数）。

囊性纤维变性。A001787号（2^n的导数）。

囊性纤维变性。A027471号（3^n的导数）。

囊性纤维变性。A085708号（10^n的导数）。

囊性纤维变性。A068327号（n ^n的导数）。

囊性纤维变性。A024451号（p#的导数）。

囊性纤维变性。A068237号（1/n导数的分子）。

囊性纤维变性。A068238号（1/n导数的分母）。

囊性纤维变性。A068328号（无平方数的导数）。

囊性纤维变性。A068311号（n的导数！）。

囊性纤维变性。A168386号（n！！的导数）。

囊性纤维变性。A260619型（超阶乘（n）的导数）。

囊性纤维变性。A260620型（超因子（n）的衍生物）。

囊性纤维变性。A068312号（三角形数的导数）。

囊性纤维变性。A068329号（斐波那契（n）的导数）。

囊性纤维变性。A096371号（分区数的导数）。

囊性纤维变性。A099301号（d（n）的导数）。

囊性纤维变性。A099310型（φ（n）的导数）。

囊性纤维变性。A342925飞机（sigma（n）的导数）。

囊性纤维变性。A349905型（质心偏移的导数）。

囊性纤维变性。A327860型（n的初等基展开的素积形式的导数）。

囊性纤维变性。A068346号（n的二阶导数）。

囊性纤维变性。A099306号（n的三阶导数）。

囊性纤维变性。A258644型（n的四阶导数）。

囊性纤维变性。A258645型（n的五阶导数）。

囊性纤维变性。A258646型（n的六阶导数）。

囊性纤维变性。A258647型（n的七阶导数）。

囊性纤维变性。A258648型（n的八阶导数）。

囊性纤维变性。A258649型（n的九阶导数）。

囊性纤维变性。A258650型（n的十阶导数）。

囊性纤维变性。A185232型（n的n阶导数）。

囊性纤维变性。A258651型（A（n，k）=n的第k次算术导数）。

囊性纤维变性。A085731号（gcd（n，n’）），A057521号（gcd（n，（n'）^k）对于所有k>=2）。

囊性纤维变性。A342014飞机（n’mod n），A341998飞机(A003557号（n’），A342001型（n’/A003557号（n） ）。

囊性纤维变性。A098699号（最小x使得x'=n，n的反导数）。

囊性纤维变性。A098700型（n使得x'=n没有整数解）。

囊性纤维变性。A099302号（x’=n的解的数量）。

囊性纤维变性。A099303号（最大x使得x'=n）。

囊性纤维变性。A051674号（n使得n’=n）。

囊性纤维变性。A083347号（n使得n’<n）。

囊性纤维变性。A083348号（n使得n’>n）。

囊性纤维变性。A099304型（最小k，使（n+k）'=n'+k'）。

囊性纤维变性。A099305号（（n+k）'=n'+k'的解的数目）。

囊性纤维变性。A328235型（最小k>0，使得对于某些自然数u，（n+k）'=u*n'）。

囊性纤维变性。A328236型（最小m>1，使得对于某些自然数u，（m*n）'=u*n'）。

囊性纤维变性。A099307号（最小k，使n的k次算术导数为零）。

囊性纤维变性。A099308型（对于某些k，n的k次算术导数为零）。

囊性纤维变性。A099309型（n的第k个算术导数对于所有k都是非零的）。

囊性纤维变性。A129150型（2^3的n阶导数）。

囊性纤维变性。A129151号（3^4的n阶导数）。

囊性纤维变性。A129152号（5^6的n阶导数）。

囊性纤维变性。A189481号（x'=n有一个唯一的解决方案）。

囊性纤维变性。A190121号（部分金额）。

囊性纤维变性。A258057型（第一个区别）。

囊性纤维变性。A229501型（n除以第n个部分和）。

囊性纤维变性。A165560型（奇偶校验）。

囊性纤维变性。A235991型（n’是奇数），A235992型（n’是偶数）。

囊性纤维变性。A327863型,A327864型,A327865型（n’是3、4、5的倍数）。

囊性纤维变性。A157037号（n’是质数），A192192号（n’’是质数），A328239型（n“”是质数）。

囊性纤维变性。A328393型（n’是平方自由的），A328234型（无平方且>1）。

囊性纤维变性。A328244型（n’’是平方自由的），A328246型（n“”是平方自由的）。

囊性纤维变性。A328303型（n’不是平方自由的），A328252型（n’是平方自由的，但n不是）。

囊性纤维变性。A328248型（最小k，使n的（k-1）次导数无平方）。

囊性纤维变性。A328251型（对于任何k>=0，k次算术导数都不是平方自由的）。

囊性纤维变性。A256750型（最小k，使k阶导数为0或具有因子p^p）。

囊性纤维变性。A327928型（不同素数p的数量，使得p^p除以n'）。

囊性纤维变性。A342003型（除n'的任何素数幂p^k的最大指数k）。

囊性纤维变性。A327929型（n’至少有一个形式为p^p的除数）。

囊性纤维变性。A327978型（n’是一元数>1）。

囊性纤维变性。A328243型（n’是初等数的部分和，大于1）。

囊性纤维变性。A328310型（n’的最大素数指数减去n的最大素性指数）。

囊性纤维变性。A328320型（n’的最大素数指数小于n）。

囊性纤维变性。A328321型（n’的最大素数指数>=n的素数指数）。

囊性纤维变性。A328383型（至少k使得n的k阶导数是n的倍数或除数，但不是两者都是）。

囊性纤维变性。A263111型（a的序数变换）。

囊性纤维变性。A300251型,A319684型（莫比乌斯变换和逆莫比乌s变换）。

囊性纤维变性。A305809型（Dirichlet卷积平方）。

囊性纤维变性。A349133型,A349173飞机,A349394飞机,A349380型,A349618飞机,A349619型,A349620型,A349621型（对于其他Dirichlet卷积）。

囊性纤维变性。A069359号（与无平方数一致的类似公式）。

囊性纤维变性。A258851型（基于pi的n的算术导数）。

囊性纤维变性。A328768型,A328769型（n的基元算术导数）。

囊性纤维变性。A328845型,A328846型（基于斐波那契的n的算术导数）。

囊性纤维变性。A302055型,A327963型,A327965型,A328099型（对于其他变体和修改）。

囊性纤维变性。A038554号（另一个序列名称中使用了“导数”，但涉及n的二进制展开）。

囊性纤维变性。A322582型,A348507型（下限和上限），也A002620型.

上下文中的序列：A024919号 A328385型 A328099型*A302055型 A086300型 A028271号

相邻序列：A003412号 A003413号 A003414号*A003416号 A003417号 A003418号

非n,容易的,美好的,听到,看

N.J.A.斯隆,R.K.盖伊

更多术语来自米歇尔·腾·沃德2001年4月11日

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