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| A003415号 |
| a（n）=n’=n的算术导数：a（0）=a（1）=0，a（素数）=1，a（m*n）=m*a（n，n）+n*a（m）。
（原名M3196）
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1005
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0, 0, 1, 1, 4, 1, 5, 1, 12, 6, 7, 1, 16, 1, 9, 8, 32, 1, 21, 1, 24, 10, 13, 1, 44, 10, 15, 27, 32, 1, 31, 1, 80, 14, 19, 12, 60, 1, 21, 16, 68, 1, 41, 1, 48, 39, 25, 1, 112, 14, 45, 20, 56, 1, 81, 16, 92, 22, 31, 1, 92, 1, 33, 51, 192, 18, 61, 1, 72, 26, 59, 1, 156, 1, 39, 55, 80, 18, 71
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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通过定义a（-n）=-a（n），可以扩展为负数。
基于函数微分的乘积规则：对于函数f（x）和g（x），（fg）'=f'g+fg'。对于数字，（ab）'=a'b+ab'。这意味着1'=0-凯里·米切尔2004年3月18日
一个数x对素数p的导数为“dx/dp”=（x-x^p）/p，根据费马小定理，这是一个整数Alexandru Buium，2004年3月18日
关系（ab）'=a'b+ab'意味着1'=0，但它并不意味着p'=1表示p是素数。事实上，定义在素数上的任何函数f都可以唯一地扩展为满足此关系的整数上的函数：f（Product_i p_i^e_i）=（Product_ip_i*i*f（p_i）/p_i）-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年11月7日
设n是k素数的多集P的乘积。考虑一个k维盒子，它的边是P的元素，那么这个盒子的（k-1）维曲面是2*a（n）。例如，2*a（25）=20，即5 X 5正方形的周长。类似地，2*a（18）=42，即2X3X3盒子的表面积-大卫·W·威尔逊2011年3月11日
1911年6月，西班牙数学家若泽·明戈特·雪莱（JoséMingot Shelly）首次引入了算术导数n’，并在“格拉纳达州国家议会第二次会议”（Tercer Congreso Nacional para el Progreso de las Ciencias，Granada）上发表了“Una cuestión de la teoría de los nümeros”（参见Zentralblatt MATH的摘要链接），以及L.E.Dickson，数字理论史-乔治·巴尔扎罗蒂2013年10月19日
当n是复合的时，似乎a（n）有下界2*sqrt（n），当n是素数的平方时，a（n-丹尼尔·福格斯2016年6月22日
如果n=p1*p2*p3*。。。其中p1、p2、p3。。。是n的所有素因子（不一定是不同的），h是一个实数（我们假设h非负且<1），n的算术导数等价于n’=lim{h->0}（（p1+h）*（p2+h）x（p3+h）*…-（p1*p2*p3*…））/h。也可以得出素数的算术导数是1。我们可以假设h=1/N，其中N是一个整数；则极限变为{N->oo}。注意n=1不是素数，它起着常数的作用-乔治·巴尔扎罗蒂2023年5月1日
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参考文献
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G.Balzarotti，P.P.Lava，La derivata aritmetica，编辑U.Hoepli，米兰，2013年。
E.J.Barbeau，加拿大问题。数学。国会笔记，5（1973年4月第8号），6-7。
L.E.Dickson，《数字理论史》，第1卷，第19章，第451页，多佛版，2005年。（原著于1919年出版。）
A.M.Gleason等人，《威廉·洛厄尔·普特南数学竞赛：1938-1964年的问题和解决方案》，《数学》。美国协会，1980年，第295页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Krassimir T.Atanassov，第n素数的一个公式2013年第4期，Tome 66，Comptes rendus de l'Académie bulgare des Sciences。
A.建筑物，导数的算术类比《代数杂志》198（1997），第1期，290-299。
A.建筑物，差分模块形式J.Reine Angew著。数学。520 (2000), 95-167.
布拉德·埃蒙斯和肖肖，算术偏导数，arXiv:2201.12453[math.NT]，2022。
何塞·玛丽亚·格劳和安东尼奥·奥尔勒·马塞恩，Giuga数与算术导数《整数序列杂志》，第15卷（2012年），第12.4.1号。
J.Ković，算术导数与反导数《整数序列杂志》15（2012），第12.3.8条。
Victor Ufnarovski和BoÅhlander，如何区分数字，J.整数序列。，2003年第6卷，#03.3.4。
琳达·韦斯特里克，数字导数的研究2003年西门子基金会竞赛和2004年英特尔科学人才搜索。
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公式
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如果n=乘积p_i^e_i，a（n）=n*总和（e_i/p_i）。
a（n）=n*Sum_{p|n}v_p（n）/p，其中vp（n）是素数p除以n的最大幂-韦斯利·伊万·赫特2015年7月12日
对于n>=2，求和{k=2..n}层（1/a（k））=pi（n）=A000720号（n） （见K.T.Atanassov文章）-伊万·伊纳基耶夫2019年3月22日
极限{n->oo}（1/n^2）*Sum_{i=1..n}a（i）=A136141号/2.
极限{n->oo}（1/n）*和{i=1..n}a（i）/i=A136141号.
a（n）=n当且仅当n=p^p，其中p是质数。（结束）
如果n不是素数，那么a（n）>=2*sqrt（n），或者换句话说，对于所有k>=1，其中A002620型（n） +k不是素数，我们有一个(A002620型（n） +k）>n。[参见Ufnarovski和奥伦德，定理9，第（3）点。]
（结束）
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例子
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6' = (2*3)' = 2'*3 + 2*3' = 1*3 + 2*1 = 5.
请注意，例如，2'+3'=1+1=2，（2+3）'=5'=1。所以'不是线性的。
G.f.=x^2+x^3+4*x^4+x^5+5*x^6+x^7+12*x^8+6*x^9+7*x^10+。。。
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MAPLE公司
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A003415号：=程序（n）局部B，m，i，t1，t2，t3；B:=1000000000039；如果n<=1，则返回（0）；fi；如果是质数（n），则返回（1）；fi；t1:=系数（B*n）；m：=nops（t1）；t2:=0；对于i从1到m做t3：=op（i，t1）；如果nops（t3）=1，则t2：=t2+1/op（t2）；否则t2：=t2+op（2，t3）/op（op（1，t2））；fiod:t2:=t2-1/B；n*t2；结束；
局部a，f；
a:=0；
对于ifactors（n）[2]中的f do
a:=a+op（2，f）/op（1，f）；
结束do；
不适用；
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数学
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a[n_]：=如果[Abs@n<2，0，n总计[#2/#1&@@@FactorInteger[Abs@n]]；(*迈克尔·索莫斯2011年4月12日*）
dn[0]=0；dn[1]=0；dn[n_？阴性]：=-dn[-n]；dn[n_]：=模[{f=Transpose[FactorInteger[n]]}，如果[PrimeQ[n]，1，Total[n*f[[2]]/f[[1]]]]；表[dn[n]，{n，0，100}](*T.D.诺伊2012年9月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）A003415号（n） ={局部（fac）；如果（n<1，0，fac=因子（n）；和（i=1，矩阵大小（fac，[1]，n*fac[i，2]/fac[i，1]））}/*迈克尔·波特2009年11月25日*/
（PARI）适用(A003415号（n） =向量（[n/f[1]*f[2]|f<-因子（n+！n）~]），[0..99]）\\M.F.哈斯勒，2013年9月25日，2019年11月27日更新
（哈斯克尔）
a003415 0=0
a003415 n=ad n a000040_list其中
ad 1=0
ad n ps'@（p:ps）
|n<p*p=1
|r>0=ad n ps
|否则=n’+p*ad n’ps’，其中
（n’，r）=divMod n p
（Magma）Ad:=func<h|h*（&+[分解（h）[i][2]/分解（h；[n le 1选择0 else Ad（n）：n in[0..80]]//布鲁诺·贝塞利2013年10月22日
（Python）
来自sympy导入因子
如果n>1，则返回和（[int（n*e/p）for p，e in factorint（n）.items（）]），否则为0
（鼠尾草）
F=[]，如果n==0，其他系数（n）
返回n*sum（f为g/f，f为g）
（间隙）
i->乘积（i）*总和（i，j->1/j））#穆尼鲁A阿西鲁2017年8月31日
（APL，Dyalog方言）A003415号← { ⍺←(0 1 2) ⋄ ⍵≤1:⊃⍺ ⋄ 0=(3⊃⍺)|⍵:((⊃⍺+(2⊃⍺)×(⍵÷3⊃⍺)) ((2⊃⍺)×(3⊃⍺)) (3⊃⍺)) ∇ ⍵÷3⊃⍺ ⋄ ((⊃⍺) (2⊃⍺) (1+(3⊃⍺))) ∇ ⍵} ⍝安蒂·卡图恩2024年2月18日
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交叉参考
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参见。A328235型（最小k>0，使得对于某些自然数u，（n+k）'=u*n'）。
参见。A328236型（最小m>1，使得对于某些自然数u，（m*n）'=u*n'）。
参见。A328383型（最小k，使得n的第k个导数是n的倍数或除数，但不是两者都是）。
参见。A038554号（另一个序列名称中使用了“导数”，但涉及n的二进制展开）。
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作者
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