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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A003415 a(n)=n'=n的算术导数:a(0)=a(1)=0,a(素数)=1,a(mn)=m*a(n)+n*a(m)。
(原M3196)
638
0、0、0、1、1、1、4、1、5、1、1、12、6、7、1、16、1、1、9、8、32、1、21、21、1、24、10、13、1、44、10、15、27、32、1、31、1、80、14、19、12、60、1、21、16、68、1、41、1、48、39、25、1、1、112、11、25、1、112、14、45、20、56、16、16、56、1、81、16、92、22、31、31、1、92、33、51、192、18、18、61、1、72、26、59、59、1、156、39、39、39、41、41、33、51、192、18、61、61、72、72 55,80,18,71 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,5个

评论

可以通过定义a(-n)=-a(n)扩展为负数。

基于函数微分的乘积法则:对于函数f(x)和g(x),(fg)'=f'g+fg'。所以对于数字,(ab)'=a'b+ab'。这意味着1'=0-克里·米切尔2004年3月18日

一个数x相对于质数p的导数为数“dx/dp”=(x-x^p)/p,这是费马小定理得出的整数Alexandru Buium,2004年3月18日

关系式(ab)'=a'b+ab'意味着1'=0,但它并不意味着p'=1。事实上,定义在素数上的任何函数f都可以唯一地扩展到满足这个关系的整数上的函数:f(乘积_i p_i^e_i)=(积๨i p_i^e_i)*(Sum_i e_i*f(p i)/p_i)-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2006年11月7日

a(m*p^p)=(m+a(m))*p^p,p素数:a(m*A051674号(k) )=邮编:A129283(米)*A051674号(k) 一-莱因哈德·祖姆凯勒2007年4月7日

看到了吗A131116A131117记录值及其发生的位置-莱因祖勒2007年6月17日

设n是k素数的多集P的乘积。考虑一个k维盒,它的边是P的元素,那么这个盒的(k-1)维面是2a(n)。例如,2a(25)=20,即5×5正方形的周长。同样地,2a(18)=42,一个2x3x3盒子的表面积-大卫·W·威尔逊2011年3月11日

算术导数n'可能是第一次由西班牙数学家JoséMingot Shelly于1911年6月在“Tercer congressional para el Progreso de las Ciencias,Granada”上发表的“Una cuestión de la teoría de los números”介绍,参见Zentralblatt MATH摘要链接和L.E.Dickson,数论史-乔治·巴尔扎罗蒂2013年10月19日

a(A235991年(n) )奇数;a(A235992年(n) )甚至-莱因哈德·祖姆凯勒2014年3月11日

序列A157037号列出带有素数算术导数的数字,即这个序列中素数的索引-M、 哈斯勒2015年4月7日

也许最简单的“自然延伸”的算术导数,在上述评论的精神富兰克林·T·亚当斯·沃特斯primep(基于primep的序列),其中“primep”是A258851号. 当f被选为身份映射时(在素数上),我们得到A066959号. -M、 哈斯勒2015年7月13日

当n是复合时,a(n)的下界是2*sqrt(n),当n是素数的平方时,a(n)有上界(n/2)*((logn)/(log2)),当n是2的幂次时,a(n)具有相等的下界-丹尼尔放弃了2016年6月22日

参考文献

G、 Balzarotti,P.P.Lava,La derivata aritmetica,Editore U.Hoepli,米兰,2013年。

E、 巴博,问题,加纳德。数学。国会记录,5(1973年4月第8号),第6-7页。

五十、 狄克森:《数论史》,第一卷,第十九章,p。451,多佛版,2005年。(作品最初发表于1919年。)

A、 M.Gleason等人,《威廉·洛威尔·普特南数学竞赛:1938-1964年的问题与解决方案》,数学。美国协会,1980年,p。295

N、 J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

链接

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克拉斯米尔T.阿塔那索夫,第n个素数的一个公式,Comptes rendus de l'Académie bulgare des Sciences,第66卷,2013年第4期。

E、 巴博,关于一个算术导数的注记,卡纳德。数学。牛。第4卷,第2期,1961年5月。

A、 别姆,主页

A、 别姆,p-adic域上Abelian变种的差异特征,发明。数学。122(1995年),第2号,309-340。

A、 别姆,p喷流的几何结构,杜克数学。J、 82(1996年),第2号,349-367。

A、 别姆,导数的算术类比,J.代数198(1997),第1期,290-299。

A、 别说了,微分模形式,J.Reine Angew。数学。520(2000年),95-167。

何塞·马丽亚·格雷乌和安东尼奥·奥勒·马克恩,Giuga数与算术导数《整数序列杂志》,第15卷(2012年),#12.4.1。

R、 K.盖伊,写给N.J.A.Sloane的信,1975年4月

P、 Haukkanen,M.Mattila,J.K.Merikoski和T.Tossavainen,算术导数可以定义在非唯一的因式分解域上吗?《整数序列杂志》,16(2013),#13.1.2.-N、 斯隆2013年2月3日

A、 卡图宁,LODA汇编程序

J、 科维奇,算术导数与反导数《整数序列杂志》15(2012),第12.3.8条。

伊瓦尔斯·彼得森,推导数的结构,科学新闻,2004年3月20日。

D、 J.M.雪莉,这是一个很好的例子,协会特别是格拉纳达1911年,1-12 S(1911年)。(zbMATH.org上参考文献JFM42.0209.02摘要)

维克多·乌夫纳洛夫斯基和博兰德,如何区分数字《整数序列杂志》,第6卷,2003年,#03.3.4。

琳达·韦斯特里克,导数调查次数2003年西门子基金会竞赛和2004年英特尔科学人才搜索。

维基百科,算术导数

公式

如果n=乘积p_i^e_i,a(n)=n*和(e_i/p_i)。

对于n>1:a(n)=a(A032742号(n) )*A020639号(n)+A032742号(n) 一-莱因哈德·祖姆凯勒2011年5月9日

a(n)=n*和{p | n}vupp(n)/p,其中v_p(n)是素数p除n的最大幂-韦斯利·伊万受伤了2015年7月12日

对于n>=2,和{k=2..n}[1/a(k)]=pi(n)=A000720(n) ,其中[x]代表x的整数部分(参见K.T.Atanassov的文章)-伊万·N·伊纳基耶夫2019年3月22日

A、 H.M.斯梅茨2020年1月17日:(开始)

Lim{n->inf}(1/n^2)*Sum{i=1..n}a(i)=A136141号/2。

Lim{n->inf}(1/n)*Sum{i=1..n}a(i)/i=A136141号.

a(n)=n当且仅当n=p^p,其中p是质数。(结束)

例子

6'=(2*3)'=2'*3+2*3'=1*3+2*1=5。

注意,例如,2'+3'=1+1=2,(2+3)'=5'=1。所以'不是线性的。

G、 f.=x^2+x^3+4*x^4+x^5+5*x^6+x^7+12*x^8+6*x^9+7*x^10+。。。

枫木

A003415:=proc(n)局部B,m,i,t1,t2,t3;B:=100000000039;如果n<=1,则返回(0);金融机构;如果是isprime(n),则返回(1);金融机构;t1:=i系数(B*n);m:=nops(t1);t2:=0;对于从1到m的i,t3:=op(i,t1);如果nops(t3)=1,则t2:=t2+1/op(t3);否则t2:=t2+op(2,t3)/op(op(1,t3));外径:t2:=t2-1/B;n*t2;结束;

A003415:=过程(n)

局部a、f;

a:=0;

对于因子(n)[2]中的f

a:=a+op(2,f)/op(1,f);

结束do;

不适用;

结束过程:#R、 J.马萨2012年4月5日

数学

a[n\:=如果[Abs@n<2,0,n Total[#2/#1&@@@FactorInteger[Abs@n]]];(*迈克尔·索莫斯2011年4月12日*)

dn[0]=0;dn[1]=0;dn[n-负]:=-dn[-n];dn[nü]:=模[{f=转置[factoranteger[n]]},如果[PrimeQ[n],1,则总计[n*f[[2]]]/f[[1]]]];表[dn[n],{n,0,100}](*T、 D.不2012年9月28日*)

黄体脂酮素

(平价)A003415(n) ={local(fac);如果(n<1,0,fac=因子(n);sum(i=1,matsize(fac)[1],n*fac[i,2]/fac[i,1])}/*迈克尔·B·波特2009年11月25日*/

(同等)适用(A003415(n) =向量求和([n/f[1]*f[2]| f<-因子(n+!n)~]),[0..99])\\M、 哈斯勒2013年9月25日,2019年11月27日更新

(平价)A003415(n) ={my(s=0,m=1,spf);而(n>1,spf)=A020639号(n) ;n/=spf;s+=m*n;m*=spf);(s) ;}\\安蒂·卡尔图宁2021年3月10日

(哈斯凯尔)

a003415 0=0

a003415 n=ad n a000040_列表,其中

公元1年∗=0

广告n ps'@(p:ps)

| n<p*p=1

| r>0=ad n ps

|否则=n'+p*ad n'ps',其中

(n',r)=divMod n p

--莱因哈德·祖姆凯勒2011年5月9日

(MAGMA)Ad:=func<h | h*(&+[因子分解(h)[i][2]/因子分解(h)[i][1]:i in[1;[n le 1在[0..80]中选择0 else Ad(n):n//布鲁诺·贝尔塞利2013年10月22日

(蟒蛇)

来自sympy import factont

定义A003415(n) 公司名称:

如果n>1,则返回sum([int(n*e/p)for p,e in factorint(n.items()]),否则为0

#柴华武2014年8月21日

(圣人)

定义A003415(n) 公司名称:

F=[]如果n==0,则其他因子(n)

g/f的总和

[A003415(n) 对于范围(79)中的n#彼得·卢什尼2014年8月23日

(间隙)

A003415:=串联([0,0],列表(列表([2..10^3],因子),

i->积(i)*和(i,j->1/j))#阿西鲁2017年8月31日

交叉引用

囊性纤维变性。A086134号(n’)的最小素数因子。

囊性纤维变性。A086131号(n'的最大素因子)。

囊性纤维变性。A068719号(2n的导数)。

囊性纤维变性。A068720(n^2的导数)。

囊性纤维变性。A068721号(n^3的导数)。

囊性纤维变性。A001787型(2^n的导数)。

囊性纤维变性。A027471号(3^n的导数)。

囊性纤维变性。A085708号(10^n的导数)。

囊性纤维变性。A068327号(n^n的导数)。

囊性纤维变性。A024451号p的导数。

囊性纤维变性。A068237号(1/n导数的分子)。

囊性纤维变性。A068238号(1/n导数的分母)。

囊性纤维变性。A068328号(无平方数的导数)。

囊性纤维变性。A068311号(n的导数!)。

囊性纤维变性。邮编:A168386(n的导数!!)。

囊性纤维变性。A260619号(高阶乘(n)的导数)。

囊性纤维变性。A260620型(超工厂(n)的衍生物)。

囊性纤维变性。A068312号(三角数的导数)。

囊性纤维变性。A068329号(Fibonacci(n)的导数)。

囊性纤维变性。A0371号(分区数的导数)。

囊性纤维变性。A099301(d(n)的导数)。

囊性纤维变性。A099310型(phi(n)的导数)。

囊性纤维变性。A327860(n的基展开素积形式的导数)。

囊性纤维变性。A068346号(n的二阶导数)。

囊性纤维变性。A099306号(n的三阶导数)。

囊性纤维变性。A258644号(n的四阶导数)。

囊性纤维变性。A258645号(n的五阶导数)。

囊性纤维变性。A258646号(n的六阶导数)。

囊性纤维变性。A258647号(n的七阶导数)。

囊性纤维变性。A258648号(n的八阶导数)。

囊性纤维变性。A258649号(n的九阶导数)。

囊性纤维变性。A258650(n的十阶导数)。

囊性纤维变性。邮编:A185232(n的n阶导数)。

囊性纤维变性。A258651号(A(n,k)=n的第k个算术导数)。

囊性纤维变性。A085731号(gcd(n,n’),A057521号(gcd(n,(n')^k)表示所有k>=2)。

囊性纤维变性。A342014型(n'mod n),A341998飞机(A003557号(n’),A342001型(n'/A003557号(n) )。

囊性纤维变性。A098699号(至少x使得x'=n,n的反导数)。

囊性纤维变性。A098700型(n使得x'=n没有整数解)。

囊性纤维变性。A099302号(x'=n的解的个数)。

囊性纤维变性。A099303号(最大x使得x'=n)。

囊性纤维变性。A051674号(n使得n’=n)。

囊性纤维变性。A083347号(n使得n’<n)。

囊性纤维变性。A083348号(使n'>n)。

囊性纤维变性。A099304型(最少k,使(n+k)'=n'+k')。

囊性纤维变性。A099305型(n+k)'=n'+k'的解数。

囊性纤维变性。A328235飞机(最小k>0使得(n+k)'=u*n'对于某些自然数u)。

囊性纤维变性。A328236(对于某些自然数u,m*n)'=u*n'(最小m>1)。

囊性纤维变性。A099307型(最小k使得n的第k个算术导数为零)。

囊性纤维变性。A099308号(对于某些k,n的第k个算术导数为零)。

囊性纤维变性。A099309号(n的第k个算术导数对于所有k都是非零的)。

囊性纤维变性。A129150号(2^3的n阶导数)。

囊性纤维变性。A129151(3^4的n阶导数)。

囊性纤维变性。A129152号(5^6的n阶导数)。

囊性纤维变性。邮编:A189481(x'=n有唯一解)。

囊性纤维变性。A190121号(部分金额)。

囊性纤维变性。A258057号(第一个区别)。

囊性纤维变性。A229501号(n除以第n部分和)。

囊性纤维变性。A165560号(奇偶校验)。

囊性纤维变性。A235991年(n'是奇数),A235992年(n’是偶数)。

囊性纤维变性。A327863飞机,A327864飞机,A327865飞机(n'是3、4、5的倍数)。

囊性纤维变性。A157037号(n'是质数),邮编:A192192(n''是质数),A328239飞机(n’’是素数)。

囊性纤维变性。A328393(n'为无平方数),A328234飞机(无平方且>1)。

囊性纤维变性。A328244飞机(n''为无平方数),A328246(n’’是无平方的)。

囊性纤维变性。A328303(n'不是平方自由的),A328252(n'是平方自由的,但n不是)。

囊性纤维变性。A328248(最小k使得n的(k-1)-次导数是无平方的)。

囊性纤维变性。A328251(对于任何k>=0,k阶算术导数永远不是无平方的)。

囊性纤维变性。A256750型(最小k使得k阶导数为0或具有因子p^p)。

囊性纤维变性。A327928飞机(使p^p除n的不同素数p的数目)。

囊性纤维变性。A342003型(除n的素数幂p^k的最大指数k)。

囊性纤维变性。A327929飞机(n'至少有一个p^p形式的除数)。

囊性纤维变性。A327978飞机(n'是原始数>1)。

囊性纤维变性。A328243(n'是原始数的部分和且大于1)。

囊性纤维变性。A328310(n'的最大素数减去n的最大素数指数)。

囊性纤维变性。A328320型(n'的最大素指数小于n的最大素指数)。

囊性纤维变性。A328321(n'的最大素数指数>=n的素数指数)。

囊性纤维变性。A328383飞机n的一个导数,或者不是n的最小除。

囊性纤维变性。A263111(a的序数变换)。

囊性纤维变性。A300251,A319684型(Möbius和逆Möbius变换)。

囊性纤维变性。A305809型(Dirichlet卷积平方)。

囊性纤维变性。A069359号(类似于无平方数的公式)。

囊性纤维变性。A258851号(基于pi的n的算术导数)。

囊性纤维变性。A328768飞机,A328769飞机(n的基于原始的算术导数)。

囊性纤维变性。A328845型,A328846飞机(基于Fibonacci的n的算术导数)。

囊性纤维变性。A302055,A327963,A327965飞机,A328099型(对于其他变体和修改)。

囊性纤维变性。A038554号(另一个名称中使用“导数”的序列,但涉及n的二进制展开)。

上下文顺序:A024919号 A328385飞机 A328099型*A302055 A086300型 A028271

相邻序列:A003412号 A003413号 A003414号*A003416号 A003417型 A003418号

关键字

,容易的,美好的,听到,

作者

N、 斯隆,R、 K.盖伊

扩展

更多条款来自米歇尔·滕沃德2001年4月11日

状态

经核准的

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