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有限群

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有限群是组具有有限的集团订单有限群的示例有模乘法群,点编组,循环的，循环的组,二面体群,对称的组,交替群等等。

有限群的性质在Wolfram语言作为FiniteGroup数据[组,支柱].

这个有限群的分类定理声明有限简单组可以完全分为五种类型之一。

有限集团8

可视化组的一种方便方法是使用所谓的循环图，它显示了给定摘要组例如，5个8阶非同构群的圈图为如上图所示（Shanks 1993，第85页）。

弗鲁希特定理说明每个有限群都是图自同构群有限的无向图.

有限（循环）群C_2构成幽默的卡佩拉歌曲的主题有限简单组（2阶）“西北大学数学系披肩乐队“Klein Four”

下表列出了集团订单 小时对于小型小时.在表格中，C_n（_n）表示循环群属于组秩序 n个,×一组直接产品,编号（_n）一二面体群,问题8这个四元数群,自动（_n）一个交替组,T型12阶非阿贝尔有限群A_4类而不是D_6（和是不纯旋转子群T型点编组的T_h（_h）),G_（16）^（4）准面体（或半面体）阶群16个小组演示文稿 <s，t；s^8=t^2=1，st=ts^3>,G_（16）^（5）16阶模群组演示 <s，t；s^8=t^2=1，st=ts^5>,G_（16）^（6）具有16阶的组分组演示 <s，t；s^4=t^4=1，st=ts^3>,G_（16）^（7）16阶群组演示 <a、b、c；a^4=b^2=c^2=1，cbca^2b=1，bab=a，cac=a>,G_（16）^（8）小组G_（4,4）具有小组演示文稿 <s，t；s^4=t^4=1，stst=1，ts^3=st^3>,G_（16）^（9））广义四元数16阶组小组演示文稿 <s，t；s^8=1，s^4=t^2，sts=t>,S_n（_n）一对称的组,G_（18）^（3）的半直积C_3×C_3具有C_2具有小组演示文稿 <x，y，z；x^2=y^3=z^3=1，yz=zy，yxy=x，zxz=x>,表格（_n）弗罗贝尼乌斯秩序n个,G_（20）^（3）的半直积C_5通过C_4号机组具有小组演示文稿 <s，t；s^4=t^5=1，tst=s>,G_（27）^（1）具有的组组演示 <s，t；s^9=t^3=1，st=ts^4>,G_（27）^（2）具有的组组演示 <x，y，z；x^3=y^3=z^3=1，yz=zyx，xy=yx，xz=zx>,和G_（28）^（2）的半直积C_7通过C_4号机组具有小组演示文稿 <s，t；s^4=t^7=1，tst=s>

小时#阿贝尔（Abelian）#非阿贝尔人全部的
11<e>0-1
21C_20-1
三1C_3号0-1
42C_4号机组,C2×C20-2
51C_50-1
61碳-61D_3（D_3）2
71C_70-1
8三C_8号,C_2×C_4,C2×C2×C22D_4（D）,问题85
92C_9,C_3×C_30-2
101C_（10）1D_52
111C_（11）0-1
122C_（12）,C_2×C_6三A_4类,D_6,T型5
131C_（13）0-1
141C_（14）1D_72
151C_（15）0-1
165C_（16）,C_8×C_2,C_4×C_4,C_4×C_2×C_2,C_2×C_2×C2×C_29D_8号,D_4×C_2,Q×C_2,G_（16）^（4）,G_（16）^（5）,G_（16）^（（6））,G_（16）^（（7））,G_（16）^（8）,G_（16）^（9））14
171C_（17）0-1
182C_（18）,C_6×C_3三D_9,S_3×C_3,G_（18）^（3）5
191C_（19）0-1
202C_（20）,C_（10）×C_2三D_（10）,F_（20）,G_（20）^（2）5
211C_（21）1F_（21）2
221C_（22）1D_（11）2
231C_（23）0-1
24三C_（24）,C_2×C_（12）,C2×C2×C_612S_4号机组,S_3×C_4,S_3×C_2×C_2,D_4×C_3,Q×C_3,A_4×C_2,T×C_2，加上5个其他15
252C_（25）,C_5×C_50-2
261C_（26）1D_（13）2
27三C_（27）,C_9×C_3,C3×C3×C_32G_（27）^（1）,G_（27）^（（2））5
282C（28）,C_2×C_（14）2D_（14）,G_（28）^（2）4
291C_（29）0-1
304C_（30）三D_（15）,D_5×C_3,D_3×C_54
311C_（31）0-1

下表列出了小型有限群的一些属性。在这里小时再次是组顺序，PG表示组可以由单个置换，MMG表示一个群是模乘群，C类是共轭类的数量，S公司是子组的数量，以及N个是正常子群的数量。请注意，最小的既不是置换群也不是模乘群的群是问题8,C_3×C_3、和T型.

小时组阿贝尔（Abelian）第页MMG公司C类C类长度S公司S公司长度N个计数A类科学技术。A ^i=1
1<e>对对对111111
2C_2对对不22×121, 221, 2
三C_3号对对对三3×121, 321,1, 3
4C_4号机组对对对44×1三1, 2,4三1, 2, 1, 4
C2×C2对不对44×151,3×2, 451, 4, 1, 4
5C_5对对不55×121, 421, 1, 1, 1, 5
6碳-6对对对66×141, 2, 3, 641,2, 3, 2, 1, 6
D_3（D_3）不对不三1, 2, 361,3×2,3, 6三1, 4, 3, 4, 1, 6
7C_7对对不77×121, 721, 1, 1, 1, 1, 1, 7
8C_8对对对88×141, 2,4, 841, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 8
C_2×C_4对不对88×181,3×2,3×4, 841,4, 1, 8, 1, 4, 1, 8
C2×C2×C2对不对88×1161,7×2,7×4, 841, 8, 1, 8, 1, 8, 1, 8
D_4（D）不对不52×1,3×2101,5×2,3×4, 861, 6, 1, 8, 1, 6, 1, 8
问题8不不不52×1,3×261, 2,3×4,861, 2, 1, 8, 1, 2, 1, 8
9C_9对对不99×1三1, 3,9三1, 1, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 9
C_3×C_3对不不
10C_（10）对对对1010×141, 2, 5, 1041, 2, 1, 2, 5, 2, 1, 2, 1, 10
D_5不对不41,2×2,581,5×2, 5, 10三1,6, 1, 6, 5, 6, 1, 6, 1, 10
11C_（11）对对不1111×121, 1121, 1, 1, 1, 1, 1,1, 1, 1, 1, 11
12C_（12）对对对1212×161, 2, 3, 4, 6, 1261, 2,3, 4, 1, 6, 1, 4, 3, 2, 1, 12
C_2×C_6对不对1212×1101,3×2,3, 4,3×6,12101, 4, 3, 4, 1, 12, 1, 4, 3, 4, 1,12
A_4类不对不41, 3,2×4101,3×2,4×3, 4, 12三1,4, 9, 4, 1, 12, 1, 4, 9, 4, 1, 12
D_6不对不62×1,2×2,2×3161,7×2, 3,3×4,3×6, 1281,8, 3, 8, 1, 12, 1, 8, 3, 8, 1, 12
T型不不不62×1,2×2,2×381, 2,三，3×4, 6, 12三1, 2, 3, 8, 1, 6, 1, 8, 3, 2, 1, 12
13C_（13）对对对1313×121, 1321,1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 13
14C（14）对对不1414×141, 2, 7, 1441, 2, 1, 2, 1, 2, 7, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 14
D_7不对不51,3×2, 7101,7×2, 7, 14三1, 8, 1, 8, 1, 8, 7, 8, 1, 8, 1, 8, 1, 14
15C_（15）对对不1515×141, 3,5, 1541, 1, 3, 1, 5, 3, 1, 1, 3, 5,1, 3, 1, 1, 15

非同构有限阶群的判定问题小时Cayley（1854）首先考虑了这一点。没有已知的公式给出可能的有限群的数目克（小时）作为的函数组秩序 小时.然而，对于特殊形式的小时.

克（1）=1
(1)
克（p）=1
(2)
克（pq）={1如果p（q-1）；如果p|（q-1）为2
(3)
g（第^2页）=2
(4)
g（第^3页）=5,
(5)

哪里对和q> 第页是不同的素数。此外，由于Hölder，还有一个漂亮的算法（Hölder 1895，Alonso 1976）用于确定克（n）用于无平方n个，即

g（n）=总和（d|n）乘积（p|d；d！=1）（p^（o_p（n/d））-1）/（p-1），
(6)

哪里OP（米）是质数q个这样的话q|m（平方米）和p|（q-1）（丹尼斯）。

Miller（1930）给出了订单1-100的组数，包括错误的297个集团订单64.高级而伦恩（1934年、1935年）随后完成了215项，但省略了128项和192。组的数量集团订单64是Hall and Senior（1964）中进行了更正。詹姆斯等。（1990）发现2328组在115中等倾家庭组秩序128，纠正了之前的工作，O'Brien（1991）发现了组的数量属于集团订单256.目前，组的数量以2047年之前的订单而闻名，困难的订单为512(克（512）=10494213; Eick和O'Brien 1999b），768（Besche和Eick2001ab），现在有1024家停业（康威等。2008). 非同构数有限群N个每个的集团订单 小时下表列出了前几百份订单（组织环境信息系统A000001号--第一个序列）。这个非同构序群的个数2 ^n个对于n=0, 1, ... 是1、1、2、5、14、51、267、2328、56092。。。（组织环境信息系统A000679号).

最小的订单小时为此存在n=1,2, ... 非同构群是1，4，75，28，8，42。。。（组织环境信息系统A046057号).增量最大数量的非同构有限群是1，2，5，14，15, 51, 52, 267, 2328, ... （组织环境信息系统A046058型),发生在订单1、4、8、16、24、32、48、64、128。。。（组织环境信息系统A046059号).丹尼斯推测克（小时）订单的小时假设每个正整数都是一个无限值次。

很容易确定阿贝尔群使用克罗内克分解定理,至少有一个阿贝尔群对于每个有限阶小时.数字A类属于阿贝尔群属于组秩序 h=1,2, ... 由1、1、1。。。（组织环境信息系统A000688号).下表总结了有限组的总数N个和Abelian有限群的数目A类用于订单小时从1到400。罗伊尔提供了1000份订单表；这个间隙软件包包括有限群数量表不超过2000订单，不包括1024。给定阶数的有限群的数量为在中实现Wolfram语言作为有限组计数[n个].

小时N个A类小时N个A类小时N个A类小时N个A类
11151111011115111
21152521024115212三
三1153111031115322
4225415三10414三15441
51155211052115521
6215613三10621156182
71157211071115711
85三582110845615821
92259111091115911
102160132110611602387
111161111112116111
12526221112435162555
131163421131116311
142164267111146116452
151165111151116521
1614566411165216621
171167111174216711
185268521182116857三
191169111191116922
2052704112047三17041
212171111212217152
2221725061222117242
231173111231117311
2415三74211244217441
252275三21255三17522
26217642126162176425
275三77111271117711
2842786112823281517821
291179111292117911
30418052513041180374
3111811551311118111
32517822113210218241
331183111331118321
3421841521342118412三
351185111355三18511
36144862113615三18661
371187111371118711
38218812三1384118842
392189111391118913三
4014三9010214011219041
411191111411119111
4261924214221192154311
431193211431119311
444294211441971019421
452295111451119521
462196231714621196174
471197111476219711
48525985214852198102
492299221491119911
5052100164150132200526
小时N个A类小时N个A类小时N个A类小时N个A类
20121251113012135114三
20221252464302213521957
20321253213031135311
2041222542130442535441
20521255113052135521
20621256560922230610235652
20722257113071135721
208515258613089235821
20911259113092135911
210121260152310613601626
21111261223111136122
212522622131261三36221
213112631131311363三2
2142126439三31421364112
21511265113154236511
2161779266413164236661
21711267113171136711
218212684231841368425
21921269113191136922
22015227030三32016401137041
22111271113211137111
2226127254532241372152
22311273513231137311
2241977274213241761037441
2256427542325223757三
226212761023262137612三
22711277113272137711
2281522782132815三37860三
22911279423291137911
2304128040三330121380112
23121281113311138121
23214三282413324238221
23311283113335238311
23416228442334213842016915
23511285213351138521
2364228641336228538621
23721287113371138742
238412881045143385238852
23911289223391138911
240208529041340152390121
24111291213411139111
2425229252342182392446
243677293113435三39311
2445229423234412三39421
24522295113451139511
2464129614三34621396304
247112975三3471139711
24812三2982134812239821
24911299113491139951
25015三30049435010240022110

另请参阅

阿贝尔集团,阿比扬卡猜想,交替分组,伯恩赛德问题,Cauchy-Frobenius引理,Chevalley集团,分类有限群定理,合成系列,连续组,晶体学的点编组,循环图,循环（Cyclic）集团,二面体群,离散的集团,费特汤普森定理,弗鲁希特的定理,集团,集团订单,无限群,乔丹·霍尔德定理,克罗内克分解定理,李群,谎言类型集团,线性组,模乘法组,正交群,对-组,点编组,四元数组,简单集团,零星群体,对称的集团,辛群,扭曲的Chevalley集团,Unitary集团 在数学世界课堂上探索这个主题

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埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“有限群。”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/FiniteGroup.html

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