阿贝尔集团

阿贝尔群是组其中的元素通勤（即。，对于所有元素和). 因此阿贝尔群对应与分组对称的 乘法桌子.

全部循环群是阿贝尔群，但阿贝尔群不一定循环的，循环的.全部子组阿贝尔群的正常的.在阿贝尔语中组中，每个元素都位于共轭类通过自身，以及字符表涉及权力被称为群发生器.

在Wolfram语言，函数Abelian集团[n个1,n个2, ...]表示循环度组的直积,, ....

没有已知的通用公式可以给出非同构数有限群给定的集团订单然而，数字非同构阿贝尔的有限群 任何给定的集团订单 以书面形式给出作为

其中是不同的基本因子，然后

哪里是配分函数，已实现在中Wolfram语言作为有限AbelianGroupCount[n个].的值对于,2, ... 是1、1、1，2、1、一、1、3、2。。。（组织环境信息系统A000688号).

最小订单, 2, 3, ... 存在的非同构阿贝尔群为1，4，8, 36, 16, 72, 32, 900, 216, 144, 64, 1800, 0, 288, 128, ... （组织环境信息系统A046056号),其中0表示不可能的数（即不是分区数的乘积）非同构阿贝尔群。“缺失”值为13、17、19、23、，26, 29, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 43, 46, ... （组织环境信息系统A046064号).作为阶函数的阿贝尔群增量最大数为1，2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, ... （组织环境信息系统A046054号),发生在订单1、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、，…（OEIS）A046055型).

这个克罗内克分解定理声明每有限的，有限的阿贝尔群可以写作为一个集团直接产品属于循环的，循环的组属于首要的 权力 集团订单。如果组秩序的有限群是一个首要的 然后存在一个阿贝尔订单组（表示)没有非阿贝尔集团。如果集团订单是一个素数平方,然后有两个阿贝尔群（表示为和。如果集团订单是素数立方,然后有三个阿贝尔群（表示为,、和)，共五组。如果订单是产品两个素数和,那么就有了正好一个阿贝尔群集团订单 （表示).

另一个有趣的结果是，如果表示非同构阿贝尔群的数目集团订单 ，然后

哪里是黎曼-泽塔函数.

阿贝尔阶群的个数由1、2、3、5、6、7、8、11、13、14、15、17，18, 19, 20, 25, ... （组织环境信息系统A063966美元)的, 2, .... 斯里尼瓦桑（1973）也显示出

哪里

（组织环境信息系统A021002美元,A084892号、和A084893号)和又是黎曼zeta函数请注意，Richert（1952）错误地给出了.总额也可以用明确的形式书写

DeKoninck和Ivic（1980）表明

哪里

（组织环境信息系统A084911号)产品结束了吗素数 和又是隔板功能.

Neumann（1969）和Pyber（1993）给出了非同构非阿贝尔群数量的界。

有许多涉及阿贝尔团体的数学笑话（Renteln和Dundes，2005年）：

Q： 紫色和通勤是什么？A： 阿贝尔葡萄。

Q： 什么是薰衣草和通勤？A： 阿贝尔半葡萄。

Q： 什么是紫色，通勤，被少数人崇拜？A： 一种备受尊崇的阿贝尔葡萄。

Q： 什么是营养和通勤？A： 阿贝尔汤。