搜索： a084158-编号：a0841五十八
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0, 2, 10, 60, 348, 2030, 11830, 68952, 401880, 2342330, 13652098, 79570260, 463769460, 2703046502, 15754509550, 91824010800, 535189555248, 3119313320690, 18180690368890, 105964828892652, 617608282987020
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Florentin代数乘法程序，FAMP代码：1jesleftseq[A*B]，A=-.5'i+.5'j-.5i'+.5j'+'kk'-.5'k'-0.5'k'-0.5'ki'-.5'kj'和B=-.5'j+.5'k-.5j'+.5k'-'i'-.5''ki
与sqrt（2）连分式（即1、2、-10、60、-348、2030、-11830、68952…）的连续收敛点之间的差的倒数有关。1/1 + 1/2 - 1/10 + 1/60 - 1/348 + 1/2030 + ... = 平方米（2）。2, 10, 60, ... 是sqrt（2）的两个连续收敛的分母的乘积（例如，11830＝70*169，参见。A000129号（弹丸数量））-杰拉尔德·麦卡维2006年2月28日
a（n）是有序毕达哥拉斯三元组（x（n），y（n）=x（n，+1，z（n））的偶支（b（n）的一半。事实上b（n）=x（n）+（1-（-1）^n）/2:x（0）=0，b（0）=0，a（0）=0；x（1）=3，b（1）=4，a（1）=2-乔治·约翰逊，2012年8月13日
给定一个由A001110号（n+1）个元素，将其视为图层的总和，每个图层都有奇数个元素（所有图层加在一起都是连续奇数的总和），a（n）是最后一个图层的数量，我们必须从平方中减去它才能得到一个平方A002965号（2*（n+1））^4个元素-丹尼尔·波维达·帕里拉2016年7月17日
也可以将m编号为8*m^2-4*m+1或8*m*2+4*m+1是一个完美的平方（那么平方根就是A001653号). -拉明·恩戈姆2023年7月25日
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配方奶粉
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总尺寸：2*x/（（x+1）*（x^2-6*x+1））。
a（n）=（（平方码（2）+1）^（2*n+1）-（平方码已由更正伊利亚·古特科夫斯基，2016年7月18日
4*a（n）*（2*a（n）+（-1）^n）+1=A000129号（2*n+1）^2是一个完美的正方形。
对于n>=0，a（n+1）=3*a（n）+（-1）^n+sqrt（4*a（n*）*（2*a（n-）+（-1^n）+1）。
当n>0时，a（n-1）=3*a（n）+（-1）^n-sqrt（4*a（n）*（2*a（n+（-1-）^n）+1）。
a（n+1）=6*a（n）-a（n-1）+2*（-1）^n。
a（n+1）=5*a（n）+5*a（n-1）-a（n-2）。
对于n>0，a（n+1）*a（n-1）=a（n）*（a（n）+2*（-1）^n）。
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数学
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表[Fibonacci[n，2]斐波纳契[n+1，2]，{n，0，20}]（*或*）
线性递归[{5，5，-1}，{0，2，10}，21]（*或*）
系数列表[级数[2 x/（（x+1）（x^2-6 x+1）），{x，0，20}]，x](*迈克尔·德·维利格2016年7月17日*）
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交叉参考
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关键词
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容易的，非n
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作者
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已批准
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1, 3, 5, 11, 13, 15, 19, 29, 35, 37, 43, 53, 59, 61, 67, 75, 83, 101, 107, 109, 119, 131, 139, 149, 157, 163, 173, 179, 181, 195, 197, 211, 227, 229, 251, 255, 269, 277, 283, 293, 307, 317, 331, 347, 349, 373, 375, 379, 389, 397, 419, 421, 435, 443, 455, 461, 467, 491, 499
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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有关此序列的素项，请参见A003629号此外，这些质数具有定义中的属性A175865号此序列的非素数项为1、15、35、75、119、195、255、375、435、455。。。
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链接
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示例
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3是一个项，因为1^2+2^2+5^2=30可以被3整除。
5是一个术语，因为1^2+2^2+5^2+12^2+29^2=1015可以被5整除。
13是一个术语，因为A084158号（13） =1351523251可被13整除。
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数学
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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已批准
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A000129号
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| 球数：a（0）=0，a（1）=1；对于n>1，a（n）=2*a（n-1）+a（n-2）。
（原名M1413 N0552）
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+10
739
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0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, 80782, 195025, 470832, 1136689, 2744210, 6625109, 15994428, 38613965, 93222358, 225058681, 543339720, 1311738121, 3166815962, 7645370045, 18457556052, 44560482149, 107578520350, 259717522849
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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有时也称为lambda数。
连分式的分母也收敛到sqrt（2）：1，3/2，7/5，17/12，41/29，99/70，239/169，577/408，1393/985，3363/2378，8119/5741，19601/13860，47321/33461，114243/80782=A001333号/A000129号。
从（0,0）到线x=n-1的晶格路径数，由U=（1,1），D=（1，-1）和H=（2,0）步组成（即Grand Schroeder路径的左因子）；例如，a（3）=5，计算路径H、UD、UU、DU和DD-Emeric Deutsch公司2002年10月27日
a（2*n）与b（2*n）：=A001333号（2*n），n>=1，给出佩尔方程b^2-2*a^2=+1的所有（正整数）解（见艾默生参考文献）。a（2*n+1）与b（2*n+1）：=A001333号（2*n+1），n>=0，给出Pell方程b^2-2*a^2=-1的所有（正整数）解。
考虑映射f（a/b）=（a+2b）/（a+b）。从a=b=1开始，在每个新的（约化的）有理数上重复进行映射，得到以下序列1/1、3/2、7/5、17/12、41/29。。。收敛到2^（1/2）。序列包含分母-阿玛纳斯·穆尔西2003年3月22日
这也是Horadam层序（0,1,1,2）。极限_｛n->oo｝a（n）/a（n-1）=sqrt（2）+1=A014176号. -罗斯·拉海耶2003年8月18日
132个避免二层可排序排列的数量。
对于n>0，（s（0），s（1）。。。，s（n）），当i=1,2，。。。，n、 s（0）=2，s（n）=3。
数量（s（0），s（1）。。。，s（n）），当i=1,2，。。。，n、 s（0）=1，s（n）=2。（结束）
计算从三角形的一个顶点到另一个添加了循环的顶点的长度为n的行走次数马里奥·卡塔拉尼（Mario Catalani），2004年7月23日
Pell素性检验是“如果N是一个奇素数，那么P（N）-Kronecker（2，N）可以被N整除”。“大多数”复合数没有通过这项测试，所以它是一个有用的伪素性测试。Pell伪素数（即通过上述测试的）的奇数复合数A099011号. -杰克·布伦南2004年11月13日
（0！a（1），1！a（2），2！a（3），3！a（4），…）和（1，-2，-2,0,0,0，…）在表分区变换和中描述的相关操作下形成倒数对A133314号. -汤姆·科普兰2007年10月29日
设C=（sqrt（2）+1）=2.414213562…，则对于n>1，C^n=a（n）*（1/C）+a（n+1）。例如：C^3=14.0710678…=5*（0.414213562…）+12。设X=2X2矩阵[0，1；1，2]；则X^n*[1，0]=[a（n-1），a（n）；a（n，a（n+1）]。a（n）=第n个收敛到（sqrt（2）-1）=0.414213562…=[2，2，2，…]的分子，收敛为[1/2，2/5，5/12，…]-加里·亚当森2007年12月21日
A=平方（2）=2/2+2/5+2/（5*29）+2/（29*169）+2/（169*985）+。。。；B=（（5/2）-平方（2））=2/2+2/（2*12）+2/（12*70）+2/。。。；A+B=5/2。C=1/2=2/（1*5）+2/（2*12）+2/-加里·亚当森2008年3月16日
相关收敛（分子/分母）：
序列的二项式变换：=0,1,0,2,0,4,0,8,0,16，。。。，2的幂与0交替-菲利普·德尔汉姆2008年10月28日
a（n）也是从Pascal三角形的前两行开始形成的三角形的第n行的和，然后每一行的两端都有一个1，内部值是该位置上方三角形中三个数字的和Patrick Costello（帕特·科斯特洛（AT）eku.edu），2008年12月7日
从偏移量1开始=三角形特征序列A135387号（主对角线上有（2,2,2，…），次对角线中有（1,1,1，…）的无限下三角矩阵）-加里·亚当森2008年12月29日
一般来说，连分式的分母a（k，n）和分子b（k，n）收敛到sqrt（（k+1）/k），如下所示：
设a（k，0）=1，a（k、1）=2k；对于n>0，a（k，2n）=2*a（k、2n-1）+a（k和2n-2）
和a（k，2n+1）=（2k）*a（k、2n）+a（k和2n-1）；
设b（k，0）=1，b（k、1）=2k+1；对于n>0，b（k，2n）=2*b（k、2n-1）+b（k和2n-2）
和b（k，2n+1）=（2k）*b（k、2n）+b（k和2n-1）。
例如，sqrt（2/1）的收敛从1/1、3/2、7/5、17/12、41/29开始。
一般来说，如果a（k，n）和b（k，n）是连分式的分母和分子，分别收敛到上面定义的sqrt（（k+1）/k），那么
k*a（k，2n）^2-a（k、2n-1）*a（k，2n+1）=k=k*a
b（k，2n-1）*b；
例如，如果k=1和n=3，那么a（1，n）=a（n+1）和
1*a（1,6）^2-a（1,5）*a（1.7）=1*169^2-70*408=1；
1*a（1,4）*a（1.6）-a（1,5）^2=1*29*169-70^2=1；
b（1,5）*b（1,7）-1*b（1.6）^2=99*577-1*239^2=2；
b（1,5）^2-1*b（1,4）*b（1,6）=99^2-1*41*239=2。
（结束）
从偏移量1开始=三角形的行和A155002号，相当于斐波那契数列与以“1”开头的佩尔数列卷积：（1，1，2，5，12，29，…）=（1，2、5、12，29…）-加里·亚当森2009年1月18日
似乎P（P）==8^（（P-1）/2）（mod P），P=素数；类似于[施罗德，第90页]：Fp==5^（（p-1）/2）（mod p）。示例：给定P（11）=5741，==8^5（mod 11）。给定P（17）=11336689，==8^8（mod 17），因为17除法（8^8-P（17-加里·亚当森2009年2月21日
对a（n-1）的另一种组合解释来自一个简单的平铺场景。即，a（n-1）给出了平铺一个1 X n矩形的方法数量，该矩形具有不可区分的1 X 2矩形和1 X 1方形，分为两种类型，例如a和B。例如，用C表示1 X 2长方形，我们从AAA、AAB、ABA、BAA、，ABB、BAB、BBA、BBB、AC、BC、CA和CB-马丁·格里菲斯2009年4月25日
a（n+1）=2*a（n）+a（n-1），a（1）=1，a（2）=2由斯米尔纳的席恩使用-斯图尔·舍斯特特2009年5月29日
第n个Pell数计算边标记图C_2 x P_（n-1）的完美匹配，或等效地计算2X（n-1”）柱面网格的多米诺瓷砖数-萨拉·玛丽·贝尔卡斯特罗2009年7月4日
作为分数：1/79=0.0126582278481…或1/9799=0.000102051229…（1/119和1/10199表示相反的顺序）-马克·多尔斯2010年5月18日
极限{n->oo}（a（n）/a（n-1）-a（n-1”/a（n））趋于2.0。示例：a（7）/a（6）-a（6）/a（7）=169/70-70/169=2.0000845-加里·亚当森2010年7月16日
数字k，使2*k^2+-1为正方形-文森佐·利班迪2010年7月18日
[u，v]=[a（n），a（n-1）]生成所有的毕达哥拉斯三元组[u^2-v^2，2uv，u^2+v^2]，它们的腿相差1-詹姆斯·布登哈根2010年8月14日
设2X2方阵A=[2，1；1，0]，则A（n）=A^（n-1）的（1,1）元素-卡米娜·苏里亚诺2011年1月14日
将t圆定义为与x轴和y轴相切的第一象限圆。这样一个圆的坐标等于它的半径。设C（0）为半径为1的t圆。然后，对于n>0，将C（n）定义为与C（n-1）相切的下一个较大的t圆。C（n）具有半径A001333号（2n）+a（2n）*sqrt（2），其与C（n+1）交点的每个坐标都是a（2n+1）+(A001333号（2n+1）*sqrt（2））/2。参见类似评论A001109号和A001653号2005年9月14日-查理·马里恩2012年1月18日
佩尔数也可以称为“银色斐波那契数”，因为，对于n>=1，F（n+1）=上限（phi*F（n）），如果n是偶数，F（n+1）=下限（phi*F（n），如果n是奇数，其中phi是黄金比率，而a（n+1-弗拉基米尔·舍维列夫2013年2月22日
a（n）是n-1分为两类1和一类2的组成数（有序分区）。例如：3-1=2的a（3）=5组成为1+1、1+1、1’+1、1‘+1’和2-鲍勃·塞尔科2013年6月21日
在1 X n阵列的每两个连续方块之间，有一个可以折叠在其中一个方块上的襟翼。两个襟翼可以通过两种方式降低到同一个方形上，具体取决于哪一个位于顶部。第n个Pell数计算n-1个襟翼的下降方式。例如，情况n=3个正方形和2个襟翼的侧向表示为\\.、.//、\./、./_.、._\.、。，哪里。是一个空方块-让·M·莫拉莱斯2013年9月18日
将a（-n）定义为a（n）表示n奇数，-a（n）代表n偶数。然后a（n）=A005319号（k） *（a（n-2k+1）-a（n-2k））+a（n-4k）=A075870号（k） *（a（n-2k+2）-a（n-2k+1））-a-查理·马里恩2013年11月26日
上述组合平铺解释的另一种公式：除了n=0外，a（n-1）是用1×1正方形和1×2多米诺骨牌部分平铺1×n板的方法数-马修·雷曼2013年12月25日
将a（-n）定义为a（n）表示n奇数，-a（n）代表n偶数。然后a（n）=A077444号（k） *a（n-2k+1）+a（n-4k+2）。此公式概括了用于定义此序列的公式-查理·马里恩2014年1月30日
a（n-1）是3X3矩阵[0,1,1；1,1,1；0,1,1]，[0,1,1,1，0,1；0,1，1]，[0，1,1，0]，[0,1,1，0；1,1，1]或[0，0,1，1]n次方的左上项-R.J.马塔尔2014年2月3日
a（n+1）计算K2上包含另一个顶点上两个循环的闭合行走。等价于A^（n+1）的（1,1）项，其中有向图的邻接矩阵为A=（0,1；1,2）-大卫·尼尔·麦格拉斯2014年10月28日
对于n>=1，a（n）等于长度为n-1的三元字的数量，避免奇数长度的零的运行-米兰Janjic2015年1月28日
这是一个可除序列（即，如果n|m，则a（n）|a（m））-汤姆·埃德加2015年1月28日
一个强可除序列，即所有正整数n和m的gcd（A（n），A（m））=A（gcd（n，m））-迈克尔·索莫斯2017年1月3日
a（n）是当1的顺序无关紧要时，或等效地，当1'的顺序无关紧要时，n-1分成两种部分n和n'的组合数（有序分区）。示例：当1的顺序无关紧要时，3-1=2的a（3）=5组分为1+1、1+1'=1+1、1'+1'、2和2'。（与来自鲍勃·塞尔科日期：2013年6月21日）-格雷戈里·西蒙2017年9月7日
｛1，…，n｝上弱单峰的弱序R的数量w.R.t.总序1<…<其中{1，…，n}正好有一个弱序R的最小元素-J.德维尔2017年9月28日
设A（r，n）是总长度为n的r个红色正方形和白色正方形的n+r平铺的有序排列总数，其中单个平铺的长度可以从1到n不等。设A_1（r，n）=Sum_{j=0..n}A（r，j），设A_s（r，n）=Sum_{j=0..n}A_（s-1）（r，j）。然后A_0（1，n）+A_2（3，n-4）+A_4（5，n-8）+…+A_（2j）（2j+1，n-4j）=A（n），无首字母0-格雷戈里·西蒙2018年5月25日
（1，2，5，12，29，…）是（1，-2，5，-12，29，..）的第四个INVERT变换，如所示A073133号. -加里·亚当森2019年7月17日
限制为奇数部分（和允许的零）的n的2-组成数；参见Hopkins&Ouvry参考资料-布莱恩·霍普金斯2020年8月17日
也称为2-metallonacci序列；g.f.1/（1-k*x-x^2）给出了k-metallonacci序列-迈克尔·艾伦2023年1月23日
卢卡斯（1878）以英国数学家约翰·佩尔（1611-1685）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2023年10月2日
a（n）是当有大小为i的F（i）部分时n的组成数，其中i，n>=1，F（n）为斐波那契数，A000045美元（n） （参见下面的示例）-恩里克·纳瓦雷特2023年12月15日
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参考文献
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链接
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配方奶粉
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G.f.:x/（1-2*x-x^2）-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。
G.f.：和{n>=0}x^（n+1）*（乘积{k=1..n}（2*k+x）/（1+2*k*x））=和{n>=0}x^-彼得·巴拉2015年1月4日
a（n）=2*a（n-1）+a（n-2），a（0）=0，a（1）=1。
a（n）=（（1+平方（2））^n-（1-sqrt（2）^n）/（2*sqrt））。
对于初始值a（0）和a（1），a（n）=（（a（0”）*sqrt（2）+a（1”-a（0）））*（1+sqrt（2））^n+（a（O）*squart（2-沙赫里尔·侯赛因2019年8月18日
a（n）=最接近a（n-1）/（sqrt（2）-1）的整数，其中a（0）=1-克拉克·金伯利
a（n）=和{i，j，k>=0:i+j+2k=n}（i+j+k）/（i！*j！*k！）。
a（n）^2+a（n+1）^2=a（2n+1）（1999年普特南考试）。
a（n）=（（-i）^（n-1））*S（n-1，2*i），其中S（n，x）：=U（n，x/2）第二类切比雪夫多项式。请参见A049310型S（-1，x）=0，S（-2，x）=-1。
sinh展开式的二项式变换（sqrt（2）x）/sqrt（2中）。例如：exp（x）sinh（平方码（2）x）/sqrt（2）-保罗·巴里2003年5月9日
a（n）=和{k=0..floor（n/2）}二项式（n，2k+1）*2^k-保罗·巴里2003年5月13日
未简化g.f.:x（1+x）/（1-x-3x^2-x^3）；a（n）=a（n-1）+3*a（n-2）+a（n-2）马里奥·卡塔拉尼（Mario Catalani），2004年7月23日
a（n+1）=和{k=0..floor（n/2）}二项式（n-k，k）*2^（n-2k）.-马里奥·卡塔拉尼（Mario Catalani），2004年7月23日
a（n+1）=和{k=0..n}二项式（（n+k）/2，（n-k）/2）*（1+（-1）^（n-k-保罗·巴里2005年8月28日
a（n）=F（n，2），在x=2处计算的第n个斐波那契多项式-T.D.诺伊2006年1月19日
对于a>=b和奇数b，F（a+b）+F（a-b）=L（a）*F（b）。
对于a>=b和偶数b，F（a+b）+F（a-b）=F（a）*L（b）。
对于a>=b和奇数b，F（a+b）-F（a-b）=F（a）*L（b）。
对于a>=b和偶数b，F（a+b）-F（a-b）=L（a）*F（b）。
F（n+m）+（-1）^m*F（n-m）=F（n）*L（m）。
F（n+m）-（-1）^m*F（n-m）=L（n）*F（m）。
F（n+m+k）+（-1）^k*F（n+m-k）+。
F（n+m+k）-（-1）^k*F（n+m-k）+（-1）。
F（n+m+k）+（-1）^k*F（n+m-k）-（-1）。
F（n+m+k）-（-1）^k*F（n+m-k）-。（结束）
a（n+1）=和{k=0..n}二项式（n+1,2k+1）*2^k=和{k=0..n}A034867号（n，k）*2^k=（1/n！）*Sum_{k=0..n}A131980型（n，k）*2^k-汤姆·科普兰，2007年11月30日
分形（（1+平方（2））^n）=（1/2）*。
请参见A001622号对于一个关于数x>1的幂的分数部分的一般公式，它满足x-x^（-1）=floor（x）。
当n>0时，a（n）=圆形（（1+sqrt（2））^n/（2*sqrt））。（结束）[最后一个公式由修正乔什·英曼，2024年3月5日]
a（n）=（（4+sqrt（18））*Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2009年8月8日
如果p[i]=Fibonacci（i），并且如果A是n阶Hessenberg矩阵，当i<=j时，A[i，j]=p[j-i+1]，当i=j+1时，A[1，j]=-1，否则A[i、j]=0，则对于n>=1，A（n）=det A-米兰Janjic2010年5月8日
a（n）=3*a（n-1）-a（n-2）-a-加里·德特利夫斯2010年9月9日
a（n）=2*（a（2k-1）+a（2k））*a（n-2k）-a（n-4k）。
a（n）=2*（a（2k）+a（2k+1））*a（n-2k-1）+a（n-4k-2）。（结束）
G.f.:x/（1-2*x-x^2）=sqrt（2）*G（0）/4；G（k）=（（-1）^k）-1/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月2日
一般来说，对于n>k，a（n）=a（k+1）*a（n-k）+a（k）*a（n-k-1）。参见2008年9月4日的Pell数定义和公式-查理·马里恩2012年1月17日
求和{n>=1}（-1）^（n-1）/（a（n）*a（n+1））=sqrt（2）-1-弗拉基米尔·舍维列夫2013年2月22日
（1） 通过a（n）表示a（n+1）：a（n+1）=a（n”）+sqrt（2*a^2（n）+（-1）^n）；
（2） a（n+1）^2-a（n）*a（n+2）=（-1）^n；
（3） 和{k=1..n}（-1）^（k-1）/（a（k）*a（k+1））=a（n）/a（n+1）；
（4） a（n）/a（n+1）=sqrt（2）-1+r（n），其中|r（n）|<1/（a（n+1）*a（n+2））。（结束）
a（-n）=-（-1）^n*a（n）-迈克尔·索莫斯2013年6月1日
G.f.:G（0）/（2+2*x）-1/（1+x），其中G（k）=1+1/（1-x*（2*k-1）/（x*（2%k+1）-1/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月10日
G.f.：Q（0）*x/2，其中Q（k）=1+1/（1-x*（4*k+2+x）/（x*（4*k+4+x）+1/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月30日
a（n）=和{r=0..n-1}和{k=0..n-r-1}二项（r+k，k）*二项（k，n-k-r-1）-彼得·卢什尼2013年11月16日
a（n）=和{k=1,3,5，…<=n}C（n，k）*2^（（k-1）/2）-弗拉基米尔·舍维列夫2014年2月6日
a（k*n）=a（k）*a（k*n-k+1）+a（k-1）*a（k*n-k）-查理·马里恩2014年3月27日
a（k*n）=2*a（k）*（a（k*n-k）+a（k*.n-k-1））+（-1）^k*a（kxn-2k）-查理·马里恩2014年3月30日
a（n+1）=（1+平方（2））*a（n）+（1-sqrt（2）-艺术DuPre2014年4月4日
a（n+1）=（1平方（2））*a（n）+（1+平方（2-艺术DuPre2014年4月4日
a（n）=圆形（sqrt（a（2n）+a（2n-1））/2-理查德·福伯格2014年6月22日
当n>=2时，a（n）=2^（n-1）*超几何（[1-n/2，（1-n）/2]，[1-n]，-1）-彼得·卢什尼2015年12月17日
a（n+1）=Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*2^floor（k/2）-托尼·福斯特三世2017年5月7日
a（n）=exp（（i*Pi*n）/2）*sinh（n*arccosh（-i））/sqrt（2）-彼得·卢什尼，2018年3月7日
一些属性：
（1） a（n）^2-a（n-2）^2=2*a（n-1）*（a（nA005319号);
（2） a（n-k）*a（n+k）=a（n）^2+（-1）^（n+k+1）*a；
（3） 和{k=2..n+1}a（k）*a（k-1）=a（n+1）^2如果n是奇数，否则a（n+1）^2-1如果n是偶数；
（4） a（n）-a（n-2*k+1）=(A077444号（k） -1）*a（n-2*k+1）+a（n-4*k+2）；
（5） 和{k=n.n+9}a（k）=41*A001333号（n+5）。（结束）
a（m+r）*a（n+s）-a（m+s）*a。
a（n）^2-a（n+1）*a（n-1）=（-1）^（n-1。
a（n）^2-a（n+r）*a（n-r）=（-1）^（n-r。
a（m）*a（n+1）-a（m+1）*a（n）=（-1）^n*a（m-n）。
和{m>=1}反正切（2/a（2*m+1））=反正切（1/2）。
和{m>=2}反弧（2/a（2*m+1））=反弧（1/12）。
通常对于n＞0，
和{m>=n}反正切（2/a（2*m+1））=反正切（1/a（2*n））。（结束）
J（n）的和{i=0..n}a（i）*J（n-i）=（a（n+1）+a（n）-J（n+2））/2=A001045号（n） ●●●●-格雷格·德累斯顿2022年1月5日
和{n>=1}1/（a（2*n）+1/a（2*n））=1/2。
产品{n>=1}（1+2/a（2*n））=1+sqrt（2）。
产品{n>=2}（1-2/a（2*n））=（1/3）*（1+sqrt（2））。（结束）
G.f=1/（1-和{k>=1}斐波那契（k）*x^k）-恩里克·纳瓦雷特2023年12月17日
和{n>=1}1/a（n）=1.84220304982752858079237158327980838-R.J.马塔尔2024年2月5日
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示例
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G.f.=x+2*x^2+5*x^3+12*x^4+29*x^5+70*x^6+169*x^7+408*x^8+985*x^9+。。。
从对具有斐波那契数F（n）的成分的评论来看，有F（1）=1类1，F（2）=1种2，F（3）=2种3，F（4）=3种4，F（5）=5种5，F（6）=8种6。
下表给出了n=6的组分数量和部分斐波那契数：
成分、此类成分数量、此类成分的数量：
6, 1, 8;
5+1, 2, 10;
4+2, 2, 6;
3+3、1、4；
4+1+1、3、9；
3+2+1、6、12；
2+2+2, 1, 1;
3+1+1+1, 4, 8;
2+2+1+1, 6, 6;
2+1+1+1+1, 5, 5;
1+1+1+1+1+1, 1, 1;
对于总共a（6）=70个n=6的组分。（结束）。
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MAPLE公司
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A000129号：=proc（n）选项记忆；如果n<=1，则n；否则2*进程名（n-1）+进程名（n-2）；fi；结束；
a： =n->（<<2|1>，<1|0>>^n）[1，2]：序列（a（n），n=0..40）#阿洛伊斯·海因茨2008年8月1日
A000129号：=n->`如果`（n<2，n，2^（n-1）*超几何（[1-n/2，（1-n）/2]，[1-n]，-1））：
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数学
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系数列表[级数[x/（1-2*x-x^2），{x，0，60}]，x](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年4月8日*）
展开[表[（（1+Sqrt[2]）^n-（1-Sqrt[2]）^n）/（2Sqrt[20]），{n，0，30}]](*阿图尔·贾辛斯基2006年12月10日*）
线性递归[{2，1}，{0，1}，60](*哈维·P·戴尔，2012年1月4日*）
a[n_]：=与[{s=平方@2}，（（1+s）^n-（1-s）^n）/（2s）]//简化；(*迈克尔·索莫斯2013年6月1日*）
a[n_]：=切比雪夫[n-1，I]/I^（n-1）；(*迈克尔·索莫斯，2021年10月30日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）默认值（realprecision，2000）；对于（n=0，4000，a=contfracpnqn（向量（n，i，1+（i>1）））[2，1]；如果（a>10^（10^3-6），中断）；写入（“b000129.txt”，n，“”，a））\\哈里·史密斯2009年6月12日
（PARI）{a（n）=imag（（1+quadgen（8））^n）}/*迈克尔·索莫斯2013年6月1日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，-（-1）^n，1）*contfracpnqn（向量（abs（n），i，1+（i>1））[2，1]}/*迈克尔·索莫斯2013年6月1日*/
（PARI）{a（n）=polchebyshev（n-1，2，I）/I^（n-1）}/*迈克尔·索莫斯2021年10月30日*/
（鼠尾草）[lucas_number1（n，2，-1）代表范围（30）内的n]#零入侵拉霍斯，2009年4月22日
（哈斯克尔）
a000129 n=a000129_列表！！n个
a000129_list=0:1:zipWith（+）a000129_列表（map（2*）$tail a000129列表）
（最大值）
a[0]：0$
a[1]：1$
a[n]：=2*a[n-1]+a[n-2]$
（Maxima）makelist（（%i）^（n-1）*超球面（n-1，1，-%i），n，0，24），展开/*伊曼纽尔·穆纳里尼，2018年3月7日*/
（Magma）[0]cat[n le 2 select n else 2*Self（n-1）+Self[n-2）：n in[1..35]]//文森佐·利班迪2015年8月8日
（间隙）a:=[0,1]；；对于[3..10^3]中的n，做a[n]：=2*a[n-1]+a[n-2]；od；A000129号：=a#穆尼鲁·A·阿西鲁2017年10月16日
（Python）
从itertools导入islice
a、 b=0，1
[a，b]的产量
为True时：
a、 b=b，a+2*b
收益率b
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的，核心，cofr公司，美好的，压裂
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作者
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状态
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已批准
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A001109号
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| a（n）^2是一个三角形数：a（n）=6*a（n-1）-a（n-2），a（0）=0，a（1）=1。
（原名M4217 N1760）
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+10
193
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0, 1, 6, 35, 204, 1189, 6930, 40391, 235416, 1372105, 7997214, 46611179, 271669860, 1583407981, 9228778026, 53789260175, 313506783024, 1827251437969, 10650001844790, 62072759630771, 361786555939836, 2108646576008245, 12290092900109634, 71631910824649559
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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对于n>=2，A001108号（n） 给出了正整数m，即1,2，。。。，m有一个完美的中间值。相关的完美中位数序列就是现在的序列。让a_1，。。。，a_m是实数的（有序）序列，如果和{j=1..k-1}a_j=和{j=k+1..m}a_j，则术语a_k是一个完美的中位数。参见MSRI Emissary中的谜题1，2005年秋季-阿谢尔·奥尔2006年1月12日
（a（n），b（n））式中=A082291号（n） 是方程2的整数解*二项式（b，a）=二项式（b+2，a）克劳斯·斯特拉斯伯格（strass（AT）ddfi.uni-duesseldorf.de）；评论修订人迈克尔·索莫斯，2003年4月7日
n使8*n^2=地板（sqrt（8）*n*天花板（sqrt（8）*n））-贝诺伊特·克洛伊特2003年5月10日
对于n>0，比值a（n+1）/a（n）可以作为3+sqrt（8）的连续分式展开的收敛：[6；-6]的连续收敛或[5；1，4]的奇收敛-Lekraj Beedassy公司2003年9月9日
a（n+1）+A053141号（n）=A001108号（n+1）。生成菌群：-2'i+2'j-‘k+i’+j’-k’+2'ii’-‘jj’-2'kk’+‘ij’+‘ik’+‘ji’+’jk’-2'kj’+2e（“jes”系列）-克雷顿·德蒙特2004年12月16日
在长度为n的所有Delannoy路径中，直线y=x上的D步数（长度为n（0,0）到（n，n）之间的路径，由步数E=（1,0），n=（0,1）和D=（1,1）组成）。示例：a（2）=6，因为在13(=A001850号（2） ）长度为2的Delannoy路径，即（DD）、（D）NE、（D）EN、NE（D）、NENE、NEEN、NDE、NNEE、EN（D）、ENNE、ENEN、EDN和EENN，我们在y=x线上总共有六个D步骤（显示在括号之间）-Emeric Deutsch公司2005年7月7日
将T形圆定义为第一象限圆，其积分半径与x轴和y轴相切。这样一个圆的坐标等于它的半径。设C（0）为半径为1的T圆。然后，对于n>0，将C（n）定义为不与C（n-1）相交的最小T圆。C（n）的半径为a（n+1）。囊性纤维变性。A001653号. -查理·马里恩2005年9月14日
测试2<p<27：如果且仅当2^p-1（梅森数M（p））是素数，则M（p）除以a（2^（p-1））-肯尼思·J·拉姆齐2006年5月16日
如果8*n+5和8*n+7是双素数，那么它们的乘积除以a（4*n+3）-肯尼思·J·拉姆齐2006年6月8日
如果p是奇素数，那么如果p==1或7（mod 8），那么a（（p-1）/2）==0（mod p）和a（（p+1）/2）==1（mod p）；如果p==3或5（mod 8），则a（（p-1）/2）==1（mod p）和a（（p+1）/2）==0（mod p）。肯尼思·J·拉姆齐关于双素数的评论由此而来-罗伯特·伊斯雷尔2007年3月18日
a（n）*（a（n+b）-a（b-2））=。这个恒等式也适用于任何系列a（0）=0a（1）=1a（n）=b*a（n-1）-a（n-2）-肯尼思·J·拉姆齐2007年10月17日
对于n<0，设a（n）=-a（-n）。则（a（n+j）+a（k+j））*（a（n+b+k+j）-a（b-j-2））=（a（n+j+1）+a（k+j+1））*-查理·马里恩2011年3月4日
序列给出了丢番图方程的y值：0+1+2++x=y^2。如果（a，b）和（c，d）是丢番图方程的两个连续解：0+1+2++x=y ^2，a<c，则a+b=c-d和（（d+b）^2，d ^2-b ^2）也是一个解决方案。如果（a，b），（c，d）和（e，f）是丢番图方程0+1+2+的三个连续解+x=y^2和a<c<e，那么（8*d^2，d*（f-b））也是一个解-穆罕默德·布哈米达2009年8月29日
如果（p，q）和（r，s）是丢番图方程的两个连续解：0+1+2++x=y^2，p<r，然后r=3*p+4*q+1和s=2*p+3*q+1-穆罕默德·布哈米达2009年9月2日
一般来说，如果b（0）=1，b（1）=k，对于n>1，b（n）=6*b（n-1）-b（n-2），那么
对于n>0，b（n）=a（n）*k-a（n-1）；例如。，
对于k=2，当b（n）=A038725号（n） ，2=1*2-0，11=6*2-1，64=35*2-6，373=204*2-35；
对于k=3，当b（n）=A001541号（n） ，3=1*3-0，17=6*3-1；99 = 35*3 - 6; 577 = 204*3 - 35;
对于k=4，当b（n）=A038723号（n） ，4=1*4-0，23=6*4-1；134 = 35*4 - 6; 781 = 204*4 - 35;
对于k=5，当b（n）=A001653号（n） ，5=1*5-0，29=6*5-1；169 = 35*5 - 6; 985 = 204*5 - 35.
请参见沃尔夫迪特·朗评论A001653号对于具有x=|u^2-v^2|，y=2*u*v和z=u^2+v^2，u奇数和v偶数的毕达哥拉斯三元组（x，y，z）的（u，v）值序列，由（u（0）=1，v（0）=2），三元组的（3,4,5），通过给定的替换规则生成。现在的a（n）在那里显示为b（n）。相应生成的三角形的catheti相差一个长度单位-沃尔夫迪特·朗2012年3月6日
a（n）*a（n+2k）+a（k）^2和a（n。概括序列描述-查理·马里恩2012年12月3日
a（n）的平方是对平方应用三角运算的结果，使用A001333号作为要平方哪些整数的“指南”，如下所示：
当n>=1时，a（n）等于字母{0,1，…，5}中长度为n-1的01-避免单词的数量-米兰Janjic2015年1月25日
三角形数=平方数恒等式Tri（（T（n，3）-1）/2）=S（n-1，6）^2，其中Tri，T，S在A000217号，A053120号和A049310型是恒等式Tri（（T（n，2*k+1）-1）/2）=Tri（k）*S（n-1，2*（2*k+1））^2，k>=0，n>=0的k族的特例k=1，其中S（-1，x）=0。对于k=2，请参见A108741号（n） 对于S（n-1，10）^2。这个恒等式可以归结为恒等式S（n-1，2*x）^2=（T（2*n，x）-1）/（2*（x^2-1））和2*T（n，x，x）^2-1=T（2*n，x），其中x=2*k+1-沃尔夫迪特·朗2016年2月1日
a（2）=6是完美的。对于n=2*k，k>0，k不等于1，a（n）是a（2）的倍数，并且由于完美数的每一个倍数（超过1）都是富足的，因此a（n。西格玛（a（4））=504>408=2*a（4。对于n=2*k+1，k>0，a（n）mod 10=A000012号（n） ，所以a（n）是奇数。如果a（n）是一个素数，那么它是亏的；否则，a（n）有一个或两个不同的素因子，因此又是亏量的。因此，对于n=2k+1，k>0，a（n）是亏量的。σ（a（5））=1260<2378=2*a（5-穆尼鲁·A·阿西鲁2016年4月14日
一般来说，具有（c，d）符号的常系数二阶线性递归将被具有（x，c^2-c*x+d，-d*x+c*d）签名的三阶递归所复制。公式部分的Olivares和Bouhamida公式分别具有（7，-7,1）和（5,5，-1）的签名，它们是x=7和x=5这一一般规则的具体实例-加里·德特利夫斯2021年1月29日
注意6是序列中最大的三角形数，因为已经证明8和9是连续的最大完美幂（加泰罗尼亚猜想）。0和1也在序列中，因为它们也是完美幂，0*1/2=0^2和8*9/2=（2*3）^2-梅汀·萨里亚尔2021年7月15日
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参考文献
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配方奶粉
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G.f.:x/（1-6*x+x^2）-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。
a（n）=S（n-1,6）=U（n-1,3），带有U（n，x）第二类切比雪夫多项式。S（-1，x）：=0。参考三角形A049310型对于S（n，x）。
a（n）=平方米((A001541号（n） ^2-1）/8）（参见理查森评论）。
a（n）=3*a（n-1）+sqrt（8*a（n-1）^2+1）-R.J.马塔尔2000年10月9日
a（n）~（1/8）*sqrt（2）*（sqrt（2）+1）^（2*n）.-乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年5月15日
极限{n->infinity}a（n）/a（n-1）=3+2*sqrt（2）-格雷戈里·理查德森2002年10月5日
a（n）=（（3+2*m2））^n-（3-2*m2）^n）/（4*m2）-格雷戈里·理查德森2002年10月13日。针对偏移量0进行了更正，并进行了重写-沃尔夫迪特·朗2015年2月10日
a（2*n）=a（n）*A003499号（n） 。4*a（n）=A005319号（n） .-马里奥·卡塔拉尼（Mario Catalani），2003年3月21日
a（2*n+1）=a（n+1）^2-a（n）^2-查理·马里恩2004年1月12日
a（k）*a（2*n+k）=a（n+k”）^2-a（n）^2；例如，204*7997214=40391^2-35^2-查理·马里恩2004年1月15日
对于j<n+1，a（k+j）*a（2*n+k-j）-Sum_{i=0..j-1}a（2xn-（2*i+1））=a（n+k）^2-a（n）^2-查理·马里恩2004年1月18日
a（n）=（（1+sqrt（2））^（2*n）-（1-sqrt；
a（n）=和{i=0..n}和{j=0..n}A000129号（i+j）*n/（i！*j！*（n-i-j）！）/2.（结束）
例如：exp（3*x）*sinh（2*sqrt（2）*x）/（2*sqlt（2））-保罗·巴里2004年4月21日
a（n）=和{k=0..n}二项式（2*n，2*k+1）*2^（k-1）-保罗·巴里2004年10月1日
a（n）=7*（a（n-1）-a（n-2））+a（n-3），a（1）=0，a（2）=1，a（3）=6，n>3。此外，a（n）=（（1+sqrt（2））^（2*n）-（1-sqrt）（2）^-安东尼奥·阿尔贝托·奥利瓦雷斯2003年10月23日
a（n）=5*（a（n-1）+a（n-2））-a（n-3）-穆罕默德·布哈米达2006年9月20日
定义f（x，s）=s*x+sqrt（（s^2-1）*x^2+1）；f（0，s）=0。a（n）=f（a（n-1），3），见第二个公式-马科斯·卡雷拉2006年12月27日
完美中值m（n）可以用佩尔数P（）表示=A000129号（）乘以m（n）=P（n+2）*（P（n=2）+（P（n+1）），对于n>=0.-2007年6月11日，Winston A.Richards（ugu（AT）psu.edu）
a（n）=Sum_{k=0..n-1}4^k*二项式（n+k，2*k+1）-保罗·巴里2009年4月20日
a（n+1）^2-6*a（n+1）*a（n）+a（n）^2=1-查理·马里恩2010年12月14日
一般来说，a（n+k）^2-A003499号（k） *a（n+k）*a（n）+a（n”^2=a（k）^2-查理·马里恩，2012年1月11日
乘积_｛n＞＝1｝（1+1/a（n））＝1+sqrt（2）。
产品{n>=2}（1-1/a（n））=（1/3）*（1+sqrt（2））。（结束）
G.f.:G（0）*x/（2-6*x），其中G（k）=1+1/（1-x*（8*k-9）/（x*（8*k-1）-3/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月12日
G.f.:H（0）*x/2，其中H（k）=1+1/（1-x*（6-x）/（x*（6x）+1/H（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2014年2月18日
当n>3时，a（n）=（a（n-1）^2-a（n-3）^2）/a（n-2）+a（n-4）-帕特里克·J·麦克纳布，2015年7月24日
Dirichlet g.f.：（PolyLog（s，3+2*sqrt（2））-PolyLog-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月27日
a（n）=（a（n-3）+a（n+3））/198。
a（n）=sinh（2*n*arccsch（1））/（2*sqrt（2））-费德里科·普罗夫维迪2021年2月1日
（结束）
a（n）=和{k=0..n-1}（-1）^（n+k+1）*二项式（n+k，2*k+1）*8^k-彼得·巴拉2023年7月17日
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示例
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G.f.=x+6*x^2+35*x^3+204*x^4+1189*x^5+6930*x^6+40391*x^7+。。。
6是按顺序排列的，因为6^2=36是一个三角形数：36=1+2+3+4+5+6+7+8-迈克尔·波特2016年7月2日
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MAPLE公司
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a[0]：=1:a[1]：=6：对于从2到26的n，执行a[n]：=6*a[n-1]-a[n-2]od:seq（a[n'，n=0..26）#Emeric Deutsch公司
与（组合）：seq（fibonacci（2*n，2）/2，n=0..20）#零入侵拉霍斯，2008年4月20日
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数学
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Transpose[NestList[Flatten〔｛Rest〔#〕，ListCorrelate〔｛-1，6｝，#〕｝〕&，｛0，1｝，30〕〕〔〔1〕〕(*哈维·P·戴尔2011年3月23日*）
系数列表[级数[x/（1-6x+x^2），{x，0，30}]，x](*哈维·P·戴尔2011年3月23日*）
a[n_]：=切比雪夫U[n-1,3]；(*迈克尔·索莫斯2012年9月2日*）
TrigExpand@表格[Sinh[2 n ArcCsch[1]]/（2平方[2]），{n，0，10}](*费德里科·普罗夫维迪2021年2月1日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=imag（（3+quadgen（32））^n）}/*迈克尔·索莫斯2003年4月7日*/
（PARI）{a（n）=subst（poltchebi（abs（n+1））-3*poltchebi（abs（n）），x，3）/8}/*迈克尔·索莫斯2003年4月7日*/
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（哈斯克尔）
a001109 n=a001109_列表！！n：：整数
a001109_list=0:1:zip带（-）
（map（*6）$tail a001109_list）a001109_列表
（岩浆）[n le 2选择n-1其他6*自我（n-1）-自我（n-2）：n in[1..30]]//文森佐·利班迪，2015年7月25日
（间隙）a:=[0,1]；；对于[3..25]中的n，做a[n]：=6*a[n-1]-a[n-2]；od；a#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年12月18日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的，美好的
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5, 8, 2, 8, 4, 2, 7, 1, 2, 4, 7, 4, 6, 1, 9, 0, 0, 9, 7, 6, 0, 3, 3, 7, 7, 4, 4, 8, 4, 1, 9, 3, 9, 6, 1, 5, 7, 1, 3, 9, 3, 4, 3, 7, 5, 0, 7, 5, 3, 8, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 3, 3, 5, 9, 4, 7, 5, 9, 8, 1, 4, 6, 4, 9, 5, 6, 9, 2, 4, 2, 1, 4, 0, 7, 7, 7, 0, 0, 7, 7, 5, 0, 6, 8, 6, 5, 5, 2, 8, 3, 1, 4, 5, 4, 7, 0, 0, 2
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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对于b（n）=6*b（n-1）-b（n-2）形式的所有序列，对于b（0）和b（1）的任何初始值，比率b（n+1）/b（n）收敛到该比率。
形式为b（n）=5*b（n-1）+5*b（n-2）+b（n-3）的所有序列的比率b（n+1）/b（n），对于所有b（0）、b（1）和b（2）也收敛到3+2*sqrt（2）。例如，请参见A084158号（Pell三角形）。
对于形式为b（n）=2*b（n-1）+b（n-2）的所有序列，交替值的比率b（n+2）/b（n）也收敛到3+2*sqrt（2）。这些包括A000129号（弹丸编号）。另请参见A014176号.（结束）
让ABCD成为内接在圆中的正方形。当P是AB弧的中点时，比率（PC*PD）/（PA*PB）等于3+2*sqrt（2）。请参阅数学反思链接-米歇尔·马库斯2017年1月10日
在爱媛县Isaniwa Jinjya神社的Sangaku石碑上绘制的大外接圆R和小内圆R的半径之比（链接中的图片）-伯纳德·肖特2022年2月25日
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参考文献
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Diogo Queiros-Condé和Michel Feidt，熵的分形和跨尺度性质，Iste Press和Elsevier，2018年，第45页。
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链接
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伯纳德·伊卡特，莱斯·桑加库斯，Sangaku du Temple Isaniwa Jinya（法语）。
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配方奶粉
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等于exp（arccosh（3）），因为arccosh（x）=log（x+sqrt（x^2-1））-斯坦尼斯拉夫·西科拉2013年11月1日
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示例
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3+2*sqrt（2）=5.828427124746190097603377448。。。
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数学
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黄体脂酮素
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（Magma）SetDefaultRealField（RealFild（100））；3+2*平方（2）//G.C.格鲁贝尔2018年8月21日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A104178号（log_10的十进制展开式（3+2*sqrt（2）））。
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关键词
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作者
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已批准
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0, 1, 4, 25, 144, 841, 4900, 28561, 166464, 970225, 5654884, 32959081, 192099600, 1119638521, 6525731524, 38034750625, 221682772224, 1292061882721, 7530688524100, 43892069261881, 255821727047184, 1491038293021225
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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（-1）^（n+1）*a（n）是序列S_r（n）的r-“的r=-4成员，n>=1，定义于A092184号在那里可以找到更多信息。
通常，用签名（c，d）平方Horadam序列的项将导致带有签名的三阶递归（c^2+d，c^2*d+d^2，-d^3）-加里·德特利夫斯2021年11月11日
（推测）对于任何形式的原始毕达哥拉斯三元组（X，Y，Z=Y+1），如果X=A001333号（n） ，对于n>1。如果n是偶数，Y总是一个平方佩尔数，如果n是奇数，那么Z总是一个方形佩尔数。例如：（3，4，5），（7，24，25），（17，144，145），（41，840，841），（99，4900，4901）-朱尔斯·波尚2022年2月2日
a（n+1）是n块板（尺寸为n X 1的板）使用（1/2，1/2）-栅栏、黑色半正方形（1/2 X 1块，始终放置以使较短的边水平）和白色半正方形的瓷砖数量。A（w，g）-栅栏是由两个w X 1块组成的瓷砖，由一个宽度为g的间隙隔开。A（n+1）也等于使用黑色（1/4，1/4）-栅栏、白色（1/4，1/4）-栅栏和（1/4，3/4）-栅栏的n板的瓷砖数量-迈克尔·艾伦2022年12月29日
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链接
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T.曼苏尔，三阶线性递归项的平方，arXiv:math/0303138[math.CO]，2003年。
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配方奶粉
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G.f.：x*（1-x）/（（1+x）*（1-6*x+x^2））。
a（n）=（r^n+（1/r）^n-2*（-1）^n）/8，其中r=3+sqrt（8）。
a（n+3）=5*a（n+2）+5*a（n+1）-a（n）。
L.g.f.：（1/8）*log（（1+2*x+x^2）/（1-6*x+x^2））=Sum_{n>=0}（a（n）/n）*x^n，见Fxtbook链接第627页；特殊情况如下：设v（0）=0，v（1）=1，v（n）=u*v（n-1）+v（n-2），然后是（1/A）*log（（1+2*x+x^2）/（1-（2-A）*x+x^2））=Sum_{n>=0}v（n，n）^2/n*x^n，其中A=u^2+4-乔格·阿恩特2011年4月8日
a（n+1）=和{k=0..n}（（-1）^（n-k）*A001653号（k） ）；例如，144=-1+5-29+169；25 = 1 - 5 + 29. -查理·马里恩2003年7月16日
a（n）=（T（n，3）-（-1）^n）/4，第一类切比雪夫多项式在x=3:T（n、3）处求值=A001541号（n） =（（3+2*sqrt（2））^n+（3-2*sqrt^n）/2-沃尔夫迪特·朗2004年10月18日
a（n）是M^n*[1 0 0]的最右边项，其中M是3X3矩阵[4 4 1/2 1 0/1 0 0]。a（n+1）=最左边的项。例如，a（6）=4900，a（5）=841，因为M^5*[1 0 0]=[4900 2030 841]-加里·亚当森2004年10月31日
a（n）=（（（（1-sqrt（2）））^n+（1+sqrt）（2）^n）/2）^2+（-1）^（n+1））/2.-Antonio Pane（apane1（AT）spc.edu），2007年12月15日
对于n>0，a（2*n）=6*a（2*1）-a（2*n-2）-2，a（2*n+1）=6*a（2*n）-a“2*n-1”+2-查理·马里恩2011年9月24日
a（n+1）=6*a（n）-a（n-1）+2*（-1）^n。
a（n+1）=（1+（-1）^n）/2+4*Sum_{k=1..n}（k*a（n+1-k））。（结束）
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MAPLE公司
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与（组合）：seq（fibonacci（i，2）^2，i=0..31）#零入侵拉霍斯2008年3月20日
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数学
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系数列表[系列[x（1-x）/（（1+x）*（1-6x+x^2）），{x，0，30}]，x](*文森佐·利班迪2013年5月17日*）
线性递归[{5，5，-1}，{0，1，4}，40](*哈维·P·戴尔，2015年12月20日*）
斐波那契[Range[0，30]，2]^2(*G.C.格鲁贝尔2021年9月17日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）I:=[0,1,4]；[n le 3选择I[n]else 5*Self（n-1）+5*Selve（n-2）-Self，n-3）：[1..31]]中的n//文森佐·利班迪2013年5月17日
（鼠尾草）[lucas_number1（n，2，-1）^2代表（0..30）中的n]#G.C.格鲁贝尔2021年9月17日
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交叉参考
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关键词
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容易的，非n
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作者
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已批准
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7, 47, 323, 2213, 15169, 103969, 712615, 4884335, 33477731, 229459781, 1572740737, 10779725377, 73885336903, 506417632943, 3471038093699, 23790849022949, 163064905066945, 1117663486445665, 7660579500052711
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,1
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评论
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设f=地板，c=天花板。对于x>1，定义四个序列作为x的函数，如下所示：
p1（0）=f（x），p1（n）=f（x*p1（n-1））；
p2（0）=f（x），p2（n）=c（x*p2（n-1）；
p3（0）=c（x），p3（n）=f（x*p3（n-1）），如果n是奇数，p3；
p4（0）＝c（x）、p4（n）＝c（x*p4（n-1））。
当前序列由a（n）=p3（n）给出。
遵循以下术语：A214986型，调用四个序列：电源楼层、电源楼层-天花板、电源天花板-地板和电源天花板序列。在下表中，如果序列看起来一致，则使用a编号的序列来标识序列，除非可能是初始术语。符号：S（t）=sqrt（t），r=（1+S（5））/2=黄金比率，极限=p3（n）/p2（n）的极限。
x。。。。。。p1…..p2…..p3…..p4……极限
...
p1、p2、p3、p4的属性：
（1） 如果x>2，p2和p3的项交错：p2（0）<p3（0）<p2（1）<p3（1）<p2（2）<p2（2）。。。此外，对于所有x>0和n>=0，p1（n）<=p2（n）<=p3（n）<=p4（n）<=p1（n+1）。
（2） 如果x>2，则对于四个函数p（x）存在极限L（x）=极限（p/x^n），并且L1（x）<=L2（x）<=L3（x）<=L4（x）。有关四个函数的绘图，请参阅Mathematica程序；其中之一也出现在Odlyzko和Wilf的文章中，以及对特殊情况x=3/2的讨论。
（3） 假设x=u+sqrt（v），其中v是一个非方正整数。如果u=f（x）或u=c（x），则p1、p2、p3、p4是线性递归序列。对于每个正整数q，从x=（u+sqrt（v））^q获得的序列p1，p2，p3，p4是否都是这样？
（4） 假设x是Pisot-Vijayaraghavan数。那么p1，p2，p3，p4必须是线性递归的吗？如果x也是二次无理b+c*sqrt（d），那么四个极限L（x）必须在Q（sqrt））域中吗？
（5） Odlyzko和Wilf的文章（第239页）提出了关于权力上限函数的三个有趣的问题；它们似乎仍在营业。
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链接
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A.M.Odlyzko和H.S.Wilf，函数迭代与约瑟夫问题格拉斯哥数学。J.33235-2401991年。
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配方奶粉
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a（n）=楼面（r*a（n-1），如果n是奇数，a（n。
a（n）=6*a（n-1）+6*a（n-2）-a（n-3）。
总尺寸：（7+5*x-x^2）/（1-6*x-6*x^2+x^3）。
a（n）=（10*（-2）^n+（10+3*sqrt（5））*（7-3*sqrt（5））^（n+2）+（10-3*sqrt（5））*（7+3*sqrt（5））^（n+2））/（90*2^n）-布鲁诺·贝塞利2012年11月14日
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示例
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a（0）=天花板（r）=7，其中r=（1+sqrt（5））/2）^4=6.8。。。；a（1）=楼层（7*r）=47；a（2）=天花板（47）=323。
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数学
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x=黄金比率^4；z=30；（*z=#序列中的项*）
z1=100；（*z1=近似数字*）
f[x_]：=楼层[x]；c[x_]：=天花板[x]；
p1[0]=f[x]；p2[0]=f[x]；p3[0]=c[x]；p4[0]=c[x]；
p1[n]：=f[x*p1[n-1]]
p2[n_]：=如果[Mod[n，2]==1，c[x*p2[n-1]]，f[x*p2[n-1]
p3[n_]：=如果[Mod[n，2]==1，f[x*p3[n-1]]，c[x*p3[n-1]
p4[n]：=c[x*p4[n-1]]
（*程序2。功率下限和功率上限功能图，p1（x）和p4（x）*）
f[x_]：=f[x]=楼层[x]；c[x_]：=c[x]=天花板[x]；
p1[x_，0]：=f[x]；p1[x_，n]：=f[x*p1[x，n-1]]；
p4[x_，0]：=c[x]；p4[x_，n_]：=c[x*p4[x，n-1]；
绘图[评估[｛p1[x，10]/x^10，p4[x，10]/x^10｝]，｛x，2，3｝，PlotRange->｛0，4｝]
（*项目3。电源地板-天花板和电源天花板-地板功能图，p2（x）和p3（x）*）
f[x_]：=f[x]=楼层[x]；c[x_]：=c[x]=天花板[x]；
p2[x，0]：=f[x]；p3[x，0]：=c[x]；
p2[x_，n_]：=如果[Mod[n，2]==1，c[x*p2[x，n-1]]，f[x*p2[x，n-1]]
p3[x_，n_]：=如果[Mod[n，2]==1，f[x*p3[x，n-1]]，c[x*p3[x，n-1]]
绘图[求值[{p2[x，10]/x^10，p3[x，10/x^10}]，{x，2，3}，PlotRange->{0，4}]
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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状态
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已批准
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A046729号
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| 展开4*x/（（1+x）*（1-6*x+x^2））。 |
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+10
15
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0, 4, 20, 120, 696, 4060, 23660, 137904, 803760, 4684660, 27304196, 159140520, 927538920, 5406093004, 31509019100, 183648021600, 1070379110496, 6238626641380, 36361380737780, 211929657785304, 1235216565974040
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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近似等腰直角三角形的均值腿：腿相差1。0是退化三角形的较小边，边为0和1，斜边为1-查理·马里恩2003年11月11日
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参考文献
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A.H.Beiler，《数字理论中的娱乐》。纽约：多佛，第122-1251964页。
W.Sierpiánski，毕达哥拉斯三角，多佛出版公司，纽约州米诺拉，2003年，第17页。MR2002669。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=（（1+sqrt（2））^（2n+1）+（1-sqrt。
a（n）=天花板（（sqrt（2）+1）^（2*n+1）-（sqert（2）-1）^兰伯特·克拉森（Lambert.Klasen（AT）gmx.net），2004年11月12日
2*a（n）*（a（n）+（-1）^n）+1=(A000129号（2*n+1））^2；
n>0，2*a（n）*（a（n）+（-1）^n）+1=（（a（n+1）-a（n-1））/4）^2，一个完美的正方形。
a（n+1）=（3*a（n）+2*（-1）^n）+2*sqrt（2*a。
a（n-1）=（3*a（n）+2*（-1）^n）-2*sqrt（2*a（n）*（a（n。
a（n+1）=6*a（n）-a（n-1）+4*（-1）^n。
a（n+1）=5*a（n）+5*a（n-1）-a（n-2）。
a（n+1）*a（n-1）=a（n）*（a（n）+4*（-1）^n）。
极限_｛n->oo｝a（n）/a（n-1）=3+2*sqrt（2）。
极限{n->oo}a（n）/a（n-2）=17+12*sqrt（2）。
极限{n->oo}a（n）/a（n-r）=（3+2*sqrt（2））^r。
极限{n->oo}a（n-r）/a（n）=（3-2*sqrt（2））^r.（结束）
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示例
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[1,0,1]*[1,2,2；2,1,2；2,2,3]^0给出了（退化的）原始勾股三元组[1,0,1]，因此a（0）=0。[1,0,1]*[1,2,2；2,1,2；2,2,3]^7给出了原始勾股三元组[137903，137904，195025]，因此a（7）=137904。
G.f.=4*x+20*x^2+120*x^3+696*x^4+4060*x^5+23660*x^6+。。。
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数学
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线性递归[{5，5，-1}，{0，4，20}，25](*文森佐·利班迪2019年7月29日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=n%2+（实数（（1+四元数（8））^（2*n+1））-1）/2
（PARI）a（n）=如果（n<0，-a（-1-n），polceoff（4*x/（1+x）/（1-6*x+x^2）+x*O（x^n），n））
（岩浆）[4*层（（（Sqrt（2）+1）^（2*n+1）-（Sqrt（2）-1）^//文森佐·利班迪2019年7月29日
（SageMath）[（lucas_number2（2*n+1，2，-1）-2*（-1）^n）/4表示范围（41）内的n]#G.C.格鲁贝尔，2023年2月11日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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状态
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已批准
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0, 1, 3, 15, 55, 231, 903, 3655, 14535, 58311, 232903, 932295, 3727815, 14913991, 59650503, 238612935, 954429895, 3817763271, 15270965703, 61084037575, 244335800775, 977343902151, 3909374210503, 15637499638215, 62549992960455
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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链接
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N.Heninger、E.M.Rains和N.J.A.Sloane，关于生成函数n次根的可积性，arXiv:math/0509316[math.NT]，2005-2006。
N.Heninger、E.M.Rains和N.J.A.Sloane，关于生成函数n次根的可积性，J.组合理论，A辑，113（2006），1732-1745。
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配方奶粉
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a（n）=（2*4^n-（-2）^n-1）/9；
a（n）=3*a（n-1）+6*a（n2）-8*a（n-3），a（0）=0，a（1）=1，a（2）=3。
G.f.:x/（（1+2*x）*（1-x）x（1-4*x））。
例如：（2*exp（4*x）-exp（x）-ex（-2*x））/9。
a（n）=圆（2^n/3）*圆（2#（n+1）/3）-加里·德特利夫斯2010年2月10日
移位的o.g.f.A（x）：=1/（（1+2*x）*（1-x）*。因此A（x）==1/（1-3*x+3*x^2-x^3）（mod 9）==1/（1-x）^3（mod九）。根据Heninger等人的定理1，（A（x））^（1/3）=1+x+4*x^2+10*x^3+。。。具有积分系数。
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MAPLE公司
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对于从1到25的n，打印（圆形（2^n/3）*round（2^（n+1）/3））od#加里·德特利夫斯2010年2月10日
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数学
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黄体脂酮素
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（Sage）[gaussian_binomial（n，2，-2）for n in range（1，26）]#零入侵拉霍斯2009年5月28日
（岩浆）[（2*4^n-（-2）^n-1）/9:n in[0..30]]//文森佐·利班迪，2011年6月4日
（GAP）列表（[0..30]，n->（2^（2*n+1）-（-2）^n-1）/9）#G.C.格鲁贝尔2019年9月21日
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交叉参考
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关键词
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容易的，非n
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作者
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已批准
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1, 3, 21, 119, 697, 4059, 23661, 137903, 803761, 4684659, 27304197, 159140519, 927538921, 5406093003, 31509019101, 183648021599, 1070379110497, 6238626641379, 36361380737781, 211929657785303, 1235216565974041
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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a（n）=（（sqrt（2）+1）^（2*n+1）-（sqrt（2）-1）^（2*n+1）+2*（-1）^n）/4。
a（n）=5*a（n-1）+5*a（n-2）-a（n-3）-保罗·柯茨2008年5月17日
通用格式：（1-x）^2/（（1+x）*（1-6*x+x^2））-R.J.马塔尔2008年9月17日
a（n）=（-1）^n*R（n，-4），其中R（n、x）是的第n行多项式A211955型。
a（n）=（-1）^n*1/u*T（n，u）*T（n+1，u），其中u=sqrt（-1）和T（n、x）是第一类切比雪夫多项式。
a（n）=（-1）^n+4*Sum_{k=1..n}（-1）（n-k）*8^（k-1）*二项式（n+k，2*k）。
递推方程：a（n）=6*a（n-1）-a（n-2）+4*（-1）^n，其中a（0）=1，a（1）=3；a（n）*a（n-2）=a（n-1）*（a（n-1）+4*（-1）^n）。
和{k>=0}（-1）^k/a（k）=1/sqrt（2）。
1-2*（和{k=0..n}（-1）^k/a（k））^2=（-1）（n+1）/A090390号（n+1）。（结束）
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数学
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b[n_]：=分子[FromContinuedFraction[Continued Fraction[Sqrt[2]，n]]]；
线性递归〔｛5，5，-1｝，｛1，3，21｝，30〕(*哈维·P·戴尔2019年8月4日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[楼层（（（Sqrt（2）+1）^（2*n+1）-（Sqert（2）-1）^//文森佐·利班迪2011年8月13日
（SageMath）[（lucas_number2（2*n+1，2，-1）+2*（-1）^n）/4表示范围（31）内的n]#G.C.格鲁贝尔，2022年10月11日
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容易的，非n
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